2.2 有理数的乘法与除法解题模型2024-2025学年人教版（2024）七年级数学上册

2.2 有理数的乘法与除法 模型1 求倒数 4 模型2 有理数的乘法 5 模型3 有理数乘法的运算律 7 模型4 有理数的除法 9 模型5 相反数、绝对值和倒数综合 10 模型6 有理数的乘除混合运算 12 模型7 有理数的加减乘除混合运算 14 模型归纳 1．有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积． 任何数与0相乘，都得0． 显然，两个有理数相乘，积是一个有理数． 2．倒数 乘积是1的两个数互为倒数． 3．有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即ab=ba． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，即（ab）c=a（bc）． （3）分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，即a（b+c）=ab+bc． 4．有理数乘法法则的推广 （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． （2）几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 5．有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即（b≠0）． （2）从有理数除法法则，容易得出：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． 6．有理数的乘除混合运算 （1）因为乘法与除法是同一级运算，应按从左到右的顺序运算． （2）结果的符号由算式中负因数的个数决定，负因数的个数是偶数时结果为正，负因数个数是奇数时结果为负． （3）化成乘法后，应先约分再相乘． （4）有理数的乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果． 7．有理数的加减乘除混合运算 先乘除，后加减，有括号的先计算括号里面的．同级运算中，按照从左到右的顺序计算，并能合理运用运算律简化运算． 方法归纳 1．倒数 ①0没有倒数； ②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置； ③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；（即求一个数的倒数，不改变这个数的符号） ④倒数等于它本身的数有两个，分别是1和–1，注意不包括0． 2．有理数的加、减、乘、除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则与小学所学的混合运算一样，按照“先乘除，后加减”的顺序进行． 3．乘法运算律的推广 （1）乘法交换律和乘法结合律可以推广到多个有理数相乘：三个或三个以上不为0的有理数相乘，任意交换乘数的位置，或者先把其中几个乘数相乘，积不变． （2）分配律也可以推广到一个不为0的有理数与多个有理数的和相乘，即a（b+c+…+m）=ab+ac+…+am．此外，对于某些算式，逆用分配律能使计算简便． 4．适当运用运算律，把能够凑整、便于约分的数结合在一起，进行简便计算． 模型1 求倒数 典例 （2024秋•呼兰区校级月考）的倒数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，由此解答即可． 【解答】解：的倒数为， 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．求倒数的方法： ①求分数的倒数：交换分子、分母的位置． ②求整数的倒数：整数分之1． ③求带分数的倒数：先化成假分数，再求倒数． ④求小数的倒数：先化成分数再求倒数． 2．1的倒数是它本身，因为11=1． 0没有倒数，因为任何数乘0积都是0，且0不能作分母． 3．任意数a（a≠0），它的倒数为． 4．真分数的倒数是假分数，真分数的倒数大于1，也大于它本身； 假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1． 【变式练1】　（2024•碑林区校级一模）的倒数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数． 【解答】解：，的倒数是，故正确； 故选：． 【变式练2】　（2024•山阳县二模）的倒数是　　 A．8 B． C． D． 【分析】直接根据倒数的定义求解． 【解答】解：的倒数为． 故选：． 【变式练3】　（2024•青山湖区校级开学）以下各组中的两个数互为倒数的是　　 A．和6 B．和 C．和 D．和0.5 【答案】 【分析】乘积是1的两数互为倒数，据此逐项判断即可． 【解答】解：，则符合题意； ，则不符合题意； ，则不符合题意； ，则不符合题意； 故选：． 模型2 有理数的乘法 典例 （2024•陕西模拟）计算的结果是　　 A． B． C． D．6 【答案】 【分析】直接利用有理数乘法法则即可求解． 【解答】解：． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 先根据有理数乘法的符号法则判断符号，再把绝对值相乘即可得到结果． 【变式练1】　（2024•兴县模拟）计算的结果为　　 A． B． C．2 D．8 【答案】 【分析】根据有理数的乘法的运算方法，求出的结果即可． 【解答】解：． 故选：． 【变式练2】　（2024•郸城县模拟）计算的结果是　　 A． B． C．3 D．4 【答案】 【分析】根据有理数的乘法法则计算即可． 【解答】解：， 故选：． 【变式练3】　（2024•河东区校级三模）计算的结果是　　 A．2 B． C． D．18 【答案】 【分析】根据两个数相乘法则：同号相乘得正，并把绝对值相乘，进行计算即可． 【解答】解：原式 ， 故选：． 模型3 有理数乘法的运算律 典例 （2024秋•船营区校级月考）用简便方法计算： 【分析】可以把看成，再利用乘法的分配律计算即可． 【解答】解： 原式 ． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 乘法交换律：有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等． 表达式：ab=ba． 乘法结合律：三个数相乘，先把其中的两个数相乘，积相等． 表达式：（ab）c=a（bc）． 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． 表达式：a（b+c）=ab+ac． 【变式练1】　（2023秋•蓬江区校级期中）用简便方法计算：． 【答案】． 【分析】根据有理数的乘法分配律进行解题即可． 【解答】解：原式 ． 【变式练2】　（2023秋•和平区校级月考）用简便方法计算： ①； ②． 【答案】①；②． 【分析】①利用乘法分配律计算即可； ②利用乘法分配律计算即可． 【解答】解：①原式 ． ②原式 ． 【变式练3】　（2023秋•邹城市校级月考）计算： 【分析】把括号中的每一项分别同相乘，再把结果相加减即可． 【解答】解：原式 ． 模型4 有理数的除法 典例 （2024秋•太康县校级月考）与的计算结果相同的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先求出的值，然后再求各项的值即可解答． 【解答】解：， ．，不符合题意； ．，不符合题意； ．，不符合题意； ．，符合题意． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．除以一个数等于乘以这个数的倒数． （其中） 2．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 3．0除以任何一个不等于0的数，都得0． 【变式练1】　（2024•洪洞县二模）计算的结果是　　 A．12 B． C． D． 【答案】 【分析】根据有理数的运算法则进行计算即可得出答案． 【解答】解：原式． 故选：． 【变式练2】　（2024•瑞安市校级模拟）计算的结果是　　 A．3 B． C． D． 【答案】 【分析】根据有理数的除法法则：“两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除”即可知答案． 【解答】解：原式， 故选：． 【变式练3】　（2024•沁水县二模）计算的结果是　　 A．12 B．3 C． D． 【答案】 【分析】根据有理数的除法法则进行解题即可． 【解答】解：原式 ． 故选：． 模型5 相反数、绝对值和倒数综合 典例 （2024•高州市校级开学）的倒数的相反数是　　． 【答案】． 【分析】根据相反数、倒数的定义解答即可求得答案． 【解答】解：的倒数是， 的相反数是， 则的倒数的相反数是． 故答案为：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ （1）若a与b互为相反数，则a+b=0，且|a|=|b|； （2）绝对值是同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数； （3）若几个数的绝对值之和为0．则这个和式中的每个数都为0，即若，则a=b=…=m=0． 【变式练1】　（2024春•杨浦区期末）若一个数的相反数是，则这个数的倒数是 　　． 【答案】 【分析】根据相反数、倒数的定义解答即可求得答案． 【解答】解：设这个数是， 根据题意得，， 解得，， 则这个数是， 的倒数是． 故答案为：． 【变式练2】　（2023秋•秦都区期末）的倒数是，比大2，的绝对值等于，求的值． 【答案】． 【分析】根据倒数的定义求得，再求得，然后根据绝对值的意义求解即可． 【解答】解：的倒数是， ， 比大2， ， ， 的绝对值等于， ， ． 【变式练3】　（2023秋•东莞市校级月考）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2． （1）直接写出，，的值； （2）求的值． 【分析】（1）根据互为相反数的和为0，互为倒数的积为1，绝对值的意义，即可解答； （2）分两种情况讨论，即可解答． 【解答】解：（1）、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2， ，，． （2）当时，； 当时，． 模型6 有理数的乘除混合运算 典例 （2024秋•铁东区校级月考）计算：． 【答案】． 【分析】根据有理数的乘除混合运算法则，先算除，再算乘求解即可． 【解答】解： ． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．有理数的乘除混合运算顺序： 按照从左到右的顺序计算，有括号的先计算括号里面的． 2．有理数的乘除混合运算 有理数的乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则确定积的符号，最后求出结果． 【变式练1】　（2024春•杨浦区期中）计算：． 【分析】根据有理数的乘除法法则进行计算． 【解答】解：原式 ． 【变式练2】　（2024秋•迎泽区校级月考）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）10． 【分析】（1）根据有理数乘除混合计算法则求解即可； （2）根据有理数除法计算法则求解即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式练3】　（2023秋•通州区校级月考）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）﹣9． 【分析】（1）利用乘法法则及乘法运算律进行计算即可； （2）先将除法变成乘法，再进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝； （2）原式＝． 模型7 有理数的加减乘除混合运算 典例 （2024秋•前郭县月考）计算： 【分析】根据有理数的乘法和加减法可以解答本题． 【解答】解： ． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 先乘除，后加减，有括号的先计算括号里面的．同级运算中，按照从左到右的顺序计算，并能合理运用运算律，简化运算． 混合运算有顺序， 同级运算左至右； 先算乘除后加减， 转化思想时时用； 若有括号它优先， 先算括号里面的． 【变式练1】　（2024秋•武昌区校级月考）简便计算． （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）； （2）； （3）0． 【分析】（1）利用加法的交换律和结合律计算即可； （2）先把除法转化为乘法，再利用乘法的分配律计算； （3）逆用乘法分配律计算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） ． 【变式练2】　（2024秋•乐陵市校级月考）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）3； （2）12； （3）24； （4）11； （5）30； （6）30． 【分析】（1）原式利用减法法则计算即可得到结果； （2）原式利用加减法则计算即可得到结果； （3）原式利用乘法法则计算即可得到结果； （4）原式利用乘法分配律计算即可求出值； （5）原式先算乘除法运算，再算加减运算即可得到结果； （6）原式先算乘法运算，再算加法运算即可得到结果． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ； （6）原式 ． 【变式练3】　（2024秋•惠济区校级月考）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）29； （3）； （4）． 【分析】（1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解即可； （3）先计算乘除法，再计算加减法即可； （4）根据有理数的加减计算法则求解即可． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 第1页（共18页） 学科网（北京）股份有限公司 $$