精品解析：江苏省苏州中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

江苏省苏州中学2024-2025学年度第一学期期中考试 高一数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟．请将答案填写在答题纸相应位置． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明 “做容易题”是“做难题”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 下列是关于的描述，其中错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数在单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数f（x）=（a，b，c，d∈R）的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 5. 已知函数，分别由下表给出，那么满足不等式的解集是（ ） x 1 2 3 1 3 1 x 1 2 3 3 2 1 A. B. C. D. 6. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知0<b<1+a，若关于x的不等式（x－b）2>（ax）2的解集中的整数恰有3个，则 A. －1<a<0 B. 0<a<1 C. 1<a<3 D. 3<a<6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得全分，有选错的不得分，部分选对的得部分分. 9. 已知函数，构造函数，下列函数的说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数 10. 已知二次函数，若不等式的解集为，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数是偶数函数 C. 的解集为 D. 若的解集为，则， 11. 给定实数集，定义集合都有，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作．以下说法正确的是（ ） A. 若数集中有2024个元素，则数集一定有上确界 B. 若数集中没有最大值，则数集中一定没有上确界 C. 若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为 D. 若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则______． 13. 已知，，，则的取值范围为______，的最小值为______． 14. 已知，，，若函数f：的值域是B且对任意x，，，都有，则满足如上条件的函数的个数为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点在幂函数的图象上． （1）求的表达式； （2）画出函数的图象，并根据函数图象写出的单调区间与最小值． 16. 已知集合使不等式成立． （1）用区间形式表示集合M； （2）设不等式的解集为N，若是的必要条件，求实数a的取值范围． 17. 某厂每年生产某种产品x万件，其成本包含固定成本和浮动成本两部分．已知每年固定成本为20万元，浮动成本，该厂规定每万件该产品销售价格为40万元，经过测算，当生产5万件时，年利润为55万元． （1）设年利润为（万元），试求与x的关系式； （2）年产量x为多少万件时，该厂所获利润最大？并求出最大利润． 18. 小明同学在学习“对勾函数”的图象与性质后，研究了函数，发现：函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增． （1）证明：是上的单调递增函数； （2）若对任意，恒成立，求实数m的最大值； （3）是否存在正实数a，b，使得函数，的值域为？若存在，求出a，b；若不存在，请说明理由． 19. 定义函数，的范数． （1）求，的值域，并指出的范数______； （2）若对任意实数，函数，的范数均不小于，求的取值范围； （3）已知函数，的范数为，讨论的最小值（用表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省苏州中学2024-2025学年度第一学期期中考试 高一数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟．请将答案填写在答题纸相应位置． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明 “做容易题”是“做难题”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意可知，“做容易题”不一定能推出“做难题”， 但“做难题”一定可以推出“做容易题”， 故“做容易题”是“做难题”的必要不充分条件， 故选：B. 2. 下列是关于的描述，其中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合与集合，元素与集合的关系逐一判断即可. 【详解】对于AB，，故A正确，B错误； 对于CD，，，故CD正确. 故选：B. 3. 已知函数在单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性，结合二次函数求出函数的单调递增区间，再借助集合的包含关系求出范围. 【详解】函数中，，解得或， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数在上单调递增，因此函数的单调递增区间是， 依题意，，解得， 所以a的取值范围是. 故选：D 4. 若函数f（x）=（a，b，c，d∈R）的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，先分析函数的定义域可得方程的两个根分别为，，结合根与系数的关系分析可得，，进而分析、、、的符号关系，分析选项可得答案． 【详解】解：根据题意，函数，则有， 由图象知，函数的定义域为且， 则方程的两个根分别为，， 所以，，所以，， 故有，异号，，同号，又因为，所以，异号， 所以D符合，ABC不符合. 故选：D. 5. 已知函数，分别由下表给出，那么满足不等式的解集是（ ） x 1 2 3 1 3 1 x 1 2 3 3 2 1 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出内函数的函数值，再求出外函数的函数值，即可求得结果. 【详解】当时，，则，不满足； 当时，，则，满足； 当时，，则，不满足； 所以不等式的解集为， 故选：A. 6. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 本题可根据题意以及进行计算，即可得出结果. 【详解】因为，，， 所以，，， 故的取值范围是， 故选：C. 7. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的定义求出时，再分段解不等式即得. 【详解】函数是定义在上的奇函数，由当时，， 得当时，，， 当时，，即，解得， 当时，，解得， 当时，无解，所以不等式的解集为. 故选：A 8. 已知0<b<1+a，若关于x的不等式（x－b）2>（ax）2的解集中的整数恰有3个，则 A. －1<a<0 B. 0<a<1 C. 1<a<3 D. 3<a<6 【答案】C 【解析】 【详解】由，整理可得（1－）－2bx+>0，由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有1－<0，此时>1，而0<b<1+a，故a>1， 由不等式 <0解得 即要使该不等式的解集中的整数恰有3个，那么－3<<－2，由<－2得－b<－2（a－1），则有a<+1，即a<+1<+1，解得a<3，由－3<得3a－3>b>0，解得a>1，则1<a<3． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得全分，有选错的不得分，部分选对的得部分分. 9. 已知函数，构造函数，下列函数的说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数并确定其奇偶性，再利用函数奇偶性定义逐项判断即得. 【详解】函数，则函数定义域为R， ，因此函数是奇函数， 对于A，是奇函数，A错误； 对于B，是偶函数，B正确； 对于C，，是奇函数，C正确； 对于D，，是奇函数，D正确. 故选：BCD 10. 已知二次函数，若不等式的解集为，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数是偶数函数 C. 的解集为 D. 若的解集为，则， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集确定二次方程的根，根据根与系数的关系找到之间的关系，即可判断A，用代替，得到解析式，根据奇偶性定义可判断B，根据题意可以得到可求得C，最后根据求一元二次不等式的解集为空集得到恒成立条件，判断D. 【详解】对于A，因为二次函数，不等式的解集为， 所以方程的两个根为， 根据根与系数的关系可得到，即， 所以， 所以，故A正确； 对于B，函数，是偶函数，故B正确； 对于C，，即，解得，故选项C错误； 对于D，的解集为，则无解（a不等于0）， 所以，解得，故选项D正确； 故选：ABD. 11. 给定实数集，定义集合都有，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作．以下说法正确的是（ ） A. 若数集中有2024个元素，则数集一定有上确界 B. 若数集中没有最大值，则数集中一定没有上确界 C. 若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为 D. 若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据上确界的定义即可判断AC；举出反例即可判断BD. 【详解】对于A，若数集中有2024个元素，则数集中的元素一定有最大值， 所以数集一定有上确界，故A正确； 对于B，若，当时，， 则数集中的元素没有最大值， 因为，都有，所以， 所以，即数集中有上确界，故B错误； 对于C，若数集有上确界，设， 由上确界的定义可知，对于，都有， 所以， 即，故C正确； 对于D，若，则数集有上确界，且， 此时， 则，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：理解新定义的概念是解决本题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的定义域和值域分别化简集合，再利用交集的定义求解即得. 【详解】依题意，， 所以. 故答案为： 13. 已知，，，则的取值范围为______，的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据基本不等式，基本不等式“1”的妙用可求得结果，注意一正二定三相等. 【详解】因为，所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的取值范围为； 因为，，， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 此时取得最小值为； 故答案为：；. 14. 已知，，，若函数f：的值域是B且对任意x，，，都有，则满足如上条件的函数的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件得到中元素个数的情况，再根据一个集合对应函数的个数得到结果. 【详解】首先，因为函数f：的值域是，所以中至少有两个元素， 又因为，，对任意x，，，都有， 当中元素个数为2个时，如,共21个，根据可得每个集合对应1个函数，所以此时共有21种情况， 当中元素个数为3个时，如,共35个，根据或可得到每个集合对应两个函数，所以此时共有种情况； 当中元素个数为4个时，如,共35个，根据或或得到每个集合对应3个函数，所以此时共有种情况； 当中元素个数为5个时，如,共21个，根据或或或得到每个集合对应4个函数，所以此时共有种情况； 当中元素个数为6个时，如,共7个，根据或或或或得到每个集合对应5个函数，所以此时共有种情况； 当中元素个数为7个时，如,共1个，根据或或或或得到每个集合对应6个函数，所以此时共有种情况； 所以共有：种情况， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点在幂函数的图象上． （1）求的表达式； （2）画出函数的图象，并根据函数图象写出的单调区间与最小值． 【答案】（1）； （2） 递减区间是，递增区间是，最小值. 【解析】 【分析】（1）把点的坐标代入求出即可. （2）求出并化成分段函数，借助二次函数图象作出函数的图象，利用图象求出单调区间及最小值. 【小问1详解】 由点在幂函数的图象上，得，即，解得， 所以的表达式为. 【小问2详解】 由（1）知，， 因此函数的图象是抛物线在或上的部分 与抛物线在上的部分组成，如图： 观察图象，得函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 当时，函数取得最小值. 16. 已知集合使不等式成立． （1）用区间形式表示集合M； （2）设不等式的解集为N，若是的必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用分离参数法，转化为有解问题，结合二次函数的性质可求出结果； （2）根据题意得到，分类讨论根之间的大小关系，从而得到取值范围. 【小问1详解】 根据题意可得在上有解， 即在上有解，只需， 令， 由知， 所以，则， 故的取值集合 【小问2详解】 因为是的必要条件， 所以，显然不为空集，即不为， 因为不等式的解集为N， 所以①当即时，，， 则，解得； ②当即时，，， 则，解得； 综上所述，a的取值范围是. 17. 某厂每年生产某种产品x万件，其成本包含固定成本和浮动成本两部分．已知每年固定成本为20万元，浮动成本，该厂规定每万件该产品销售价格为40万元，经过测算，当生产5万件时，年利润为55万元． （1）设年利润为（万元），试求与x的关系式； （2）年产量x为多少万件时，该厂所获利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1） （2）产量（万件）时，该厂所获利润最大为100万元 【解析】 【分析】（1）由销售收入减去成本可得利润； （2）分段求出的最大值，然后比较可得． 【小问1详解】 由题意，即，解得， 所以， 所以； 即； 【小问2详解】 时，， 则时，， 当时，， 当且仅当，即时，取等号， 则时，， 综上，产量万件时，该厂所获利润最大为100万元． 18. 小明同学在学习“对勾函数”的图象与性质后，研究了函数，发现：函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增． （1）证明：是上的单调递增函数； （2）若对任意，恒成立，求实数m的最大值； （3）是否存在正实数a，b，使得函数，的值域为？若存在，求出a，b；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：函数，， ， 当时，，则，， 因此，所以是上的单调递增函数. （2）4； （3）不存在，理由：由幂函数在上单调递增，得函数在上单调递增， 若存在正实数a，b，使得函数，的值域为， 则，正实数是方程，即的两个不等的正根， ，由，得，即， 函数在上单调递减，在上单调递增，函数在上的最小值， 因此方程无实数解，即方程无实数解， 所以不存在存在正实数a，b，使得函数，的值域为. 【解析】 【分析】（1）利用增函数的定义推理证明. （2）根据给定条件，分离参数，利用函数的单调性求出最小值即可. （3）假定存在，构造方程，借助函数在上的最小值推理判断即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 对任意，恒成立， 即，，而函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，则，解得，， 所以实数m的最大值为4. 【小问3详解】 略 19. 定义函数，的范数． （1）求，的值域，并指出的范数______； （2）若对任意实数，函数，的范数均不小于，求的取值范围； （3）已知函数，的范数为，讨论的最小值（用表示）． 【答案】（1）， （2） （3）当时，的最小值是；当时，的最小值是. 【解析】 【分析】（1）直接利用绝对值的性质求出值域，然后利用范数的定义求出范数； （2）只要证明“对任意的，都有”的充要条件是“”，即可说明的取值范围是； （3）对和两种情况分别进行讨论即可. 【小问1详解】 一方面，当时，有. 所以，即； 另一方面，对任意，有，. 综合两个方面可知，的值域为. 从而在上的最大值为，故. 【小问2详解】 ①一方面，若对任意的，都有，我们证明. 取，，则对，由及可知 ，. 故，而，所以此时. 结合，可知； ②另一方面，若，我们证明对任意的，都有. 假设存在使得，则对任意都有. 这表明，，，分别代入可得. 去分母即得，从而，矛盾. 这表明假设不成立，所以此时对任意的，都有. 综合①②两方面，可知的取值范围是. 【小问3详解】 ①当时：此时，首先有，从而. 一方面，当时，由于对，有，故 ， . 所以，而，所以. 另一方面，假设存在使得，则. 所以对任意都有，故，. 代入得，，所以，，. 故，但直接计算即知，矛盾. 所以恒有，结合，可知的最小值是； ②当时：此时，首先有，从而. 一方面，当时，由于对，有，故 ， . 所以，而，所以. 另一方面，假设存在使得，则. 所以对任意都有，结合，可知，. 代入得，，所以，. 故，但，矛盾. 所以恒有，结合，可知的最小值是. 综上，当时，的最小值是；当时，的最小值是. 【点睛】本题的关键在于理解范数的定义，只有理解了定义，方可解决相应的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $