4.1 整式 解题模型2024-2025学年人教版（2024）七年级数学上册

4.1 整式 模型1 认识单项式 3 模型2 单项式的系数、次数 5 模型3 多项式的项、项数、次数 7 模型4 认识整式 9 模型5 多项式的应用 11 模型6 规律探索 12 模型归纳 1．单项式及相关概念 （1）单项式的概念：由数字或字母的积组成的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式． （2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． （3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 2．多项式及相关概念 （1）多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，一个多项式有几项，就叫它几项式． （2）常数项：不含字母的项叫做常数项． （3）多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 3．整式： （1）概念：整式单项式与多项式统称整式． （2）整式中不含等号或不等号，如2x+1=7，3x<6都不是整式． 4．单项式与多项式的区别： （1）运算方面：单项式不含加减运算符号；多项式必含加减运算符号． （2）次数方面：单项式的次数是单项式中所有字母的指数的和；多项式的次数是多项式里次数最高项的次数． 方法归纳 1．单项式中不含加减运算，只含乘法和数字作分母的除法运算，分母中有字母的不是单项式． 2．单项式是一种特殊的式子，它包含三种类型，即数与字母的积、字母与字母的积、单独的一个数或字母． 3．当单项式的系数是1或－1时，“1”可以省略不写，如单项式xy，－m的系数分别是1，－1． 4．对于一个非零的数，规定它的次数为0． 5．字母的指数是1时，指数省略不写，如y的指数是1而不是0． 6．多项式的每一项都包括它前面的符号．确定多项式的项时，注意不要漏掉前面的符号．要将多项式看成各项“代数和”的形式，即看成“带有正号或负号的项的和”． 7．多项式的项数是指多项式中所包含的单项式的个数．判断项数时，注意不要漏掉常数项． 8．多项式的次数不是所有的项的次数和，而是次数最高项的次数． 9．整式是有理式的一部分，判断一个有理式是否为整式时要注意： （1）单项式和多项式都是整式． （2）整式中不含等号或不等号，如2x+1=7，3x<6都不是整式． （3）分母中含有字母（未知数）的式子一定不是整式，如，都不是整式． 模型1 认识单项式 典例 （2024秋•普陀区校级期中）代数式，，，，，中，单项式有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】． 【分析】数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式． 【解答】解：式子，，，符合单项式的定义，是单项式； 式子，分母中含有字母，不是单项式； 式子，，是多项式． 故单项式有3个． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．单项式中不含加减运算，只含乘法和数字作分母的除法运算，分母中有字母的不是单项式．（注意分母中含有圆周率π时，π是数字，不是字母） 2．单项式是一种特殊的式子，它包含三种类型，即数与字母的积、字母与字母的积、单独的一个数或字母． 【变式练1】　（2024秋•莲湖区期中）在式子，，，中，单项式有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】． 【分析】数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式． 【解答】解：式子，，符合单项式的定义，是单项式； 式子，分母中含有字母，不是单项式； 式子，，是多项式． 故单项式有2个． 故选：． 【变式练2】　（2024秋•临洮县期中）下列式子：，，，66，，其中是单项式的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】由数字和字母的乘积组成的代数式即为单项式，单独的一个数或字母也是单项式，据此进行判断即可． 【解答】解：，66，，是单项式，共4个， 故选：． 【变式练3】　（2024秋•徐汇区校级月考）下列代数式，，，，，0，，其中单项式有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式． 【解答】解：式子，0，，符合单项式的定义，是单项式； 式子，，分母中含有字母，不是单项式； 式子，，有多个项，不是单项式． 故单项式有3个． 故选：． 模型2 单项式的系数、次数 典例 （2024秋•苏州期中）若单项式的系数是，次数是，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据单项式的次数与系数的定义解决此题． 【解答】解：由题意得：，． ． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数． 2．单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做单项式的次数．如果一个单项式的次数是n，那么称这个单项式是n次单项式． 注意：πa这个单项式的系数是π，次数是1． 3．当单项式的系数是1或－1时，“1”可以省略不写，如单项式xy，－m的系数分别是1，－1． 4．对于一个非零的数，规定它的次数为0． 5．字母的指数是1时，指数省略不写，如y的指数是1而不是0． 【变式练1】　（2023秋•遵义期末）单项式的系数是　　 A．2 B． C． D． 【答案】 【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，根据概念解答即可． 【解答】解：单项式的系数是． 故选：． 【变式练2】　（2024秋•门头沟区校级期中）单项式的系数和次数分别是　　 A．和3 B．10和4 C．和4 D．和5 【答案】． 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【解答】解：根据单项式系数、次数的定义，单项式的系数与次数分别是，4． 故选：． 【变式练3】　（2023秋•新都区期末）单项式的系数和次数分别是　　 A．，6 B．，2 C．，5 D．，5 【答案】 【分析】根据单项式的定义：单项式中的数字因式叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．据此进行解题． 【解答】解：单项式的系数和次数分别，5． 故选：． 模型3 多项式的项、项数、次数 典例 （2024秋•凉州区校级月考）关于多项式的说法错误的是　　 A．有三项，次数是4 B．常数项为9 C．不含二次项 D．