九年级数学第三次月考卷（南京专用，苏科版九年级上册第1章-下册第5章）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期第三次月考

( ) ( ) 2024-2025学年九年级数学第三次月考卷 数学答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题 2 分，共 16 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题 2 分，共 20 分） 7 ． ______________ 8 ． ______________ 9 ． ______________ 10 ． ______________ 11 ． ______________ 12 ． ______________ 13 ． ______________ 14 ． ___ ___________ 15 ． ______________ 16 ． ______________ 三 、解答题：本题共 11 小题，共 88 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17． (8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18． （8分） 19． （6分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20． （6分） 21． （8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22． （8分） 23． （8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 24． （8分） 25． （8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 26． （10分） 27． （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：苏科版九年级第1章（20%）、第2章（30%）、第3章（10%）、第4章（10%）、第5章（30%）。 5．难度系数：0.8。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．若是关于x的一元二次方程的一个解，则c的值是（  ） A． B． C．1 D．3 3．某班六个合作学习小组人数如下：5，6，x，7，7，8．已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是（   ） A． B．6 C． D．5 4．如图，，是的直径，弦，连结，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线与x轴交于点和，则的值为（　　） A．1 B． C．2022 D． 6．一块含角的直角三角板和一块量角器如图摆放（三角板顶点A与量角器0刻度处重合），量角器与三角板交于点D，经测量知，点E为中点，点F为弧上一动点，则的最小值为（　　） A．9 B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7．若方程是关于x的一元二次方程，则 ． 8．二次函数经过点和，则这个二次函数的对称轴是直线 ． 9．的半径为，点P到圆心O的距离为，点P与的位置关系是 ． 10．把二次函数的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线解析式是 ． 11．数学兴趣小组的甲、乙、丙、丁四位同学进行还原魔方练习，表格中记录了他们10次还原魔方所用时间的平均值x与方差，要从中选择一名还原魔方用时少又发挥稳定的同学参加比赛，应该选择 ． 甲 乙 丙 丁 x(秒) 30 30 28 28 1.21 1.05 1.21 1.05 12．如图，一只蚂蚁在树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个叉路口都随机选择一条路径，它获得食物的概率是 ． 13．圆锥的侧面展开图的面积为，圆锥母线与底面圆的半径之比为，则母线长为 ． 14．设是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为 ． 15．如图，以扇形的顶点为原点，半径所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，若拋物线与扇形的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是 ． 16．如图，在中，，平面上有一点，，连接，取的中点．连接，在绕点的旋转过程中，则的最大值是 ． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（8分）解方程： (1)； (2)． 18．（8分）2022年5月10日，搭载天舟四号货运飞船的长征七号遥五运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，发射取得圆满成功．为激发广大青少年了解航天知识的热情，某校组织了航天知识的相关讲座和课程，并进行了航天知识竞赛，教务处随机抽取了50份竞赛卷进行统计，发现最低分为65分，最高分为100分，并绘制了如下尚不完整的统计图表． 组别 成绩x（分） 频数（人数） 各组总分（分） A 95≤x≤100 8 778 B 85≤x＜95 m 2070 C 75≤x＜85 n 1280 D 65≤x＜75 3 222 请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)m= ，C组所占圆心角度数为 °； (2)此次被抽取的竞赛卷成绩的中位数落在 组，并求此次被抽取的竞赛卷成绩的平均数； (3)学校计划对成绩为95≤x≤100的学生进行奖励，若该校共有1000人参加此次竞赛，请估计此次竞赛获得奖励的学生人数． 19．（6分）为感受华夏五千年的文明脉络，某校组织学生开展“璀璨历史，古都魅力”的研学之旅，策划了三条研学路线让学生选择：A．秦文化，走进秦始皇兵马俑；B．唐文化，走在丝路上的传奇；C．汉文化，走进汉长安城未央宫遗址．每人只能选择一条线路，小明和小红两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了三张不透明的卡片，正面分别写上字母，代表线路，卡片除了正面的字母以外其余完全相同，将三张卡片正面向下洗匀，小明先随机抽取一张卡片，记下字母后放回、洗匀，小红再随机抽取一张卡片．请用画树状图或者列表法，求两人抽到同一路线的概率． 20．（6分）如图，是的直径，为上一点，为上一点，且，延长交于，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．（8分）已知二次函数的图像过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)已知二次函数与直线交于A、B两点，请结合图像直接写出不等式的解集． 22．（8分）如图，为的直径，交于点C，D为上一点，延长交于点E，延长至F，使，连接． (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 23．（8分）由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元． (1)求出这两次价格上调的平均增长率； (2)在有关部门调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包，当销售额为320元时，应该降价多少元？ 24．（8分）请用无刻度的直尺完成下列作图：保留作图痕迹，不写作法 (1)如图，已知等腰中，，以为直径的与交于点，请作出的平分线； (2)如图，已知等腰内接于，且，请作出的平分线； (3)如图，已知直角内接于，为直径，是上一点，且，请作出的平分线． 25．（8分）【知识技能】 （1）已知，是关于x的一元二次方程 的两实数根，求m的取值范围； 【数学理解】 （2）已知，是关于x的一元二次方程的两实数根，等腰三角形的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【拓展探索】 （3）如图，如果三边的长分别为a，b，c，那么根据秦九韶一海伦公式可得．其中，在（2）的条件下，若和的平分线交于点I，求的面积． 26．（10分）定义：三角形两个内角的平分线相交所成的钝角称为该三角形第三个内角的好望角． (1)如图1，是中的好望角，，请用含的代数式表示． (2)如图2，在中，的平分线与经过两点的圆交于点，且．求证：是中的好望角． (3)如图3，在 （2）的条件下， ①取弧的中点，连接，若，求圆的半径． ②若，，请直接写出线段的最大值． 27．（10分）如图1，抛物线与x轴，y轴分别交于，，C三点． (1)试求抛物线的解析式； (2)若P点在第一象限的抛物线上，连接，当的面积最大时，求点P的坐标． (3)点在第一象限的抛物线上，连接．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年九年级数学第三次月考卷 数学答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8 分） 19．（6 分） 20．（6 分） 21．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、选择题（每小题 2 分，共 16 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 2 分，共 20 分） 7．______________8．______________9．______________ 10．______________ 11．______________12．______________13．______________14．______________ 15．______________16．______________ 三、解答题：本题共 11 小题，共 88分。解答应写出文字说明、证明过 程或演算步棸。 17．(8 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（8 分） 23．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（8 分） 25．（8 分） 26．（10 分） 27．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：苏科版九年级第1章（20%）、第2章（30%）、第3章（10%）、第4章（10%）、第5章（30%）。 5．难度系数：0.8。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：是抛物线的顶点式， 顶点坐标为， 故选：． 2．若是关于x的一元二次方程的一个解，则c的值是（  ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【详解】解：把代入方程，得 ， 解得：， 故选：B． 3．某班六个合作学习小组人数如下：5，6，x，7，7，8．已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是（   ） A． B．6 C． D．5 【答案】A 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴这组数据为： 故中位数为：， 故选：A 4．如图，，是的直径，弦，连结，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：弦， ， 由圆周角可知，， ， ， ， ， 故选：A 5．已知抛物线与x轴交于点和，则的值为（　　） A．1 B． C．2022 D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点和， ∴方程的解为a、b， ∴，， ∴ ∴． 故选B． 6．一块含角的直角三角板和一块量角器如图摆放（三角板顶点A与量角器0刻度处重合），量角器与三角板交于点D，经测量知，点E为中点，点F为弧上一动点，则的最小值为（　　） A．9 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设量角器刻度处为点G，如图， 则为半圆的直径，设的中点为O，则点O为圆心，连接， ∵点E为中点， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点F为弧上一动点， ∴当点O，E，F在一条直线上时，取得最小值． ∴的最小值为． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7．若方程是关于x的一元二次方程，则 ． 【答案】 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．二次函数经过点和，则这个二次函数的对称轴是直线 ． 【答案】 【详解】解：∵二次函数经过点和， ∴这个二次函数的对称轴是直线， 故答案为：． 9．的半径为，点P到圆心O的距离为，点P与的位置关系是 ． 【答案】点P在外 【详解】解：∵的半径为，点P到圆心O的距离为，， ∴点P与的位置关系是点P在外． 故答案为：点P在外． 10．把二次函数的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线解析式是 ． 【答案】 【详解】解：二次函数的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得， 故答案为：． 11．数学兴趣小组的甲、乙、丙、丁四位同学进行还原魔方练习，表格中记录了他们10次还原魔方所用时间的平均值x与方差，要从中选择一名还原魔方用时少又发挥稳定的同学参加比赛，应该选择 ． 甲 乙 丙 丁 x(秒) 30 30 28 28 1.21 1.05 1.21 1.05 【答案】丁 【详解】解：在这四位同学中，丙、丁的平均时间一样，比甲、乙的用时少，但丁的方差小，成绩比较稳定，由此可知，可选择丁 故答案为：丁 12．如图，一只蚂蚁在树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个叉路口都随机选择一条路径，它获得食物的概率是 ． 【答案】 【详解】解：∵有3条路径，有1条路径树枝上有食物， ∴它获得食物的概率是． 故答案为： 13．圆锥的侧面展开图的面积为，圆锥母线与底面圆的半径之比为，则母线长为 ． 【答案】 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为，则：母线长为， 由题意，得：， ∴（负值舍去）， ∴母线长为． 故答案为：． 14．设是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， 即， ， ，解得，． 检验：当时，原方程可化为， ， 方程有实数根，符合题意； 当时，原方程可化为， ， 方程无实数根，不符合题意． 故答案为： 15．如图，以扇形的顶点为原点，半径所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，若拋物线与扇形的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴直线的解析式为； 联立二次函数解析式得：，消去y并整理得：， ，得； 此时抛物线与扇形的边界只有一个公共点； 把点B坐标代入中，得， 解得：， 此时抛物线与扇形的边界也只有一个公共点； 综上，当时，此时抛物线与扇形的边界总有两个公共点； 故答案为：． 16．如图，在中，，平面上有一点，，连接，取的中点．连接，在绕点的旋转过程中，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】解：取的中点，连接， ， ， 点为中点，点为中点， 为的中位线， ， 则点在以点为圆心，为半径的圆上， 连接， ， 当点三点依次共线时最长， ∴的最大值为， 故答案为：． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（8分）解方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：， ，即， 或， 解得，；...........................................................4分 （2）解：， ，即， ， 或， 解得，．...........................................................8分 18．（8分）2022年5月10日，搭载天舟四号货运飞船的长征七号遥五运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，发射取得圆满成功．为激发广大青少年了解航天知识的热情，某校组织了航天知识的相关讲座和课程，并进行了航天知识竞赛，教务处随机抽取了50份竞赛卷进行统计，发现最低分为65分，最高分为100分，并绘制了如下尚不完整的统计图表． 组别 成绩x（分） 频数（人数） 各组总分（分） A 95≤x≤100 8 778 B 85≤x＜95 m 2070 C 75≤x＜85 n 1280 D 65≤x＜75 3 222 请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)m= ，C组所占圆心角度数为 °； (2)此次被抽取的竞赛卷成绩的中位数落在 组，并求此次被抽取的竞赛卷成绩的平均数； (3)学校计划对成绩为95≤x≤100的学生进行奖励，若该校共有1000人参加此次竞赛，请估计此次竞赛获得奖励的学生人数． 