第27章相似 单元优生辅导练习题 2024-2025学年人教版九年级数学下册

2024-2025学年人教版九年级数学下册《第27章相似》单元优生辅导练习题（附答案） 一、单选题 1．如图，在中，点D、E分别为的中点，连接交于点O．若，则之长为（    ）    A．8 B．6 C．4 D．2 2．如图，在正方形中，，，点F在上运动（不与点A，D重合），过点F作交于点G，则的最大值为（    ） A．3 B． C．5 D． 3．如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若， ，则值为（ ） A． B． C． D． 4．如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，在中，，以为边分别向外作正方形和正方形，作射线交延长线于点H，连结．若，，则的长为（    ） A．5 B．7 C．9 D． 6．如图，菱形∽菱形，菱形的顶点G在菱形的边上运动，与相交于点H，，若，，则菱形的边长为（    ） A． B．5 C． D．4 7．如图，三个顶点的坐标分别为，，，以点为位似中心，在轴下方作把放大为原来的2倍的位似图形，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点、，连接，与相交于点，给出下列结论： ①；②；③；④；其中正确的有（    ） A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③ 二、填空题 9．已知a，b，c为非零实数，且，则的值为 ． 10．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为 ． AI 11．如图，中，，，点D是边上的中点，图中与相似三角形是 ． 12．如图，矩形的边，点分别在边上，且四边形为正方形．若矩形与矩形相似，则的长为 ． 13．如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为；若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 ． 14．如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为 ． 15．如图所示，的半径为6，点P在上，点A在内，且，过点A作的垂线交于点B，C．设，，则y与x的函数表达式为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，，已知与位似，位似中心是原点，且的面积是面积的4倍，则点对应点的坐标为： ． 三、解答题 17．如图，已知线段a、b、c．求作线段x，使． 18．如图，在中，，，是的中点，是边上一动点（不与、重合），将射线绕点顺时针旋转45°，与边交于点（点与点不重合），连接． (1)求证：平分； (2)探究：、、的数量关系，并说明理由． 19．如图，等腰内接于，，点E是上的点（不与点A，C重合），连接并延长至点G，连接并延长至点F，与交于点D． (1)求证：； (2)若的半径为5，，点D是的中点，求的长． 20．如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为和，动点从点出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向原点运动，动直线从轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动即轴，分别与轴、线段交于点、，连接、，设动点与动直线同时出发，移动时间为． (1)求时，求线段的长； (2)移动过程中，是否存在这样的t使得的面积等于40？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)移动过程中，是否存在t值使得以点E，O，P为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由． 21．【基础巩固】（1）如图1，在中，D，E分别在，上，连接，若，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在中，在上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点D，F恰好落在，上，连接，若，，，求的长； 【拓展提高】（3）如图3，在中，在上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点F恰好落在上，连接，，若，，，，求的长． 22．如图，中，，．动点，同时分别从点，出发，分别沿着射线和射线的方向均以每秒1个单位的速度运动，连接，以为直径作交射线于点，连接，设运动的时间为（）． (1)______．（直接写出结果） (2)当点在线段上时，用关于的代数式表示，的长． (3)在整个运动过程中，当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似？ 23．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，是坐标原点，已点的坐标是，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点在轴上方抛物线上，且，求点的坐标； (3)点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与△相似，求出符合条件的点的坐标． 24．如图①，在中，是边上的点，是边上的点，连结交于点，若，求的值． (1)猜想证明： 思路1：过点作交于点． 思路2：过点作交于点． 思路3：过点作分别交延长线于点、点． 请选择一种思路、写出解答过程． (2)类比探究： 如图②，在中，是边上的点，是边延长线上的点，连结交延长线于点．若，且面积为2，则四边形的面积为________． (3)延伸拓展： 如图③，在矩形中，分别为边上的点，，，与分别交于点．若，，则的长为________． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A C C D B C 1．解：∵点D、E分别为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选B． 2．解：， ． 四边形是正方形， ． 设，则． ， ． ， ， 又， ． ，即． ． ， 当时，取得最大值，最大值为． 故选：B． 3．解：、，， ∴， ，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， 点是的中点， ，， ， 同理：， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 4．解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ∴， ∴， ∵点A在双曲线上，点B在， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， 故选：C． 5．解：∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴，， ∵以为边分别向外作正方形和正方形， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C． 6．解：连接． ∵菱形∽菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或 经检验或是分式方程的解，但不符合题意，舍去， ∴， 故选：D． 7．解：由题意可得：，且相似比为， ， ， ， ， 故选：B． 8．解： 正方形， ， 是等边三角形， ， ， ， 故①符合题意； 正方形， ∴，， ， ， 是等边三角形， ， 而， ， ， 由， ， ， ，故②符合题意； ， 不相似，故③不符合题意； 正方形， ， ， ， ， ，故④符合题意， 综上：符合题意的有：①②④． 故选：C． 9．解：设 当时，即， 当时，即， 综上所述，或 故答案为：或． 10．解：设，则， 为的黄金分割点（）， ， ， ， 解得，（不舍题意舍去）， 的长度为 ． 故答案为：． 11．解：∵，点D是边上的中点， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵，， ∴， 故答案为： 12．解：∵四边形是矩形， ∴， 当四边形为正方形时，， 设，且四边形为矩形， ∴，， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， 解得，（不符合题意，舍去），， 检验，当时，原分式方程的有意义， ∴， ∴， 故答案为： ． 13．解：根据题意作出示意图，则，，，，    ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，经检验符合题意； 故答案为：． 14．解：如图， 根据题意，，，， ，， ∴阴影部分是直角梯形， 又∵， ∴，， ∴，， 即，， 解得，， ∴，， ∴， 故答案为：． 15．解：连接并延长交于D，连接， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为6， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 16．解：等边三角形的顶点，， ， 过作轴于， 是等边三角形， ， ， 与位似，位似中心是原点，且的面积是面积的4倍， 与位似为， 点的对应点的坐标是或，即或， 故答案为：或． 17．解：如图，线段x即为所作． 18．（1）证明：∵是的外角， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵点D是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：； 理由如下： 在上取一点H，使，连接， ∵，D是的中点， ∴， 由（1），得 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（1）证明：∵点A，B，C，E均在上， ∴四边形为圆内接四边形， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：作于H，过点D作于点M，连接，如图， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴点O在上， ∴, ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 20．（1）解：， 又， ， ， 当时，，，，， ． （2）解：不存在． 理由：， ， ， 整理，得， ， 方程没有实数根． 不存在使得的面积等于40的值； （3）解：当时，∽， ，即， 解得； 当时，∽， ，即， 解得． 当或时，与相似． 21．解：（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴， 解得：（负值已舍去） ∴； （3）如图，延长，交于点G， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴ 解得：（负值舍去）； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即（负值已舍去）． 22．（1）解：∵中，，， ∴， 故答案为：5； （2）解：由题意得，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：由题意得，， 由（1）可知， ∴，即， ∴； 当点E在线段上时， ∵， ∴只存在和两种情况， 当时， ∴，即， ∴， ∴， 解得，不符合题意，舍去； 当时， ∴，即， ∴， ∴， 解得； 当点E在的延长线上时，且点F没有运动到点C时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴此时不满足与相似； 如图所示，当点F恰好运动到点C时，此时， ∴此时满足和相似， ∴此时； 综上所述，或． 23．（1）解：抛物线与轴交于点，又当时，， 点的坐标为， ， ， ， 即点的坐标为， 又点， ， 解得， 抛物线的函数表达式是； （2）， ， 点在轴上方， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， ， 得（舍去）或， 当时，， 点的坐标为； （3）如图， 设点的坐标为， ∵，， ∴△为的锐角三角形，所以△也是锐角三角形， 点在点的上方， ， ， ，，， ①如果，则， ，即点， ②如果则， ， 即点， 综上所述：符合条件的点D的坐标为或． 24．（1）解：选择思路1：过点作交于点，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图所示：连接， ∵，面积为2， ∴面积为4， ∴面积为， ∵， ∴面积为， 设的面积为，则的面积为， ∵， ∴的面积为， ∵， ∴的面积为， ∴， 解得：， ∴， ∴四边形的面积为：， 故答案为： （3）解：延长交于点M， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长交于点N， 同理得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，, ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$