3.1.2函数的单调性第2课时课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019)必修第一册

3.1.2 函数的单调性 第2课时 函数的平均变化率 1 【学习目标】 1.了解直线的斜率及意义； 2.了解函数的平均变化率，理解函数单调性与平均变化率的关系； 3.会用函数单调性的充要条件证明简单函数的单调性. 2 知识点一 直线的斜率 1.定义：一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点, ，当 时，称______为直线的斜率；当时，称直线 的斜率_______ __. 不存在 2.几何意义：直线 的斜率反映了直线相对于_____的倾斜程度. 3.表示方法：若记，相应的，则当 时，斜率可 记为___. 4.证明点共线：若平面直角坐标系中的三个点共线，当且仅当其中任意两点确 定的直线的斜率都______或__________. 轴 相等 都不存在 课 前 预 习 3 【诊断分析】判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）任意的直线都有斜率.( ) × [解析] 当直线与轴垂直时，，斜率 没有意义，所以此项错误. （2）“点,,共线”是“直线的斜率等于直线 的斜率”的必要不充分条件. ( ) √ [解析] 当直线的斜率等于直线 的斜率时，两条直线重合，即三点共线； 反之，当,,三点所在的直线与 轴垂直时，直线斜率不存在，故此项正确. 课 前 预 习 4 （3）直线 的斜率为0.( ) √ [解析] 直线 上的任意两点的纵坐标相等，故由斜率公式可知斜率为0. （4）若两条直线的斜率相等，则这两条直线的倾斜程度相同.( ) √ [解析] 根据斜率的概念知说法正确. 课 前 预 习 5 知识点二 函数的平均变化率、函数递增递减的充要条件 1.平均变化率 一般地，当时，称为函数在区间 时)或 时)上的平均变化率. 2.判断函数单调性 一般地，若是函数的定义域的子集，对任意,且 ，记 ,，(即 )，则： （1）在上是增函数的充要条件是在 上恒成立； （2）在上是减函数的充要条件是在 上恒成立. 课 前 预 习 6 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）函数在上是减函数，当每增大1个单位时， 增 大 个单位.( ) √ [解析] 由线性函数定义可知 ，所以函数为减函数，且当 每增大1个单位时，增大 个单位. （2）函数 在定义域上的平均变化率都等于2.( ) √ [解析] 因为线性函数的平均变化率为 ，故此项正确. 课 前 预 习 7 （3）函数在区间 上的平均变化率为2.( ) √ [解析] 因为 ，所以此项正确. （4）当一个函数给定，定义域内的一个区间给定时，该函数在这个区间上的 平均变化率为常数.( ) √ [解析] 由平均变化率的定义可知此项正确. （5）函数在和 上的平均变化率互为相反数.( ) √ [解析] 函数在上的平均变化率为，在 上的 平均变化率为 ，故此项正确. 课 前 预 习 8 探究点一 直线的斜率公式及应用 ［探索］ 能否说直线越陡峭，斜率越大？ 解：不能.当斜率大于0时，直线越陡峭斜率越大；当斜率小于0时，直线越陡峭 斜率越小. 课 中 探 究 9 例1（1） 若经过，两点的直线的斜率为，则 ( ) B A. B. C.0 D.2 [解析] 由题意可知，解得 .故选B. 课 中 探 究 10 （2）已知经过，两点的直线的斜率大于1，则实数 的取值范 围是_______. [解析] 由题知,即,解得，所以实数 的 取值范围是 . 课 中 探 究 11 变式（1） [2023·北京清华附中月考]已知函数，则, , 的大小关系为( ) A A. B. C. D. [解析] 作出函数 的图象，如图所示.由图可知 曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着 的增大而增大,则 ，即 .故选A. 课 中 探 究 12 （2）已知三点，，在同一条直线上，则实数 的值为 ______. 2或 [解析] 因为，，三点在同一条直线上，且，所以直线， 的斜 率都存在，且.因为， ，所以 ，解得或.故实数的值为2或 . 课 中 探 究 13 ［素养小结］ 利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项： （1）运用公式的前提条件是“”，即直线不与轴垂直，因为当直线与 轴垂直时，斜率是不存在的； （2）斜率公式与两点，的先后顺序无关，也就是说公式中的与， 与 可以同时交换位置. 课 中 探 究 14 探究点二 求函数的平均变化率 ［探索］ 函数的平均变化率 是否一定存在？若存在，对于同一函 数的平均变化率都相等吗？ 解：不一定.因为，所以当 时，函数的平均变化率不存在. 若存在，同一函数在不同的区间内的平均变化率可以不同. 课 中 探 究 15 例2 已知函数 . （1）求 从0.1到0.2的平均变化率； 解： , ，所以 . （2）求在区间 上的平均变化率. 解：函数在区间 上的平均变化率为 . 课 中 探 究 16 变式（1） 若函数，，在 上的平均变化率 分别为,, ，则下面结论正确的是( ) A A. B. C. D. [解析] 函数在上的平均变化率，函数 在 上的平均变化率，函数在 上的平均变化率 ，则 .故选A. 课 中 探 究 17 （2）已知函数，计算在和 上的平均变化率,并判断在 哪个区间上函数值变化较快. 解：， , ， , .,在 上函数值变化较快． 课 中 探 究 18 ［素养小结］ 求函数的平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量 的增量与函数值的增量 . 求函数在区间 上的平均变化率的主要步骤是： （1）计算函数值的改变量 ; （2）计算自变量的改变量 ; （3）计算函数的平均变化率 . 课 中 探 究 19 探究点三 函数平均变化率的应用 例3（1） 某公司的盈利（元）与时间（天）的函数关系是 ，假设 恒成立，且， ,则说明 后10天与前10天相比( ) D A.公司亏损且亏损幅度变大 B.公司的盈利增加，增加的幅度变大 C.公司亏损且亏损幅度变小 D.公司的盈利增加，增加的幅度变小 [解析] 由恒成立，可知在 上单调递 增，即盈利增加.因为 ,所以后10天与前10天相比 盈利增加的幅度变小.故选D. 课 中 探 究 20 （2）已知某物体运动的速度与时间之间的关系是 ，则该物 体在时间间隔 内的平均加速度是_______. [解析] 由平均变化率的定义可知，该物体在 内的平均加速度为 . 课 中 探 究 21 变式（1） 如图所示，单位圆中弧的长为， 表示 弧与弦所围成的弓形面积的2倍，则函数 的 大致图象是( ) D A. B. C. D. 课 中 探 究 22 [解析] 不妨设A固定，B从A点出发绕圆周旋转一周，刚开始时很小，即弧 的长度很小，这时给一个改变量，那么弧与弦 所围成的弓形面积的改 变量非常小，即弓形面积的变化较慢; 当弦接近于圆的直径时，同样给 一个改变量，那么弧与弦 所围成的 弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快; 从直径的位置开始，随着B点的旋转，弓形面积的变化又由变化较快变为越来越 慢．由上可知函数 的图象应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最 后又变得比较平缓，对比各选项知D正确.故选D. 课 中 探 究 23 （2）甲、乙两个学校开展节能活动，活动开始后甲、乙 学校的用电量，与时间 （天）的关系如图所 示，则下列说法正确的是( ) A A.甲学校比乙学校节能效果好 B.甲学校的用电量在 上的平均变化率比乙学校的用 电量在 上的平均变化率大 C.两学校的节能效果一样好 D.甲学校与乙学校自节能以来用电量总是一样大 课 中 探 究 24 [解析] 由题图可知，在上， ，所以甲学 校比乙学校节能效果好，故A正确，C错误； 由题图可知，，所以甲学校的用电量在 上的平均 变化率比乙学校的用电量在上的平均变化率要小，故B错误； 的图象和 的图象不重合，故D错误.故选A. 课 中 探 究 25 ［素养小结］ 应用平均变化率判断函数图象问题，关键是满足“一定、一观察”，即满足 一 定的条件下，观察图象的变化情况，从而得到平均变化率的变化情况，如果 较大，则对应的平均变化率较大，则对应的两点确定的直线的斜率就大. 课 中 探 究 26 探究点四 判断（证明）函数的单调性 例4（1） 已知函数的图象关于直线对称，对任意 ， ，且，满足， ，则不等式 的解集是( ) B A. B. C. D. [解析] 由对任意，，且，满足 ，可得函数 在上单调递减，又函数的图象关于直线对称，所以 在 上单调递增.因为，所以，作出 的大致图象，由图 可知不等式的解集是 .故选B. 课 中 探 究 27 （2）已知函数是定义在 上的函数，用平均变化率的方法证明： 函数在 上是增函数. 证明：设,，且，则，因为 , ，所以，,， ，此时 ，所以函数在 上是增函数. 课 中 探 究 28 变式 已知函数,，用平均变化率的方法判断函数 的单 调性. 解：设，，且，则，因为 , ，所以,，即，所以函数在 上是增 函数. 课 中 探 究 29 ［素养小结］ 应用平均变化率的方法判断函数的单调性，首先要在的条件下得到 ， 其次是根据所给的的取值范围确定与0的大小关系，若 ，则对应的函 数为增函数，反之为减函数.注意 ，要保证分子、分母的下角标顺序一 致. 课 中 探 究 30 拓展 已知函数对任意两个不相等的实数 , ，都有不等式成立，则实数 的取值范围是 ( ) B A. B. C. D. [解析] 因为对任意两个不相等的实数, ，都有不等式 成立，所以在上为减函数. 令 ，则该函数在上为减函数且在上 恒成立. 当 时，，不满足该函数在 上为减函数，不符合 题意，舍去； 课 中 探 究 31 当时，则解得 .故选B. 课 中 探 究 32 1.一物体的运动方程是，则在 上的平均速度为( ) B A.0.41 B.4.1 C.0.3 D.3 [解析] ，故选B. 课 堂 评 价 33 2.以固定的速度向如图所示的瓶子中注水，水深 是 时间 的函数，则该函数的图象可能是( ) B A. B. C. D. [解析] 因为图中瓶子下粗上细，所以以固定的速度向瓶子中注水时，随着时间 的增加，水深 增高得越来越快，易知B符合题意. 课 堂 评 价 34 3.函数在到 之间的平均变化率为( ) B A. B. C. D. [解析] 因为 ,所以 .故选B. 课 堂 评 价 35 4.如图所示，是边长为2的正三角形，记 位于直线 左侧的图形（阴影部分）的 面积为，则函数 的图象可能为( ) A A. B. C. D. [解析] 由图可知，随着的增加，阴影部分面积一直增大，故排除C；在 一定 的条件下，平均变化率先增大后减小，故只有A符合题意. 课 堂 评 价 36 5.定义在上的函数满足，且 ，则不等式 的解集为( ) B A. B. C. D. [解析] 因为定义在上的函数满足 ，所以 在上单调递减.因为，所以 . 因为不等式，所以，所以， 所以 ，即，所以 ，故选B. 课 堂 评 价 37 复合函数单调性的判断 1.复合函数的单调性 复合函数在区间 上具有单调性的规律见下表： 增 减 增 减 增 减 增 减 减 增 以上规律还可总结为“同性为增，异性为减”. 备 用 习 题 38 2.常用结论 在函数， 的公共定义域内： （1）增函数增函数 是增函数； （2）减函数减函数 是减函数； （3）增函数减函数 是增函数； （4）减函数增函数 是减函数. 备 用 习 题 39 例1 判断下列函数的单调性. （1） ； 解：函数的定义域为 .设函数 ，可知函数在,上是减函数，在 ， 上是增函数，又因为函数在， 上是减函数，所以函 数在,上是增函数，在， 上是减函数. 备 用 习 题 40 （2） ； 解：因为函数在上是增函数，函数在， 上 是减函数，所以函数在， 上是增函数. 备 用 习 题 41 （3） ； 解：函数的定义域为.设函数，可知函数 在 上是增函数，在上是减函数，又函数在 上是增函 数，所以函数在上是减函数，在 上是增函数. 备 用 习 题 42 （4） . 解：函数的定义域为.设函数 ，可知函数 在上是减函数，又函数在上是增函数，所以函数 在区间 上是减函数. 备 用 习 题 43 例2 [2023· 贵州贵阳高一期中] 阅读材料： 差分和差商 古希腊的著名哲学家芝诺，曾经提出“飞矢不动”的怪论.他说箭在每一个时刻都 有一个确定的位置，因而在每一时刻都没有动.既然每个时刻都没有动，他怎么 能够动呢？为了驳倒这个怪论，就要抓住概念，寻根究底.讨论有没有动的问题， 就要说清楚什么叫动，什么叫没有动.如果一个物体的位置在时刻 和后来的一 个时刻不同，我们就说他在时刻和 之间动了，反过来，如果他在任意时刻 有相同的位置，就说它在到 这段时间没有动.这样，芝诺怪论的漏 洞就暴露出来了.原来，动或不动都是涉及两个时刻的概念.芝诺所说 备 用 习 题 44 “在每一个时刻都没有动”的论断是没有意义的!函数可以用来描述物体的运动或 变化.研究函数，就是研究函数值随自变量变化而变化的规律.变化的情形至少要 看两个自变量处的值，只看一点是看不出变化的.设函数在实数集 上有 定义.为了研究的变化规律，需要考虑它在 中两点处的函数值的差.定义 （差分和差商）称为函数从到 的差分，这里若无特别说明， 均假定.通常记, 叫做差分的步长，可正可负.差分和它的步长的 比值叫做在和的差商.显然，当和 位置交换时，差分变号，差 商不变.随着 所描述的对象不同，差商可以是平均速度，可以是割线的斜率， 也可以是曲边梯形的平均高度.一般而言，当时，它是在区间 上 的平均变化率.显然，函数和它的差商有下列关系：某区间 上，单调递增函数 的差商处处为正，反之亦然；某区间 上，单调递减函数的差商处处为负，反之 亦然.可见，差商是研究函数性质的一个有用的工具.回答问题： 备 用 习 题 （1）计算一次函数 的差商； 解：一次函数的定义域内任取,，且 ， ， 差商为 ， 一次函数的差商为 . 备 用 习 题 46 （2）请通过计算差商研究函数 的增减性. 解：由题得函数的定义域为，设 ， 则在上的差商为 ， 当时， ， 则，故函数在 单调递减； 当， ， 则，故函数在 单调递减； 备 用 习 题 47 当时，则 ， 则，故函数在 单调递增. 综上所述，函数在和上单调递减，在 上单调递 增. 备 用 习 题 $$