精品解析：广东省天天向上联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷

2024学年第一学期期中考试 天天向上联盟联考高二年级数学科试题 2024年11月 试卷说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分.考试时间为120分钟. 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名和考号填写在答题卡，并在答题卡上用2B铅笔将相应的信息点涂黑.不按要求填涂的，答卷无效. 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦下净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角关系即可求得. 【详解】直线的斜率为2，两直线垂直， 故直线的斜率，即. 故选：D． 2. 圆  被轴所截得的弦长为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的弦长公式即可求解. 【详解】的圆心和半径分别为， ， 因此圆被轴所截得的弦长为 ， 故选：D 3. 已知直线过定点，向量为其一个方向向量，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用点到直线的距离公式求出结果． 【详解】定点，， 故，所以； 故：， 所以， 所以点到直线的距离． 故选：C． 4. 已知双曲线的左焦点为，右焦点为，点P为双曲线右支上的一点，且的周长为10，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意求出、，再根据求出，即可得到双曲线方程，从而得解； 【详解】解：由题知，所以，又，所以，又的周长为10，所以，解得，所以，解得，又，所以，所以双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题. 5. 下列说法正确的有（ ）个 ①若三点在一条直线上，，，，则. ②过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为. ③圆，为圆上任意一点，的最大值为5. ④圆与圆外切，则实数的值为1. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用三点共线，斜率相等判断①；分类讨论直线是否过原点，求出直线方程即可判断②；将的最大值转化为，求解即可判断③；根据两圆外切求解实数即可判断④. 【详解】对于①：若三点在一条直线上，则斜率等于斜率，即，解得，故①错误； 对于②：若直线过原点，则方程为；若直线不过原点，则设直线的方程为，由题意，解得，所以直线方程为，即，综上，直线的方程为或，故②错误； 对于③：由知，所以的最大值为，故③错误； 对于④：由题知，且，即，解得或，故④错误. 故选：A 6. 如图，已知正方形ABCD和正方形ADEF的边长均为6，且它们所在的平面互相垂直，O是BE的中点，，则线段OM的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，求出点、的坐标，再利用空间中两点间的距离公式求出线段的长. 【详解】由题意建立以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系 ， 则，，因为是的中点，所以， 因为，所以，所以，即线段的长为，故选B. 【点睛】本题考查空间中两点间的距离公式的应用，解题的关键在于建立合适的空间直角坐标系，并求出相应点的坐标，考查空间想象能力，属于中等题. 7. 已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据上，得到点p在线段AB上，其方程为上，又点在直线l上，联立其方程，求得，然后由求解. 【详解】将代入得， 将代入得， 所以A，B不在直线l上， 又上， 所以点p在线段AB上， 直线AB的方程为：， 由，解得， 直线方程，即为， 设直线的倾斜角为， 则， 因为， 所以， 则， 所以， 即， 因为， 所以， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是得到点P在线段AB上，再根据点P的直线l上，联立求得，再利用斜率与倾斜角的关系而得解. 8. 已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出的值，利用，根据向量模的计算即可求得答案. 【详解】由题意椭圆，为两个焦点，可得， 则①，即， 由余弦定理得， ，故，② 联立①②，解得：， 而，所以， 即， 故选：B 【点睛】方法点睛：本题综合考查了椭圆和向量知识的结合，解答时要注意到O为的中点，从而可以利用向量知识求解. 三、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的德6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 不存在实数，使得 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据即可算出的值；对于B，根据计算；对于C，根据计算即可；对于D，根据求出，从而可计算出. 【详解】对于A，因为，所以，解得，故A正确； 对于B，因为，所以，所以，故B错误； 对于C，假设，则， 所以，该方程组无解，故C正确； 对于D，因为，所以，解得， 所以，，所以，故D错误. 故选：AC. 10. 下列结论正确的有（ ） A. 直线关于对称的直线为 B. 若一直线的方向向量为，则此直线倾斜角为60° C. 若直线与直线垂直，则 D. 双曲线与椭圆有不同的焦点. 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项联立直线方程先求出交点坐标，再在直线取一个点的，求出这个对称点的坐标，两点确定对称直线方程；B选项由斜率确定倾斜角的大小；C表示出两直线斜率，由垂直得到斜率乘积为建立等式，求出的值；D选项求出两个曲线的的值，即可判断. 【详解】A选项：联立方程组解得交点坐标为， 在直线取点，过点作的垂线， 联立方程组解得交点坐标为，所以点关于的对称点为 ∴对称直线为：，化简得：， ∴直线关于对称的直线为，A选项正确； B选项：直线倾斜角为，，∴，B选项正确； C选项： ，，∵两直线垂直，∴， ∴，C选项正确； D选项：，，，且两曲线焦点均在x轴，D选项错误； 故选：ABC 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E、F、G、M、N均为所在棱角中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（ ） A. P在BC中点时，平面平面GMN B. E、F、G、M、N在同一个球面上 C. 异面直线EF、GN所成角的余弦值为 D. ，则P点轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正方体图形特征证明平面，结合面面垂直的判定定理判断A；根据五点共圆得到B；根据异面直线所成的角判断C错误；分析可知点轨迹是过点与平行的线段，根据轨迹求出长度得到D. 【详解】对于A：取的中点，连接， 在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点， 易得，平面， 因平面，则， 又平面，， 故平面，因平面，故①， 连接，是正方形，， 因平面，平面，则， 因平面，， 故平面，又平面，则②， 因平面，又， 由① ，②可得平面，又平面，故平面平面，故A正确； 对于B：记正方体的中心为点，则， 所以在以为球心，以为半径的球面上，故B正确； 对于C：取的中点，连接，则， 所以或其补角是异面直线所成的角， 又，则，故C错误； 对于D：因为，且为的中点， 所以，故， 所以点轨迹是过点与平行的线段，且， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：本题主要考查与正方体有关的平面位置关系判断，异面直线所成角以及动点轨迹长度有关问题，属于较难题. （1）求异面直线所成的角时，常将其转化为与其中一条平行且与另一条直线相交所成的角，利用解三角形求解； （2）证明面面垂直时，通常由线面垂直证面面垂直； （3）证明多点在一个球面问题时，常设法寻找球心，证其到各点距离相等得到. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】由求得，再应用数量积的坐标运算即可求得的值. 【详解】解：因为，所以，即. 又因为，，所以，即. 故答案为：. 13. 设，若直线与直线之间的距离为，则的值为________． 【答案】2或 【解析】 【分析】根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】由题意可得，解得或， 故答案为：2或 14. 已知椭圆的右焦点是，直线交椭圆于两点﹐直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】设椭圆的左焦点为，利用已知条件结合椭圆的对称性可得四边形为矩形，再利用勾股定理方程组求解即可. 【详解】设椭圆的左焦点为，连接，，，， 由直线交椭圆于两点﹐及， 结合椭圆的对称性可得， 所以，，均为直角三角形，所以四边形为矩形， 设，则，，， 所以在直角中，即①， 在直角中，即②， 由②解得， 将代入①得，即， 所以， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 如图，在棱长为6的正四面体中，，点E为AD的中点，设，，. （1）试用向量，，表示向量： （2）求OE的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用空间向量的线性运算求解即可； （2）应用数量积运算律求出，再求即可. 【小问1详解】 解：依题意， ， 即. 【小问2详解】 解：因为 ， 所以，即OE的长. 16. 已知直线. （1）求原点到直线l距离的最大值： （2）若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，当面积最小时，求对应的直线l的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）确定直线过定点，当时，原点到直线的距离最大，结合两点间距离公式可求； （3）设直线的方程为，，由直线过定点，可得，然后结合基本不等式可求． 【小问1详解】 （1）直线可化为， 令，解得，，即直线恒过定点； 当时，原点到直线的距离最大，此时最大值； 【小问2详解】 设直线的方程为，， 因为直线过定点，所以， 由基本不等式得，当且仅当，时取等号，得， 故面积，即面积的最小值为4， 此时直线方程为，即． 17. 已知圆C过点和点.并且圆心在直线上，点，过点P作圆C的切线l. （1）求圆C的标准方程； （2）求切线l的方程. 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法设出圆的标准方程，代入点和点，再结合圆心在直线上，列方程解出圆心坐标与半径即可求得圆的标准方程； （2）设出切线斜率求得切线方程，利用点到直线的距离等于半径得到直线斜率，从而求得切线方程，当斜率只有一解时需研究斜率不存在的情形. 【小问1详解】 解：设圆C的标准方程为， 圆心为，半径为， 依题意可得，解之得， 所以圆C的标准方程为. 【小问2详解】 解：切线斜率存在时，设切线l的斜率为， 则切线l的方程为，即， 所以，解得， 所以切线l的方程为， 又因为圆心到直线的距离为， 所以直线也为圆圆C的切线. 故切线l的方程为和. 18. 如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点. （1）求证：； （2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明:因为平面，平面， 所以，而，因此建立如图所示的空间直角坐标系： ， ，因为， 所以，即; （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算公式进行证明即可； （2）利用空间向量夹角公式，结合空间点到面距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 设平面的法向量为， ， 所以有， 因为直线与平面所成角为， 所以， 解得，即，因为， 所以点到平面的距离为： . 【点睛】 19. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆C上. （1）求椭圆的方程； （2）过坐标原点的两条直线分别与椭圆C交于四点，且直线斜率之积为，求证：四边形的面积为定值. 【答案】（1） （2）证明：当直线的斜率不存在时，由对称性不妨设 ， 则 ，又 ，解得 ， 根据椭圆的对称性，不妨取 ,则， 则 , 所以 ; 当直线斜率存在时，设直线的方程为，设点 联立，得， 则 因为，得，即， 所以，，解得， ， 原点到直线的距离为， 因为 且 所以（定值）， 综上述四边形的面积为定值． 【解析】 【分析】（1）根据，再根据点是椭圆上一点，求得，即得答案； （2）考虑直线斜率是否存在情况，然后设直线方程，和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，结合可得到，进而表示出四边形的面积，化简可得结论. 【小问1详解】 由题意 又∵点是椭圆上一点，∴，又 解得 因此，椭圆的方程为 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期期中考试 天天向上联盟联考高二年级数学科试题 2024年11月 试卷说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分.考试时间为120分钟. 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名和考号填写在答题卡，并在答题卡上用2B铅笔将相应的信息点涂黑.不按要求填涂的，答卷无效. 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦下净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（ ） A. 2 B. -2 C. D. 2. 圆  被轴所截得的弦长为（ ） A. B. C. 4 D. 3. 已知直线过定点，向量为其一个方向向量，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 4. 已知双曲线的左焦点为，右焦点为，点P为双曲线右支上的一点，且的周长为10，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的有（ ）个 ①若三点在一条直线上，，，，则. ②过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为. ③圆，为圆上任意一点，的最大值为5. ④圆与圆外切，则实数的值为1. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 如图，已知正方形ABCD和正方形ADEF的边长均为6，且它们所在的平面互相垂直，O是BE的中点，，则线段OM的长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（ ） A. B. C. D. 三、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的德6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 不存在实数，使得 D. 若，则 10. 下列结论正确的有（ ） A. 直线关于对称的直线为 B. 若一直线的方向向量为，则此直线倾斜角为60° C. 若直线与直线垂直，则 D. 双曲线与椭圆有不同的焦点. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E、F、G、M、N均为所在棱角中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（ ） A. P在BC中点时，平面平面GMN B. E、F、G、M、N在同一个球面上 C. 异面直线EF、GN所成角的余弦值为 D. ，则P点轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，，则实数__________. 13. 设，若直线与直线之间的距离为，则的值为________． 14. 已知椭圆的右焦点是，直线交椭圆于两点﹐直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 如图，在棱长为6的正四面体中，，点E为AD的中点，设，，. （1）试用向量，，表示向量： （2）求OE的长. 16. 已知直线. （1）求原点到直线l距离的最大值： （2）若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，当面积最小时，求对应的直线l的方程. 17. 已知圆C过点和点.并且圆心在直线上，点，过点P作圆C的切线l. （1）求圆C的标准方程； （2）求切线l的方程. 18. 如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点. （1）求证：； （2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离. 19. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆C上. （1）求椭圆的方程； （2）过坐标原点的两条直线分别与椭圆C交于四点，且直线斜率之积为，求证：四边形的面积为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $