甘肃省天水市甘谷县第六中学2024-2025学年高三上学期第三次质量检测数学试卷

甘肃省甘谷六中2024-2025学年度第-学期高三第三次质量检测·数学 参考答案、提示及评分细则 1.B由题意，得B二A,故A错误；CB={1,3,4},故B正确：AUB=(2,3,5},故C错误；A∩B={2,5},故D 错误. 2A由题意知，点A的坐标为（分，号），故ama= 2=5. 2 3.A2(a2十)≥(a十b)2,若“a十>2”则“a2十b>2”,反之，不成立.例如：a=√2，b=0.1,满足a十序>2， 但不满足a十b>2..“a十b>2”是“a+?>2”的充分不必要条件. 4.D,幂函数y=x,当a>0时，在(0，十o∞)单调递增，故b=0.6100>0.590,又指数函数y=a,当0< a<1时，在R上单调递减，故0.599>a=0.591>0,即b>a>0,c=ln0.6<0,.c<a<b. 5B设球的半径为R,AB-5RAC-mO,-月0-月R-10,即(1S-一S)R-10,即 100sin109 50sin109 2525 cos10-V3sinI0R=100,则R=2cos(10+60°)2sin10cos10c0s100,985'nb0.76. sin10° 693 6.C由tan（于-a）=3cos2a,得 in(年-a】 os(-a） =3sin(5-2a）=6sin（年-a）)cos(年-a),而a∈ (-受，0），则开-e(开，开)sin(王-a）≠0，因此2cos(开-a）=3,即有1+cos(受-2a）=3,所 以sin2a=cos(受-2a）)=-子 1.C当≥0时，的定义域为R,由)为奇函数，可得0)=0，即2异。=0显然不成立：所以a<0,由 为奇函数，可得-)-0.即，出。一+。化为2+a·2-2,2-a,即为a+2)d 2+十a +2)=0,解得a=-2,由了=g,即兴号2=m+2,化为2+(2m-3》·2-2m-1=0设 A).B).可得2十2类=32，又线段AB的中点M在直线y=上，可得n十为=合，即有 2m+24+29=2m+3,20=号，解得m=-1,则g(x)=-1+2,因为2>0.所以-1+2>-1，即g6x） 2 的值域为(-1，十∞). &.D因为BD是角平分线，∠ABC-号，BD=4,∴∠ABD=∠DBC=号，由SAW=S△m十SAm,可得 号BCX BAsin=2 ABX BDsin-交+BCX BDsin于，在△ABC中，设角A,B,C所对边分别为a,b,e 因为BD=4,所以4(a十c)=ac,又由余弦定理有形=a2+2-2 accos2=a2+2+ac=(a十c)2-ar= 3 ae-ac,设△ABc的同长为L.则1=a+b+c-子ac+√Gc2-ac,设ac=x,则1-子x+√6r2- 由基本不等式得4(a十c)=ac≥8Vac,当且仅当a=c时取等号，所以ac>≥64，易得x≥64时，l=子x+ 【高三检测·数学参考答案第1页（共4页）】 10058C √6-x单调递增，所以当x=64时，1的值最小.最小值为}×64+√6×64一64=16+85。 9,.AC不等式ar+br十c≥0的解集是{女之<x≤2，可得a<0,且ar+hk十c=0的两个根为，2由根 与系数关系-合-号+2=多>0，所以6>0.放A正确：二次函数y一ar+x十r开日向下，雨数的零点为 号2，当x=-1时y=a一什c<0,故B不正确：当x=1时y=a+h什>0，放C正确：由后=×2=1 则c<0,故D不正确. 10.ABD对于A,若cosA=cosB,因为函数y=cosx在(0，π)上为单调函数，所以A=B,所以△ABC为等腰 三角形，所以A正确：对于B若心B.可得。>b,由正孩定理品A品B2R,可得2R血A2RnB,可 得血A>血B,所以B正确：对于C.因为s血C=密B_>1,所以符合条件的△ABC有0个，所以C 不正确：对于D,若simA十simB<simC,由正弦定理得a2+仔<，则cosC-4士C<0,因为C∈(0， 2ab ),所以C∈（交，x),所以△ABC是纯角三角形，所以D正确. .CD由图象知A二2，。