第5章 5.2.1 古典概型-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（湘教版2019）

5.2.1　古典概型 [学习目标]　结合具体实例理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率. 导语 研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小.对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. 我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值.能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢？本节课我们就来学习一下！ 一、概率的概念 问题1　抛掷一枚质地均匀的硬币，其正面向上的可能性有多大？ 提示　. 知识梳理 概率的概念 随机事件A发生的可能性的大小叫作随机事件A的概率，记作P(A). 二、古典概型的定义 问题2　我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀的硬币试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们的共同特征有哪些？ 提示　样本空间的样本点是有限个，每个样本点发生的可能性相等. 知识梳理 古典概型 (1)定义：设试验的样本空间Ω有n个样本点，且每个样本点发生的可能性相同.当Ω中的事件A包含了m个样本点时，称P(A)=为事件A发生的概率，简称A的概率. 把上述定义描述的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型. (2)特点： ①样本空间中只有有限个样本点； ②每个样本点出现的可能性相等. 例1　下列概率模型是古典概型吗？为什么？ (1)从区间[1，10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率； (2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率； (3)从1，2，3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率. 解　(1)不是古典概型，因为区间[1，10]中有无限多个实数，取出的实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾. (2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”发生的可能性不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾. (3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等. 反思感悟　判断是否为古典概型，关键是看它是否同时满足两个特征：有限性和等可能性，同时满足这两个特征的概率模型才是古典概型. 跟踪训练1　(多选)下列是古典概型的是(　　) A.从6名同学中，任选4人参加数学竞赛，甲同学被选中的概率 B.同时掷两枚骰子，点数和为7的概率 C.近三天中有一天降雨的概率 D.10个人随机站成一排，其中甲、乙相邻的概率 答案　ABD 解析　选项A，B，D中的样本点都是有限个，且每个样本点都是等可能的，符合古典概型的定义和特点； 选项C不是古典概型，因为不符合等可能性，受多方面因素影响. 三、古典概型的概率计算 问题3　在掷骰子的试验中，记事件A为“点数为偶数”，事件A包含哪些样本点？事件A发生的概率是多少？ 提示　A=｛2，4，6｝. 对于抛掷骰子试验，出现各个点数的可能性相同，记出现1点，2点，…，6点的事件分别为A1，A2，…，A6，则P(A1)=P(A2)=…=P(A6)，又P(A1)+P(A2)+…+P(A6)=P(必然事件)=1，所以P(A1)=P(A2)=…=P(A6)=，P(A)==. 知识梳理 对于古典概型，事件A的概率计算公式为P(A)=. 例2　抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的结果. (1)写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型； (2)求下列事件的概率： A=“两个点数之和是5”； B=“两个点数相等”； C=“ Ⅰ 号骰子的点数大于 Ⅱ 号骰子的点数”. 解　(1)抛掷一枚骰子有6种等可能的结果， Ⅰ 号骰子的每一个结果都可与 Ⅱ 号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果.用数字m表示 Ⅰ 号骰子出现的点数，数字n表示 Ⅱ 号骰子出现的点数，则数组(m，n)表示这个试验的一个样本点.因此该试验的样本空间Ω=｛(m，n)|m，n∈｛1，2，3，4，5，6｝｝，其中共有36个样本点.由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型. (2)因为A=｛(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)｝， 即事件A中样本点个数为4，从而P(A)==. 因为B=｛(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)｝，即事件B中样本点个数为6，从而P(B)==. 因为C=｛(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)｝，即事件C中样本点个数为15， 从而P(C)==. 延伸探究　本例条件不变，求点数之和能被3整除的概率. 解　记“点数之和能被3整除”为事件D，则事件D包含的样本点共12个：(1，2)，(2，1)，(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)，(3，6)，(6，3)，(4，5)，(5，4)，(6，6). 故P(C)==. 反思感悟　利用古典概型概率计算公式计算概率的步骤 (1)确定样本空间的样本点的总数n. (2)确定所求事件A包含的样本点的个数m. (3)P(A)=. 跟踪训练2　为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是　　　　.  答案　 解析　从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛中的方法有红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的方法有红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率P==. 四、概率的性质 问题4　通过对概率的认识，你认为任意事件A的概率的取值范围是怎样的？必然事件和不可能事件的概率是多少？ 提示　0≤P(A)≤1，必然事件的概率是1，不可能事件的概率为0. 知识梳理 概率的性质 (1)由于事件A中的样本点个数总是小于或等于样本空间Ω中的样本点个数，因而根据古典概型的定义，可知任何事件的概率在0~1之间，即0≤P(A)≤1. (2)必然事件包含Ω中的所有样本点，因而P(Ω)=1. (3)不可能事件不包含任何样本点，因而P(∅)=0. 我们将(1)(2)(3)统称概率的性质. 五、“放回”与“不放回”问题 例3　一个盒子里装有完全相同的10个小球，分别标上1，2，3，…，10这10个数字，现随机地抽取两个小球，如果(1)抽取是不放回的；(2)抽取是有放回的.求两个小球上的数字为相邻整数的概率. 解　设事件A为“两个小球上的数字为相邻整数”. 则事件A包括的样本点有(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，(7，8)，(8，9)，(9，10)，(10，9)，(9，8)，(8，7)，(7，6)，(6，5)，(5，4)，(4，3)，(3，2)，(2，1)，共18个. (1)不放回取球时，总的样本点数为90，故P(A)==. (2)有放回取球时，总的样本点数为100，故P(A)==. 反思感悟　解决放回和不放回问题的两个注意点 (1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的.但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误. (2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b1)，(b1，a1)不是同一个样本点.解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的. 跟踪训练3　一个盒子中装有4个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4. (1)从盒子中不放回地随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率； (2)先从盒子中随机取一个球，记下编号为m，将球放回盒子中，然后再从盒子中随机取一个球，记下编号为n，求n<m+2的概率. 解　(1)从盒子中不放回地随机抽取两个球，其样本空间中的样本点有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个，编号之和不大于4的样本点有1和2，1和3，共2个， 因此所求事件的概率为=. (2)先从盒子中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从盒子中随机取一个球，记下编号为n，其样本空间Ω=｛(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)｝，共16个，其中满足n<m+2的样本点有13个. 所以n<m+2的概率为. 1.知识清单： (1)古典概型. (2)古典概型的概率公式. (3)随机事件的概率及性质. 2.方法归纳：列表法、树状图法. 3.常见误区：求样本空间中样本点总数和某事件包含的样本点个数时，一个按有序，一个按无序处理而致误. 1.下列试验中是古典概型的是(　　) A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率 B.掷一枚质地不均匀的骰子，求掷出1点的概率 C.在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率 D.同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率 答案　D 解析　A，B两项中的样本点的出现不是等可能的；C项中样本点的个数是无限多个；D项中样本点的出现是等可能的，且是有限个.故选D. 2.下列说法正确的个数是(　　) ①必然事件的概率等于1； ②某事件的概率等于1.1； ③某事件的概率是0. A.0　B.1　C.2　D.3 答案　C 解析　①必然事件的概率等于1，此命题正确，必然事件一定发生，故其概率是1； ②某事件的概率等于1.1，必然事件的概率是1，故概率为1.1的事件不存在，此命题不正确； ③不可能事件的概率就是0，故命题正确. 3.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为(　　) A.0.4　B.0.6　C.0.8　D.1 答案　B 解析　记3件合格品分别为A1，A2，A3，2件次品分别为B1，B2，从5件产品中任取2件，有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10个样本点，其中恰有一件次品有6个样本点，故所求事件的概率为=0.6. 4.将一枚骰子先后投掷两次，两次向上的点数之和为5的倍数的概率为　　　　.  答案　 解析　将一枚骰子先后投掷两次，样本点个数为36，且每个样本点出现的可能性相等，其中“将一枚骰子投掷两次，两次向上的点数之和为5的倍数”所包含的样本点有(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)，(5，5)，(6，4)，(4，6)，共7个，故“将一枚骰子先后投掷两次，两次向上的点数之和为5的倍数”的概率为. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.下列是古典概型的是(　　) A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点 B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点 C.从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率 D.抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点 答案　C 解析　A项中由于点数之和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本点的个数是无限的，故B不是；C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是. 2.某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期收到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是(　　) A.一定不会淋雨 B.淋雨的可能性为 C.淋雨的可能性为 D.淋雨的可能性为 答案　D 解析　所有可能的事件有“下雨帐篷到”，“下雨帐篷未到”，“不下雨帐篷到”，“不下雨帐篷未到”4种情况，而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨，故淋雨的可能性为，故选D. 3.甲、乙、丙三名学生随机站成一排，则甲站在边上的概率为(　　) A.　B.　C.　D. 答案　B 解析　甲、乙、丙三名学生随机站成一排，样本点有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6个，其中甲站在边上的样本点有4个，故所求的概率为=. 4.标有数字1，2，3，4，5的卡片各一张，从这5张卡片中随机抽取1张，不放回地再随机抽取1张，则抽取的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　) A.　B.　C.　D. 答案　A 解析　如图. 样本点的总数为20，其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的样本点个数是10，故所求概率P==. 5.设a是从集合｛1，2，3，4｝中随机取出的一个数，b是从集合｛1，2，3｝中随机取出的一个数，构成一个样本点(a，b).记事件E为“logba≥1”，则E发生的概率是(　　) A.　B.　C.　D. 答案　B 解析　分别从两个集合中取1个数字，共有12种结果，即该试验的样本空间中共包含12个样本点.若logba≥1，则当b=2时，a=2，3，4，当b=3时，a=3，4，故事件E共包含5个样本点，所以根据古典概型的概率公式得到所求概率是. 6.(多选)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分别为a，b，则下列结论正确的是(　　) A.a+b=7的概率为 B.≥2的概率为 C.ab=6的概率为 D.a+b是6的倍数的概率是 答案　BCD 解析　先后抛掷两枚质地均匀的骰子，共有36种不同的结果.对于A，设事件A为“a+b=7”，则A包含的样本点有(1，6)，(2，5)(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，共6个，所以P(A)=，故A错误；对于B，设事件B为“≥2”，则B包含的样本点有(2，1)，(3，1)，(4，1)，(4，2)，(5，1)，(5，2)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，共9个，所以P(B)=，故B正确；对于C，设事件C为“ab=6”，则C包含的样本点有(1，6)，(2，3)，(3，2)，(6，1)，共4个，故P(C)=，故C正确；对于D，设事件D为“a+b是6的倍数”，则D包含的样本点有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，6)，共6个，故P(D)=，故D正确. 7.(5分)从甲、乙、丙、丁、戊五个人中任选三人参加演讲比赛，则甲、乙都被选中的概率为　　　　.  答案　 解析　从五个人中任选三人，则试验的样本空间Ω=｛(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)｝，共含有10个样本点， 甲、乙都被选中的样本点有3个， 故所求的概率为. 8.(5分)从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是　　　　.若有放回地任取两数，则两数都是偶数的概率是　　　　.  答案　　 解析　从5个数字中不放回地任取两数，样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个，且每个样本点出现的可能性相等.因为都为奇数的样本点有(1，3)，(1，5)，(3，5)，共3个，所以所求概率P=.从5个数字中有放回地任取两数，样本点共有25个，且每个样本点出现的可能性相等，都为偶数的样本点有(2，4)，(4，2)，(2，2)，(4，4)，共4个，故概率P=. 9.(10分)一只口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球. (1)共有多少个样本点？(5分) (2)摸出的2个球都是白球的概率是多少？(5分) 解　(1)分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2个球，有如下样本点(摸到1，2号球用(1，2)表示)：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5). 因此，共有10个样本点. (2)上述10个样本点发生的可能性相同，且只有3个样本点是摸到2个白球(记为事件A)，即(1，2)，(1，3)，(2，3)，故P(A)=.故摸出2个球都是白球的概率为. 10.(11分)某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如表所示： A B C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 (1)从该小组身高低于1.80米的同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.78米以下的概率；(5分) (2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率.(6分) 解　(1)由题意知，从该小组身高低于1.80米的同学中任选2人，这一试验E1的样本空间Ω1=｛AB，AC，AD，BC，BD，CD｝，共含有6个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，故属于古典概型. 设事件M表示“选到的2人的身高都在1.78米以下”， 则M=｛AB，AC，BC｝，共含有3个样本点， 所以P(M)==. (2)从该小组同学中任选2人，这一试验E2的样本空间Ω2=｛AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE｝，共含有10个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，故属于古典概型. 设事件N表示“选到的2人的身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5，23.9)中”， 则N=｛CD，CE，DE｝，共含有3个样本点， 所以P(N)=. 11.古代“五行相克”说认为：物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为 (　　) A.　B.　C.　D. 答案　C 解析　从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则样本空间Ω=｛(金，木)，(金，水)，(金，火)，(金，土)，(木，水)，(木，火)，(木，土)，(水，火)，(水，土)，(火，土)｝，共有10个样本点.其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5个样本点，则不相克的也是5个样本点，所以抽取的两种物质不相克的概率为. 12.有两人从一座6层大楼的底层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这两人在不同层离开电梯的概率是(　　) A.　B.　C.　D. 答案　B 解析　由题意知两人各有5种不同的下法，故共有25个样本点，而两人不在同一层下，含有20个样本点，则这两人在不同层离开电梯的概率为=. 13.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈｛1，2，3，4，5，6｝，若|a-b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为(　　) A.　B.　C.　D. 答案　D 解析　记“|a-b|≤1”为事件A，由于a，b∈｛1，2，3，4，5，6｝，则事件A包含的样本点有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6)，共16个，又依题意得，样本点总数为36，且每个样本点出现的可能性相等，因此他们“心有灵犀”的概率P==. 14.(5分)某人掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程x2+(m+n)x+4=0无实数根的概率是　　　　.  答案　 解析　总的样本点个数为36，且每个样本点出现的可能性相等.因为方程无实根，所以Δ=(m+n)2-16<0，即m+n<4，满足此条件的有(1，1)，(1，2)，(2，1)，共3个样本点. 所以所求概率为=. 15.(多选)如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→3→4→5→6→7→8→9就是一条移动路线，则(　　) A.从1移动到9，一共有34条不同的移动路线 B.从1移动到9的过程中，恰好漏掉两个数字的移动路线有15条 C.若每次移动都是随机的，则移动过程中恰好跳过4的概率为 D.若每次移动都是随机的，记P(i)(i=1，2，…，9)为经过i的概率，则P(7)>P(8)>P(9) 答案　AB 解析　画出树状图， 则从1移动到9，一共有34条不同的移动路线，A正确； 从1移动到9的过程中，恰好漏掉两个数字的移动路线，即上图倒数第三行有9的路线，有15条，B正确； 若每次移动都是随机的，则移动过程中恰好跳过4的路线共有10条，则其概率为，C错误； 若每次移动都是随机的，记P(i)(i=1，2，…，9)为经过i的概率，则P(9)=1为最大值，P(7)<1，D错误. 16.(12分)书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为“世界读书日”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间(单位：分钟)进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示. (1)根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的P85；(6分) (2)为进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于[50，60)，[60，70)和[80，90)的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于[80，90)的概率.(6分) 解　(1)由题意可知，(0.010+2a+0.045+0.005)×10=1，得a=0.020， 前3组的频率和为(0.010+0.020+0.045)×10=0.75，前4组的频率和为(0.010+0.020+0.045+0.020)×10=0.95， 所以P85在第4组，设为x， 则0.75+(x-80)×0.020=0.85，解得x=85， 所以估计这100位年轻人每天阅读时间的P85为85. (2)由于[50，60)，[60，70)和[80，90)的频率之比为1∶2∶2， 故抽取的5人中每天阅读时间位于[50，60)，[60，70)和[80，90)的分别为1人、2人、2人， 记[50，60)的1人为a，[60，70)的2人为b1，b2，[80，90)的2人为c1，c2， 故随机抽取2人的所有样本点有(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)， (b2，c1)，(b2，c2)，(c1，c2)，共10个， 其中至少有1人每天阅读时间位于[80，90)的样本点有(a，c1)，(a，c2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c2)，(c1，c2)，共7个， 故至少有1人每天阅读时间位于[80，90)的概率P=. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2.1 第5章 <<< 古典概型 结合具体实例理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率. 学习目标 研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小.对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. 我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值.能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢？本节课我们就来学习一下！ 导 语 一、概率的概念 二、古典概型的定义 课时对点练 三、古典概型的概率计算 随堂演练 内容索引 四、概率的性质 五、“放回”与“不放回”问题 概率的概念 一 提示　. 抛掷一枚质地均匀的硬币，其正面向上的可能性有多大？ 问题1 概率的概念 随机事件A发生的可能性的大小叫作随机事件A的概率，记作______. P(A) 知识梳理 二 古典概型的定义 提示　样本空间的样本点是有限个，每个样本点发生的可能性相等. 我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀的硬币试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们的共同特征有哪些？ 问题2 古典概型 (1)定义：设试验的样本空间Ω有n个样本点，且每个样本点发生的______ _____.当Ω中的事件A包含了m个样本点时，称P(A)=_____为事件A发生的概率，简称A的概率. 把上述定义描述的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型. (2)特点： ①样本空间中只有_______样本点； ②每个样本点出现的___________. 可能性 相同 有限个 可能性相等 知识梳理 10 　　　下列概率模型是古典概型吗？为什么？ (1)从区间[1，10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率； 例 1 不是古典概型，因为区间[1，10]中有无限多个实数，取出的实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾. 11 (2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率； 不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”发生的可能性不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾. 12 (3)从1，2，3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率. 是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等. 13 反 思 感 悟 判断是否为古典概型，关键是看它是否同时满足两个特征：有限性和等可能性，同时满足这两个特征的概率模型才是古典概型. 　　　　　(多选)下列是古典概型的是 A.从6名同学中，任选4人参加数学竞赛，甲同学被选中的概率 B.同时掷两枚骰子，点数和为7的概率 C.近三天中有一天降雨的概率 D.10个人随机站成一排，其中甲、乙相邻的概率 跟踪训练 1 √ √ √ 选项A，B，D中的样本点都是有限个，且每个样本点都是等可能的，符合古典概型的定义和特点； 选项C不是古典概型，因为不符合等可能性，受多方面因素影响. 15 古典概型的概率计算 三 在掷骰子的试验中，记事件A为“点数为偶数”，事件A包含哪些样本点？事件A发生的概率是多少？ 提示　A={2，4，6}. 对于抛掷骰子试验，出现各个点数的可能性相同，记出现1点，2点，…，6点的事件分别为A1，A2，…，A6，则P(A1)=P(A2)=…=P(A6)，又P(A1)+ P(A2)+…+P(A6)=P(必然事件)=1，所以P(A1)=P(A2)=…=P(A6)=，P(A)= =. 问题3 17 对于古典概型，事件A的概率计算公式为P(A)=__________________. 知识梳理 18 　　　抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的结果. (1)写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型； 例 2 19 抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，Ⅰ号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果. 用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数，数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数，则数组(m，n)表示这个试验的一个样本点. 因此该试验的样本空间Ω={(m，n)|m，n∈{1，2，3，4，5，6}}，其中共有36个样本点. 由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型. 20 (2)求下列事件的概率： A=“两个点数之和是5”； B=“两个点数相等”； C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”. 21 因为A={(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}， 即事件A中样本点个数为4，从而P(A)==. 因为B={(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}，即事件B中样本点个数为6，从而P(B)==. 因为C={(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)}，即事件C中样本点个数为15， 从而P(C)==. 22 　　　　　本例条件不变，求点数之和能被3整除的概率. 延伸探究 记“点数之和能被3整除”为事件D，则事件D包含的样本点共12个：(1，2)，(2，1)，(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)，(3，6)，(6，3)，(4，5)，(5，4)，(6，6). 故P(C)==. 23 反 思 感 悟 (1)确定样本空间的样本点的总数n. (2)确定所求事件A包含的样本点的个数m. (3)P(A)=. 利用古典概型概率计算公式计算概率的步骤 　　　　　为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在 同一花坛的概率是　　.  跟踪训练 2 25 从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛中的方法有红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种， 其中红色和紫色的花不在同一花坛的方法有红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种， 故所求概率P==. 26 概率的性质 四 通过对概率的认识，你认为任意事件A的概率的取值范围是怎样的？必然事件和不可能事件的概率是多少？ 提示　0≤P(A)≤1，必然事件的概率是1，不可能事件的概率为0. 问题4 28 概率的性质 (1)由于事件A中的样本点个数总是小于或等于样本空间Ω中的样本点个 数，因而根据古典概型的定义，可知任何事件的概率在______之间，即___________. (2)必然事件包含Ω中的所有样本点，因而P(Ω)=____. (3)不可能事件不包含任何样本点，因而P(∅)=____. 我们将(1)(2)(3)统称概率的性质. 0~1 0≤P(A)≤1 1 0 知识梳理 29 “放回”与“不放回”问题 五 　　　一个盒子里装有完全相同的10个小球，分别标上1，2，3，…，10这10个数字，现随机地抽取两个小球，如果(1)抽取是不放回的；(2)抽取是有放回的.求两个小球上的数字为相邻整数的概率. 例 3 31 设事件A为“两个小球上的数字为相邻整数”. 则事件A包括的样本点有(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，(7，8)，(8，9)，(9，10)，(10，9)，(9，8)，(8，7)，(7，6)，(6，5)，(5，4)，(4，3)，(3，2)，(2，1)，共18个. (1)不放回取球时，总的样本点数为90，故P(A)==. (2)有放回取球时，总的样本点数为100，故P(A)==. 32 反 思 感 悟 (1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的.但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误. (2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b1)，(b1，a1)不是同一个样本点.解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的. 解决放回和不放回问题的两个注意点 　　　　　一个盒子中装有4个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4. (1)从盒子中不放回地随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率； 跟踪训练 3 从盒子中不放回地随机抽取两个球，其样本空间中的样本点有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个，编号之和不大于4的样本点有1和2，1和3，共2个， 因此所求事件的概率为=. 34 (2)先从盒子中随机取一个球，记下编号为m，将球放回盒子中，然后再从盒子中随机取一个球，记下编号为n，求n<m+2的概率. 先从盒子中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从盒子中随机取一个球，记下编号为n，其样本空间Ω={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共16个，其中满足n<m+2的样本点有13个. 所以n<m+2的概率为. 35 1.知识清单： (1)古典概型. (2)古典概型的概率公式. (3)随机事件的概率及性质. 2.方法归纳：列表法、树状图法. 3.常见误区：求样本空间中样本点总数和某事件包含的样本点个数时，一个按有序，一个按无序处理而致误. 课堂小结 随堂演练 六 1.下列试验中是古典概型的是 A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率 B.掷一枚质地不均匀的骰子，求掷出1点的概率 C.在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率 D.同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率 A，B两项中的样本点的出现不是等可能的； C项中样本点的个数是无限多个； D项中样本点的出现是等可能的，且是有限个.故选D. √ 1 2 3 4 2.下列说法正确的个数是 ①必然事件的概率等于1； ②某事件的概率等于1.1； ③某事件的概率是0. A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.3 √ 1 2 3 4 ①必然事件的概率等于1，此命题正确，必然事件一定发生，故其概率是1； ②某事件的概率等于1.1，必然事件的概率是1，故概率为1.1的事件不存在，此命题不正确； ③不可能事件的概率就是0，故命题正确. 1 2 3 4 3.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为 A.0.4　　　　　B.0.6　　　　　C.0.8　　　　　D.1 记3件合格品分别为A1，A2，A3，2件次品分别为B1，B2，从5件产品中任取2件，有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10个样本点，其中恰有一件次品有6个样本点，故所求事件的概率为=0.6. √ 1 2 3 4 4.将一枚骰子先后投掷两次，两次向上的点数之和为5的倍数的概率为 　　　.  将一枚骰子先后投掷两次，样本点个数为36，且每个样本点出现的可能性相等，其中“将一枚骰子投掷两次，两次向上的点数之和为5的倍数”所包含的样本点有(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)，(5，5)，(6，4)，(4，6)，共7个，故“将一枚骰子先后投掷两次，两次向上的点数之和为5的倍数”的概率为. 1 2 3 4 课时对点练 七 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B A B BCD 　 题号 11 12 13 14　 15 答案 C B D AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2个球，有如下样本点(摸到1，2号球用(1，2)表示)：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5). 因此，共有10个样本点. (2)上述10个样本点发生的可能性相同，且只有3个样本点是摸到2个白球(记为事件A)，即(1，2)，(1，3)，(2，3)，故P(A)=.故摸出2个球都是白球的概率为. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)由题意知，从该小组身高低于1.80米的同学中任选2人，这一试验E1的样本空间Ω1={AB，AC，AD，BC，BD，CD}，共含有6个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，故属于古典概型. 设事件M表示“选到的2人的身高都在1.78米以下”， 则M={AB，AC，BC}，共含有3个样本点，所以P(M)==. (2)从该小组同学中任选2人，这一试验E2的样本空间Ω2={AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE}，共含有10个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，故属于古典概型.设事件N表示“选到的2人的身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5，23.9)中”， 则N={CD，CE，DE}，共含有3个样本点，所以P(N)=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)由题意可知，(0.010+2a+0.045+0.005)×10=1，得a=0.020， 前3组的频率和为(0.010+0.020+0.045)×10=0.75，前4组的频率和为(0.010+0.020+0.045+0.020)×10=0.95， 所以P85在第4组，设为x，则0.75+(x-80)×0.020=0.85，解得x=85， 所以估计这100位年轻人每天阅读时间的P85为85. (2)由于[50，60)，[60，70)和[80，90)的频率之比为1∶2∶2， 故抽取的5人中每天阅读时间位于[50，60)，[60，70)和[80，90)的分别为1人、2人、2人， 记[50，60)的1人为a，[60，70)的2人为b1，b2，[80，90)的2人为c1，c2， 故随机抽取2人的所有样本点有(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)， (b2，c1)，(b2，c2)，(c1，c2)，共10个， 其中至少有1人每天阅读时间位于[80，90)的样本点有(a，c1)，(a，c2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c2)，(c1，c2)，共7个， 故至少有1人每天阅读时间位于[80，90)的概率P=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.下列是古典概型的是 A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点 B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为 　样本点 C.从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率 D.抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 答案 A项中由于点数之和出现的可能性不相等，故A不是； B项中的样本点的个数是无限的，故B不是； C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型； D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 49 2.某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期收到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是 A.一定不会淋雨 B.淋雨的可能性为 C.淋雨的可能性为 D.淋雨的可能性为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 所有可能的事件有“下雨帐篷到”，“下雨帐篷未到”，“不下雨帐篷到”，“不下雨帐篷未到”4种情况， 而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨， 故淋雨的可能性为，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 3.甲、乙、丙三名学生随机站成一排，则甲站在边上的概率为 A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. 甲、乙、丙三名学生随机站成一排，样本点有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6个， 其中甲站在边上的样本点有4个， 故所求的概率为=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 4.标有数字1，2，3，4，5的卡片各一张，从这5张卡片中随机抽取1张，不放回地再随机抽取1张，则抽取的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 如图. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 样本点的总数为20，其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的样本点个数是10，故所求概率P==. 答案 5.设a是从集合{1，2，3，4}中随机取出的一个数，b是从集合{1，2，3}中随机取出的一个数，构成一个样本点(a，b).记事件E为“logba≥1”，则E发生的概率是 A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 分别从两个集合中取1个数字，共有12种结果，即该试验的样本空间中共包含12个样本点. 若logba≥1，则当b=2时，a=2，3，4，当b=3时，a=3，4， 故事件E共包含5个样本点， 所以根据古典概型的概率公式得到所求概率是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 6.(多选)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分别为a，b，则下列结论正确的是 A.a+b=7的概率为 B.≥2的概率为 C.ab=6的概率为 D.a+b是6的倍数的概率是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 先后抛掷两枚质地均匀的骰子，共有36种不同的结果. 对于A，设事件A为“a+b=7”，则A包含的样本点有(1，6)，(2，5)(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，共6个，所以P(A)=，故A错误； 对于B，设事件B为“≥2”，则B包含的样本点有(2，1)，(3，1)，(4，1)，(4，2)，(5，1)，(5，2)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，共9个，所以P(B)=，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 对于C，设事件C为“ab=6”，则C包含的样本点有(1，6)，(2，3)，(3，2)，(6，1)，共4个，故P(C)=，故C正确； 对于D，设事件D为“a+b是6的倍数”，则D包含的样本点有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，6)，共6个，故P(D)=，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 7.从甲、乙、丙、丁、戊五个人中任选三人参加演讲比赛，则甲、乙都 被选中的概率为　　　.  从五个人中任选三人，则试验的样本空间Ω={(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)}，共含有10个样本点， 甲、乙都被选中的样本点有3个， 故所求的概率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 8.从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两数，则两数都是奇数的 概率是　　.若有放回地任取两数，则两数都是偶数的概率是　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 从5个数字中不放回地任取两数，样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个，且每个样本点出现的可能性相等. 因为都为奇数的样本点有(1，3)，(1，5)，(3，5)，共3个， 所以所求概率P=. 从5个数字中有放回地任取两数，样本点共有25个，且每个样本点出现的可能性相等，都为偶数的样本点有(2，4)，(4，2)，(2，2)，(4，4)，共4个，故概率P=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 9.一只口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球. (1)共有多少个样本点？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2个球，有如下样本点(摸到1，2号球用(1，2)表示)：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5). 因此，共有10个样本点. 答案 (2)摸出的2个球都是白球的概率是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 上述10个样本点发生的可能性相同，且只有3个样本点是摸到2个白球(记为事件A)，即(1，2)，(1，3)，(2，3)，故P(A)=. 故摸出2个球都是白球的概率为. 答案 10.某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如表所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16   A B C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 (1)从该小组身高低于1.80米的同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.78米以下的概率； 答案 由题意知，从该小组身高低于1.80米的同学中任选2人，这一试验E1的样本空间Ω1={AB，AC，AD，BC，BD，CD}，共含有6个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，故属于古典概型. 设事件M表示“选到的2人的身高都在1.78米以下”， 则M={AB，AC，BC}，共含有3个样本点， 所以P(M)==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 66 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16   A B C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 (2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率. 答案 从该小组同学中任选2人，这一试验E2的样本空间Ω2={AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE}，共含有10个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，故属于古典概型. 设事件N表示“选到的2人的身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5，23.9)中”， 则N={CD，CE，DE}，共含有3个样本点， 所以P(N)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 68 11.古代“五行相克”说认为：物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为 A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 答案 从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则样本空间Ω={(金，木)，(金，水)，(金，火)，(金，土)，(木，水)，(木，火)，(木，土)，(水，火)，(水，土)，(火，土)}，共有10个样本点. 其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5个样本点，则不相克的也是5个样本点， 所以抽取的两种物质不相克的概率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 12.有两人从一座6层大楼的底层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这两人在不同层离开电梯的概率是 A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. 由题意知两人各有5种不同的下法，故共有25个样本点，而两人不在同一层下，含有20个样本点， 则这两人在不同层离开电梯的概率为=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 13.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 记“|a-b|≤1”为事件A，由于a，b∈{1，2，3，4，5，6}， 则事件A包含的样本点有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6)，共16个， 又依题意得，样本点总数为36，且每个样本点出现的可能性相等， 因此他们“心有灵犀”的概率P==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.某人掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程 x2+(m+n)x+4=0无实数根的概率是　　　.  总的样本点个数为36，且每个样本点出现的可能性相等.因为方程无实根，所以Δ=(m+n)2-16<0，即m+n<4，满足此条件的有(1，1)，(1，2)，(2，1)，共3个样本点. 所以所求概率为=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 拓广探究 15.(多选)如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→3→4→5→ 6→7→8→9就是一条移动路线，则 A.从1移动到9，一共有34条不同的移动路线 B.从1移动到9的过程中，恰好漏掉两个数字的移动路线有15条 C.若每次移动都是随机的，则移动过程中恰好跳过4的概率为 D.若每次移动都是随机的，记P(i)(i=1，2，…，9)为经过i的概率，则 　P(7)>P(8)>P(9) √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 画出树状图， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则从1移动到9，一共有34条不同的移动路线，A正确； 从1移动到9的过程中，恰好漏掉两个数字的移动路线，即上图倒数第三行有9的路线，有15条，B正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若每次移动都是随机的，则移动过程中恰好跳过4的路线共有10条，则其概率为，C错误； 若每次移动都是随机的，记P(i)(i=1，2，…，9)为经过i的概率，则P(9)=1为最大值，P(7)<1，D错误. 答案 16.书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为“世界读书日”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间(单位：分钟)进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的P85； 答案 由题意可知，(0.010+2a+0.045+0.005)×10=1，得a=0.020， 前3组的频率和为(0.010+0.020+0.045)×10=0.75， 前4组的频率和为(0.010+0.020+0.045+ 0.020)×10=0.95， 所以P85在第4组，设为x， 则0.75+(x-80)×0.020=0.85，解得x=85， 所以估计这100位年轻人每天阅读时间的 P85为85. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 79 (2)为进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于[50，60)，[60，70)和[80，90)的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于[80，90)的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由于[50，60)，[60，70)和[80，90)的频率之比为1∶2∶2， 故抽取的5人中每天阅读时间位于[50，60)，[60，70)和[80，90)的分别为1人、2人、2人， 记[50，60)的1人为a，[60，70)的2人为 b1，b2，[80，90)的2人为c1，c2， 故随机抽取2人的所有样本点有(a，b1)， (a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(b1，b2)， (b1，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c2)，(c1，c2)，共10个， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 81 其中至少有1人每天阅读时间位于[80，90)的样本点有(a，c1)，(a，c2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c2)，(c1，c2)，共7个， 故至少有1人每天阅读时间位于[80，90)的概率P=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 82 第一章 <<< $$