江西省南昌市第三中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

南昌三中2024-2025学年度上学期期中考试 高二数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1、直线的倾斜角是( ) （A）30° （B）60° （C） 120° （D）150° 【答案】D 2．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A． B． C．2 D．8 【答案】C 3. 若直线为圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 4．已知p：，q：表示椭圆，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 5．已知双曲线的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 6. 若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 7. 已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C的准线l上，线段与y轴交于点A，与抛物线C交于点B，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【详解】设l与x轴的交点为H，由O为中点，知点A为的中点， 因为，所以． 过点B作，垂足为Q，则由抛物线的定义可知， 所以，则，所以． 故选：C 8. 已知O为坐标原点，P是椭圆E：上位于x轴上方的点，F为右焦点.延长PO，PF交椭圆E于Q，R两点，，，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】如图，设左焦点为，连接，，， 由题，，关于原点对称，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形. 设，则， 又因为，则，，， 在中，，即， 解得或（舍去），故点P为椭圆的上顶点. 由，所以，即，所以离心率. 故选：A 二、多选题（本题共3 小题，每小题 6 分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6分，部分选对得 3分，有选错得 0 分） 9. 已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过点 B．直线被圆截得的最短弦长为 C． D．当时，圆上存在无数对点关于直线对称 【答案】ACD 10. 已知曲线，则（ ） A. 若，则曲线C是圆，其半径为2 B. 若，则曲线C是椭圆，其焦点在y轴上 C. 若线C过点，则C是双曲线 D. 若，则曲线C不表示任何图形 【答案】BC 【详解】对于A，时，曲线可化为，其半径为，故A错误； 对于B，时，曲线可化为表示的是椭圆，而， 所以其焦点在轴上，故B正确； 对于C，将点，，代入曲线：， 有，，所以曲线是双曲线，故C正确； 对于D，若，，满足条件，此时曲线：，表示两条直线，故D错误， 故选：. 11．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（    ）              A．射线所在直线的斜率为，则 B．当时， C．当过点时，光线由到再到所经过的路程为13 D．若点坐标为，直线与相切，则 【答案】ABD 【解析】解：因为双曲线的方程为，所以，渐近线方程为， 选项A，因为直线与双曲线有两个交点，所以，即A正确； 选项B，由双曲线的定义知，，若，则， 因为，所以，解得，即B正确； 选项C：，即C错误； 选项D，因为平分，由角分线定理知，，所以， 又，所以，解得，即D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共 3小题，每小题 5 分，共 15分） 12. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 【答案】 13．分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，，则 . 【答案】 【解析】由椭圆方程,得,由椭圆定义可得,因为,所以为的中点,,所以为中点,因为为中点,所以,所以. 14．已知直线和直线，拋物线上一动点到直线直线的距离之和的最小值是 【答案】3 【详解】由题意可得：拋物线的焦点，准线， 设动点直线的距离分别为， 点到直线的距离分别为， 则，可得， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间时，等号成立， 动点到直线直线的距离之和的最小值是3. 四、解答题（本题共 5 小题，其中 15、16、17、18题各15 分，19题17分，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点. (1)求AB边所在的直线方程； (2)求中线AM的长 (3)求AB边的高所在直线方程. 【详解】（1）法一：由两点式写方程得，即； 法二：直线的斜率为， 直线的方程为，即； （2）设的坐标为，则由中点坐标公式可得，故， 所以； （3）直线AB的斜率为， 所以由垂直关系可得AB边高线的斜率为， 故AB边的高所在直线方程为,化为一般式可得：. 16. 已知过点且斜率为的直线与圆C：交于两点． （Ⅰ）求k的取值范围； （Ⅱ）若，其中为坐标原点，求． 解析；（Ⅰ）由题设，可知直线l的方程为． 因为l与C交于两点，所以． 解得．所以的取值范围是． （Ⅱ）设． 将代入方程，整理得， 所以，． ， 由题设可得，解得，所以l的方程为． 故圆心在直线l上，所以． 17．设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． (1)求的方程； (2)求过点，且与的准线相切的圆的方程． 解析：（1）由题意得，的方程为．设，， 由得，，故， 所以，由题设知， 解得（舍去），．因此直线的方程为． （2）由（1）得的中点坐标为，所以的垂直平分线方程为， 即．设所求圆的圆心坐标为，则 ，解得或， 因此所求圆的方程为或． 18．已知椭圆的左、右焦点为，离心率为。过，分别作直线，交C于M，N和P，Q，已知的周长为8。 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与平行，顺次连接构成四边形PQNM， 求四边形PQNM面积的取值范围. 18.【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）∵的周长，∴， 由离心率为得，从而，所以椭圆C的标准方程为． （2）由对称性可知，四边形PQNM为平行四边形， 设MN：，与椭圆方程联立得：. 设，，则，. 设点到直线的距离为d，则， 所以四边形PQNM面积为：. 设，则在单调递减， 所以S的取值范围为. 19．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为. （1）求C的方程； （2）记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P，证明：点P在定直线上. 解析：（1）因为双曲线C的左焦点为，所以. 由离心率，得，所以，所以C的方程为. （2）证明：设（，），，显然直线MN的斜率不为0， 故设直线MN的方程为. 因为，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立消去y得. 联立消去x整理得， 则，，则，， 所以， 所以， 所以，解得， 所以点P在定直线上. ( 6 ) ( 7 )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南昌三中2024-2025学年度上学期期中考试 高二数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1、直线的倾斜角是( ) （A）30° （B）60° （C） 120° （D）150° 2．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A． B． C．2 D．8 3. 若直线为圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. D. 1 4．已知p：，q：表示椭圆，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知双曲线的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6. 若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C的准线l上，线段与y轴交于点A，与抛物线C交于点B，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知O为坐标原点，P是椭圆E：上位于x轴上方的点，F为右焦点.延长PO，PF交椭圆E于Q，R两点，，，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3 小题，每小题 6 分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6分，部分选对得 3分，有选错得 0 分） 9. 已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过点 B．直线被圆截得的最短弦长为 C． D．当时，圆上存在无数对点关于直线对称 10. 已知曲线，则（ ） A. 若，则曲线C是圆，其半径为2 B. 若，则曲线C是椭圆，其焦点在y轴上 C. 若线C过点，则C是双曲线 D. 若，则曲线C不表示任何图形 11．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（    ）              A．射线所在直线的斜率为，则 B．当时， C．当过点时，光线由到再到所经过的路程为13 D．若点坐标为，直线与相切，则 三、填空题（本题共 3小题，每小题 5 分，共 15分） 12. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 13．分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，，则 . 14．已知直线和直线，拋物线上一动点到直线直线的距离之和的最小值是 四、解答题（本题共 5 小题，其中 15、16、17、18题各15 分，19题17分，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点. (1)求AB边所在的直线方程； (2)求中线AM的长 (3)求AB边的高所在直线方程. 16. 已知过点且斜率为的直线与圆C：交于两点． （Ⅰ）求k的取值范围； （Ⅱ）若，其中为坐标原点，求． 17．设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． (1)求的方程； (2)求过点，且与的准线相切的圆的方程． 18．已知椭圆的左、右焦点为，离心率为。过，分别作直线，交C于M，N和P，Q，已知的周长为8。 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与平行，顺次连接构成四边形PQNM， 求四边形PQNM面积的取值范围. 19．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为. （1）求C的方程； （2）记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P，证明：点P在定直线上. 6 学科网（北京）股份有限公司7 学科网（北京）股份有限公司 $$