4.5增长速度的比较（同步课件）数学人教B版2019必修第二册

4.5 增长速度的比较 第4章 指数函数、对数函数与幂函数 情境引入 情境与问题： 一家世界500强公司曾经出过类似这样的一道面试题： 有一套房子，价格为200万元，假设房价每年上涨10%，某人每年固定能攒下40万元，如果他想买这套房子，在不贷款、收入不增加的前提下，这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子？ ()5年 ()7年 ()8年 ()9年 你能给出这道题的答案吗？ 新知探索 情境中的问题涉及增长速度的比较. 我们已经知道，函数在区间(时)或(时)上的平均变化率为. 也就是说，平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比，这也可以理解为：自变量每增加1个单位，函数值平均将增加个单位.因此，可用平均变化率来比较函数值变化的快慢. 新知探索 例如，当，时，容易算出，. 这就是说，自变量每增加1个单位，将增加2个单位，而将增加3个单位.这也意味着，即使， 但当足够大时，必将有. 再例如，当时， 则. 新知探索 由可知，在内，自变量每增加1个单位，区间长度不变的条件下，端点数值之和越大，的函数值增加越快. 例如，在区间上的平均变化率为____，在区间上的平均变化率为_____.从图象上看，如图所示，线段所在直线的斜率小于线段所在直线的斜率. 例题 例1 已知函数，分别计算函数在区间与上的平均变化率，并说明，当自变量每增加1个单位时，函数值变化的规律. 解：设，因为，所以. 在区间上的平均变化率为； 在区间上的平均变化率为__________________. 不难看出，当自变量每增加1个单位时，区间的左端点值越大，函数值增加越快. 例题 例2 已知函数，，，分别计算这三个函数在区间上的平均变化率，并比较它们的大小. 解：因为，，， 又因为时，有， ， 所以在区间上，的平均变化率最大，的最小. 例题 例2 已知函数，，，分别计算这三个函数在区间上的平均变化率，并比较它们的大小. 例2的结论也可用图来直观理解. 解：因为，，， 通过例1和例2的计算可以看出，当自变量每增加1个单位，随着自变量的无限增大，的函数值增长会越来越快，而且比函数和函数的增长速度都快. 新知探索 一般地，当时，指数函数都具有这个特征.也正因为如此，人们一般将类似指数函数的增长称为指数增长(或指数级增长、爆炸式增长)，将类似一次函数的增长称为线性增长(或直线增长).例如，《人民日报》2016年8月24日的一篇文章中提到道：“我们要在传统媒体有线性增长的基础上，使新兴媒体有指数级的增长”. 本节情境与问题中的房价是指数增长的，而攒的钱是线性增长的，因为指数增长的速度会越来越快，所以在题目给定的条件下，永远也买不起房子，这可通过下表的计算结果(精确到1万元)看出. 新知探索 需要注意的是，前述情境中的情形在现实生活中是不可能发生的，因为房价不可能按照每年10%的速度永远增长下去，而且买房时可以选择按揭贷款等. 年数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 房价/万元 220 242 266 293 322 354 390 429 472 攒的钱/万元 40 80 120 160 200 240 280 320 360 指数运算与生活哲学 指数函数的爆炸式增长源自指数运算的性质，对指数运算不熟悉的人，在估计指数运算的值时，可能会出现较大的误差.例如，你能猜出以下各指数运算的值都大概是多少吗？ 有意思的是，如图所示，有人还用上述这些指数运算的值形象地解释了一些生活哲学，你觉得有道理吗？ 指数运算与生活哲学 积跬步以至千里 积怠惰以至深渊 多百分之一的努力 得千份收获 三天打鱼两天晒网 终将一无所获 如果每次失败的概率是95% 坚持50次后失败的概率不到8% 练习 例1.已知指数函数且的图象过点， 的值. 题型一：指数(型)函数的解析式及应用 解：∵且的图象过点， ∴ 即 ∴ 练习 方法技巧： 求解指数(型)函数的解析式的关键： (1)根据题意写出等量关系或者根据所给式子发现其增长规律； (2)将自变量的具体值代入解析式中，即可计算各个函数值. 练习 变1.已知函数且，.求函数的一个解析式.并求出 的值. 解：∵ ∴ ∴以为增长比例呈指数增长. 即，∴. 例析 例2.甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万.试解决下面的问题： (1)写出两城市的人口总数（万人）与年份（年）的函数解析式； 解(1)：年后甲城市人口总数为 年后乙城市人口总数为. 题型二：指数函数的实际应用 练习 例2.甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万.试解决下面的问题： (2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数（精确到0.1万人）. 解(2)： 10年后 20年后 30年后 甲 112.7 126.9 143.0 乙 113 126 139 练习 方法技巧： 指数函数的实际应用： 先观察题意得出指数函数模型；再根据具体条件建立等式，求解出函数解析式；最后代入数据即可求解相应问题. 练习 变2.按复利计算利息的一种储蓄，本金为(单位：元)，每期利率为，本利和为(单位：元)，存期数为. (1)写出本利和关于存期数的函数解析式； (2)如果存入本金1000元，每期利率为，试计算5期后的本利和. 解(1)：据题意可得： 解(2)：将代入上式， 得：元. 课堂小结&作业 课堂小结： (1)平均变化率的计算方法； (2)指数增长和线性增长. 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P42习题的第1—3题；习题的第1—4题； 习题的第1—2题. 谢谢学习 Thank you for learning $$