微专题47 诱导公式6种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题47 诱导公式6种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 给角求值 题型2 给值(式)求值 题型3 利用互余互补关系求值 题型4 化简求值 题型5 三角恒等式的证明 题型6 三角形中的诱导公式应用 1．诱导公式 (1)诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 七 八 角 正弦 余弦 正切 （） （） （） 余切 口诀 函数名不变，符号看象限. 函数名改变，符号看象限. 2、诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”， 意思是说角(为常整数)的三角函数值： 当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦； 当为偶数时，函数名不变， 然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号. 3．一组重要公式 (1)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). (2) (n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). 类似地，有： (3)(n∈Z). (4)(n∈Z). 4、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”——用公式一或三来转化． (2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角． (3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值． 5、用诱导公式进行化简时的注意点： （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值； （5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． 6、解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 7、三角函数式化简的常用方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数． (3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cos2α＝tan . 8、利用诱导公式化简、求值的策略 (1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用． (2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围． (3)常见的互余的角：－α与＋α，＋α与－α等，常见的互补的角：＋α与－α，＋α与－α，＋α与－α等． 9、三角恒等式的证明策略 对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 10、诱导公式的综合应用 诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系． 二看函数名称：一般是弦切互化． 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式． 题型1 给角求值 【例1】 ； ； 【变式1】计算（    ） A． B． C． D． 【变式2】（   ） A． B． C． D． 【变式3】利用公式求下列三角函数值： (1)：(2)；(3)；(4). 【变式4】计算：______. 【变式5】 . 题型2 给值(式)求值 【例2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知为钝角，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知角的终边过点，则 ． 【变式4】已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边与射线（）重合，则 . 【变式5】已知，则的值是 . 【变式6】已知函数，，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型3 利用互余互补关系求值 【例3】若，则 ． 【变式1】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】等于（     ） A． B． C． D． 【变式3】若，且，则 . 【变式4】若，则 . 【变式5】已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin的值是________. 【变式6】如果，满足，那么下列式子中正确的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1 B．2 C．3 D．4 题型4 化简求值 【例4】化简： . 【变式1】化简下列各式： (1)； (2)． 【变式2】（1）化简：. （2）化简； （3）化简． （4）化简； （5）化简； （6）已知，求的值. 【变式3】化简求值： (1)； (2) 【变式4】已知，则 . 【变式5】已知，则等于（    ） A．1 B．－ C． D．－ 【变式6】已知为第二象限角，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式7】已知是第三象限角，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)角的终边与角关于x轴对称，求的值. 题型5 三角恒等式的证明 【例5】求证：. 【变式1】求证： 【变式2】求证：． 【变式3】若，求证：. 【变式4】求证：. 题型6 三角形中的诱导公式应用 【例6】【多选】若角是的三个内角，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知A，B，C是的内角，下列等式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】中，若，则形状为 ． 【变式3】）已知角A为锐角，， (1)求角A的大小； (2)求的值． $$2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题47 诱导公式6种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 给角求值 题型2 给值(式)求值 题型3 利用互余互补关系求值 题型4 化简求值 题型5 三角恒等式的证明 题型6 三角形中的诱导公式应用 1．诱导公式 (1)诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 七 八 角 正弦 余弦 正切 （） （） （） 余切 口诀 函数名不变，符号看象限. 函数名改变，符号看象限. 2、诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”， 意思是说角(为常整数)的三角函数值： 当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦； 当为偶数时，函数名不变， 然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号. 3．一组重要公式 (1)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). (2) (n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). 类似地，有： (3)(n∈Z). (4)(n∈Z). 4、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”——用公式一或三来转化． (2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角． (3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值． 5、用诱导公式进行化简时的注意点： （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值； （5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． 6、解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 7、三角函数式化简的常用方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数． (3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cos2α＝tan . 8、利用诱导公式化简、求值的策略 (1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用． (2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围． (3)常见的互余的角：－α与＋α，＋α与－α等，常见的互补的角：＋α与－α，＋α与－α，＋α与－α等． 9、三角恒等式的证明策略 对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 10、诱导公式的综合应用 诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系． 二看函数名称：一般是弦切互化． 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式． 题型1 给角求值 【例1】 ； ； 【答案】 / / 【分析】利用诱导公式化简即可得解. 【详解】； ． 故答案为：；. 【变式1】计算（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由诱导公式可得，．故选：A． 【变式2】（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故选:B. 【变式3】利用公式求下列三角函数值： (1)：(2)；(3)；(4). 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）； （2）； （3）； （4） . 【变式4】计算：______. 【答案】 【解析】原式. 故答案为：. 【变式5】 . 【答案】 【解析】 . 故答案为：. 题型2 给值(式)求值 【例2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由诱导公式可得， 又，故选：A. 【变式1】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，则， 所以.故选：B 【变式2】已知为钝角，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，且，所以， 因为为钝角，所以， 所以.故选：C. 【变式3】已知角的终边过点，则 ． 【答案】 【分析】利用任意角的三角函数的定义可求，进而根据诱导公式化简所求即可求解． 【详解】因为角的终边过点， 所以， 可得 所以， 故答案为：. 【变式4】已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边与射线（）重合，则 . 【答案】 【详解】由题意， ，且 ，， 则由 ， 解得， 则 . 故答案为： . 【变式5】已知，则的值是 . 【答案】 【分析】根据三角函数的诱导公式以及商式关系，可得答案. 【详解】. 故答案为：. 【变式6】已知函数，，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由诱导公式可得，可求的值. 【详解】∵， ∴， ∴ ． 故选：C 题型3 利用互余互补关系求值 【例3】若，则 ． 【答案】 【分析】利用诱导公式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 【变式1】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，又，所以 故选：D 【变式2】等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵ 则且， ∴.故选：D 【变式3】若，且，则 . 【答案】 【解析】因为 所以， 故答案为：. 【变式4】若，则 . 【答案】 【分析】以为整体，根据诱导公式运算求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 【变式5】已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin的值是________. 【答案】0 【解析】∵， ， . 故答案为：0. 【变式6】如果，满足，那么下列式子中正确的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为，所以，故①正确，②错误； ，故③正确，④错误； ，⑤正确．故选：C 题型4 化简求值 【例4】化简： . 【答案】 【分析】利用诱导公式运算即可得解. 【详解】解：∵， ，， ，， ∴. 故答案为：. 【变式1】化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】利用诱导公式，化简求值. 【详解】（1）原式． （2）原式 ． 【变式2】（1）化简：. （2）化简； （3）化简． （4）化简； （5）化简； （6）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）0；（5）；（6） 【分析】利用诱导公式计算即可. 【详解】（1）原式＝； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式； （5）原式； （6）由可得， . 【变式3】化简求值： (1)； (2) 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）. （2）. 【变式4】已知，则 . 【答案】 【分析】利用诱导公式将式子化简可得，再利用同角三角函数之间的基本关系代入计算即可求得结果. 【详解】根据题意可知，由诱导公式可得； 显然，将的分子分母同时除以可得 ，即. 故答案为： 【变式5】已知，则等于（    ） A．1 B．－ C． D．－ 【答案】D 【分析】利用三角诱导公式以及同角三角函数的基本关系求解. 【详解】因为， 所以， 又因为， 故选:D. 【变式6】已知为第二象限角，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则， 又因为为第二象限角，则， 因此， . 故选：A. 【变式7】已知是第三象限角，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)角的终边与角关于x轴对称，求的值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）, 因为是第三象限角，所以，所以. （2）. （3）因为是第三象限角，且，角的终边与角关于x轴对称，则， 所以. 题型5 三角恒等式的证明 【例5】求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用切化弦和诱导公式进行化简，即可证明等式； 【详解】左边＝ ＝右边． 故原式得证． 【点睛】本题考查诱导公式的综合运用，考查运算求解能力，求解时注意三角函数符号的正负. 【变式1】求证： 【答案】证明见解析 【分析】对等式左边用诱导公式进行化简证明 【详解】左边＝＝右边，所以原等式成立． 【变式2】求证：． 【答案】证明见解析. 【分析】利用三角函数的诱导公式和同角三角函数基本关系式证明. 【详解】左边==–tanα=右边， ∴等式成立． 【变式3】若，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】证明：若为偶数，则 左边 ； 若为奇数，则 左边 ； 左边=右边，所以原式成立. 【变式4】求证：. 【答案】证明见解析 【解析】左边右边， 故原式得证. 题型6 三角形中的诱导公式应用 【例6】【多选】若角是的三个内角，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确.故选：AD. 【变式1】已知A，B，C是的内角，下列等式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，. 对于A，，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确.故选：C. 【变式2】中，若，则形状为 ． 【答案】直角三角形 【详解】解：，， ，即，又 ，即， 则为直角三角形． 故答案为：直角三角形. 【变式3】）已知角A为锐角，， (1)求角A的大小； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，可得， 由角A为锐角，则， 所以，故． （2）∵， 由（1）可得， 即． $$