精品解析：广东省广州奥林匹克学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

广州奥林匹克中学2024学年第一学期期中考试 数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由补集的运算，求得，即得答案. 【详解】由题可知，所以， 因为， 故选：B 【点睛】本题考查集合的交并补运算，属于基础题. 2. 设，则（ ） A. 3 B. 0 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数思想求函数值即可. 【详解】由，可得， 即， 故选：A. 3. 命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题，结合已知命题求出其否定命题，进而判断选项． 【详解】存在量词命题的否定形式为全称量词命题， 命题的否定为，故D正确． 故选：D． 4. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，即可判断命题的关系. 【详解】解不等式，可得， 即命题， 所以命题是的充分不必要条件， 故选：A. 5. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数和指数函数的单调性，即可判断选项. 【详解】幂函数在单调递增，所以， 指数函数单调递减，所以， 所以. 故选：D 6. 已知函数是上的减函数，则a的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分段函数是上的减函数，不仅需要每一段是单调递减的，还需要左边一段的最低不高于右边一段的最高，据此列不等式求解即可. 【详解】函数是上的减函数, 则，解得 故选：A. 7. 广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（ ）人. A. 3 B. 9 C. 19 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】画出韦恩图求解即可. 【详解】解：设只参加射击的人数为x，同时参加射击和径赛比赛的人数为y，只参加径赛的人数为z，作出韦恩图，如图所示： 则由韦恩图得： ，解得， 所以只参加一项比赛的有人. 故选：C. 8. 甲、乙两人给小车加油时有不同的习惯，甲每次加92汽油250元，乙每次加92汽油a升。如果甲、乙两人同时加油两次，两次的加油价格不同，我们规定谁的平均单价低谁就合算，那么请问甲、乙两人谁更合算？（ ） A. 甲 B. 乙 C. 一样 D. 与a的取值有关 【答案】A 【解析】 【分析】设第一次加油单价为x元，第二次为y元，甲两次加油的平均单价为M元/升，乙两次加油的平均单价为N元/升，表达出，，作差法比较出大小. 【详解】由题意，设第一次加油单价为x元，第二次为y元， 则乙两次加油共需付款元，甲两次能加升油， 设甲两次加油的平均单价为M元/升，乙两次加油的平均单价为N元/升， 则，，且，x，， 所以，即， 甲的加油方式更合算. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 所有的素数都是奇数 B. ， C. 不存在整数n，使是4的倍数 D. ，为偶数 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据2是偶数可得选项A错误；分和两种情况讨论，可得选项B正确；分为奇数和偶数两种情况讨论，可得选项C正确；根据相邻两个整数必有一个奇数，一个偶数可得选项D正确. 【详解】A.2是素数，2也是偶数，故A错误. B.当时，，当时，，故B正确. C.当时，，不是的倍数， 当时，，不是的倍数， 故C正确. D. ，相邻两个整数必有一个奇数，一个偶数，乘积为偶数，选项D正确. 故选：BCD. 10. 设，则下列结论成立的是（ ） A. B. （） C. D. （） 【答案】AB 【解析】 【分析】代入计算出，，判断出ABD；而，C错误. 【详解】A选项，，A正确； BD选项，（），B正确，D错误； C选项，，显然，C错误 故选：AB 11. 若实数，满足，以下选项中正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的值不超过3 D. 最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本不等式、基本不等式“1”的妙用求最值，以及完全平方公式可求得结果. 【详解】解：∵， ∴， 即， 当且仅当，即时，等号成立， ∴的最大值为， 故选项A正确，符合题意； ， 当且仅当，即时，等号成立， ∴的最小值为， 故选项B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴，即， ， 当且仅当即时，等号成立， 因为，所以,故选项C正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即最小值为， 当且仅当时，等号成立， 故选项D正确，符合题意； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是__________. 【答案】且 【解析】 【分析】根据题意列出不等式组求解即可. 【详解】解：由题意可得，解得且， 所以函数的定义域为：且. 故答案为：且 13. 已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据函数为幂函数求出的值，再通过的图象关于轴对称来确定的值. 【详解】由为幂函数，则，解得，或， 当时，，其图象关于轴对称， 当时，，其图象关于对称， 因此， 故答案为：2. 14. 已知命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围是_____________；若命题“，”是假命题，则实数m的取值范围是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据特称、全称命题为假命题，将问题化为不等式恒、能成立求参数范围即可. 【详解】命题“，”为假，即“，”为真， 当时，成立， 当时，则，解得， 综上，a的取值范围是. 因为命题“，”是假，即，为真， 即只需，所以，实数m的取值范围是. 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. （1）求的值； （2）已知，.求及的值 【答案】（1）；（2）12，. 【解析】 【分析】（1）根据根式与指数式的互化和指数的运算性质计算求解即可； （2）根据指数的运算性质计算求解即可. 【详解】（1）原式 . （2）因为，， 所以；. 16. 已知集合． （1）当时，求 （2）已知“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求出集合，再求并集； （2）利用充分必要条件的定义确定，分类讨论解不等式可求得集合，根据集合的包含关系求解. 【小问1详解】 由，解得，所以 时，， 由，解得，所以， 所以. 【小问2详解】 因为“”是“”的必要条件，所以． 由，可得， 若，，不满足，则不符合题意; 若即时，，符合题意; 若，则， 因为，所以，解得， 综上，. 17. 某新能源公司投资280万元用于新能源汽车充电桩项目，且年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入.设到第且年年底，该项目的纯利润（纯利润=累计收入-累计维修保养费-投资成本）为万元.已知到第3年年底，该项目的纯利润为128万元. （1）求实数的值.并求该项目到第几年年底纯利润第一次能达到232万元； （2）到第几年年底，该项目年平均利润（平均利润=纯利润年数）最大？并求出最大值. 【答案】（1），该项目到第4年年底纯利润第一次能达到232万元. （2）到第6年年底，该项目年平均利润最大，最大为万元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，由的值求得，由解不等式求得正确答案. （2）利用函数的单调性求得的最大值，以及此时对应的. 【小问1详解】 依题意可得，， 已知， 且. 令，解得. 该项目到第4年年底纯利润第一次能达到232万元. 【小问2详解】 年平均利润为， 令且， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 又. 到第6年年底，该项目年平均利润最大，最大为万元 18. 已知为上的奇函数，当时，. （1）写出的值，求的解析式； （2）画的草图，并通过图象写出的单调区间. （3）实数k取何值时，方程有3个不相等的实数根？ 【答案】（1）； （2） 由图知，函数的增区间为和，减区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数恒等式和分段函数思想来求得分段函数解析式； （2）利用作出分段函数的图象即可得单调区间； （3）利用数形结合，可以判断参数的取值范围，从而求解即可. 【小问1详解】 因为为上的奇函数，所以 由于当时，，所以， 因为为上的奇函数，所以， 令得：，所以. 任取，则，由于为上的奇函数， 所以. 即. 综上所述： 【小问2详解】 作出的图象如图所示： 从图象可以看出：的增区间为和，减区间为. 【小问3详解】 由分段函数可得：，， 结合（2）图象可知，方程有3个不相等的实数根， 只需满足：，即， 解得： 所以可得实数k取何值范围为. 19. 定义在上的函数，若对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．已知函数． （1）若是奇函数，判断函数是否为有界函数，并说明理由； （2）若在上是以为上界的函数，求的取值范围． 【答案】（1）函数为有界函数，理由：解法一：若是奇函数，则， 则， 所以恒成立， 所以是奇函数时，， 此时， 由，知，于是，则， 故时，， 所以，函数为有界函数． 解法二：因为为奇函数，可得，则有，解得． 此时， 由，知，于是，则， 故时，， 所以，函数为有界函数． （2）． 【解析】 【分析】（1）解法一：由是奇函数，得，然后化简可求出的值，对函数变形后，利用指数的函数单调性判断函数为有界函数，解法二：由为奇函数，可得，解得，对函数变形后，利用指数的函数单调性判断函数为有界函数； （2）由题意可得在上恒成立，则恒成立，转化为不等式组在上恒成立，从而可求出的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若函数在上是以为上界的函数，则有在上恒成立． 故恒成立，即恒成立， 所以，即， 由题可知，不等式组在上恒成立． 因为在上单调递减，其最大值为； 又在上单调递减，其最小值为． 所以，即， 故的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本小题通过设置函数奇偶性与新信息探索性问题相关的综合创新情境，主要考查函数的奇偶性，单调性等基础知识，考查运算求解能力，逻辑推理能力，推理论证能力，考查数学抽象、数学运算、直观想象、逻辑推理等素养，解题关键是对有界函数定义的正确理解，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州奥林匹克中学2024学年第一学期期中考试 数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 设，则（ ） A. 3 B. 0 C. D. 1 3. 命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是上的减函数，则a的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（ ）人. A. 3 B. 9 C. 19 D. 14 8. 甲、乙两人给小车加油时有不同的习惯，甲每次加92汽油250元，乙每次加92汽油a升。如果甲、乙两人同时加油两次，两次的加油价格不同，我们规定谁的平均单价低谁就合算，那么请问甲、乙两人谁更合算？（ ） A. 甲 B. 乙 C. 一样 D. 与a的取值有关 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 所有的素数都是奇数 B. ， C. 不存在整数n，使是4的倍数 D. ，为偶数 10. 设，则下列结论成立的是（ ） A. B. （） C. D. （） 11. 若实数，满足，以下选项中正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的值不超过3 D. 最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是__________. 13. 已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是______． 14. 已知命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围是_____________；若命题“，”是假命题，则实数m的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. （1）求的值； （2）已知，.求及的值 16. 已知集合． （1）当时，求 （2）已知“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 17. 某新能源公司投资280万元用于新能源汽车充电桩项目，且年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入.设到第且年年底，该项目的纯利润（纯利润=累计收入-累计维修保养费-投资成本）为万元.已知到第3年年底，该项目的纯利润为128万元. （1）求实数的值.并求该项目到第几年年底纯利润第一次能达到232万元； （2）到第几年年底，该项目年平均利润（平均利润=纯利润年数）最大？并求出最大值. 18. 已知为上的奇函数，当时，. （1）写出的值，求的解析式； （2）画的草图，并通过图象写出的单调区间. （3）实数k取何值时，方程有3个不相等的实数根？ 19. 定义在上的函数，若对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．已知函数． （1）若是奇函数，判断函数是否为有界函数，并说明理由； （2）若在上是以为上界的函数，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $