第十一章三角形 双角平分线的夹角模型（一）双内角平分线夹角2024-2025学年人教版数学八年级上册

第11章 三角形 双角平分线的夹角模型（一）双内角平分线夹角 【模型介绍】 模型介绍:如图,在△ABC中,若BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,则∠P=90°+∠A. 【题型剖析】 1．（23-24八年级上·江苏·专题练习）等边的两条角平分线和交于点I，则的度数是（    ） A．60° B．115° C．120° D．130° 2．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点是的两条角平分线的交点，若，则的大小是 ． 3．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，点是两条角平分线的交点，如果，那么 ． 4．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，把三角形铁皮ABC加工成四边形ABCD形状的零件，∠A＝40°，且D恰好是△ABC两条角平分线的交点，工人师傅量得∠BDC＝110°，则这个四边形零件加工 ．（填“合格”或“不合格”） 5．（23-24八年级上·四川成都·期中）直角三角形中，，两条角平分线与交于点O，若，则的度数是 ．    6．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，的两条角平分线和相交于点，若，则 ． 7．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，BD、CE为△ABC的两条角平分线，则图中∠1、∠2、∠A之间的关系为 ． 8．（23-24八年级上·江苏·期中）如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC＝110°，则∠A＝ °． 9．（23-24八年级上·天津河北·期中）如图，△ABC中，∠A＝80°，△ABC的两条角平分线交于点P，∠BPD的度数是 ． 10．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，、是等边三角形的两条角平分线，、相交于点O．求的度数． 11．（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，，与是的两条角平分线，求． 12．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE、BF是△ABC的角平分线，且两条角平分线交于点O，∠BAD＝60°，∠C＝70°． (1)求∠EAD的度数； (2)直接写出∠AOB＝　 　． 13．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）（1）如图，的两条角平分线，相交于点F，求证：  ． （2）如图，的两边的垂直平分线、相交于点H．求证：的三边垂直平分线、、相交于点H． 14．（23-24八年级上·河北唐山·期末）的两条角平分线、相交于点 I． (1)如图1： ①若 求 的度数； ②若 直接写出 °(用含β的式子表示)； (2)如图2，连接， 平分，作分别交、于点D、E．你发现与一定相等的角有 ； 与一定相等的角有 ． 15．（23-24八年级上·广东惠州·阶段练习）已知，根据下列要求，解决问题． (1)如图①，在中，内角平分线交于点．若，则 的度数为___________ (2)如图①，在中，内角平分线 交于点．求证：． (3)如图②，在中，若的三等分线分别交于点，连接 ，若，求 的度数． (4)如图③，在中，的三等分线分别与的平分线交于点 ，若 ，求的度数． 16．（23-24八年级上·山西吕梁·期中）综合与探究 如图1和图2，在中，，．点从点A出发沿匀速移动，到达点时停止，点在边上随点移动，且始终保持，设点移动的路程为． (1)若点在上，当 时，点与点A的距离最短． (2)如图3，当点在上时，若经过的两条角平分线与的交点，求四边形的周长．（用含有的式子表示） (3)当点在上时，在点的运动过程中，能否使得？如果能，写出的值，并给予证明；如果不能，请说明理由． 17．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）【概念学习】我们知道：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．我们规定：如果两条射线把一个角分成三个相等的角，这两条射线都叫做这个角的角三分线．如图1，在中，若，则、叫的角三分线．其中是“邻角三分线”，是“邻角三分线”． 【概念理解】（1）如图2，在中，，，若的角三分线交于点，则 ． 【概念应用】（2）如图3，在中，、分别是邻角三分线和邻角三分线，若，求的度数； 【延伸推广】（3）在中，是的外角，的角三分线与的角三分线交于点，若，，()请直接写出的度数． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 三角形 双角平分线的夹角模型（一）双内角平分线夹角 【模型介绍】 模型介绍:如图,在△ABC中,若BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,则∠P=90°+∠A. 【题型剖析】 1．（23-24八年级上·江苏·专题练习）等边的两条角平分线和交于点I，则的度数是（    ） A．60° B．115° C．120° D．130° 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，等边三角形的性质，根据等边三角形性质得出，根据角平分线性质求出和，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：根据题意作图如下， ∵是等边三角形， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点是的两条角平分线的交点，若，则的大小是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，根据点是的两条角平分线的交点得，，根据得，即可得 ，根据三角形内角和定理即可得；掌握角平分线的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵点是的两条角平分线的交点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，点是两条角平分线的交点，如果，那么 ． 【答案】/115度 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形内角和定理．由及平分可求出，再根据三角形内角和定理即可． 【详解】 解：∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，把三角形铁皮ABC加工成四边形ABCD形状的零件，∠A＝40°，且D恰好是△ABC两条角平分线的交点，工人师傅量得∠BDC＝110°，则这个四边形零件加工 ．（填“合格”或“不合格”） 【答案】合格 【分析】根据三角形内角和定理可求出的大小，再根据角平分线的性质可知∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，即可求出∠DBC+∠DCB的大小，最后再利用三角形内角和定理即可求出∠BDC＝110°，与题干相符，即合格． 