精品解析：江苏省泰州市姜堰区2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

2024年秋学期期中学情调查 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 请注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一个选项符合题目要求，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在和中，下列条件中，能使的是（ ） A B. C. D. 3. 如图，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，的三边长分别为．下列条件中，能判断为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，点分别在上，将沿折叠，点恰好与点重合．若，则的长度为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 6. 如图，为的中点，与相交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有________． 8. 若看到镜子中的一串数字为“ ”，则这串数字为______． 9. 一个等腰三角形的两条边长分别是和，则其周长为______． 10. 如图，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点．若，点是上任意一点，则的最小值为______． 11. 如图，，垂足分别是点，则的长为______． 12. 如图，的顶点都在由边长为1的小正方形组成的方格纸的格点上，且，则的长为______． 13. 如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝3，CD＝4，ED＝6，则FG的长为___． 14. 如图，在中，，动点从点出发以的速度沿向点运动．设运动的时间为，当______s时，为等腰三角形． 15. 如图，中，点在上，，则______． 16. 如图，在中，．以为腰在右侧作等腰，当三点构成等腰三角形时，的值为______． 三、解答题（本大题共10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，有一个以格点为顶点的． （1）利用网格线画，使它与关于直线对称； （2）的面积是______； （3）在直线上作出点，使的值最小，则的最小值为______． 18. 如图，是的中线，，求． 19. 如图，，垂足分别为，从①；②；③中选择两个作为补充条件，余下一个作为结论，并写出结论成立的证明过程． 你选的补充条件是______，结论是______．（填序号） 20. 如图，在中，，点在上，且． （1）求证：； （2）若为中点，，求的度数． 21. 我区某中学课外活动小组的同学，利用所学知识去测量一条两岸平行的河流的宽度，活动小组设计了不同的方案，他们测得河北岸的点A恰好在河南岸点B的正北方向． 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 测量方案 如图1，观测者从B点出发，沿着南偏西的方向走到点C，此时恰好测得，的长度为15米． 如图2，观测者从B点向东走到点C，测得，的长度为15米． 测量示意图 （1）请你从两组方案中任选一组，根据提供的数据求出河流的宽度； （2）请你运用全等三角形的知识在不跨过河的情况下再设计一种方案对河宽进行测量．（要求：在图3中画出示意图，并标出字母，结合图形简要叙述你的方案，并说明方法的合理性． 22. 如图，在中，． （1）用直尺和圆规作点，使得点到两边的距离相等，且；（不写作法，保留作图痕迹） （2）过点作，垂足分别为，连接．判断与的数量关系，并说明理由． 23. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降． 实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是6，物体到定滑轮的垂直距离是8．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高7，求滑块向左滑动的距离． 24. 如图，在中，，点是的中点，点在的延长线上，点在的延长线上，． （1）求证：； （2）连接，若，求的值． 25. 定义：如果一个三角形一边的平方与另一边上高的平方之和等于第三边的平方，则称这个三角形为“牵手三角形”，这条边与第三边的交点称为“牵手顶点”．例如图1，在中，是边上的高，若，则为“牵手三角形”，点为“牵手顶点”． （1）等边三角形______“牵手三角形”（填写“是”或者“不是”）； （2）如图2，已知为“牵手三角形”，其中点为“牵手顶点”，，是边上的高．在不添加其他线段和字母的情况下，找出图中一组相等的线段，并说明理由； （3）运用（2）中的结论解决下列问题： ①已知为“牵手三角形”，其中点为“牵手顶点”且是边上的高．若，则的长是______； ②如图3，为“牵手三角形”，其中为“牵手顶点”，是边上的高，，若．求证：为等腰三角形． 26. 【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）如图1，是中线，且，延长至点，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点在的延长线上，，求证：平分； 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点是边的中点，点在上，，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋学期期中学情调查 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 请注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一个选项符合题目要求，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， D选项中的图形能不找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：D． 2. 如图，在和中，下列条件中，能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟记相关判定定理即可． 【详解】解：由图可知：， 若，则根据可判定，故A符合题意； ，不能判定，故B不符合题意； ，不能判定，故C不符合题意； ，不能判定，故D不符合题意； 故选：A 3. 如图，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 4. 已知，的三边长分别为．下列条件中，能判断为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，若三角形的一个角为或三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 【详解】解：A、∵即，， ∴． ∴． ∴为直角三角形．该选项符合题意． B、∵，， ∴，． ∴不是直角三角形．该选项不符合题意． C、∵， ∴． ∴不直角三角形．该选项不符合题意． D、∵， ∴． ∴不是直角三角形．该选项不符合题意． 故选：A 5. 如图，在中，，点分别在上，将沿折叠，点恰好与点重合．若，则的长度为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、折叠的性质、直角三角形的性质等知识点，掌握角所对的直角边等于斜边的一半成为解题的关键． 如图：连接，根据等腰三角形的性质可得，进而得到；再根据折叠的性质可得，，根据直角三角形的性质可得；再说明结合可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∴， ∵将沿折叠，点恰好与点重合， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 6. 如图，为的中点，与相交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理：根据直角三角形的性质可得，从而得到，，再由，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有________． 【答案】稳定性 【解析】 【详解】做成三角形的支架是应用了三角形的稳定性，因为三角形具有稳定性． 故答案为稳定． 8. 若看到镜子中的一串数字为“ ”，则这串数字为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称，根据镜面对称的特点，物像左右相反，即可得出结果． 【详解】解：镜子中的一串数字为“ ”，则这串数字为； 故答案为： 9. 一个等腰三角形的两条边长分别是和，则其周长为______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握“任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边”成为解题的关键． 分为腰和为腰两种情况，分别求得三边并运用三角形三边关系判断是否构成三角形，最后求周长即可． 【详解】解：当为腰的时，为底，此时三条边的长分别为：、、，由，不符合三角形三边的关系，因此舍去； 当为腰的时，为底，此时三条边的长分别为：、、，符合三角形三边关系，周长为：． 故答案为：25． 10. 如图，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点．若，点是上任意一点，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，确定出最小时的位置是解题的关键．根据垂线段最短可知，当时最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而得解． 【详解】解：如下图，作交与点D， 垂线段最短， 当时，最短， 是的平分线，， ， ， ， 即长度最小为4， 故答案为：4． 11. 如图，，垂足分别是点，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得成为解题的关键． 先证明可得、，根据线段的和差可得，进而求得的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：2． 12. 如图，的顶点都在由边长为1的小正方形组成的方格纸的格点上，且，则的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要查了勾股定理．根据勾股定理解答，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：5 13. 如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝3，CD＝4，ED＝6，则FG的长为___． 【答案】1． 【解析】 【分析】只要证明EG=EB，DF=DC即可解决问题． 【详解】解：∵ED∥BC， ∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB， ∵∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD， ∴∠EGB＝∠EBG，∠DCF＝∠DFC， ∴BE＝EG，CD＝DF， ∵BE＝3，CD＝4，ED＝6， ∴EB+CD＝EG+DF＝EF+FG+FG+DG＝ED+FG，即3+4＝6+FG， ∴FG＝1， 故答案为1． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明，属于基础题． 14. 如图，在中，，动点从点出发以的速度沿向点运动．设运动的时间为，当______s时，为等腰三角形． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了勾股定理，等腰三角形的性质．根据勾股定理，可得的长，根据题意可得，，在中，勾股定理，列出方程，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 根据题意得：，， ∵为斜边， ∴当时，为等腰三角形， 在中，， ∴， 解得：． 故答案为： 15. 如图，在中，点在上，，则______． 【答案】36 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，延长，过点A作于点F，过点D作于点E，根据等腰三角形的性质得出，证明，得出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：延长，过点A作于点F，过点D作于点E，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：36． 16. 如图，在中，．以为腰在右侧作等腰，当三点构成等腰三角形时，的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理．分两种情况讨论：当，时，当，时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当，时，如图所示： ∵，， ∴垂直平分， ∴，， 设，则， 在和中根据勾股定理得： ， 即， 解得：， ∴， ∴； 当，时，延长交于点O，如图所示： ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上分析可知：的值为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，有一个以格点为顶点的． （1）利用网格线画，使它与关于直线对称； （2）的面积是______； （3）在直线上作出点，使的值最小，则的最小值为______． 【答案】（1）见解析 （2）3.5 （3）5 【解析】 【分析】本题考查了图形的对称性，勾股定理的应用，两点之间线段最短的性质和作图方法，掌握轴对称的特点是解题关键． （1）直接利用关于直线对称点的性质得出对应点位置，连线即得答案； （2）用所在的长方形的面积减去其周围的三个三角形的面积，即可得到答案； （3）直接利用对称点，两点之间线段最短的求最短路线方法得出答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：的面积是； 小问3详解】 解：如图，连接，交直线m于点P，则点P即为所求． 此时， ∴的最小值为的长， ， 即的最小值为5． 18. 如图，是的中线，，求． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是直角三角形的判定和垂直平分线的性质，先根据已知条件可得：，根据勾股定理的逆定理即可证出：是直角三角形，且，从而得出垂直平分，根据垂直平分线的性质即可求出． 【详解】解：是的中线， ， 是直角三角形，且 垂直平分 ． 19. 如图，，垂足分别为，从①；②；③中选择两个作为补充条件，余下一个作为结论，并写出结论成立的证明过程． 你选的补充条件是______，结论是______．（填序号） 【答案】①②，③（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判断和性质，条件选择①②，结论是③，通过证明，得到，进而推出即可． 【详解】解：补充条件：①②，结论是③； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①②，③ 20. 如图，在中，，点在上，且． （1）求证：； （2）若为中点，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，掌握三角形外角的性质成为解题的关键． （1）根据等边对等角可得、，再根据三角形内角和定理可得、，进而证明结论； （2）由等腰三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质结合可得，然后运用三角形外角的性质可得，即；最后利用三角形外角的性质即可解答． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴，， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：∵，为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴． 21. 我区某中学课外活动小组的同学，利用所学知识去测量一条两岸平行的河流的宽度，活动小组设计了不同的方案，他们测得河北岸的点A恰好在河南岸点B的正北方向． 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 测量方案 如图1，观测者从B点出发，沿着南偏西的方向走到点C，此时恰好测得，的长度为15米． 如图2，观测者从B点向东走到点C，测得，的长度为15米． 测量示意图 （1）请你从两组方案中任选一组，根据提供的数据求出河流的宽度； （2）请你运用全等三角形的知识在不跨过河的情况下再设计一种方案对河宽进行测量．（要求：在图3中画出示意图，并标出字母，结合图形简要叙述你的方案，并说明方法的合理性． 【答案】（1）河流的宽度为15米 （2）见解析；答案不唯一 【解析】 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）第一小组：根据三角形外角性质求出，再根据等角对等边求出米；第二小组：根据，求出，根据等腰三角形的判定得出答案即可； （2）从B点向东走到O点，在O点插上一根标杆，继续向东走相同的路程，到达C点后，一直向南走到点D，使点A、标杆、人在同一直线上．测得长为15米，根据证明，得米． 【小问1详解】 解：第一小组：根据题意可知：， ∵， ∴， ∴， ∴米， 即河流的宽度为15米； 第二小组： ∵，， ∴， ∴， ∴米， 即河流的宽度为15米； 【小问2详解】 解：如图，从B点向东走到O点，在O点插上一根标杆，继续向东走相同的路程，到达C点后，一直向南走到点D，使点A、标杆、人在同一直线上．测得长为15米． 由题意得，， ， ， 米， 米， 河宽为15米． 22. 如图，中，． （1）用直尺和圆规作点，使得点到的两边的距离相等，且；（不写作法，保留作图痕迹） （2）过点作，垂足分别为，连接．判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和作图，垂直平分线的判定和作图，综合运用这些知识是解题的关键． （1）作的平分线，作线段的垂直平分线，交于点，据此求作； （2）用证得，根据邻补角的性质，即可得出结果． 【小问1详解】 解：点就是求作的点，如图所示； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵点到的两边的距离相等， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 23. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降． 实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是6，物体到定滑轮的垂直距离是8．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高7，求滑块向左滑动的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，注意计算的准确性即可. （1）计算即可求解； （2）计算即可求解； 【小问1详解】 解：由题意得6，． ∴， ∴， 即：绳子的总长度为 【小问2详解】 解：如图所示： 由题意得，6，8． ∴， ∴， 即：滑块向左滑动的距离为 24. 如图，在中，，点是的中点，点在的延长线上，点在的延长线上，． （1）求证：； （2）连接，若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质： （1）连接，根据题意可得，再由等腰三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，可证明，即可求证； （2）在中，利用勾股定理解答，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，． 25. 定义：如果一个三角形一边的平方与另一边上高的平方之和等于第三边的平方，则称这个三角形为“牵手三角形”，这条边与第三边的交点称为“牵手顶点”．例如图1，在中，是边上的高，若，则为“牵手三角形”，点为“牵手顶点”． （1）等边三角形______“牵手三角形”（填写“是”或者“不是”）； （2）如图2，已知为“牵手三角形”，其中点为“牵手顶点”，，是边上的高．在不添加其他线段和字母的情况下，找出图中一组相等的线段，并说明理由； （3）运用（2）中的结论解决下列问题： ①已知为“牵手三角形”，其中点为“牵手顶点”且是边上的高．若，则的长是______； ②如图3，为“牵手三角形”，其中为“牵手顶点”，是边上的高，，若．求证：为等腰三角形． 【答案】（1）不是 （2），理由见解析 （3）①8；②见解析 【解析】 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定，等边三角形的性质： （1）直接根据“牵手三角形”的定义，即可求解； （2）根据“牵手三角形”的定义，可得，在中，再由勾股定理可得，即可解答； （3）①由（2）得：，在中，再由勾股定理可得，即可求解；②证明，可得，，从而得到，再由，可得，延长交于点F，证明，可得，从而得到，即可求证． 【小问1详解】 解：∵等边三角形的三边相等， ∴等边三角形一边的平方与另一边上高的平方之和大于第三边的平方， ∴等边三角形不是“牵手三角形”； 故答案为：不 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵为“牵手三角形”，是边上的高， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①如图， 由（2）得：， 在中，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：8 ②证明：由（2）得：， ∵， ∴和、均为直角三角形， 在和中， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， 如图，延长交于点F， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 26. 【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是中线，点在的延长线上，，求证：平分； 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点是边的中点，点在上，，若，求的长． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）10 【解析】 【分析】（1）①根据证明，即可；②由①得：，可得，在中，根据三角形的三边关系，即可求解； （2）延长至点F，使，连接．由（1）得：，从而得到，再由，可得，从而得到，可证明，即可求证； （3）延长至，使得，连接，证明，得到，，进而得到，推出，，证明等边三角形，推出，证明，得到，，进而推出为等边三角形，得到，即可得出结论． 【详解】解：①∵是的中线， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， 故答案为： ②由①得：， ∴， 在中，， ∴，即， ∴； 故答案为：； （2）如图，延长至点F，使，连接． 同法（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 即平分； （3）延长至，使得，连接， ∵是的中点 ∴ ∵， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即：， ∴为等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，掌握倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$