小升初奥数培优：间隔与植树问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

间隔与植树问题 (知识梳理+典例分析+高频考题+答案解析) 一、间隔与植树问题的概念 间隔与植树问题主要研究植树地段的全长、间隔距离、株数三种数量之间的关系。这类问题通常分为沿路旁植树和沿周长植树两大类。 二、间隔与植树问题的常见类型 1、沿路旁植树 沿路旁植树的问题通常分为三种情形： （1）、两端都植树： 公式：棵数 = 全长 ÷ 间隔 + 1 间隔 = 全长 ÷ (棵数 - 1) 全长 = 间隔 × (棵数 - 1) 示例：如果一条非封闭线路的全长为20米，株距为4米，两端都要植树，那么需要植5棵树。 （2）、一端植树： 公式：棵数 = 全长 ÷ 间隔 全长 = 间距 × 株数 间隔 = 全长 ÷ 棵数 示例：如果一条非封闭线路的全长为30米，株距为6米，只在一端植树，那么需要植5棵树。 （3）、两端都不植树： 公式：棵数 = 全长 ÷ 间隔 - 1 全长 = 间距 × (棵数 + 1) 间隔 = 全长 ÷ (棵数 + 1) 示例：如果一条非封闭线路的全长为40米，株距为5米，两端都不植树，那么需要植7棵树。 2、沿周长植树 沿周长植树的问题通常是在封闭线路上进行的，如圆形、椭圆形等。此时，首尾两端重合在一起，所以植树的棵数和所分成的段数相等。 公式：棵数 = 全长 ÷ 间隔 全长 = 间隔 × 棵数 间隔 = 全长 ÷ 棵数 示例：如果一个圆形花坛的周长为125米，每隔5米栽一棵树，那么需要栽25棵树。 三、间隔与植树问题的基本方法 首先确定问题类型（沿路旁或沿周长），然后根据问题的具体情形选择相应的公式进行计算。 四、间隔与植树问题的注意事项 在解题过程中，要注意区分非封闭线路和封闭线路的不同情形，以及一端植树、两端植树和两端不植树的不同情况。同时，要确保已知量（全长、间隔或棵数）的准确性，以避免计算错误。 【典例1】如图，街道ABC在B处拐弯，在街道一侧等距离摆放盆花，要求A、B、C处各摆放一盆，这条街道最少摆放多少盆花？ 【答案】解：72与60的最大公因数是12， 72÷12=6 60÷12=5 6+5+1=12（盆） 答：这条街道最少摆放12盆花。 【解析】72与60的最大公因数是两盆花之间的间距；按一端植树计算，路程÷间距=植树棵数；AB的植树棵数+BC的植树棵数+点B处的一棵=总的植树棵数。 【典例2】如图，在一条马路旁有一排路灯，共9盏，每两盏路灯之间相隔4米。这排路灯有多长？ 【答案】解：9-1=8(个) 4×8=32(米) 答：这排路灯有32米。 【解析】这排路灯的总长=间距×间隔数；其中，间隔数=路灯的个数-1。 【典例3】王大爷在正方形鱼池边上种树，每边等距种树10棵，（四个角都要种树），每辆棵之间相距4米。鱼池的周长是多少米？ 【答案】解：(10-1)×4×4 =9×4×4 =144(米) 答：鱼池的周长是144米。 【解析】正方形的一边种树，相当于两端都植树，那么棵数比间隔数多1，用10减去1就是每边的间隔数，用间隔数乘4就是每边的长度，用每边的长度乘4就是鱼池的周长。 【典例4】笔直的跑道一旁插着51面小旗，它们的间隔是2m。现在要改为只插26面小旗（两端的旗子不动），间隔应改为多少米？ 【答案】解：（51-1）×2 =50×2 =100（米） 100÷（26-1） =100÷25 =4（米） 答：间隔应改为4米。 【解析】两端都插小旗，用51减去1求出间隔数，用间隔数乘2即可求出跑道总长度。插26面小旗时，间隔数是（26-1），所以用跑道总长度除以间隔数即可求出每个间隔的长度。 【典例5】如图，4 个杯子叠起来高 20 厘米，6 个杯子叠起来高 26 厘米。10 个杯子叠起来高 多少厘米？ 【答案】解：（26-20）÷（6-4） =6÷2 =3（厘米） （10-6）×3＋26 =4×3＋26 =12＋26 =38（厘米） 答：10 个杯子叠起来高38厘米。 【解析】叠6个杯子比叠4个杯子多6厘米，即多叠一个杯子多3厘米，那么10 个杯子叠起来高度=（10-6）×叠一个杯子的高度＋叠6个杯子的高度。 1． 在一条拓宽新建的长为 240 米的马路两旁各栽一行树， 起点和终点都栽一棵树，两行共栽了 122 棵，且每两棵树之间的距离相等。求相邻两棵树之间的距离。 2．数彩灯，新春佳节到了，长800米的大桥两侧挂起了彩灯.小红从起点数到终点，知道大桥两侧一共挂了202盏，而且她发现相邻两盏灯之间的距离都相等，你能帮小红算一算相邻两盏灯之间的距离吗？ 3．重庆轨交 3 号线南起鱼洞北止江北机场， 是世界上最长的跨座式单轨交通线路，全长 ， 在地面、地下以及架空共设车站 39 座， 其中地面车站 1 座， 地下车站是架空车站的 。架空车站有多少座？ 4．一个圆形牛栏的半径是12米，要用多长的粗铁丝才能把牛栏围上3圈？如果每隔2米装一根水泥柱 ，大约要装多少根水泥柱（接头处忽略不计）？ 5．公园里有一个周长是100米的圆形花坛，要在花坛一周摆月季花，相邻两盆之间的距离是2.5米．花坛周围一共可以摆多少盆月季花？ 6．星期一升旗时，小明所在班级刚好排成两个纵队，小明前面站有12人，后面站有11人，如果每相邻两个人间隔4分米，小明所在班级排成的纵队长度是多少米？ 7．阳光小学在正方形的草坪四周摆放鲜花，每边放6盆。小玲认为一共需要24盆，小芳认为一共需要20盆，小丽认为一共需要16盆。谁的观点对？请画图说明理由。 8．王阿姨组装一个1.92米高的收纳柜。每隔32厘米安装一个隔层（如图所示），装一个隔层大约需要3分钟，安装好所有的隔层大约需要多长时间？ 9．一段公路，每隔2千米立一块标志牌，从起点到终点一共立了6块标志牌（两端都立有标志牌，这段公路全长多少千米？先画一画，再解决问题。 10．校道两侧插彩旗，每侧15根（含两端），每相邻两根间的距离是5米。 （1）请问校道长多少米？ （2）如果要把相隔距离改成2米，最多有几根彩旗不需要移动？ 11．某小学举行运动会，要在一个周长为80米的正方形操场四周插彩旗，每隔4米插一面，四个顶点都要插，一共要插多少面彩旗？ 12．乐乐从一楼走到3楼，共走了36级台阶，如果每层之间的台阶相等，她从一楼到12楼要走多少台阶？ 13．笔直的跑道一旁插有25面小旗，它们的间隔是2米。现在要改为只插17面小旗（两端的旗子不动），间隔应改为多少米？ 14．小红和小芳同住一幢高层建筑，小红家住在5楼，小芳家住在20楼，两人都从一楼乘电梯上楼，如果两个电梯速度相同，小红从1楼到5楼用了分钟，那么小芳从1楼到20楼要多少分钟？ 15．学校开运动会，在100米长的跑道一旁的两端已经插了两面大红旗，老师要求每间隔5米再插一面小彩旗，共需插小彩旗多少面？ 16．为了创建绿色小学，学校在教学楼和图书馆间的小路两旁栽了58棵水杉树，相邻两棵树间的距离都是3米，路两端的树距楼也是3米。教学楼和图书馆之间的小路长多少米？ 17．张老师为了方便同学们在雨天挂伞，想与同学们一起制作一个挂伞装置（如图），一共可以挂20把伞，每两个钩子之间的距离为20cm． 18．一条道路长2000米，现在要在道路的两旁每隔50米安装一盏路灯（两端都安装），一共要安装多少盏路灯？ 19．周一学校举行升旗仪式，五（2）班刚好排成两列纵队，张亮前面有9人，后面有11人。已知从第一名同学到最后一名词学的距离是20 m，相邻两名同学的间距都相同。相邻两名同学的间距是多少米？ 20．在一排10名男同学的队伍中，每两名男同学之间插进1名女同学，请你想一想，可以插进多少名女同学？ 21．节日来临，同学们用盆花在操场上摆了一个空心花坛，最外层的一层每边摆了 盆花，一共 层，一共用去多少盆花？ 22．一座喷泉由内外两层构成，外层每10分钟喷水一次，内层每6分钟喷水次。某天下午1时，喷泉内外层同时第一次喷水，到下午5时30分停止喷水。这天下午内外层同时喷水多少次？ 23．街心公园一条直甬路，直甬路的一侧两端各种着一株海棠树，现在在两棵海棠树之间每隔12米栽一棵木槿树，共用树苗25棵，这条甬路长多少米? 24．一条路的一侧原有木电线杆51根（两端都有），每两根之间相隔12米，现在要全部换成水泥电线杆。如果每两根水泥电线杆的间隔是20米（两端都有），需要多少根水泥电线杆？ 25．某工厂生产一种圆盘形玩具，在圆盘正面的圆周上均匀分布安装 10 个小球，其中 3 个为红球， 7 个为白球， 如图所示， 若两个圆盘都正面朝上， 可以圆心对圆心， 红球对红球， 白球对白球叠放在一起，就算同一种规格。问：这类玩具一共可以有多少种不同的规格？ 26．城市公园里有一个如图所示的音乐喷泉，沿着喷泉的周边每隔1.5米安装一个喷水管。共要安装多少个喷水管？ 27．在笔直的跑道一旁插60面小旗，相邻两面的小旗的间隔是1.5米，现在要改为只插31面小旗（两端的小旗不动），间隔应改为多少米？ 28．西湖公园要对小河的一侧进行绿化，等距离地栽上柳树（两头都栽）。已知小河AB的长为171米，在如图所示的C处，已经有了一棵这样的柳树，如果要将这棵柳树利用起来，至少要购买多少棵柳树？ 29．48名学生在操场上做游戏。大家围成一个正方形，每边人数相等。四个顶点都有人，每边各有几名学生？ 30．放学了，同学们做值日摆桌子，每两张桌子之间相差4分米，需要摆6张桌子，从第一张桌子到第6张桌子之间一共相差多少米？ 1．【答案】解： （米） 答： 相邻两棵树之间的距离为4米。 【解析】两旁一共栽了122棵树，那么-旁就是栽了棵树；起点和终点都栽，由此可得一旁有个间隔，用总长除以间隔数求解即可。 2．【答案】8米 【解析】【解答】800÷(202÷2-1) =800÷(101-1) =800÷100 =8（米） 答：相邻两盏灯之间的距离是8米. 【分析】根据植树问题的解答方法，先求出大桥每边各挂多少盏灯，然后求出101盏彩灯把800米长的大桥分成多少段，然后用总长度÷段数=相邻两盏彩灯之间的距离，据此解答. 3．【答案】解：39-1=38（座）， （座）。 答：架空车站 有28座。 【解析】由题意，可得地下车站和架空车站的和为28座，再根据 地下车站是架空车站的 列式计算即可。 4．【答案】解：3.14×12 ×2 =37.68×2 =75.36（米） 75.36×3= 226.08（米） 75.36÷2≈38（根） 答：要用226.08米的粗铁丝才能把牛栏围上3圈；大约要装38根水泥柱。 【解析】把牛栏围上3圈需要粗铁丝的长度=圆形牛栏的周长×3；其中，圆形牛栏的周长=半径×2×π； 大约要装水泥柱的根数=圆形牛栏的周长÷间距。 5．【答案】解：100÷2.5=40（盆） 答：花坛周围一共可以摆40盆月季花 【解析】根据题意知道，圆形是一个封闭的图形，所以只要求出100里面有几个2.5，就知道摆几盆月季花． 6．【答案】解：4分米=0.4米 12+1+11=24（人） （24-1）×0.4 =23×0.4 =9.2（米） 答：小明所在班级排成的纵队长度是9.2米。 【解析】小明前面站的人数+小明总价+后面站的人数=这一队的总人数，总人数-1=间隔数，间隔数×间距=总长。 7．【答案】解： 4×4＋4=20（盆），如果顶点放一盆，需要20盆，小芳观点对； 6×4=24（盆），如果顶点不放，需要24盆，小玲的观点也是对的。 【解析】如果顶点放一盆，需要的总盆数=4盆＋每边放的4盆×边数； 如果顶点不放，需要的总盆数=每边放的盆数×边数。 8．【答案】解：1.92米=192厘米 (192÷32-1)×3 =(6-1)×3 =5×3 =15(分钟) 答：安装好所有的隔层大约需要15分钟。 【解析】首先根据1米=100厘米将收纳柜的高度换算成以厘米为单位；由图可知，收纳柜的两端不需要安装隔层，那么用收纳柜高度除以隔层间隔再减1就可以求出需要安装的隔层个数；最后用隔层个数乘上每个隔层安装需要的时间即可解答。 9．【答案】解： （6-1）×2 =5×2 =10（千米） 答：这段公路全长10千米。 【解析】两端都栽树的植树问题，这段公路的全长=（棵树-1）×间距。 10．【答案】（1）解：（15﹣1）×5 =14×5 ＝70（米） 答：校道长70米。 （2）解：2和5的最小公倍数是10 （70÷10+1）×2 =8×2 ＝16（根） 答：最多可以有16根彩旗不需要移动。 【解析】（1）根据题目，每相邻两根彩旗间的距离是5米，每侧有15根彩旗，那么间隔数就是彩旗根数-1，即14个。所以，校道的长度就是间隔数乘以每个间隔的长度； （2）如果要把相隔距离改成2米，那么不需要移动的彩旗就是原来间隔为2和5的最小公倍数10米的彩旗。所以，我们需要计算出校道长度70米内有多少个10米，再加上第一根彩旗，就是不需要移动的彩旗数量。 11．【答案】解：80÷4=20（面） 答：一共要插20面彩旗。 【解析】环形植树：总长÷株距=植树棵数。 12．【答案】解：36÷（3－1）＝18（级） 18×（12－1）＝198（级） 答：她从一楼到12楼要走198台阶。 【解析】我们知道从一楼到三楼是走了（3-1）层，所以每层之间的台阶数=一楼到三楼的总台阶数÷层数；同样的从一楼到十二楼有（12-11）层，所以用每层的台阶数×层数即可得出答案。 13．【答案】解：2×（25-1） =2×24 =48（米） 48÷（17-1） =48÷16 =3（米） 答：间隔应改为3米。 【解析】25面小旗24个间隔，间隔数×间距=总长；17面小旗16个间隔，总长÷间隔数=间距。 14．【答案】解：÷（5﹣1）×（20﹣1） =÷4×19 =×19 =（分钟） 答：小芳从1楼到20楼要分钟． 【解析】小红从1楼到5楼用了分钟，一共上了4层，那么上一层需要的时间是÷4分钟；小芳从1楼到20楼需要上20﹣1=19层，再用上每层的时间乘上上的层数即可求解． 15．【答案】解：100÷5+1-2 =20+1-2 =21-2 =19（面） 答：共需插小彩旗19面。 【解析】两端植树：总长÷株距+1=植树棵数；植树棵数-已经插的2面红旗=还需要插红旗的面数。 16．【答案】解：3×（58÷2+1）=90（米） 答：教学楼和图书馆之间的小路长90米。 【解析】因为路的两旁都种树，所以路的一旁有树的棵数=两旁一共栽树的棵数÷2，又因为路两端的树距楼也是3米，所以教学楼和图书馆之间的小路的长度=相邻两棵树间的距离×（路的一旁有树的棵数+1），据此代入数据作答即可。 17．【答案】解：20×（20﹣1） ＝20×19 ＝380（厘米） 答：最短要准备380厘米的木条。 【解析】要使木条的长度最短，那么挂伞装置的两端要挂上钩子，所以最短要准备木条的长度=每两个钩子之间的距离×（雨伞的把数-1），据此代入数据作答即可。 18．【答案】解：2000÷50+1 =40+1 =41（盏） 41×2=82（盏） 答：一共要安装82盏路灯。 【解析】两端植树：总长÷株距+1=一旁的植树棵数；一旁的植树棵数×2=两旁的植树棵数。 19．【答案】解：20÷（9+11+1-1） =20÷20 =1（米） 答：相邻两名同学的间距是1米。 【解析】用张亮前面的人数加上后面的人数，再加上张亮本人就是这列纵队的总人数。间隔数=总人数-1，用总人数减去1求出间隔数，用这列纵队的总长度除以间隔数即可求出相邻两名同学的间距。 20．【答案】10-1=9（名） 答：可以插进9名女同学。 【解析】每两名男同学之间插进1名女同学，10名男生共9个间隔，因此能插进9名女同学。 21．【答案】解：（法 ）不论是空心方阵还是实心方阵，每向里一层，每边的花盆就少 个，每层的花盆就少 个，因此可以依次求出每层花盆的个数．最外层有花盆： （盆），第二层有： （盆），第三层有： （盆），共有： （盆）． （法 ）将三层花盆分成四块，形成四个相等的长方形．它们的长是 个，宽是 个， 个，即每个长方形中包括 个花盆，再将结果乘以 就得到总数是 个，于是我们可以总结为：空心方阵中点的总个数=（最外层每边的个数-层数）×层数× ． （法 ）也可以将这种情况看作从一个大的实心方阵中取出一个小的实心方阵． 【解析】方法一：方阵中每相邻两层差8人，最外层有花盆的盆数=（最外层的一层每边摆花的盆数-1）×4，所以第二层有花盆的盆数=最外层有花盆的盆数-8，第三层有花盆的盆数=第二层有花盆的盆数-8，最后把这三层花盆的盆数加起来即可。 方法二：方阵中点的总个数=（最外层每边的个数-层数）×层数×4，据此作答即可。 方法三：一共用去花的盆数=方阵中一共可以放花的盆数-除去外面的三层剩下的可以放花的盆数，据此作答即可。 22．【答案】解： 10和6的最小公倍数是2×5×3=30 5时30分-1时=4时30分 4时30分=270分 270÷30=9（次） 9＋1=10（次） 答：这天下午内外层同时喷水10次。 【解析】先用短除法求出10和6的最小公倍数是30，也就是每隔30分钟，喷泉内外层同时喷水，从下午1时到下午5时30分共经过270分钟，270分钟里面有9个30分钟，则这天下午内外层同时喷水的总次数=1＋9=10次。 23．【答案】解：2+25+1=26(个) 12×26=312(米) 答：这条甬路长312米。 【解析】木槿树苗两端都不栽，间隔数比木槿棵数多1，因此用木槿树棵数加上1就是间隔数，用间隔数乘间隔的长度即可求出这条路的长度。 24．【答案】解：（51-1）×12 =50×12 =600（米） 600÷20+1 =30+1 =31（根） 答：需要31根水泥电线杆。 【解析】两端植树：全长=株距×(株数-1)；株数=全长÷株距+1，据此解答。<o:p 25．【答案】解：按两个红球间隔白球的数量分类 用黑点代表红球，空心点代表白球，最多间隔3个白球的有2种不同规格： 最多间隔4个白球的有4种不同规格： 类似地，最多间隔5个白球的有3种不同的规格 最多间隔6个白球的有2种不同的规格 最多间隔7个白球的有1种规格 所以，共有：2+4+3+2+1=12(种) 答：这类玩具一共可以有12种不同的规格。 【解析】当3个红球都不相邻时，7÷3=2……1，所以最少间隔2+1=3(个)白球；因此，按两个红球间隔白球的数量分：最多间隔3、4、5、6、7个；分类讨论即可得到答案。 26．【答案】解：（3.14×50+71.5×2）÷1.5 =（157＋143）÷1.5 =300÷1.5 =200（个） 答：共要安装200个喷水管。 【解析】【分析】共要安装喷水管的个数=音乐喷泉的周长÷间距；其中，音乐喷泉的周长=π×直径＋长×2。 27．【答案】解：（60-1）×1.5÷（31-1） =59×1.5÷30 =88.5÷30 =2.95（米） 答：间隔应改为2.95米。 【解析】间隔应改为的长度=（原来小旗的面数-1面）×间距÷（现在小旗的面数-1面）。 28．【答案】解：95=5×19，76=4×19， 95和76的最大公因数是19， 两棵树之间的距离是19米 171÷19+1-1 =9+1-1 =9（棵） 答：至少要购买9棵柳树。 【解析】植树问题：全长÷株距+1=株数，株数-中间的1棵=至少要购买柳树的棵数。 29．【答案】解：(48+4)÷4 =52÷4 =13(人) 答：每边各有13名学生。 【解析】四个顶点的四个学生是重复计数的，用48加上4再除以4即可求出每边的学生数。 30．【答案】解：（6-1）×4=20（分米） 20分米=2米 答：从第一张桌子到第6张桌子之间一共相差2米。 【解析】摆6张桌子共5个间隔，用每两张桌子之间的长度乘间隔数即可求出从第一张桌子到第6张桌子之间一共相差的长度，然后统一单位，1米=10分米。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$