【详解】解：∵∠A＝40°， ∴， ∵BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB， ∴∠DBC+∠DCB＝∠ABC+∠ACB＝×＝70°， ∴∠BDC＝110°， ∴这个四边形零件加工合格， 故答案为：合格． 【点睛】本题考查三角形内角和定理以及角平分线的性质．利用两知识点找出角的等量关系是解答本题的关键． 5．（23-24八年级上·四川成都·期中）直角三角形中，，两条角平分线与交于点O，若，则的度数是 ．    【答案】/度 【分析】过点O分别作于点M、N，连接，由角平分线的性质得到，再证明得到，进而利用三角形外角的性质推出，从而求出，则． 【详解】解：过点O分别作于点M、N，连接，    ∵的两条角平分线与交于点O， ∴平分， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 6．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，的两条角平分线和相交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】由，，得，由得，由的两条角平分线和相交于点得，从而得到，由，从而可得到的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 的两条角平分线和相交于点， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，关键是根据三角形内角和为和角平分线的定义解答． 7．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，BD、CE为△ABC的两条角平分线，则图中∠1、∠2、∠A之间的关系为 ． 【答案】∠1+∠2-∠A=90° 【分析】先根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，写出∠1+∠2与∠A的关系，再根据三角形内角和等于180°，求出∠1+∠2与∠A的度数关系． 【详解】∵BD、CE为△ABC的两条角平分线， ∴∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB， ∵∠1=∠ACE+∠A，∠2=∠ABD+∠A ∴∠1+∠2=∠ACE+∠A+∠ABD+∠A =∠ABC+∠ACB+∠A+∠A ＝（∠ABC+∠ACB+∠A）+∠A =90°+∠A 故答案为∠1+∠2-∠A=90°． 【点睛】考查了三角形的内角和等于180°、外角与内角关系及角平分线的性质，是基础题．三角形的外角与内角间的关系：三角形的外角与它相邻的内角互补，等于与它不相邻的两个内角的和． 8．（23-24八年级上·江苏·期中）如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC＝110°，则∠A＝ °． 【答案】40° 【分析】先利用三角形的内角和求出∠OBC+∠OCB，再用角平分线的意义，整体代换求出∠ABC+∠ACB，最后再用三角形的内角和即可． 【详解】在△BOC中,∠OBC+∠OCB=180°−∠BOC=180°−110°=70° ∵点O是△ABC的两条角平分线的交点， ∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB， ∴∠ABC+∠ACB=2(∠OBC+∠OCB)=2×70°=140°， 在△ABC中,∠A=180°−(∠ABC+∠ACB)=180°−140°=40° 故答案为40° 【点睛】此题考查三角形内角和定理，解题关键在于求出∠OBC+∠OCB 9．（23-24八年级上·天津河北·期中）如图，△ABC中，∠A＝80°，△ABC的两条角平分线交于点P，∠BPD的度数是 ． 【答案】50° 【分析】由三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°，由角平分线定义得出∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+ACB）＝50°，再由三角形的外角性质即可得出结果． 【详解】解：∵△ABC中，∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°， ∵△ABC的两条角平分线交于点P， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+ACB）＝×100°＝50°， ∴∠BPD＝∠PBC+∠PCB＝50°； 故答案为：50°． 【点睛】本题考查了三角形的外角,三角形内角和,属于简单题,掌握外角的定义是解题关键. 10．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，、是等边三角形的两条角平分线，、相交于点O．求的度数． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质可得，，再由三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形的两条角平分线， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 11．（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，，与是的两条角平分线，求． 【答案】 【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，再根据角平分线的定义可得，，进而得出，根据三角形的外角性质，可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∵与是的两条角平分线， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，三角形的外角性质，正确理解题意是解题的关键． 12．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE、BF是△ABC的角平分线，且两条角平分线交于点O，∠BAD＝60°，∠C＝70°． (1)求∠EAD的度数； (2)直接写出∠AOB＝　 　． 【答案】(1)∠EAD=20° (2)125° 【分析】(1)根据垂直的定义，角平分线的定义，以及角的和差关系即可求解； （2）根据角平分线的定义，以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）∵AD是∆ABC的高，∠C=70°， ∴∠CAD=90°-∠C=20° ∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80° 又∵AE是∆ABC的平分线 ∴∠BAE=∠EAC=°=40° ∴∠EAD=∠EAC-∠CAD=40°-20°=20° （2）∵∠ABC+∠BAC+∠C=180° ∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°-80°-70°=30° 又∵BF是∆ABC的角平分线， ∴∠ABF=°=15° ∵∠ABO+∠AOB+∠BAO=180° ∴∠AOB=180°-∠ABO-∠BAO=180°-15°-40°=125° 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，解题的关键是熟悉掌握利用角平分线的性质． 13．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）（1）如图，的两条角平分线，相交于点F，求证：  ． （2）如图，的两边的垂直平分线、相交于点H．求证：的三边垂直平分线、、相交于点H． 【答案】见解析 【分析】（1）利用角平分线的定义得，，再利用三角形内角和定理即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，等量代换可得，即可证明点H在边的垂直平分线上． 【详解】（1）证明： 由题意知，平分，平分， ∴，， ∴， ∴． （2）证明：由题意，点H在边的垂直平分线上，还在边的垂直平分线上， ∴，， ∴， ∴点H在边的垂直平分线上， ∴的三边垂直平分线、、相交于点H． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质等知识点，难度不大，解题的关键是熟练掌握等量代换的思维． 14．（23-24八年级上·河北唐山·期末）的两条角平分线、相交于点 I． (1)如图1： ①若 求 的度数； ②若 直接写出 °(用含β的式子表示)； (2)如图2，连接， 平分，作分别交、于点D、E．你发现与一定相等的角有 ； 与一定相等的角有 ． 【答案】(1)①；② (2)，；， 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线定义，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理． （1）①先求出，然后根据角平分线的定义求出，，求出，再根据三角形内角和定理求出结果即可； ②先求出，然后根据角平分线的定义求出，，求出，再根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）根据角平分线定义得出，根据垂线定义得出，根据解析（1）得出，根据三角形外角性质得出，，得出；根据，，即可得出． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴ ； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知，， 根据三角形外角的性质可知：， ， ∴； 根据解析（1）可知，， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 15．（23-24八年级上·广东惠州·阶段练习）已知，根据下列要求，解决问题． (1)如图①，在中，内角平分线交于点．若，则 的度数为___________ (2)如图①，在中，内角平分线 交于点．求证：． (3)如图②，在中，若的三等分线分别交于点，连接 ，若，求 的度数． (4)如图③，在中，的三等分线分别与的平分线交于点 ，若 ，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理进而可求得答案； （2）按照（1）的解答过程，写出证明过程即可； （3）由的三等分线交于点，得到 ，由平分 平分，得到平分，即可求得，进一步求得答案； （4）由三角形外角的性质得到，由三等分得到 ，由三角形内角和定理得到，由角平分线得到 ，由三角形的内角和定理得到． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∴； 故答案为：； （2）证明：∵平分，平分， ∴，， ∴ ； （3）∵的三等分线交于点， ， 平分 平分， 平分， ， ， ． （4）， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 16．（23-24八年级上·山西吕梁·期中）综合与探究 如图1和图2，在中，，．点从点A出发沿匀速移动，到达点时停止，点在边上随点移动，且始终保持，设点移动的路程为． (1)若点在上，当 时，点与点A的距离最短． (2)如图3，当点在上时，若经过的两条角平分线与的交点，求四边形的周长．（用含有的式子表示） (3)当点在上时，在点的运动过程中，能否使得？如果能，写出的值，并给予证明；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)10 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据垂线段最短和等腰三角形的性质得到点P为的中点，进而可求解； （2）先证明，根据平行线的性质和角平分线的性质得到，，再根据等腰三角形的判定与性质得到，进而求解即可； （3）根据三角形的外角性质得到，根据全等三角形的判定，当时，，进而求解． 【详解】（1）解：当点在上时，由垂线段最短知，当时，点与点A的距离最短， ∵在中，，， ∴， ∴， 故答案为：10； （2）解：如图3，当点在上时， ∵， ∴， ∴，，，， ∵经过的两条角平分线与的交点， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，则， ∴，则， ∴四边形的周长 ； （3）解：存在， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、垂线段最短、平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的外角性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定是解答的关键． 17．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）【概念学习】我们知道：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．我们规定：如果两条射线把一个角分成三个相等的角，这两条射线都叫做这个角的角三分线．如图1，在中，若，则、叫的角三分线．其中是“邻角三分线”，是“邻角三分线”． 【概念理解】（1）如图2，在中，，，若的角三分线交于点，则 ． 【概念应用】（2）如图3，在中，、分别是邻角三分线和邻角三分线，若，求的度数； 【延伸推广】（3）在中，是的外角，的角三分线与的角三分线交于点，若，，()请直接写出的度数． 【答案】（1）或；（2）；（3）的度数为，或或或 【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是理解题意，根据角三分线的定义，三角形的外角，进行解答，即可． （1）根据角三分线的定义，分类讨论：当是邻角三分线时；当是邻角三分线时，进行计算，即可； （2）根据角三分线的定义，则，，根据三角形的内角和，则，求出，，即可； （3）根据题意，分类讨论：当和分别是“邻角三分线”，“邻角三分线”；当和分别是“邻角三分线”，“邻角三分线”；当和分别是“邻角三分线”，“邻角三分线”；当和分别是“邻角三分线”，“邻角三分线”，进行计算，即可． 【详解】（1）∵在中，，， ∴， ∵的角三分线交于点， ∴当是邻角三分线时， ∴， ∴； 当是邻角三分线时， ∴， ∴， 故答案为：或． （2）∵、分别是邻角三分线和邻角三分线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）∵是的外角，，， ∴， 当和分别是“邻角三分线”，“邻角三分线”； ∴，， ∵； 当和分别是“邻角三分线”，“邻角三分线”， ∴， ∴， ∴， ∴； 当和分别是“邻角三分线”，“邻角三分线”； ∴，， ∵， ∴， ∴． 当和分别是“邻角三分线”，“邻角三分线”， ∴，， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为，或或或． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$