【详解】（1）解：根据题目中的信息得m=50×46%=23， n=50-23-3-8=16， ∴C组所占圆心角度数为：， 故答案为：23，115.2°．...........................................................3分 （2）解：把本次抽查的学生成绩按从小到大的顺序排列，排在第25和26位的数的平均数是中位数，而第25和26都在B组，故平均数也是在B组，故此次被抽取的竞赛卷成绩的中位数落在B组， （778+2070+1280+222）÷50=87． 故答案为：B，87．...........................................................6分 （3）解：1000×16%=160（人） 故此次竞赛获得奖励的学生人数是160人．...........................................................8分 19．（6分）为感受华夏五千年的文明脉络，某校组织学生开展“璀璨历史，古都魅力”的研学之旅，策划了三条研学路线让学生选择：A．秦文化，走进秦始皇兵马俑；B．唐文化，走在丝路上的传奇；C．汉文化，走进汉长安城未央宫遗址．每人只能选择一条线路，小明和小红两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了三张不透明的卡片，正面分别写上字母，代表线路，卡片除了正面的字母以外其余完全相同，将三张卡片正面向下洗匀，小明先随机抽取一张卡片，记下字母后放回、洗匀，小红再随机抽取一张卡片．请用画树状图或者列表法，求两人抽到同一路线的概率． 【详解】解：依题意，画树状图如下：   ...........................................................2分 共有9种等可能的结果，其中小明和小红两人都抽到相同字母的结果有3种，即两人抽到同一路线的结果有3种，...........................................................4分 ∴两人抽到同一路线的结果的概率是．...........................................................6分 20．（6分）如图，是的直径，为上一点，为上一点，且，延长交于，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【详解】（1）解：∵是的直径，为上一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴．...........................................................3分 （2）解：如图，连接、， ∵，由（1）可知， ∴， ∵和是所对的圆周角和圆心角， ∴， ∵和是所对的圆周角和圆心角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．...........................................................6分 21．（8分）已知二次函数的图像过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)已知二次函数与直线交于A、B两点，请结合图像直接写出不等式的解集． 【详解】（1）解：将，代入得，， 解得，， ∴；...........................................................4分 （2）解：∵， ∴， ∴不等式的解集为二次函数图像在一次函数图像上方部分所对应的的取值范围， 由图像可知，不等式的解集为或． ...........................................................8分 22．（8分）如图，为的直径，交于点C，D为上一点，延长交于点E，延长至F，使，连接． (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵是半径， ∴为的切线；...........................................................4分 （2）解：设的半径，则， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴的半径为3．...........................................................8分 23．（8分）由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元． (1)求出这两次价格上调的平均增长率； (2)在有关部门调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包，当销售额为320元时，应该降价多少元？ 【详解】（1）解：设这两次价格上调的平均增长率为x, 依题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：这两次价格上调的平均增长率为．...........................................................4分 （2）设每包应该降价m元，则每包的售价为元，每天可售出包， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 经检验符合题意， 答：每包应该降价2元．...........................................................8分 24．（8分）请用无刻度的直尺完成下列作图：保留作图痕迹，不写作法 (1)如图，已知等腰中，，以为直径的与交于点，请作出的平分线； (2)如图，已知等腰内接于，且，请作出的平分线； (3)如图，已知直角内接于，为直径，是上一点，且，请作出的平分线． 【详解】（1）解：如图，连接，则平分，说明如下： ∵ 是直径 ∴ 又 ∴ ∴即为所求；...........................................................2分 （2）如图所示，即为所求．说明如下：连接， ∵，， ∴ ∴ ∴平分．...........................................................5分 （3）解：如图，连接，延长交于点P，连接，即为所求． ∵ ∴ ∵ ∴ ∴．...........................................................8分 25．（8分）【知识技能】 （1）已知，是关于x的一元二次方程 的两实数根，求m的取值范围； 【数学理解】 （2）已知，是关于x的一元二次方程的两实数根，等腰三角形的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【拓展探索】 （3）如图，如果三边的长分别为a，b，c，那么根据秦九韶一海伦公式可得．其中，在（2）的条件下，若和的平分线交于点I，求的面积． 【详解】解：（1）由题意，得 且，化简得， 解得∶且．...........................................................2分 （2）由题意知，恰好是等腰三角形的腰长， ， 是关于x的一元二次方程的两实数根，， 解得： 解得： ∵ 的周长为．...........................................................5分 （3）由（2）知，的三边长分别为3，3，4， ， 如图，过点I 分别作，，，垂足分别为点 F，D，E． ∵I是的角平分线的交点， 解得， ...........................................................8分 26．（10分）定义：三角形两个内角的平分线相交所成的钝角称为该三角形第三个内角的好望角． (1)如图1，是中的好望角，，请用含的代数式表示． (2)如图2，在中，的平分线与经过两点的圆交于点，且．求证：是中的好望角． (3)如图3，在 （2）的条件下， ①取弧的中点，连接，若，求圆的半径． ②若，，请直接写出线段的最大值． 【详解】（1）解：∵是中的好望角， ∴是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；.................................................2分 （2）∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 又∵平分， ∴是中的好望角；...........................................................4分 （3）①∵平分，平分， ∴平分， ∴， ∵是中的好望角， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴为圆的直径， 取的中点，连接，交于点， ∵是弧的中点， ∴， ∴，，， ∴， 设的半径为，则：，， 由勾股定理，得：， ∴， 解得：或（舍去）； ∴的半径为；...........................................................7分 ②连接， ∵平分，平分， ∴是的好望角， ∴ ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当最大时，的值最大， ∵， ∴， ∴在为直径的圆上， ∴为直径时，最大，此时， ∴的最大值为．...........................................................10分 27．（10分）如图1，抛物线与x轴，y轴分别交于，，C三点．    (1)试求抛物线的解析式； (2)若P点在第一象限的抛物线上，连接，当的面积最大时，求点P的坐标． (3)点在第一象限的抛物线上，连接．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：把，，代入，得： ，解得：， ∴；...........................................................2分 （2）∵，当时，， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则，      ∴， ∴； ∴当时，有最大值，此时； ...........................................................6分 （3）存在， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，当时，， ∴， ∵， ∴轴，， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 设直线与轴交于点，如图，    ∵，，， ∴， ∴， ∴， 同（2）可得，直线的解析式为：， 联立，解得：或， ∴．...........................................................10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：苏科版九年级第1章（20%）、第2章（30%）、第3章（10%）、第4章（10%）、第5章（30%）。 5．难度系数：0.8。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．若是关于x的一元二次方程的一个解，则c的值是（  ） A． B． C．1 D．3 3．某班六个合作学习小组人数如下：5，6，x，7，7，8．已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是（   ） A． B．6 C． D．5 4．如图，，是的直径，弦，连结，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线与x轴交于点和，则的值为（　　） A．1 B． C．2022 D． 6．一块含角的直角三角板和一块量角器如图摆放（三角板顶点A与量角器0刻度处重合），量角器与三角板交于点D，经测量知，点E为中点，点F为弧上一动点，则的最小值为（　　） A．9 B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7．若方程是关于x的一元二次方程，则 ． 8．二次函数经过点和，则这个二次函数的对称轴是直线 ． 9．的半径为，点P到圆心O的距离为，点P与的位置关系是 ． 10．把二次函数的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线解析式是 ． 11．数学兴趣小组的甲、乙、丙、丁四位同学进行还原魔方练习，表格中记录了他们10次还原魔方所用时间的平均值x与方差，要从中选择一名还原魔方用时少又发挥稳定的同学参加比赛，应该选择 ． 甲 乙 丙 丁 x(秒) 30 30 28 28 1.21 1.05 1.21 1.05 12．如图，一只蚂蚁在树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个叉路口都随机选择一条路径，它获得食物的概率是 ． 13．圆锥的侧面展开图的面积为，圆锥母线与底面圆的半径之比为，则母线长为 ． 14．设是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为 ． 15．如图，以扇形的顶点为原点，半径所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，若拋物线与扇形的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是 ． 16．如图，在中，，平面上有一点，，连接，取的中点．连接，在绕点的旋转过程中，则的最大值是 ． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（8分）解方程： (1)； (2)． 18．（8分）2022年5月10日，搭载天舟四号货运飞船的长征七号遥五运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，发射取得圆满成功．为激发广大青少年了解航天知识的热情，某校组织了航天知识的相关讲座和课程，并进行了航天知识竞赛，教务处随机抽取了50份竞赛卷进行统计，发现最低分为65分，最高分为100分，并绘制了如下尚不完整的统计图表． 组别 成绩x（分） 频数（人数） 各组总分（分） A 95≤x≤100 8 778 B 85≤x＜95 m 2070 C 75≤x＜85 n 1280 D 65≤x＜75 3 222 请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)m= ，C组所占圆心角度数为 °； (2)此次被抽取的竞赛卷成绩的中位数落在 组，并求此次被抽取的竞赛卷成绩的平均数； (3)学校计划对成绩为95≤x≤100的学生进行奖励，若该校共有1000人参加此次竞赛，请估计此次竞赛获得奖励的学生人数． 19．（6分）为感受华夏五千年的文明脉络，某校组织学生开展“璀璨历史，古都魅力”的研学之旅，策划了三条研学路线让学生选择：A．秦文化，走进秦始皇兵马俑；B．唐文化，走在丝路上的传奇；C．汉文化，走进汉长安城未央宫遗址．每人只能选择一条线路，小明和小红两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了三张不透明的卡片，正面分别写上字母，代表线路，卡片除了正面的字母以外其余完全相同，将三张卡片正面向下洗匀，小明先随机抽取一张卡片，记下字母后放回、洗匀，小红再随机抽取一张卡片．请用画树状图或者列表法，求两人抽到同一路线的概率． 20．（6分）如图，是的直径，为上一点，为上一点，且，延长交于，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．（8分）已知二次函数的图像过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)已知二次函数与直线交于A、B两点，请结合图像直接写出不等式的解集． 22．（8分）如图，为的直径，交于点C，D为上一点，延长交于点E，延长至F，使，连接． (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 23．（8分）由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元． (1)求出这两次价格上调的平均增长率； (2)在有关部门调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包，当销售额为320元时，应该降价多少元？ 24．（8分）请用无刻度的直尺完成下列作图：保留作图痕迹，不写作法 (1)如图，已知等腰中，，以为直径的与交于点，请作出的平分线； (2)如图，已知等腰内接于，且，请作出的平分线； (3)如图，已知直角内接于，为直径，是上一点，且，请作出的平分线． 25．（8分）【知识技能】 （1）已知，是关于x的一元二次方程 的两实数根，求m的取值范围； 【数学理解】 （2）已知，是关于x的一元二次方程的两实数根，等腰三角形的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【拓展探索】 （3）如图，如果三边的长分别为a，b，c，那么根据秦九韶一海伦公式可得．其中，在（2）的条件下，若和的平分线交于点I，求的面积． 26．（10分）定义：三角形两个内角的平分线相交所成的钝角称为该三角形第三个内角的好望角． (1)如图1，是中的好望角，，请用含的代数式表示． (2)如图2，在中，的平分线与经过两点的圆交于点，且．求证：是中的好望角． (3)如图3，在 （2）的条件下， ①取弧的中点，连接，若，求圆的半径． ②若，，请直接写出线段的最大值． 27．（10分）如图1，抛物线与x轴，y轴分别交于，，C三点． (1)试求抛物线的解析式； (2)若P点在第一象限的抛物线上，连接，当的面积最大时，求点P的坐标． (3)点在第一象限的抛物线上，连接．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 6 A A 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.2 9.点P在00外 10.y=-2(x-12-311.丁 2 13.20cm 14.1 15.-1<k<年16.3 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(8分) 【详解】(1)解：(x+4)=5(x+4), x+4(x+4-5)=0,即x+4)(x-1=0, x+4=0或x-1=0, 解得=-4，为3=1：4分 (2)解：(x+8(x+1)=-12, x2+9x+8=-12,即x2+9x+20=0, .x+4)x+5)=0, x+4=0或x+5=0, 解得名=-4，=-5.8分 18.(8分) 【详解】(1)解：根据题目中的信息得m=50×46。-23, n50-23-3-8=16, 16 ∴C组所占圆心角度数为： ×360°-=115.2°， 50 故答案为：23,1152° 3分 (2)解：把本次抽查的学生成绩按从小到大的顺序排列，排在第25和26位的数的平均数是中位数，而第 25和26都在B组，故平均数也是在B组，故此次被抽取的竞赛卷成绩的中位数落在B组， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 1 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 (778+2070+1280+222)÷50=87. 故答案为：B,87 6分 (3)解：1000×166=160（人） 故此次竞赛获得奖励的学生人数是160人. 8分 19.(6分) 【详解】解：依题意，画树状图如下： 开始 2分 B O A B CA B 共有9种等可能的结果，其中小明和小红两人都抽到相同字母的结果有3种，即两人抽到同一路线的结果 有3种， 40444分 31 ,两人抽到同一路线的结果的概率是 931 46分 20.(6分) 【详解】(1)解：，AB是00的直径，C为O0上一点， .∠ACB=90°， ∴.LACD=90°-LBCD, AD=AC, ∠ACD=LADC, ∠CAB+∠ACD+LADC=180°， .∠CAB+2(90°-∠BCD)=180°，即∠CAB+180°-2∠BCD=180°， LCAB=2LBCD.3分 (2)解：如图，连接0C、OE, ,∠BCE=15°，由(1)可知∠CAB=2∠BCD, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： ⊙学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 .∠CAB=30°， :∠BCE和∠BOE是BE所对的圆周角和圆心角， .LB0E=2LBCE=30°， :∠CAB和∠BOC是BC所对的圆周角和圆心角， ∴.∠B0C=2∠CAB=60°， .LC0E=∠B0C+LB0E=90°， AB=6, .0C=0E=3, CE=√0C2+0E7=V32+32=3√2.6分 21.(8分) 1+b+c=0 【详解】(1)解：将A1,0),B(4,3代入y=x2+bx+c得， 16+4b+c=3' b=4 解得， (c=3 .y=x2-4x+3; 4分 (2)解：x2+(b-mx+c2n, .x2+br+c≥m.x+n, ∴.不等式x+(b-mx+c之n的解集为二次函数图像在一次函数图像上方部分所对应的x的取值范围， 由图像可知，不等式x2+(b-mx+c2n的解集为x≤1或x≥4. 8分 22.(8分) 【详解】(1)证明：如图，连接OE, 0E=0C, ⊙©原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 3 学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 .∠OEC=L0CE, .DF=EF, .∠FED=∠FDE, ,LFDE=LCD0,∠CD0+∠OCD=90°， .∠FED+∠0EC=90°，即∠FE0=90°， .OE⊥EF, OE是半径， ∴.EF为o0的切线： 4分 (2)解：设O0的半径E0=B0=r,则BD=BF=r-1, ∴.FE=FD=2BD=2r-2, .0F=2r-1. 在Rt△FE0中，由勾股定理得，FE2+OE2=OF2, ∴.(2r-2)2+2=2r-2 解得r=3,或r=1(舍去)， .00的半径为3. 8分 23.(8分) 【详解】(1)解：设这两次价格上调的平均增长率为x 依题意得：101+x-16.9, 解得：，=03=30%，x2=-23(不符合题意，舍去). 答：这两次价格上调的平均增长率为30%。… 4分 (2)设每包应该降价m元，则每包的售价为10-m元，每天可售出(30+5m)包， 依题意得：(10-m](30+5m=320, 整理得：m2-4m+4=0, 解得：=m;=2 经枪验m=2符合题意， 答：每包应该降价2元 8分 24.(8分) ⊙©原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 4 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 【详解】(1)解：如图，连接BD,则BD平分∠ABC,说明如下： D(P) B ,AB是O0直径 ∴.∠ADB=90 又AB=BC .∠ABD=∠CBD .BD即为所求BP;42分 (2)如图所示，BP即为所求.说明如下：连接OA,OC : .0A=OC,AB=BC,OB=0B .△OAB≌OCB(SSS ∴.∠OBC=∠0BA 六BP平分∠ABC. 5分 (3)解：如图，连接D0,延长交⊙O于点P,连接PB,即为所求. AD=CD ∴AD=CD ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 5 学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 PAD=PCD AP=CP LABP=LCBP.… 8分 25.(8分) 【详解】解：(1)由题意，得4=b2-4ac=[2(m-2)]了-4m+2(m+10)20,且m+2≠0，化简得 64m≤-64， 解得：m≤-1且m≠-2， 2分 (2)由题意知x,x恰好是等腰三角形ABC的腰长， =x :x=x是关于x的一元二次方程m+2)x2+2(m-2)x+m+10=0的两实数根， :4=b-4ac=[2m-2)]°-4m+2(m+10)=0, 解得：m=-1, .x2-6x+9=0. 解得：x=x2=3 .BC=4 △ABC的周长为3+3+4=10。 5分 (3)由(2)知，ABC的三边长分别为3,3,4， p=3+3+4=5, 2 …Ssc=Vp(p-ap-bj川p-c=V5x(5-35-35-4=25, 如图，过点I分别作1F⊥AB,ID⊥BC,IE⊥AC,垂足分别为点F,D,E. ,1是ABC的角平分线的交点， :IF ID =IE :SABC= 4BF+号cD+号4CE=D(48+8c+40-25 解得D=2V5 .=1BC.ID=1x 1 42V54V5 2 2 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 6 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 448分 B D 26.(10分) 【详解】(1)解：：∠D是ABC中∠A的好望角， ∴.BD,CD是ABC的角平分线， &∠D8c=ABc.∠cB=ACB, ,∠A+∠ABC+∠BCA=180°， .∠ABC+∠BCA=180°-∠A=180°-a, ∠D8C+∠DCB-ABc+4CB-ls0-al=90°-0 D=180°-(ZDBC+∠DCB)=180°-90+5a=90P+)a； (2)AD平分∠BAC, :∠BAD=∠CAD=1∠BAC, ∠BDE=∠BCE,∠ACE+∠BDE=180°， ∴.∠ACB+∠BCE+∠BDE=∠ACB+2∠BDE=180, .∠ACB=180°-2∠BDE, .∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-2∠BAD-180°+2∠BDE=2∠BDE-2∠BAD, ∠BDE=∠BAD+∠ABD, ·∠ABD=∠BDE-∠BAD, .LABC=2∠ABD, .BD平分∠ABC, 又，AD平分∠BAC, ·∠ADB是ABC中∠ACB的好望角： 4分 (3)①，BD平分∠ABC,AD平分∠BAC, ∴.CD平分∠ACB, ∴.∠BCD=-∠ACB, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 ∠ADB是ABC中∠ACB的好望角， 由0)可知：ADB=90+号4C8, ∠BDE=180-∠ADB=0-4CB, ∠BCE=∠BDE=0-ACB, ∠DCB+∠BCE=ACB+90-∠ACB=90, 即：∠DCE=90°， .DE为圆的直径， 取DE的中点O,连接EF,OF,OF交CE于点H, 图3 F是弧CE的中点， CF=EF, :.OF I CE,EF=CF=6.EH=CH. ∴0H=2CD=2 设O0的半径为r,则：0F=0E=r,HF=r-2, 由勾股定理，得：HE2=OE2-OH2=EF2-FH2, r2-22=6-r-22, 解得：r=3或r=-」（舍去）： .00的半径为3： 7分 ②连接OB,OC, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 8 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 图3 BD平分∠ABC,CD平分∠ACB, ∴.∠BDC是ABC的好望角， 、∠BDC=90°+∠BAC=135° ∴.∠B0C=360°-2∠BDC=90°， ∴.△BOC为等腰直角三角形， BC=6, ÷0B=0C.5BC=35, .0E=32, .AE=0A+0E=0A+32 ∴.当OA最大时，AE的值最大， :∠BAC=90°，∠BOC=90°， .LBAC+LB0C=180°， ∴.A,B,O,C在BC为直径的圆上， ∴.OA为直径时，最大，此时OA=BC=6, AE的最大值为6+32.…10分 27.(10分) 【详解】(1)解：把A-1,0,B(4,0),代入y=ar+br+4a≠0)，得： a-b+4=0 a=-1 160+4杨+4=0解得： b=3, .y=-x2+3x+4: .2分 (2)y=-x2+3x+4,当x=0时，y=4, .C0,4, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 9 ⊙学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 设直线BC的解析式为：y=c+4,把B(4,0),代入，得：=-1， .y=-x+4 过点P作PE⊥x轴，交BC于点E,设Pm,-m2+3m+4,则E(m,-m+4, ∴.PE=-m2+3m+4-(-m+4)=-m2+4m, ∴S.c-)PE-0B=×4-m2+4m)=-2m-2+8, ∴.当m=2时，Sgc有最大值，此时P(2,6): 6分 (3)存在， y=-x2+3x+4 之抛物线的对称轴为直线x一号，当x=3时，y9+9+4=4, .D3,4, C(0,4), .CD∥x轴，CD=3, ·B(4,0) .0C=0B=4, .∠0BC=∠0CB=45°， CD∥x轴， .∠BCD=∠0BC=45, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10