2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019)必修第一册

2.1.2 一元二次方程的解集及其根 与系数的关系 1 【学习目标】 1.了解一元二次方程的概念，能用配方法求一元二次方程的解集; 2.掌握一元二次方程的求根公式并能熟练应用; 3.理解一元二次方程根与系数的关系，并会用根与系数的关系解决一元二 次方程问题. 2 知识点一 一元二次方程的解集 通过配方法将一元二次方程化为 _______ ，即 _______. 方程 的解集 _ ______________________ ___ 课 前 预 习 3 一般地，称为一元二次方程 的________.由 此可知，一元二次方程解集的情况完全由它的______决定. 注意：运用判别式解题时，特别注意一元二次方程 的隐含条件 . 判别式 系数 课 前 预 习 4 【诊断分析】判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）方程的解集的情况由 决定.( ) × [解析] 当时,方程解集的情况由 决定，故错误. （2）方程满足 .( ) × [解析] 当时， ，故错误. （3）方程的解集是 .( ) √ [解析] 因为，所以方程的解集是 ，故正确. （4）方程 一定有实数解. ( ) √ [解析] 因为 ，所以方程一定有实数解. 课 前 预 习 5 知识点二 一元二次方程根与系数的关系 当一元二次方程 的解集不是空集时，这个方程的解可 以记为_ __________，___________，则____， __，这 一结论通常称为一元二次方程根与系数的关系. 课 前 预 习 6 【诊断分析】判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）方程的解分别为，，则 .( ) × [解析] ,故错误. （2）若一元二次方程满足, ,则该方程有 一个正实数根，一个负实数根，且负实数根的绝对值大于正实数根的绝对值. ( ) √ [解析] 因为，所以该方程有两个不等的实数根.因为 ,所 以,即该方程有一个正实数根，一个负实数根，又因为 ,所以 ，所以该方程的负实数根的绝对值大于正实数根的绝对值. 课 前 预 习 7 （3）给定方程，若，，则， 是该 方程的根.( ) × [解析] 对于， ，故该方程无解. 课 前 预 习 8 探究点一 一元二次方程判别式的应用 例1（1） 下列四个结论中正确的是( ) D A.方程 有两个不相等的实数根 B.方程 有两个不相等的实数根 C.方程 有两个不相等的实数根 D.方程（其中为常数，且 ）有两个不相等的实数根 课 中 探 究 9 [解析] 对于A，由，得，， 原方程有两个相等的 实数根，故A错误； 对于B，由，得，， 原方程没有实数根，故B错误； 对于C，由，得，， 原方程有两个相等的实数根， 故C错误； 对于D，由，得 ，， 原方程有两个不相等的实数 根，故D正确.故选D. 课 中 探 究 10 （2）若关于的方程 的解集为非空集合，则实 数 的取值范围是________. [解析] 当，即时，方程为，解得 ，满足题意； 当，即时，若关于 的方程的解集为非空集合，则 ,解得，. 综上，实数 的取值范围是 . 课 中 探 究 11 （3）若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根， 则实数 的取值范围是_______________． [解析] 因为关于的方程 有两个不相等的实数根，所以 解得且，故实数 的取值范围为 . 课 中 探 究 12 ［素养小结］ 一元二次方程的解的情况分为“无实数根”“有两个相等的实数根”“有两个不相等 的实数根”三种情况，注意与判别式的对应关系． 课 中 探 究 13 探究点二 解一元二次方程 ［探索］ 如何求一元二次方程,,为常数, 的解? 课 中 探 究 14 解：判断的符号.若 ,则方程无解; 若 ,则方程有解,求解方法有: ①应用求根公式 求解; ②配方法,由 , 得 ,然后进行开平方运算; ③因式分解法,由十字相乘法得 ,则原方程可化 为,故方程的解为或 . 课 中 探 究 15 例2 求下列方程的解集. （1） ； 解：因为 ，所以原方程有两个不相等的实数根. 由求根公式可得， ，故该方程的解集为 . （2） ； 解：设，则原方程即为 ，因为 ，且，所以 （舍去）或，即,解得或 ，故该方程的解集为 . 课 中 探 究 16 （3） . 解：原方程可化为，解得或 ， 所以原方程的解集为, . 课 中 探 究 17 变式 求下列方程的解集. （1） ； 解:原方程可化为, ,由求根公 式得,，故该方程的解集为 . （2） ； 解：设，则,原方程等价于 ， ， 由求根公式得, （舍去）, 则,故该方程的解集为 . 课 中 探 究 18 （3） . 解：设,则,原方程可化为 ,即 ,所以, . 当时，,经检验，是原方程的实数根； 当 时，此方程无实数根. 故该方程的解集为 . 课 中 探 究 19 ［素养小结］ （1）求一元二次方程的解集时要注意，当 时,可应用因式分解法、配方法 或求根公式法求出方程的解集. （2）若方程能够进行因式分解，则其必满足，故此时可不用判断 与0的 大小关系，可直接根据因式写出解集. 课 中 探 究 20 探究点三 一元二次方程根与系数的关系 例3 若和是一元二次方程 的两个根，试用根与系数的关 系求下列各式的值. （1） ； 解：因为和是一元二次方程 的两个根，所以 ，，所以 . 课 中 探 究 21 （2） . 解：由（1）知， ，所以 . 课 中 探 究 22 变式（1） 已知 ， 是方程的两个根，则 的值为____. [解析] 由题意得，，故 ，则 ，由根与系数的关系可得 ，所以 . 课 中 探 究 23 （2）已知实数,满足条件, ，则 ___. [解析] 实数,满足条件,,且， 可把 , 看成是方程的两个根，, , . 课 中 探 究 24 （3）已知关于的方程,, 是此方程的两个根， 现给出三个结论： ;； . 其中正确结论的序号是______. ①② [解析] , ，故①正 确；,故②正确； ,即 , , 即 ，故③错误.综上所述,正确结论的序号是①②. 课 中 探 究 25 ［素养小结］ 一元二次方程根与系数的关系的应用需满足根存在，常见的转化关系有 ， ， . . 课 中 探 究 26 探究点四 利用根与系数的关系求字母的值或范围 例4（1） 已知,是关于的一元二次方程 的两个实数 根，且，则 的值为( ) B A.3 B. C.3或 D. 或2 [解析] 由题意得，解得，则 又 ，解得或 （舍去）.故选B. 课 中 探 究 27 （2）已知关于的方程 有两个不相等的实数根， 且两个根均大于0，则实数 的取值范围为_________________. [解析] 由题得,解得或.设关于 的 方程的两个不相等的实数根分别为，，则解得 . 综上，实数的取值范围为 . 课 中 探 究 28 变式 已知关于的方程 有两个不相等的实数根. （1）求实数 的取值范围； 解：因为关于的方程 有两个不相等的实数根,所以 ，即，解得，故实数 的取 值范围为 . 课 中 探 究 29 （2）设方程的两个实数根为,，且 ，求实数 的值. 解：由（1）知，由方程 的两个实数根为 ,，可得，因为 ，所以 ，解得或（舍去），所以实数 的值为1. 课 中 探 究 30 ［素养小结］ （1）利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注意根与系数 的关系应用的前提条件，即 . （2）利用根与系数关系, 能够建立根与系数的方程，进 而求解有关参数问题. 课 中 探 究 31 1.方程 的解是( ) C A. B. C.， D.， [解析] 由得，所以， .故选C. 课 堂 评 价 32 2.若关于的方程无实数根，则实数 的取值范围为( ) B A. B. C.且 D. [解析] 当时，原方程的根是，不符合题意；当 时，由题意知 ，解得 .故选B. 课 堂 评 价 33 3.一元二次方程 有一个正根和一个负根的一个充分不 必要条件是( ) C A. B. C. D. [解析] 设方程的两个根分别为， ，若一元二次方 程有一个正根和一个负根，则 解得 .结合选项知，一元二次方程 有一个正根和一个负 根的充分不必要条件是 .故选C． 课 堂 评 价 34 4.如果，是两个不相等的实数，且满足， ，那 么 等于( ) D A.2 B. C.1 D. [解析] ,,，是方程 ，即 的两个根, .故选D. 课 堂 评 价 35 5.[2023·广东汕头金山中学高一月考] 已知关于的方程 恰有3 个实根，则实数 的值为___. 2 [解析] 原方程可化为，解得 ，因为方程恰 有3个实根，且，所以，解得 . 课 堂 评 价 36 弗朗索瓦·韦达1540年生于法国的普瓦图，1603年12月13日卒于巴黎.他早年 的时候是法律专业的学生，当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，不 过，他将自己的业余时间都奉献给了有魅力的数学，并且一生保有这个爱好.在 法国与西班牙战争期间，他曾破译西班牙作战机密，首次崭露数学才能，但却 遭受西班牙宗教裁判所判决处以焚烧致死的极刑，幸未能执行.因为韦达的这一 次立功，他之后得到了更为重要的职位，如法国检察官、法国最高律师等.虽然 数学只是韦达的业余爱好，但是他在数学领域取得的成就使其成为法国十六世 纪最有影响力的数学家，在欧洲被尊称为“代数学之父”.他出版了多部数学专著， 其中《论方程的识别与订正》一书中讨论了方程根的多种有理变换，记载了著 名的韦达定理，即方程的根与系数的关系. 数 学 史 话 37 1.一元二次方程的解法 直接 开平 方法 形如 的方程，两边开平方，转化为两个一元一次方 程 配方 法 把一元二次方程 通过配方化成 的形式，再用直接开平方法求解 公式 法 一元二次方程满足 ，利用求根公 式 求解 因式 分解 法 一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，即可化 成的形式，即可解得两根为 ， 备 用 习 题 38 2.一元二次方程根与系数关系的应用 （1）不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是否为一元二次方程的两 个根. （2）已知方程的一个根，求方程的另一个根及未知系数. （3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于， 的式子的值.此时，常常 涉及代数式的一些重要变形，如： ① ； ② ； ③ ； ④ ； 备 用 习 题 39 ⑤ ； ⑥ ； ⑦ ； ⑧ ； ⑨ ； ⑩ . 备 用 习 题 40 （4）已知方程的两根，写出一个一元二次方程. 以两个数,为根的一元二次方程是 . （5）已知一元二次方程的两个根满足某种关系，确定方程中未知系数的值或取 值范围. （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 备 用 习 题 41 例1 （多选题）早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶， 数学家们得到了一元三次方程、一元四次方程的解法.设实系数一元三次方程 的根为，， ，则下列结论正确的是 ( ) ACD A. B. C. D.若 ，则1是原方程的一个根 备 用 习 题 42 [解析] 由题知 ， ， ，，当 时， .故选 . 备 用 习 题 43 例2 （多选题）已知关于的方程 ，则下列说法中正确 的是( ) ABC A.方程有一个正根和一个负根的充要条件是 B.方程有两个不相等的正根的充要条件是 C.方程无实数根的必要条件是 D.当 时，方程的两个实数根之和为0 [解析] A选项中，若方程有一个正根和一个负根，则 即 ；反之，时方程有一个正根和一个负根.故 是方程有一个正根 和一个负根的充要条件，A正确 备 用 习 题 44 选项中，若方程有两个不相等的正根，则 即；反之， 时方程有两个不相等的正根.故是方 程有两个不相等的正根的充要条件，B正确 选项中，若方程无实数根，则，即； 而 时方程可能无实数根，也可能有实数根.故是方程无实数根的必要 条件，C正确 选项中，当时，无实数根，D错误.故选 . 备 用 习 题 45 例3 已知关于的方程 ，根据下列条件，分别求出 的值. （1）方程两个实数根的积为5； 解： 方程两个实数根的积为5, 解得 , 当 时，方程两个实数根的积为5. 备 用 习 题 46 （2）方程的两个实数根,满足 . 解：①当时，， 方程有两个相等的非负实数根，故 ，解得 ，经验证，满足题意； ②当时，，则，即，解得，由 得，故 不符合题意，舍去. 综上可得，当时，方程的两个实数根,满足 . 备 用 习 题 47 $$