3瓷心的一个最低点为（段，-2(x)的最小正周期为T户 2 号-0=等w=等=8.“f()=2os(3×登-)=-2，则ms(3×竞-p)=-1∴ -p=x十 2kxk∈D,即g=年-2kxk∈2D9<受9-平f八r)=2os(3x-牙).将函数y=fx)图象上 的所有点的横坐标伸长到原来的号得：y=2©0(2x一牙)的图象，再把所得曲线向右平移誓个单位长度 得：y=2co(2x-受)=2sin2x,即gx）=2sin2x,由-受+2kx≤2x≤受+2xk∈Z)得，-开+kr<r≤ 于+kmk∈Z),由受+2km≤2x≤暂+2kx(k∈Z)得，平+kx≤x≤+k标(k∈Z),∴g(x)在 [-吾+，子十标]∈刀上单调递增，在[晋+x,季+]（∈D上单调递减当x[2票，F]时。 可知g)在[2牙子]上单调递增，在[平，]上单调递减∴A错误：B项，：g(受)=2sin(2×受) 2sinF=厄∴(，0）不是gax)图象的一个对称中心，故B错误：C项，：g(牙）=2sim(2×牙）=2. “直线x一哥是g()图象的一条对称轴，故C正确：D项，”g()在[，]上单调递增，“函数g)在 []上单调适增，故D正确 1289 由正弦定理知，2R= BC 08,所以外接圆的直径为 sinA sin60° 18.经：yx∈R都有fm)≤f(受)儿∴受。吾=kx+受w=2k+号又fx)在(-平，吾)上单 调∴-≥是-(（)即0w3w青T--警 1[日+o∞） 对原不等式两边同时除以x,可得lng+ag十x一1≥0，对齐化简整理得：e+nah十x十 lna-lnx-l>0,令t=x十lna-lnx,故原不等式转化为e十t-1>≥0，构造函数f(1)=e十1-1，f(t) c十1>0，故f(t)在（一∞，+∞）单调递增，又因为f(0)=0,故要使得f(t)≥0，则仅需t≥0，故转化为 x十lna一lnx≥0在(0，十∞)恒成立，故na≥lnx-x在(0，十∞)恒成立，构造函数g(x)=lnx-x, g'(x)=1-1,令g(x>0,解得0<x<1,故g(x)在(0,1)递增，(1，十∞)递减，放g(x)的最大值为g(1)= 【高三检测·数学参考答案第2页（共4页）】 10058C -1,故1ha>≥-1，解得a≥，故a的取值范围是[，十o∞) 15.解：(1)，f(x)=3a.x2+c,. |f(2)=12a+c=0, 3分 f(2)=8a+2c=16, 解得/a=一1， lc=12. 5分 .f(x=-x3十12.x,… 6分 (2)设切点坐标为(m,一x+12.x0), 则切线方程为y十一12x0=(一3x始十12)(x一x0).…9分 切线的过原点，∴.x一12x0=3.z8一12.， 解得0=0，… 11分 .切线方程为y=12x.… …13分 16.解：(1)函数 fx)=2 nin(r+音）+os2x=2sinr(分snx+停ost)+os2x=six+3 sino+cos2x= 1=g红+os2r+8924-gn2r+7os2r+日=sn(2+音)+2 2 …2分 令-交+2k≤2x+≤2kx+(k∈D,整理得：-子+kx≤≤kx十否(k∈)： 故函数的单调递增区间为[一吾十标，m十吾]∈D ，…4分 当2红+吾=2x十受（∈D,整理得：x=k红十吾k∈D时，函数取得最大值为号：…6分 当2x+晋=2kx一受(k∈D,整理得：x=km一哥（∈）时，函数取得最小值为一之 …8分 (2由于x∈[0，受]整理得2+吾∈[吾，] 所以函数y=snr十之在[吾，吾]上，函数的图象与y=a的图象有两个交点，即函数g()=fx）-a有 两个零点：故a∈1,2)故实数a的取值范围为[1，号)】 …15分 17.解：(1)锐角△ABC中满足(a-b)(sinA+sinB)=(c-b)sinC, 利用正弦定理：(a一b)(a十b)=(c一b)c,整理得a2一=2-c, 故c0sA=+-d=1 2be ,由于0<A<受，故A=受 …5分 (2)由(1)得2R=4 =2 sin A 3 所以b叶c=2sinB+2sinC=2sim(C+答）+2sinC=23sim(C+晋）…8分 0<C<2, 由于 …11分 0<-c<受 整理得<C受· 故登<C+音<放sim(C+吾)e(.1]故叶ce3,23 44e…小…44 15分 18.解：(1)在△ABC中，由余弦定理可得：BC=AB+AC-2AB·ACcos.∠BAC, 而AB=13,BC=15,0s∠BAC=是解得AC=14. …5分 (2)因为cos∠BAC-高所以sin∠BAC=号 【高三检测·数学参考答案第3页（共4页）】 10058C BC AB 由正弦定理得in∠BAC-sin/ACB' 12 sin ACB·解得sim∠ACB=言，os∠ACB=是 13 …9分 13 义因为ACLCD.且AC=CD,sin∠BCD=sin(∠ACB+受)=cos∠ACB= 5 …12分 而CD=AC=14,所以Sm=号BC.CD·sin∠BCD=号×15X14X号=63， 所以△BCD的面积为63. …17分 19.（1)证明：当a=-1时，g(r)=_x-os一1，则g()=1-血+sin, 因为0<x≤2，所以1-lhx>0,sin>0, 所以g(x)>0,所以函数g(x)在(0，乏上为增函数， In 2 所以gx)≤g(变）= 0.5分 (2)解：当a≤0时，f(x)≤lnx-x,设Q(x)=lnx-x,因为Q(x)=二，所以Q(x)≤n1-1=-1<0, 所以(x)<0,所以函数f(x)无零点.……6分 当a=1时，设F(.x)=x-sinx,0≤x<交，因为F(x)=1-cosx≥0，所以F(x)≥0，即x≥sinx,0≤x <受 所以函数f(x)无零点. …8分 当a≥2时，f(x)=lnx+a.rcos .r--x, 设A)=f)=子+a(eosr-sinr）-1,M()=-是-a(2sinx+osx0<0. 所以函数f()在(o,受]上为减函数， 又f(受)=是-吾a-1<0,f(日）=a+asa-sm日-l1>1-sma+aos>0, 所以(x)在（侵，受）上存在零点0，使∫()=0，…11分 当0<<m时，f(x)>0,当x<r≤时，f(x)<0, 函数f()在(0，)上为增函数，在(，受]上为减函数， 因为f(弩)=ln+(告a-晋)>0（受）=ln受-受<0， /日）=hd+os}d<日-1+os}-日=-1+os ∠0 14分 a 所以函数fx)在（日，晋）.（等，受）各有一个零点， 综上所述：当a≥2时，f(x)恰有两个零点，当a≤1时，f(x)<0, 所以α=2时，是f(x)恰有两个零点的最小整数值.…17分 【高三检测·数学参考答案第4页（共4页）】 10058C甘肃省甘谷六中2024一2025学年度第一学期高三第三次质量检测 数学试卷 2024.11 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上 对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题 的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答 无效。 3.本试卷命题范围：集合与逻辑、不等式、函数与导数（共40%）三角函数、解三角形 (共60%)。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的. 1.已知集合U={1,2,3,4,5},A={2,3,5},B={2,5},则 A.ACB B.CuB=1,3,4} C.AUB={2,5 D.A∩B={3} 2.已知角a的终边经过点A(sin150°，cos30),则tana= A.3 B.-√3 c. D3 3 3.已知a,b∈R,则“a十b>2”是“a2+b>2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知a=0.59°1，b=0.61,c=1n0.6,则 A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 5.古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根 据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切 点)，地面上B,C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧，若在B,C处分别测量球体建 筑物的最大仰角为60°和20°，且BC=100m,则该球体建筑物的高度约为(cos10°≈0.985) A.45.25m B.50.76m C.56.74m D.58.60m 20°乙 【高三检测·数学第1页（共4页）】 10058C 6.已知a∈(-乏，0，且tan(于-a）=3cos2a,则sin2a A.-6 D.- 5 6 7.已知函数fx)=云a∈R)为奇函数.且y=fx)的图象和函数g)=m十2的图象 交于不同的两点A,B,若线段AB的中点M在直线y=上，则g)的值域为 A.(-2,+∞) B.(1,+oo) C.(-1,+o∞) D.(2,十oo) 8.在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D,∠ABC=牙，BD=4,则△ABC周长的最小 值为 A.8+42 B.8+83 C.16+4② D.16+83 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.不等式ax2+br十c≥0的解集是{x2 ≤x≤2，对于系数a,b,c,下列结论正确的是 A.b>0 B.a-b+c>0 C.a+b+c>0 D.c>0 10.对于△ABC,有如下判断，其中正确的判断是 A.若cosA=cosB,则△ABC为等腰三角形 B.若A>B,则sinA>sinB C.若b=8,c=10,B=60°，则符合条件的△ABC有两个 D.若sin2A十sinB<sinC,则△ABC是钝角三角形 11.如图所示的曲线为函数f(x)=Acos(r一p)(A>0,w>0,p<)的部分图象，将y= f(x)图象上的所有点的横坐标伸长到原来的号，再将所得曲线向右平移个单位长度，得 到函数y=g(x)的图象，则 A函数gx)在[2费，]上单调递减 B.点（红，0）为g(x)图象的一个对称中心 C.直线x=于为g(x)图象的一条对称轴 D,函数g(x)在[3红，元]上单调递增 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.在△ABC中，已知A=60°，BC=4,则△ABC的外接圆直径为 13.已知函数fx)=sin(or-)(ow>0,对任意x∈R,都有f(x)≤f(),且f(x)在区间 (-牙，)上单调，则函数f()的周期为 14,若Vx∈(0，十o∞)，不等式ln:十ae十x-x≥0恒成立，则实数a的取值范围是 【高三检测·数学第2页（共4页）】 10058C 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.(13分) 已知f(x)=ax3十cx在x=2处取得极大值16. (1)求f(x)的解析式： (2)求经过坐标原点且与曲线f(x)相切的切线方程. 16.(15分) 已知函数f(x)=2 sinzsin(x+牙)+cos2.x (1)求f(x)的单调递增区间和最值： (2)若函数g(x)=f(x)一a在x∈[0，受]有且仅有两个零点，求实数a的取值范围. 17.(15分) 锐角△ABC中满足(a-b)(sinA十sinB)=(c-b)sinC,其中a,b,c分别为内角A,B,C的 对边 (1)求角A: (2)若a=√3，求b十c的取值范围. 【高三检测·数学第3页（共4页）】 10058C 18.(17分) 如图，在平面四边形ABCD中，AB=13,BC=15,os∠BAC-吾ACLCD,且AC=CD, (1)求AC的长度： (2)求△BCD的面积 19.(17分) 已知函数fx)=lnx十a.rcos一x,0<x≤受. (1)当a=-1时，设g(x)=☑，求证：g(x)<0: (2)若f(x)恰有两个零点，求a的最小整数值. 【高三检测·数学第4页（共4页）】 10058C