各项分别是，，9 【答案】 【分析】根据多项式的项数和次数定义，逐一判断即可． 【解答】解：有三项，最高次项为，次数是4，所以多项式的次数是4，故选项说法正确，不符合题意； ．常数项为9，故选项说法正确，不符合题意； 不含二次项，故选项说法正确，不符合题意； 各项分别是，，9，故选项说法错误，符合题意． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．多项式的每一项都包括它前面的符号．确定多项式的项时，注意不要漏掉前面的符号．要将多项式看成各项“代数和”的形式，即看成“带有正号或负号的项的和”． 2．多项式的项数是指多项式中所包含的单项式的个数．判断项数时，注意不要漏掉常数项． 3．多项式的次数不是所有的项的次数和，而是次数最高项的次数． 【变式练】　（2024秋•江阳区校级期中）多项式的最高次项的系数是　　． 【答案】． 【分析】先找出多项式的最高次项，再找出最高次项的系数即可． 【解答】解：多项式中最高次项是，系数是， 故答案为：． 【变式练】　（2024秋•莒县期中）多项式的次数为 　　． 【答案】3． 【分析】根据多项式次数的定义求解． 【解答】解：多项式中最高次项是，次数是3． 故答案为：3． 【变式练】　（2024秋•福田区期中）若多项式是关于的四次三项式，则的值为　　． 【答案】． 【分析】根据多项式的性质进行解答．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数． 【解答】解：多项式是四次三项式， ，， ． 故答案为：． 模型4 认识整式 典例 （2024秋•祁东县校级期中）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．其中整式的个数有　　 A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】． 【分析】根据整式的定义求解． 【解答】解：式子，，，，符合整式的定义，是整式； 式子，是等式，不是整式； 式子，分母中含有字母，不是整式． 故整式有4个． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 整式是有理式的一部分，判断一个有理式是否为整式时要注意： （1）单项式和多项式都是整式． （2）整式中不含等号或不等号，如2x+1=7，3x<6都不是整式． （3）分母中含有字母的式子一定不是整式，如，都不是整式． 【变式练1】　（2024秋•香洲区校级期中）式子中，整式有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】． 【分析】根据整式的定义求解． 【解答】解：式子，，，，符合整式的定义，是整式； 式子，分母中含有字母，不是整式． 故整式有4个． 故选：． 【变式练2】　（2024秋•会泽县校级期中）下列各式不是整式的是　　 A． B． C． D． 【答案】． 【分析】根据整式的定义求解． 【解答】解：，是整式； ，分母中含有字母，不是整式； ，是整式； ．，是整式． 故选：． 【变式练3】　（2023秋•霍林郭勒市期末）下列各式，，8，，，，，中，整式有　　 A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】 【分析】根据整式的定义，结合题意即可得出答案． 【解答】解：整式有，，8，，，， 故选：． 模型5 多项式的应用 典例 （2024秋•闵行区期中）若多项式不含项，则　　． 【分析】多项式合并得到结果，根据结果不含项，即可确定出的值． 【解答】解：原式 由结果中不含项，得到， 则． 故答案为：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．在处理多项式问题时，如果多项式中不含某一项，例如不含一次项或二次项等，这意味着该项的系数必须为0．这是因为任何非零系数的项都会在多项式展开后出现相应的项，而题目要求不含该项，因此只能通过设置该项的系数为0来满足条件． 2．多项式按升幂、降幂排列注意要求是按照哪个字母升幂、降幂排列． 【变式练1】　（2024秋•闵行区期中）把整式按字母的降幂排列是　　． 【答案】． 【分析】先分清各项，再根据多项式幂的排列的定义解答． 【解答】解：按字母的降幂排列：． 故答案为：． 【变式练2】　（2024秋•苏州期中）若关于的多项式中不含有的一次项，则　　． 【分析】令一次项系数，即可求出的值． 【解答】解：多项式中不含有的一次项， ， ． 故答案为1． 【变式练3】　（2024秋•杨浦区校级月考）把多项式按升幂排列：　　． 【答案】． 【分析】先分清各项，再根据多项式幂的排列的定义解答． 【解答】解：多项式按升幂排列：． 故答案为：． 模型6 规律探索 典例 （2024秋•临沭县校级月考）观察式子：，，，，，，根据这个规律，第12个式子应为　　． 【答案】． 【分析】系数按照1，，9，，25，进行变化，指数按照1，2，3，4，5进行变化，所以按这个规律即可写出第12个式子，需要注意观察数字的变化规律． 【解答】解：根据规律可知：第12个式子应为， 故答案为：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 多项式的规律探究： （1）规律探究问题也称为归纳猜想问题，这类问题一般是给出一组具有某种规律的数或式，通过认真观察、分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论． （2）多项式的规律探究题一般忽略不变部分，从变化部分的系数、正负、相同字母的指数与序数之间的关系入手进行分析． 【变式练1】　（2024秋•青浦区校级期中）观察下面一列数：，，，，按此排列规律，第50个数为 　　． 【答案】． 【分析】根据题目中给出的数据得出第个数为，求出第50个数即可． 【解答】解：根据题意得第个数为， 第50个数为． 故答案为：． 【变式练2】　（2024秋•红桥区期中）观察下列各单项式，，，，，按此规律可以得到第2020个单项式是 　　，第个单项式是 　　． 【答案】；． 【分析】根据已知单项式归纳类推出一般规律，由此即可得． 【解答】解：第1个单项式为， 第2个单项式为， 第3个单项式为， 第4个单项式为， 第5个单项式为， 归纳类推得：第的单项式为，其中为正整数， 则第2020个单项式为， 故答案为：，． 【变式练3】　（2024秋•吴江区校级月考）按一定规律排成的一列数：，，，，，，，则这列数中的第2025个数是 　　． 【答案】． 【分析】将这列数整理后，发现这列数的分子为从1开始的连续的自然数，分母为分子加2，进而发现规律，即可求得答案． 【解答】解：原数列整理得：，，，，，，， 这列数的分子为从1开始的连续的自然数，分母为分子加2， 则这列数中的第2025个数是， 故答案为：． 第13页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $$