精品解析：福建省厦门莲花中学2024—2025学年上学期期中质量检测八年级数学试题

2024－2025学年八年级（上）期中质量检测 数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 考生注意： 1.全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡； 2.答案一律写在答题卡上，否则不能得分； 3.选择题用2B铅笔填涂，其余一律用黑色水笔做答；不能使用涂改液/带． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分，每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 二十四节气是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令．下面四幅设计作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中轴对称图形的是（　　） A. ）  B.    C.    D.   【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 2. 如图，是的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查画三角形的高，根据三角形的高线的定义，进行判断即可． 【详解】解：由题意：是的高，可得： 故选C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 运用合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A. ，故选项A错误，不符合题意； B. ，故选项B正确，符合题意； C. ，故选项C正确，不符合题意； D. ，故选项D错误，不符合题意． 故选：B． 4. 如图，已知，添加下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意已知 ，是公共边，选项A可利用全等三角形判定定理“角边角”可得，选项B可利用全等三角形的判定定理“角角边”可得；选项C可利用全等三角形判定定理“边角边”可得，唯有选项D不能判定. 【详解】选项A，∵∴ 即 ∵ ，是公共边，，∴（角边角），故选项A不符合题意； 选项B，∵，，是公共边，∴（角角边）， 故选项B不符合题意； 选项C，∵，，是公共边，∴（边角边） 故选项C不符合题意； 添加DB=CB后不能判定两个三角形全等，故选项D符合题意； 故选D 【点睛】本题旨在考查全等三角形判定定理，熟练掌握此知识点是解题的关键. 5. 如图，下列角中是△ACD 的外角的是（） A. ∠EAD B. ∠BAC C. ∠ACB D. ∠CAE 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形外角的定义进行判断即可． 【详解】由题意得 △ACD 的外角有和 故答案为：C． 【点睛】本题考查了三角形外角的问题，掌握三角形外角的定义是解题的关键． 6. 如图，为边上一点，连接，则下列推理过程中，因果关系与所填依据不符的是（　　） A. ∵（已知）∴（等角对等边） B. ∵，（已知）∴（等腰三角形三线合一） C. ∵，（已知）∴（等腰三角形三线合一） D. ∵，（已知）∴（线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等） 【答案】C 【解析】 【分析】对各个选项进行推理论证即可逐项判断． 【详解】解：选项C的已知条件中，没有能直接说明是等腰三角形的条件，不能用三线合一，不符合因果关系，符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查了等角对等边、等腰三角形三线合一、线段垂直平分线性质相关的证明，理解并掌握推理的因果关系是解题关键． 7. 如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，下列结论错误的是(　　) A. ∠C＝2∠A B. BD＝BC C. △ABD是等腰三角形 D. 点D为线段AC的中点 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据∠A=36°，AB=AC可得：∠ABC=∠C=72°，根据BD平分∠ABC可得：∠ABD=∠DBC=36°，∠BDC=72°，则∠C=2∠A，BD=BC，△ABD是等腰三角形. 考点：等腰三角形的性质 8. 已知（AC＞BC），用尺规作图的方法在AB上确定一点P，使PA+PC=AB，则符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在AB上找一点使得PA+PC=AB，必须使得PC=PB，所以做得BC的垂直平分线； 【详解】根据题意可得要使得PA+PC=AB，做得是BC的垂直平分线即可； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了对垂直平分线性质的考查，准确理解题意是解题的关键． 9. 如图，点F在正五边形的内部，为等边三角形，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式可求出∠ABC的度数，根据正五边形的性质可得AB=BC，根据等边三角形的性质可得∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，可得BF=BC，根据角的和差关系可得出∠FBC的度数，根据等腰三角形的性质可求出∠BFC的度数，根据角的和差关系即可得答案． 【详解】∵是正五边形， ∴∠ABC==108°，AB=BC， ∵为等边三角形， ∴∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF， ∴BF=BC，∠FBC=∠ABC-∠ABF=48°， ∴∠BFC==66°， ∴=∠AFB+∠BFC=126°， 故选：C． 【点睛】本题考查多边形内角和、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键． 10. 如图，在等腰，，，为的角平分线，过点作交的延长线与点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，延长交的延长线于点，证明，得，再证，得，然后由等腰三角形的性质得，即可得出结论．掌握等腰三角形三线合一性质是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：B． 二、填空题：（本大题共有6小题，第11小题8分，其它各小题每题4分，共28分） 11. 计算： （1） ______； （2） ______； （3） ______； （4） ______． 【答案】 ①. ②. ③. ④. 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据同底数幂相乘底数不变，指数相加可进行求解； （2）根据幂的乘方可进行求解； （3）根据积的乘方可进行求解； （4）根据积的乘方的逆用可进行求解． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； 故答案为，，，． 12. 点与点关于轴对称，则的值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标特点、相反数以及有理数的减法，根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得，然后可得的值． 【详解】点与点关于轴对称 则 故答案为：． 13. 如图，在中，垂直平分，垂足为点，交于点，连接，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，由，可得，由线段垂直平分线的性质可得，进而得，即得，最后根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，是的角平分线，过点D作交于点E，平分交于点F，若，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要查了等腰三角形的判定，平行线的性质．根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，从而得到，同理可得，即可求解． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：4 15. 生活中，我们所见到的地面、墙面、绘画图案等常常由一种或几种形状相同的图形拼接而成，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．以下镶嵌图形所用的平行四边形中最大内角为______． 【答案】##144度 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形的性质，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键；根据图形可知构成完整一个图形是一个正十边形，进而根据正十边形的内角和可进行求解． 【详解】解：如图， 由图可知：多边形是正十边形，且即为所用平行四边形中最大内角， ∴； 故答案为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，（为任意实数），，，则长的最小值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】作轴于点，轴于点，则，先推导出，再证，则，作直线轴于点，则，可知点在直线上运动，由，得，则长的最小值为2，于是得到问题的答案． 【详解】解：作轴于点，轴于点，则， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点的横坐标为2， 作直线轴于点，则， 点在直线上运动， ， ， 长的最小值为2， 故答案为：2． 【点睛】此题重点考查图形与坐标、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题有9题，共82分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及到同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算，关键是注意指数的变化，不能出错． （1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算，再进行同类项合并，即可得到结果； （2）先进行幂的乘方运算，再合并同类项，即可得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，点E、C在线段上，，，． 求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．先证明，再利用平行线的性质得到，然后根据可判断． 【详解】略 19. （1）请画出关于轴对称的（其中分别是的对应点）； （2）直接写出三点的坐标：__________，__________，__________； （3）内一点，在内的对称点的坐标为__________； （4）在轴上确定一点，使得最短，画出点所在位置． 【答案】 （1）所作如图所示： （2）； （3）； （4）如图所示： 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形—轴对称，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称问题是解题的关键； （1）先画出点A、B、C关于y轴对称的点，进而问题可求解； （2）根据（1）中图形可进行求解； （3）根据点的坐标关于坐标轴对称的特征“关于谁对称，谁就不变，另一个互为相反数”可进行求解； （4）根据轴对称的性质及两点之间线段最短可进行求解 【详解】解：（1）略 （2）由（1）图可得： 故答案为； （3）由题意得：内一点，在内的对称点的坐标为； 故答案为； （4）先作点B关于y轴的对称点D，连接，则与y轴的交点即为所求的点P 20. 如图，在中，，点D是的中点，点E在上．求证：． 【答案】 证明：点D是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】略 21. 如图，已知，点D在边上，． （1）尺规作图：作出点D；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，且，求的度数． 【答案】（1） 如图，点即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点即可； （2）由，且，，可得，再由垂直平分，可得，从而得出，再求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，且，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了作图复杂作图，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 22. （1）已知，求的值． （2）若，求的值． （3）已知，用含、的式子表示． 【答案】（1）40；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂乘法与积的乘方及其逆用，熟练掌握同底数幂的乘法与积的乘方及其逆用是解题的关键； （1）由题意易得，然后可代入进行求解； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解； （3）由题意可知，然后代入求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴， 解得：； （3）∵， ∴． 23. 【教材呈现】 活动2 用全等三角形研究：“筝形” 如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形． 【性质探究】 （2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，，．求证：． 证明： （3）如图3，连结筝形的对角线，交于点O．请用文字语言写出筝形对角线的一条性质，并给出证明． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，点D、E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接与出的度数． 【答案】 【教材呈现】 如图， 猜想筝形的角、对角线有的性质：，垂直平分，平分和， 证明：∵，，， ∴， ∴，，， 即平分和， ∴垂直平分． 〖概念理解〗（1）如图1，四边形即为所求； 〖性质探究〗（2）如图2，连接， 在与中， ， ∴， ∴； （3）有一条对角线平分一组对角(答案不唯一)， 证明∶ 在与中， ， ∴， ∴，， 即平分、． 〖拓展应用〗（4）或 【解析】 【分析】〖教材呈现〗利用证明，即可得出结论； （1）取格点B的关于对称格点D，连接、即可； （2）连接，利用证明，即可得出结论； （3）利用证明，即可得出结论； （4）分两种情况：①当筝形中，时，②当筝形中，时，分别求解即可． 【详解】解：〖教材呈现〗略 〖概念理解〗（1）略 〖性质探究〗 （2）略 （3）略 〖拓展应用〗 （4）分两种情况：①当筝形中，时，如图4-1， ∴； ②当筝形中，时，如图4-2， ∵ ∴ ∴ 综上，当四边形为筝形时， 的度数为或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，网格作图，三角形内角和与外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． 24. 【探究与证明】 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】如图1，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为，，展平纸片，连接，，． 请完成： （1）观察图1中，和，试猜想这三个角的大小关系； （2）证明（1）中的猜想； 【类比操作】如图2，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B，P分别落在，上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，． 请完成： （3）证明是的一条三等分线． 【答案】（1） （2） 证明：由折叠的性质可得：，，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； （3） 证明：连接，如图所示： 由折叠的性质可知：，，， ∵折痕，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的一条三等分线． 【解析】 【分析】（1）根据题意可进行求解； （2）由折叠的性质可知，，然后可得，则有是等边三角形，进而问题可求证； （3）连接，根据等腰三角形性质证明，根据平行线的性质证明，证明，得出，即可证明． 【小问1详解】 解：由题意可知； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质与判定及矩形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握折叠的性质，证明，是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点，点B在y轴正半轴上，，． （1）如图1，当时，连接交y轴于点D，写出点C的坐标； （2）如图2，轴于B且，连接交y轴于一点E，在B点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若不变，求出的长度；若变化，请说明理由； （3）如图3，N在延长线上，过作轴于Q，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） （2）在B点运动过程中，长保持不变，的长为3， 理由：如图2，过C作轴于M． 由（1）可知：， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）过点C作CH⊥y轴交y轴于H，证明得到，，，从而得到C点的坐标； （2）过点C作轴交y轴于M，证明，得到，则； （3）延长交的延长线于M，过点N作于H，交于K．先证明 ，得到，，然后证明，得到，即可推出． 【小问1详解】 解：如图1，过点C作轴于H． ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ． 理由：如图，延长交的延长线于M，过点N作于H，交于K． ∵，，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够添加辅助线构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年八年级（上）期中质量检测 数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 考生注意： 1.全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡； 2.答案一律写在答题卡上，否则不能得分； 3.选择题用2B铅笔填涂，其余一律用黑色水笔做答；不能使用涂改液/带． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分，每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 二十四节气是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令．下面四幅设计作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中轴对称图形的是（　　） A. ）  B.    C.    D.   2. 如图，是的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，添加下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，下列角中是△ACD 的外角的是（） A. ∠EAD B. ∠BAC C. ∠ACB D. ∠CAE 6. 如图，为边上一点，连接，则下列推理过程中，因果关系与所填依据不符的是（　　） A. ∵（已知）∴（等角对等边） B. ∵，（已知）∴（等腰三角形三线合一） C. ∵，（已知）∴（等腰三角形三线合一） D. ∵，（已知）∴（线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等） 7. 如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，下列结论错误的是(　　) A. ∠C＝2∠A B. BD＝BC C. △ABD是等腰三角形 D. 点D为线段AC的中点 8. 已知（AC＞BC），用尺规作图的方法在AB上确定一点P，使PA+PC=AB，则符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点F在正五边形的内部，为等边三角形，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等腰，，，为的角平分线，过点作交的延长线与点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共有6小题，第11小题8分，其它各小题每题4分，共28分） 11. 计算： （1） ______； （2） ______； （3） ______； （4） ______． 12. 点与点关于轴对称，则的值为_____ 13. 如图，在中，垂直平分，垂足为点，交于点，连接，若，则的长为______． 14. 如图，在中，是的角平分线，过点D作交于点E，平分交于点F，若，则__________． 15. 生活中，我们所见到的地面、墙面、绘画图案等常常由一种或几种形状相同的图形拼接而成，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．以下镶嵌图形所用的平行四边形中最大内角为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，（为任意实数），，，则长的最小值为________． 三、解答题（本大题有9题，共82分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，点E、C在线段上，，，． 求证：． 19. （1）请画出关于轴对称的（其中分别是的对应点）； （2）直接写出三点的坐标：__________，__________，__________； （3）内一点，在内的对称点的坐标为__________； （4）在轴上确定一点，使得最短，画出点所在位置． 20. 如图，在中，，点D是的中点，点E在上．求证：． 21. 如图，已知，点D在边上，． （1）尺规作图：作出点D；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，且，求的度数． 22. （1）已知，求的值． （2）若，求的值． （3）已知，用含、的式子表示． 23. 【教材呈现】 活动2 用全等三角形研究：“筝形” 如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形． 【性质探究】 （2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，，．求证：． 证明： （3）如图3，连结筝形的对角线，交于点O．请用文字语言写出筝形对角线的一条性质，并给出证明． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，点D、E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接与出的度数． 24. 【探究与证明】 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】如图1，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为，，展平纸片，连接，，． 请完成： （1）观察图1中，和，试猜想这三个角的大小关系； （2）证明（1）中的猜想； 【类比操作】如图2，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B，P分别落在，上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，． 请完成： （3）证明是的一条三等分线． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点，点B在y轴正半轴上，，． （1）如图1，当时，连接交y轴于点D，写出点C的坐标； （2）如图2，轴于B且，连接交y轴于一点E，在B点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若不变，求出的长度；若变化，请说明理由； （3）如图3，N在延长线上，过作轴于Q，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $