九年级数学第三次月考卷（浙教版九上全册+九下第1章)-学易金卷：2024-2025学年初中上学期第三次月考

2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版九年级上册全册+下册第1章，其中二次函数20%，概率11.7%，圆32.5%，相似17.5%，解三角形18.3%。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知的半径为cm，cm，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在圆外 B．点P在圆上 C．点P在圆内 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵的半径为，， ∴， ∴点在圆内， 故选：C． 2．一个转盘白色扇形和红色扇形的圆心角分别为和，让转盘自由转动2次，一次落在白色，一次落在红色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：白色区域用A表示，红色区域分别用和，如图， 画树状图如下： 一共有9种等可能的结果，而转盘自由转动2次，一次落在白色，一次落在红色区域的结果数有4种， ∴让转盘自由转动2次，一次落在白色，一次落在红色区域的概率是， 故选：D． 3．将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位后经过．则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：把点先向右平移个单位，再向下平移个单位后所得对应点的坐标为， 把代入， 得：， 解得：． 故选：C． 4．如图，在中，，与四边形的面积的比是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．如图，在扇形中，点D在上，点C在上，．若，则的半径为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点作与，连接交与点，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的中点， ∴， 又∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 即的半径为， 故选：C． 6．中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约为，则的长约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接与交于点， ∵为正六边形， ， ∴为等边三角形， ， ∵正六边形的周长约为， ， ， 故选：A． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，，以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，将的横纵坐标先缩小为原来的为，再变为相反数得． 故选：D． 8．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么sin的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 9．如图，是的直径，，是的弦，连接，，．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：是直径， ， ， ， ， ∴的长π． 故选：A 10．如图，是的直径，为半径，过点作交于点，连接，，，连接交于点，交于点，若图中阴影部分分别用和表示，则下列结论：①；②若为中点，则；③作交于点，则；④若，则；其中正确的个数为（   ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：①， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故①正确； ②，为中点，， ，， ， 故②正确； ③为圆直径， ， ， ， 由①知，， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， ， 故③正确； ④连接，    ， ， ， ， ， ， ， 故④错误； 综上所述，正确的是①②③，共三个． 故选：B． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知线段，，则的比例中项是 ． 【答案】4 【详解】解：设线段 m，n 的比例中项为 x， ∵x是长度分别为2、8的两条线段的比例中项， ∴， 即， ∴（负数舍去）． 故答案为：4． 12．在中，，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，、是的直径，弦，交于点，，则 ． 【答案】 【详解】解：弦，且， ， 所对的圆周角是，圆心角是， ， ， ， 故答案为：． 14．如图是一个学生自制的七巧板飞镖游戏盘，若向游戏盘内投掷飞镖，投掷在阴影区域的概率是 ． 【答案】 【详解】解：如图：作辅助线可将正方形分成16等份，其中阴影部分占6份，则投掷在阴影区域的概率是． 故答案为：． 15．某种商品的商标图案如图（图中的阴影部分），已知的直径，且 ，弧是以D为圆心，为半径的弧，则商标图案的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵，是的直径， ∴， ∵弧是以D为圆心，为半径的弧， ∴， ∴商标图案的面积为：（） 故答案为： 16．如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，是坐标原点．为线段上一点，连接，若，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：过点作轴于点，则， 把代入得，， 解得，， ∴，， ∴，， 把代入得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（本题满分8分）计算： (1) (2)． 【详解】（1）解： ；……………………………………4分 （2）解： ．……………………………………8分 18．（本题满分8分）有4张背面完全相同的卡片，其正面分别标有数字，0，1，2，将卡片的背面朝上，洗匀后，从中任意抽出1张，将卡片上的数字记录下来，放回洗匀后再从中任意抽出1张，同样将卡片上的数字记录下来． (1)求第一次抽出的卡片上数字是正数的概率； (2)小明、小亮做游戏，规则如下：若两次抽出的卡片上的数字的乘积为正数，则小明胜；若两次抽出的卡片上的数字的乘积为负数，则小亮胜．这个游戏规则对小明、小亮公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由． 【详解】（1）解：第一次抽取卡片共有4种等可能的结果，其中卡片上数字是正数的结果有2种， ∴第一次抽取的卡片上数字是正数的概率是；……………………………………2分 （2）解：列表如下： 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 4 ……………………………………5分 由表可知，共有16种等可能结果，其中结果为负数的有4种结果，结果为正数的有5种结果， 所以小亮获胜的概率，小明获胜的概率，……………………………………7分 ∴此游戏不公平．……………………………………8分 19．（本题满分8分）如图，某景区为方便游客上下山，现在从甲山处的位置向乙山处拉一段缆绳．已知甲山上点到的垂直高度米；从处往处看的仰角为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为．（、、、在同一平面内，参考值：，，，） (1)求乙山处到河边的垂直距离（结果保留根号）； (2)求甲山与乙山所拉缆绳的长度（结果保留整数）． 【详解】（1）如图，过点B作，垂足为E， ∵从处往处看的仰角为， ∴， ∴设米，则米， 在中，（米）， ∵米， ∴， ∴米， ∴乙山B处到河边的垂直距离为米；……………………………………4分 （2）如图，过点A作，垂足为F， 由题意得：米，， ∴， ∵米， ∴（米），……………………………………7分 在中，（米）， ∴甲山与乙山所拉缆绳的长度约为米．……………………………………8分 20．（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为． (1)画出旋转后的图形，并写出点的坐标； (2)求线段的长． 【详解】（1）解：∵，绕点O顺时针旋转， ∴，，连接，得到， 即为所求，如图1所示， 此时； ……………………………………4分 （2）解：连接，如图2，． ……………………………………8分 21．（本题满分8分）如图，点在轴的正半轴上，且，点在轴的正半轴上，且，直线与抛物线在第一象限内相交于点，连接，已知． (1)求的值； (2)若将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，恰好经过点，试确定的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为，……………………………………2分 ∵二次函数与直线在第一象限交于点， ∴设，则点到轴的距离为， ∵，即， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 解得，；……………………………………4分 （2）解：由（1）可得二次函数的解析式为， ∴经过平移后的解析式为， ∵平移后的图象经过点， ∴， 解得，．……………………………………8分 22．（本题满分10分）如图，是的直径，弦与点，已知，点为线段上任意一点，（点不与、重合），连接并延长与交于点，连接、、． (1)求的长； (2)与满足什么关系？并说明理由； (3)若，求的值． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴， ∴；……………………………………3分 （2）解：，理由如下： 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵是的直径，， ∴，即是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴；……………………………………6分 （3）解：如图所示，过点O作，连接， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴同理可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴．……………………………………10分 23．（本题满分10分）根据背景素材，探索解决实际问题 乒乓球发球机的运动路线 素材一 如图1所示，乒乓球台规格是矩形，长为米，宽为米，球网高度为米某品牌．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O处的正上方米处P．       素材二 如图2所示，假设每次发出的乒乓球都落在中线上，且球的运动路线是一条抛物线，且形状固定不变，在与P水平距离为1m的Q点正上方达到最高点，此时与桌面的高度为．并且乒乓球落在桌面的点M处，以O为原点，桌面中线所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 　         素材三 如图3所示，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与O点的水平距离为3米的位置达到最高点，设球达到最高时距离桌面的高度为h米． 问题解决 任务一 研究乒乓球飞行轨迹及落点 （1）求出发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动的抛物线关系式，并求出点M与O的水平距离． 任务二 击球点的确定 （2）当时，运动员小亮想把球沿直线擦网击打到O点，他能不能实现，若能实现，请求出击球点位置的高度，若不能实现，请说明理由． 任务三 运动员移动的距离 （3）当时，运动员小亮的球拍A离点O的水平距离为，位于桌面上方，离桌面，且运动员挥拍的过程中，球拍的击打路线近似于一条直线，球拍与桌面的夹角为，如图3所示．当球飞行的高度在至时，小亮可以获得最佳击球效果．小亮想要成功击中乒乓球，球拍需要先向前平移，设球拍向前平移的距离为n，则n的取值范围为 ； 【详解】解：任务一：由题意可知：抛物线的顶点坐标为： 设抛物线的解析式为， 将代入可得，解得：， 所以抛物线的解析式为，……………………………………2分 当时，，解得：（舍弃负值）， 所以，点M与O的水平距离为；……………………………………3分 任务二：不能实现，理由如下： 设球弹起的抛物线轨迹为， 将代入可得：，解得：， 所以，……………………………………4分 由题意可得：球网上方点的坐标为， 设的解析式为，则，解得：， 所以的解析式为， 由，整理得：， 所以，即方程无解， 所以不能实现；……………………………………6分 任务三，如图：依题意可得，，第二个抛物线的顶点坐标为， 设反弹的抛物线的解析式为：， ∴，解得：， ∴，……………………………………8分 令，解得：或； 故击球点的横坐标的取值范围为：， ∴，， ∴．……………………………………10分 24．（本题满分12分）【问题情境】（1）如图1，正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，，易证（不需写出证明过程），此时的值是______； 【问题解决】（2）如图2，矩形中，，，E、F别是边和对角线上的点，，，①求证：；②求的长； 【变式探究】（3）如图3，菱形中，，对角线，交的延长线于点H，E、F分别是线段和上的点，，，求的长． 【详解】（1）解：∵为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；……………………………………3分 （2）①证明：如图，连接，交于点O， ∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴；……………………………………5分 ②由①得， ∴， ∵， ∴， ∴；……………………………………7分 （3）解：如图，连接，交于点O， ∵四边形为菱形，，， ∴，，，，， ∴，， ∴；……………………………………9分 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴．……………………………………12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级上学期第三次月考卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.（3分）________________ 12.（3分）________________ 13.（3分）________________ 14.（3分）________________ 15.（3分）________________ 16.（3分）________________ 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版九年级上册全册+下册第1章，其中二次函数20%，概率11.7%，圆32.5%，相似17.5%，解三角形18.3%。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知的半径为cm，cm，则点P与的位置关系是（ ） A．点P在圆外 B．点P在圆上 C．点P在圆内 D．无法确定 2．一个转盘白色扇形和红色扇形的圆心角分别为和，让转盘自由转动2次，一次落在白色，一次落在红色区域的概率是（ ） A． B． C． D． 3．将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位后经过则的值是（ ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，与四边形的面积的比是（ ）    A． B． C． D． 5．如图，在扇形中，点D在上，点C在上，．若，则的半径为（ ） A． B． C． D． 6．中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约为 mm，则的长约为（ ） A． mm B． mm C． mm D． mm 7．如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，，以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A． B． C． D． 8．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么sin的值为（ ） A． B． C． D． 9．如图，是的直径，，是的弦，连接，，．若，则的长为（ ） A． B． C． D． 10．如图，是的直径，为半径，过点作交于点，连接，，，连接交于点，交于点，若图中阴影部分分别用和表示，则下列结论：①；②若为中点，则；③作交于点，则；④若，则；其中正确的个数为（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知线段，，则的比例中项是 ． 12．在Rt中，，则的值为 ． 13．如图，、是的直径，弦AEBD，交于点，，则 ． 14．如图是一个学生自制的七巧板飞镖游戏盘，若向游戏盘内投掷飞镖，投掷在阴影区域的概率是 ． 15．某种商品的商标图案如图（图中的阴影部分），已知的直径，且 ，弧是以D为圆心，为半径的弧，则商标图案的面积为 ． 16．如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，是坐标原点．为线段上一点，连接，若，则点的坐标为 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（本题满分8分）计算： (1)； (2)． 18．（本题满分8分）有4张背面完全相同的卡片，其正面分别标有数字，0，1，2，将卡片的背面朝上，洗匀后，从中任意抽出1张，将卡片上的数字记录下来，放回洗匀后再从中任意抽出1张，同样将卡片上的数字记录下来． (1)求第一次抽出的卡片上数字是正数的概率； (2)小明、小亮做游戏，规则如下：若两次抽出的卡片上的数字的乘积为正数，则小明胜；若两次抽出的卡片上的数字的乘积为负数，则小亮胜．这个游戏规则对小明、小亮公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由． 19．（本题满分8分）如图，某景区为方便游客上下山，现在从甲山处的位置向乙山处拉一段缆绳．已知甲山上点到的垂直高度米；从处往处看的仰角为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为．（、、、在同一平面内，参考值：，，，） (1)求乙山处到河边的垂直距离（结果保留根号）； (2)求甲山与乙山所拉缆绳的长度（结果保留整数）． 20．（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为． (1)画出旋转后的图形，并写出点的坐标； (2)求线段的长． 21．（本题满分8分）如图，点在轴的正半轴上，且，点在轴的正半轴上，且，直线与抛物线在第一象限内相交于点，连接，已知． (1)求的值； (2)若将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，恰好经过点，试确定的值． 22．（本题满分10分）如图，是的直径，弦与点，已知，点为线段上任意一点，（点不与、重合），连接并延长与交于点，连接、、． (1)求的长； (2)与满足什么关系？并说明理由； (3)若，求的值． 23．（本题满分10分）根据背景素材，探索解决实际问题 乒乓球发球机的运动路线 素材一 如图1所示，乒乓球台规格是矩形，长为米，宽为米，球网高度为米某品牌．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O处的正上方米处P． 素材二 如图2所示，假设每次发出的乒乓球都落在中线上，且球的运动路线是一条抛物线，且形状固定不变，在与P水平距离为1m的Q点正上方达到最高点，此时与桌面的高度为m．并且乒乓球落在桌面的点M处，以O为原点，桌面中线所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 素材三 如图3所示，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与O点的水平距离为3米的位置达到最高点，设球达到最高时距离桌面的高度为h米． 问题解决 任务一 研究乒乓球飞行轨迹及落点 （1）求出发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动的抛物线关系式，并求出点M与O的水平距离． 任务二 击球点的确定 （2）当时，运动员小亮想把球沿直线擦网击打到O点，他能不能实现，若能实现，请求出击球点位置的高度，若不能实现，请说明理由． 任务三 运动员移动的距离 （3）当时，运动员小亮的球拍A离点O的水平距离为m，位于桌面上方，离桌面m，且运动员挥拍的过程中，球拍的击打路线近似于一条直线，球拍与桌面的夹角为，如图3所示．当球飞行的高度在至时，小亮可以获得最佳击球效果．小亮想要成功击中乒乓球，球拍需要先向前平移，设球拍向前平移的距离为n，则n的取值范围为 ； 24．（本题满分12分）【问题情境】（1）如图1，正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，，易证（不需写出证明过程），此时的值是______； 【问题解决】（2）如图2，矩形中，，，E、F别是边和对角线上的点，，，①求证：；②求的长； 【变式探究】（3）如图3，菱形中，，对角线，交的延长线于点H，E、F分别是线段和上的点，，，求的长． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年九年级上学期第三次月考卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11.（3 分）________________ 12.（3 分）________________ 13.（3 分）________________ 14.（3 分）________________ 15.（3 分）________________ 16.（3 分）________________ 三、解答题（共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8 分） 19．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8 分） 21．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 试题 第 1 页（共 6 页） 试题 第 2 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版九年级上册全册+下册第 1 章，其中二次函数 20%，概率 11.7%，圆 32.5%，相 似 17.5%，解三角形 18.3%。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知⊙𝑂的半径为5cm，𝑃𝑂 = 3cm，则点 P与⊙𝑂的位置关系是（ ） A．点 P在圆外 B．点 P在圆上 C．点 P在圆内 D．无法确定 2．一个转盘白色扇形和红色扇形的圆心角分别为120°和240°，让转盘自由转动 2 次，一次落在白色，一 次落在红色区域的概率是（ ） A． B． C． D． 3．将抛物线𝑦 = (𝑚 − 1)𝑥 + 𝑚𝑥 +𝑚 + 3向左平移2个单位，再向上平移3个单位后经过(−2,3)，则𝑚的值 是（ ） A．−1 B．2 C．−3 D．0 4．如图，在△ 𝐴𝐵𝐶中， = = ，△ 𝐶𝐷𝐸与四边形𝐴𝐵𝐸𝐷的面积的比是（ ） A． B． C． D． 5．如图，在扇形𝑂𝐴𝐵中，点 D在𝑂𝐴上，点 C在𝐴𝐵⌢上，∠𝐴𝑂𝐵 = ∠𝐵𝐶𝐷 = 90°．若𝐶𝐷 = 3，𝐵𝐶 = 4，则⊙𝑂 的半径为（ ） A．4 B．4.8 C．2√5 D．3√2 6．中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图 1 是 2024 年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中 间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图 2 所示，已知该正六边 形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹的周长约为18√5 mm，则𝐴𝐷的长约为（ ） A．6√5 mm B．5√3 mm C．12√5 mm D．18√3 mm 7．如图，在平面直角坐标系中，已知点𝐴，𝐵的坐标分别为(−3,1)，(−1,4)，以点𝑂为位似中心，在原点的 另一侧按2: 1的相似比将△𝑂𝐴𝐵缩小，则点𝐴的对应点𝐴 的坐标是（ ） A．(−3,1) B． − , C．(3,−1) D． , − 8．在边长相等的小正方形组成的网格中，点𝐴，𝐵，𝐶都在格点上，那么 sin∠𝐴𝐶𝐵的值为（ ） A．√ B．√ C． √ D． 9．如图，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，𝐴𝐵 = 6，𝐶𝐷是⊙𝑂的弦，连接𝐴𝐶，𝐵𝐶，𝑂𝐷．若∠𝐴𝐶𝐷 = 2∠𝐵𝐶𝐷，则BD的 长为（ ） A．𝜋 B． C． D． 10．如图，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，𝑂𝐶为半径，过𝐴点作𝐴𝐷∥𝑂𝐶交⊙𝑂于点𝐷，连接𝐴𝐶，𝐵𝐶，𝐶𝐷，连接𝐵𝐷交𝑂𝐶 于点𝐸，交𝐴𝐶于点𝐹，若图中阴影部分分别用𝑆 和𝑆 表示，则下列结论：①∠𝐶𝐴𝐷 +∠𝑂𝐵𝐶 = 90°；②若 𝐹为𝐴𝐶中点，则𝐶𝐸 = 2𝑂𝐸；③作𝐷𝑃 ∥ 𝐵𝐶交𝐴𝐵于点𝑃，则𝐵𝐶 = 𝑂𝐵 ⋅ 𝐵𝑃；④若𝑆 : 𝑆 = ，则∠𝐴𝐶𝑂 = 30°； 试题 第 3 页（共 6 页） 试题 第 4 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 其中正确的个数为（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。 11．已知线段𝑚 = 2，𝑛 = 8，则𝑚, 𝑛的比例中项是 ． 12．在 Rt△ 𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶 = 90°，𝐴𝐵 = 13，𝐴𝐶 = 5，则sin𝐴的值为 ． 13．如图，𝐵𝐷、𝐶𝐸是⊙𝑂的直径，弦 AE∥BD，𝐴𝐷交𝐶𝐸于点𝐹，∠𝐴 = 25°，则∠𝐴𝐹𝐶 = ． 14．如图是一个学生自制的七巧板飞镖游戏盘，若向游戏盘内投掷飞镖，投掷在阴影区域的概率是 ． 15．某种商品的商标图案如图（图中的阴影部分），已知⊙𝑂的直径𝐴𝐵 ⊥ 𝐶𝐷，且𝐴𝐵 = 8 cm，弧𝐴𝐵是以 D为圆心，𝐷𝐴为半径的弧，则商标图案的面积为 ． 16．如图，已知抛物线𝑦 = 𝑥 − 2𝑥 − 3与𝑥轴交于𝐴，𝐵两点，与𝑦轴交于点𝐶，𝑂是坐标原点．𝑃为线段𝐵𝐶上 一点，连接𝐴𝐶，𝐴𝑃，若∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝑃𝐴𝐵，则点𝑃的坐标为 ． 三、解答题：本题共 8 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（本题满分 8 分）计算： (1)2sin30° + 4cos30° ⋅ tan60° − cos 45°； (2)(−2) − 3tan30° + |tan60° − 2|． 18．（本题满分 8 分）有 4 张背面完全相同的卡片，其正面分别标有数字−1，0，1，2，将卡片的背面朝 上，洗匀后，从中任意抽出 1 张，将卡片上的数字记录下来，放回洗匀后再从中任意抽出 1 张，同样将 卡片上的数字记录下来． (1)求第一次抽出的卡片上数字是正数的概率； (2)小明、小亮做游戏，规则如下：若两次抽出的卡片上的数字的乘积为正数，则小明胜；若两次抽出 的卡片上的数字的乘积为负数，则小亮胜．这个游戏规则对小明、小亮公平吗？请用画树状图或列表的 方法说明理由． 19．（本题满分 8 分）如图，某景区为方便游客上下山，现在从甲山𝐴处的位置向乙山𝐵处拉一段缆绳．已 知甲山上𝐴点到𝐶𝐷的垂直高度𝐴𝐶 = 100米；从𝐷处往𝐵处看的仰角为60°，乙山上𝐵点到河边𝐷的距离 𝐵𝐷 = 500米，从𝐵处看𝐴处的俯角为25°．（𝐴、𝐵、𝐶、𝐷在同一平面内，参考值：sin25° ≈ 0.4，cos25° ≈ 0.9， tan25° ≈ 0.4，√3 ≈ 1.7） (1)求乙山𝐵处到河边𝐶𝐷的垂直距离（结果保留根号）； (2)求甲山与乙山所拉缆绳𝐴𝐵的长度（结果保留整数）． 20．（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，△𝑂𝐴𝐵的顶点坐标分别为𝑂(0,0)，𝐴(5,0)，𝐵(4,−3)．将 △𝑂𝐴𝐵绕点 O顺时针旋转90°得到△𝑂𝐴 𝐵 ，点 A旋转后的对应点为𝐴 ． (1)画出旋转后的图形△𝑂𝐴 𝐵 ，并写出点𝐴 的坐标； (2)求线段𝐵𝐵 的长． 21．（本题满分 8 分）如图，点𝐴在𝑥轴的正半轴上，且𝑂𝐴 = 4，点𝐵在𝑦轴的正半轴上，且𝑂𝐵 = 6，直线𝐴𝐵 与抛物线𝑦 = 𝑎𝑥 − 1在第一象限内相交于点𝑃，连接𝑂𝑃，已知𝑆△ = 6． 试题 第 5 页（共 6 页） 试题 第 6 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ (1)求𝑎的值； (2)若将抛物线𝑦 = 𝑎𝑥 − 1先向右平移2个单位，再向下平移𝑡(𝑡 > 0)个单位，恰好经过点𝐴，试确定𝑡的 值． 22．（本题满分 10 分）如图，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，弦𝐶𝐷 ⊥ 𝐴𝐵与点𝐸，已知𝐴𝐵 = 10,𝐴𝐸 = 8，点𝑃为线段𝐴𝐸上 任意一点，（点𝑃不与𝐴、𝐸重合），连接𝐶𝑃并延长与⊙𝑂交于点𝑄，连接𝑄𝐷、𝑃𝐷、𝐴𝐷． (1)求𝐶𝐷的长； (2)∠𝐴𝐷𝑃与∠𝐴𝐷𝑄满足什么关系？并说明理由； (3)若∠𝑃𝐶𝐸 = 45°，求𝐶𝑃 + 𝑃𝑄 的值． 23．（本题满分 10 分）根据背景素材，探索解决实际问题 乒乓球发球机的运动路线 素 材 一 如图 1 所示，乒乓球台规格是矩形，长为2.8米，宽为1.5 米，球网高度为0.14米某品牌．乒乓球发球机的出球口 在桌面中线端点 O处的正上方0.25米处 P． 素 材 二 如图 2 所示，假设每次发出的乒乓球都落在中线上， 且球的运动路线是一条抛物线，且形状固定不变，在 与 P水平距离为 1m 的 Q点正上方达到最高点，此时 与桌面的高度为0.45m．并且乒乓球落在桌面的点 M 处，以 O为原点，桌面中线所在直线为𝑥轴，建立平面 直角坐标系． 素 材 三 如图 3 所示，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与 O点 的水平距离为 3 米的位置达到最高点，设球达到最高 时距离桌面的高度为 h米． 问题解决 任 务 一 研究乒乓球飞行轨迹及落点 （1）求出发球机发球后到落在桌面前， 乒乓球运动的抛物线关系式，并求出点 M与 O的水平距离． 任 务 二 击球点的确定 （2）当ℎ = 0.2时，运动员小亮想把球 沿直线擦网击打到 O点，他能不能实 现，若能实现，请求出击球点位置的高 度，若不能实现，请说明理由． 任 务 三 运动员移动的距离 （3）当ℎ = 时，运动员小亮的球拍 A 离点 O的水平距离为3.8m，位于桌面 上方，离桌面0.2m，且运动员挥拍的过 程中，球拍的击打路线𝐴𝐵近似于一条 直线，球拍与桌面的夹角为45°，如图 3 所示．当球飞行的高度在 至 时，小 亮可以获得最佳击球效果．小亮想要成 功击中乒乓球，球拍需要先向前平移， 设球拍向前平移的距离为 n，则 n的取 值范围为 ； 24．（本题满分 12 分）【问题情境】（1）如图 1，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，E、F分别是边𝐴𝐵和对角线𝐴𝐶上的点， ∠𝐸𝐷𝐹 = 45°，易证△𝐷𝐵𝐸 ∽△𝐷𝐶𝐹（不需写出证明过程），此时 的值是______； 【问题解决】（2）如图 2，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐶𝐷 = 6，𝐵𝐶 = 8，E、F别是边𝐴𝐵和对角线𝐴𝐶上的点，tan∠𝐸𝐷𝐹 = ， 𝐵𝐸 = 5，①求证：△𝐷𝐵𝐸 ∽△𝐷𝐶𝐹；②求𝐶𝐹的长； 【变式探究】（3）如图 3，菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐶 = 5，对角线𝐴𝐶 = 6，𝐵𝐻 ⊥ 𝐴𝐷交𝐷𝐴的延长线于点 H，E、 F分别是线段𝐻𝐵和𝐴𝐶上的点，tan∠𝐸𝐷𝐹 = ，𝐻𝐸 = ，求𝐶𝐹的长． 2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D C D C A D C A B 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．4 12． 13． 14． 15． 16． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（本题满分8分） 【详解】（1）解： ；……………………………………4分 （2）解： ．……………………………………8分 18．（本题满分8分） 【详解】（1）解：第一次抽取卡片共有4种等可能的结果，其中卡片上数字是正数的结果有2种， ∴第一次抽取的卡片上数字是正数的概率是；……………………………………2分 （2）解：列表如下： 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 4 ……………………………………5分 由表可知，共有16种等可能结果，其中结果为负数的有4种结果，结果为正数的有5种结果， 所以小亮获胜的概率，小明获胜的概率，……………………………………7分 ∴此游戏不公平．……………………………………8分 19．（本题满分8分） 【详解】（1）如图，过点B作，垂足为E， ∵从处往处看的仰角为， ∴， ∴设米，则米， 在中，（米）， ∵米， ∴， ∴米， ∴乙山B处到河边的垂直距离为米；……………………………………4分 （2）如图，过点A作，垂足为F， 由题意得：米，， ∴， ∵米， ∴（米），……………………………………7分 在中，（米）， ∴甲山与乙山所拉缆绳的长度约为米．……………………………………8分 20．（本题满分8分） 【详解】（1）解：∵，绕点O顺时针旋转， ∴，，连接，得到， 即为所求，如图1所示， 此时； ……………………………………4分 （2）解：连接，如图2，． ……………………………………8分 21．（本题满分8分） 【详解】（1）解：∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为，……………………………………2分 ∵二次函数与直线在第一象限交于点， ∴设，则点到轴的距离为， ∵，即， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 解得，；……………………………………4分 （2）解：由（1）可得二次函数的解析式为， ∴经过平移后的解析式为， ∵平移后的图象经过点， ∴， 解得，．……………………………………8分 22．（本题满分10分） 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴， ∴；……………………………………3分 （2）解：，理由如下： 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵是的直径，， ∴，即是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴；……………………………………6分 （3）解：如图所示，过点O作，连接， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴同理可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴．……………………………………10分 23．（本题满分10分） 【详解】解：任务一：由题意可知：抛物线的顶点坐标为： 设抛物线的解析式为， 将代入可得，解得：， 所以抛物线的解析式为，……………………………………2分 当时，，解得：（舍弃负值）， 所以，点M与O的水平距离为；……………………………………3分 任务二：不能实现，理由如下： 设球弹起的抛物线轨迹为， 将代入可得：，解得：， 所以，……………………………………4分 由题意可得：球网上方点的坐标为， 设的解析式为，则，解得：， 所以的解析式为， 由，整理得：， 所以，即方程无解， 所以不能实现；……………………………………6分 任务三，如图：依题意可得，，第二个抛物线的顶点坐标为， 设反弹的抛物线的解析式为：， ∴，解得：， ∴，……………………………………8分 令，解得：或； 故击球点的横坐标的取值范围为：， ∴，， ∴．……………………………………10分 24．（本题满分12分） 【详解】（1）解：∵为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；……………………………………3分 （2）①证明：如图，连接，交于点O， ∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴；……………………………………5分 ②由①得， ∴， ∵， ∴， ∴；……………………………………7分 （3）解：如图，连接，交于点O， ∵四边形为菱形，，， ∴，，，，， ∴，， ∴；……………………………………9分 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴．……………………………………12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版九年级上册全册+下册第1章，其中二次函数20%，概率11.7%，圆32.5%，相似17.5%，解三角形18.3%。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知的半径为cm，cm，则点P与的位置关系是（ ） A．点P在圆外 B．点P在圆上 C．点P在圆内 D．无法确定 2．一个转盘白色扇形和红色扇形的圆心角分别为和，让转盘自由转动2次，一次落在白色，一次落在红色区域的概率是（ ） A． B． C． D． 3．将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位后经过则的值是（ ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，与四边形的面积的比是（ ）    A． B． C． D． 5．如图，在扇形中，点D在上，点C在上，．若，则的半径为（ ） A． B． C． D． 6．中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约为 mm，则的长约为（ ） A． mm B． mm C． mm D． mm 7．如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，，以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A． B． C． D． 8．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么sin的值为（ ） A． B． C． D． 9．如图，是的直径，，是的弦，连接，，．若，则的长为（ ） A． B． C． D． 10．如图，是的直径，为半径，过点作交于点，连接，，，连接交于点，交于点，若图中阴影部分分别用和表示，则下列结论：①；②若为中点，则；③作交于点，则；④若，则；其中正确的个数为（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知线段，，则的比例中项是 ． 12．在Rt中，，则的值为 ． 13．如图，、是的直径，弦，交于点，，则 ． 14．如图是一个学生自制的七巧板飞镖游戏盘，若向游戏盘内投掷飞镖，投掷在阴影区域的概率是 ． 15．某种商品的商标图案如图（图中的阴影部分），已知的直径，且 ，弧是以D为圆心，为半径的弧，则商标图案的面积为 ． 16．如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，是坐标原点．为线段上一点，连接，若，则点的坐标为 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（本题满分8分）计算： (1)； (2)． 18．（本题满分8分）有4张背面完全相同的卡片，其正面分别标有数字，0，1，2，将卡片的背面朝上，洗匀后，从中任意抽出1张，将卡片上的数字记录下来，放回洗匀后再从中任意抽出1张，同样将卡片上的数字记录下来． (1)求第一次抽出的卡片上数字是正数的概率； (2)小明、小亮做游戏，规则如下：若两次抽出的卡片上的数字的乘积为正数，则小明胜；若两次抽出的卡片上的数字的乘积为负数，则小亮胜．这个游戏规则对小明、小亮公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由． 19．（本题满分8分）如图，某景区为方便游客上下山，现在从甲山处的位置向乙山处拉一段缆绳．已知甲山上点到的垂直高度米；从处往处看的仰角为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为．（、、、在同一平面内，参考值：，，，） (1)求乙山处到河边的垂直距离（结果保留根号）； (2)求甲山与乙山所拉缆绳的长度（结果保留整数）． 20．（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为． (1)画出旋转后的图形，并写出点的坐标； (2)求线段的长． 21．（本题满分8分）如图，点在轴的正半轴上，且，点在轴的正半轴上，且，直线与抛物线在第一象限内相交于点，连接，已知． (1)求的值； (2)若将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，恰好经过点，试确定的值． 22．（本题满分10分）如图，是的直径，弦与点，已知，点为线段上任意一点，（点不与、重合），连接并延长与交于点，连接、、． (1)求的长； (2)与满足什么关系？并说明理由； (3)若，求的值． 23．（本题满分10分）根据背景素材，探索解决实际问题 乒乓球发球机的运动路线 素材一 如图1所示，乒乓球台规格是矩形，长为米，宽为米，球网高度为米某品牌．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O处的正上方米处P． 素材二 如图2所示，假设每次发出的乒乓球都落在中线上，且球的运动路线是一条抛物线，且形状固定不变，在与P水平距离为1m的Q点正上方达到最高点，此时与桌面的高度为m．并且乒乓球落在桌面的点M处，以O为原点，桌面中线所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 素材三 如图3所示，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与O点的水平距离为3米的位置达到最高点，设球达到最高时距离桌面的高度为h米． 问题解决 任务一 研究乒乓球飞行轨迹及落点 （1）求出发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动的抛物线关系式，并求出点M与O的水平距离． 任务二 击球点的确定 （2）当时，运动员小亮想把球沿直线擦网击打到O点，他能不能实现，若能实现，请求出击球点位置的高度，若不能实现，请说明理由． 任务三 运动员移动的距离 （3）当时，运动员小亮的球拍A离点O的水平距离为m，位于桌面上方，离桌面m，且运动员挥拍的过程中，球拍的击打路线近似于一条直线，球拍与桌面的夹角为，如图3所示．当球飞行的高度在至时，小亮可以获得最佳击球效果．小亮想要成功击中乒乓球，球拍需要先向前平移，设球拍向前平移的距离为n，则n的取值范围为 ； 24．（本题满分12分）【问题情境】（1）如图1，正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，，易证（不需写出证明过程），此时的值是______； 【问题解决】（2）如图2，矩形中，，，E、F别是边和对角线上的点，，，①求证：；②求的长； 【变式探究】（3）如图3，菱形中，，对角线，交的延长线于点H，E、F分别是线段和上的点，，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$