精品解析：浙江省宁波中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

宁波中学2024年度第一学期期中高一数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. 14 C. 15 D. 27 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 设，“”是“方程在区间上有两个不等实根”的（ ）条件. A. 充分必要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 7. 中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式：，它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫信噪比.按照香农公式，若不改变带宽，将信噪比从2000提升至10000，则大约增加了（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数为上的奇函数，当时，，若函数满足，且有8个不同的解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 关于原点对称 C. 在上单调递增 D. 在上的最大值、最小值分别为、，则 11. 已知函数满足：对于，都有，且，则以下选项正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______. 13. 定义（其中表示不小于的最小整数）为“向上取整函数”.例如，，.以下描述正确的是______.（请填写序号） ①若，则，②若，则， ③是上的奇函数，④在上单调递增. 14. 已知，满足，则的最小值为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求值 （1） （2） 16. 已知集合，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 17. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量（单位：千克）与使用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价为20元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）. （1）求的函数关系式； （2）当使用肥料为多少千克时，该水果树单株利润最大，最大利润是多少？ 18. 已知函数为奇函数， （1）求的值； （2）判断的单调性，并用单调性定义加以证明； （3）求关于的不等式的解集. 19. 已知函数. （1）若，求关于的方程的解； （2）若关于的方程有三个不同的正实数根且. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁波中学2024年度第一学期期中高一数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的交集运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用量词命题的否定方法即可得解. 【详解】因为量词命题的否定方法为：改量词，否结论， 所以命题“，”的否定为，. 故选：D. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性与幂函数的单调性即可判断得解. 【详解】因为为单调递增函数，所以，则， 因为为增函数，所以，则， 综上，. 故选：A. 4. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. 14 C. 15 D. 27 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因正实数a，b满足， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：A 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用奇偶函数的定义判断得的奇偶性排除AB，再利用指数函数的性质分析得的正负情况，从而排除C，由此得解. 【详解】对于，其定义域为， 又，则是奇函数，排除AB， 当时，，，所以，排除C， 又选项D的图象满足上述性质，故D正确. 故选：D. 6. 设，“”是“方程在区间上有两个不等实根”的（ ）条件. A. 充分必要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】举反例说明充分性，利用二次方程根的分布说明必要性，从而得解. 【详解】当时，取， 则方程为，显然无解，即充分性不成立； 当方程在区间上有两个不等实根时， 则，即，则， 此时成立，即必要性成立； 所以前者是后者的必要不充分，故C正确. 故选：C. 7. 中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式：，它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫信噪比.按照香农公式，若不改变带宽，将信噪比从2000提升至10000，则大约增加了（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知公式，将信噪比看作整体，分别取求出相应的值，再利用对数运算性质与换底公式变形即可得解. 【详解】由题意，将信噪比从2000提升至10000， 则最大信息传递速率从增加至， 所以 . 故选：B. 8. 已知函数为上的奇函数，当时，，若函数满足，且有8个不同的解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用函数的奇偶性与题设条件得到与的解析式，设，作出函数的图象，数形结合，分类讨论函数、与三种情况，得到对应情况下的解的个数，从而得解. 【详解】因为函数为上的奇函数，当时， 令，则，则， 又 所以，则， 设，作出函数的图象， 对于A，当时，函数没有实数根，不满足题意； 对于B，当时，函数有四个根， 其中，，，； 作出与、、与的图象，如图， 显然几个函数恰有8个交点，则有8个不同的解，故B正确； 对于CD，当时，函数有两个根，其中，， 与选项B同理可知与、各有一个交点， 则只有2个不同的解，不满足题意，故CD错误. 故选：B. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，作差逐一判断即可. 【详解】因为， 选项A：，所以，故A说法正确； 选项B：， 当或时，，即； 当时，，即，故B说法错误； 选项C：当时，，故C说法错误； 选项D：因为，所以，故D说法正确； 故选：AD 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 关于原点对称 C. 在上单调递增 D. 在上的最大值、最小值分别为、，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用作差法，结合对数函数的性质判断A，构造函数，研究的性质判断B，利用的单调性与奇偶性判断CD，从而得解. 【详解】对于A，， 所以，则， 即恒成立，所以的定义域为， 且当趋于无穷大时，接近于0， 当趋于无穷小时，趋于无穷大， 所以的值域为，故A正确； 对于B，因为， 令，则，易知的定义域为， 又， 所以为奇函数，关于原点对称，即关于原点对称，故B正确； 对于C，因为在上递减， 而将的图象向右平移一个单位可得的图象， 所以在上单调递减，故C错误； 对于D，因为在上递减， 且为奇函数，则， 在上为减函数， 而将的图象向右平移一个单位可得的图象， 在上为减函数，即在上单调递减， 则，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数满足：对于，都有，且，则以下选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用赋值法，结合条件分析得的值，从而判断AB，利用赋值法，结合AB中的结论、抽象函数的奇偶性和周期性的判定方法判断CD，从而得解. 【详解】对于B：令，则 令，则所以 因为，所以， 令，则，故B正确； 对于A：由选项B可得，所以或， 若，则， 所以，这与矛盾，舍去； 若，则，解得， 因为，所以，，故A错误； 对于C：令，则， 因为，，所以，所以为偶函数， 令，则， 即，所以，故C正确； 对于D：由选项C知，所以， 又为偶函数，所以，即， 所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：抽象函数求值问题，一般是通过赋值法，即在已知等式中让自变量取特殊值求得一些特殊的函数值，解题时注意所要求函数值的变量值与已知的量之间的关系，通过赋值还可能得出函数的奇偶性、周期性，这样对规律性求值起到决定性的作用. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数式的意义即可求解. 【详解】要使函数有意义，则， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13. 定义（其中表示不小于的最小整数）为“向上取整函数”.例如，，.以下描述正确的是______.（请填写序号） ①若，则，②若，则， ③是上的奇函数，④在上单调递增. 【答案】①② 【解析】 【分析】利用对“向上取整函数”定义的理解，结合定义域与二次不等式的求解可判断①②，举反例，结合函数奇偶性与单调性的定义可判断③④，从而得解. 【详解】因为表示不小于的最小整数， 则有且，即， 对于①，，则，即，故①正确； 对于②，令，则不等式可化为，解得， 又为整数，则或， 当时，即，则； 当时，即，则， 所以，则，故②正确； 对于③，因为，则，， 则不是上的奇函数，故③错误； 对于④，因为，则，，即， 所以在上不单调递增，故④错误. 故答案为：①②. 14. 已知，满足，则的最小值为______ 【答案】2 【解析】 【分析】变形给定等式，换元，用表示，再代入，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，令，则， 解得，， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为2. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：将变形为，令，再表示出是求出最小值的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求值 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据根式与指数式的互化将根式化为同底的指数式，再结合对数运算性质和指数幂性质即可计算得解. （2）根据对数性质、运算法则和换底公式即可计算求解. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 原式 . 16. 已知集合，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用指数函数的单调性解不等式，从而化简集合； （2）利用集合间的包含关系，分类讨论与两种情况，得到关于的不等式（组），解之即可得解. 【小问1详解】 由，得， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，， 当时，，得，满足条件； 当时，且，解得； 综上所述，m的取值范围是. 17. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量（单位：千克）与使用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价为20元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）. （1）求的函数关系式； （2）当使用肥料为多少千克时，该水果树单株利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）当使用肥料为5千克时，该水果树单株利润最大，最大利润是元. 【解析】 【分析】（1）根据单株产量与施用肥料满足的关系，结合利润的算法，即可求得答案. （2）结合二次函数的最值以及对勾函数求最值，分段计算水果树的单株利润，比较大小，即可求得答案. 【小问1详解】 依题意， . 【小问2详解】 当时，，则当时，取得最大值； 当时， 令，，函数在上单调递减， 当时，，此时，取得最大值，而， 因此当时，， 所以当使用肥料为5千克时，该水果树单株利润最大，最大利润是元. 18. 已知函数为奇函数， （1）求的值； （2）判断的单调性，并用单调性定义加以证明； （3）求关于的不等式的解集. 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且，则， 则 ， 所以，故在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质求得，再进行检验即可得解； （2）利用函数单调性的定义，结合作差法与指数函数的性质即可得解； （3）利用的奇偶性与单调性，将问题转化为，从而得解. 【小问1详解】 因为为奇函数，且定义域为， 所以，则，解得，此时， 则，即为奇函数， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为， 所以， 则，即，解得， 所以的解集为. 19. 已知函数. （1）若，求关于的方程的解； （2）若关于的方程有三个不同的正实数根且. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）是方程，即的两个根，故， 是方程的较大根，即的较大根， 则且在区间上单调递减， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据题意得由，分类讨论与两种情况去掉绝对值即可得解； （2）（i）分段讨论的解析式，结合对勾函数的性质分析得的单调性，进而得到关于的不等式，解之即可得解；（ii）利用（i）中结论，分析得与关于的表达式，进而得解. 【小问1详解】 当时，， 则由，得， 当时，则，即，解得或（舍去）； 当时，则，即，无实数解， 综上，. 【小问2详解】 （i）因为， 当时，， 当时，， 由对勾函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减， 易知在上单调递增， 当时，则在上单调递增，在上单调递增， 又当时，，所以在上单调递增， 故方程不可能存在3个不同正实根， 所以，则在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 故，解得， 即的取值范围为； （ii）略 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $