专题17 几何最值问题专项训练（精选50道）-2024-2025学年八年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版）

专题17 几何最值问题专项训练（精选50道） 1．如图， 在中， ， ， 于点 ， 且， 若点 在边上移动，则的最小值是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等面积法，垂线段最短，根据垂线段最短，得到时，最短，然后用等面积法即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 根据垂线段最短，得到时，最短， ∴， ∵， ，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故选：． 2．如图，在中，，点D是中点，点P是线段上一个动点，若 则的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线段最短，求三角形的高，先由线段中点的定义得到，再根据垂线段最短可得当时有最小值，据此利用面积法求解即可． 【详解】解：∵点D是中点， ∴， ∵点P是线段上一个动点， ∴当时有最小值， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，在中，，，是边上的中线，点P是上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的中线的性质，垂线段最短的含义， 先求解，如图，过作于，再求解，结合垂线段最短可得答案． 【详解】解：如图，过作于， ∵，，为的中点， ∴， ∴， ∴， 当重合时，最小，最小值为； 故选C 4．如图，在三角形中，，，，．点P在边上，连接，则的最小值为（   ） A．5 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的面积，垂线段最短，灵活运用等面积法是解题的关键；由三角形等面积法直接求斜边上的高． 【详解】解：∵垂线段最短， ∴当时，最小， 此时， ， 故选：D． 5．如图，在直角三角形中，，为所在直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．5 B．4.8 C．4.5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短，得到时，线段的值最小，再利用等积法求出最小值即可． 【详解】解：∵为所在直线上一动点， ∴当时，线段的值最小， ∵，， ∴当时，，即：， ∴，即：线段的最小值是4.8； 故选B． 6．如图，三角形中，，D为边上的任意一点，连接，E为线段上的一个动点，过点E作点F．，则的最小值为（　　）    A．6 B．4.8 C．2.4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查最短路径问题，垂线段最短，熟练掌握垂线段最短和利用面积法求线段长是解题的关键． 过C作于F，交于E，此时，值最小，最小值等于，利用面积法求出长即可求解． 【详解】解：过C作于F，交于E，    则的最小值为． ∵，，， ∴， ∴， 即的最小值为：4.8， 故选：B． 7．如图，点为直线外一动点，，连接、，点、分别是、的中点，连接、交于点，当四边形的面积为时，线段长度的最小值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】此题考查三角形中线及垂线段最短问题，关键是根据三角形中线的性质利用面积公式得出解答．连接，过点作于，根据三角形中线的性质利用面积公式得出，进而利用距离最短解答即可． 【详解】解：连接，过点作于， ，分别是、的中点， ，，， ，， ， ， ， ， 点到直线的距离垂线段最短， ， 的最小值为5， 故选：C 8．如图，点A是直线l外一点，点B、C是直线l上的两动点，且，连接，点D、E分别为的中点，为的中线，连接，若四边形的面积为5，则的最小值为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】连接，如图，利用三角形中线的性质依次求出与的面积间的关系，然后根据四边形的面积为5求出的面积，进而可求出边上的高，即为的最小值. 【详解】解：连接，如图，    ∵点D为的中点， ∴， ∵为的中线， ∴，， ∵点E为中点， ∴， ∵四边形的面积为5， ∴，即， 解得， 作于点G，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值是4； 故选：C.    【点睛】本题考查了三角形中线的性质和三角形的面积，正确理解题意、熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键. 9．如右图，已知AM是的中线，点P是AC边上一动点，若的面积为10，，则MP的最小值为（    ） A．5 B．4 C．2.5 D．1.25 【答案】C 【分析】先利用中线求三角形ACM的面积，再求AC边上的高，根据垂线段最短得到答案． 【详解】解：∵AM是△ABC的中线， ∴ = =5， ∴点M到AC的距离为：÷4=2.5， 根据垂线段最短， 则MP的最小值2.5． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的面积，结合面积公式和中线特点是解题的关键． 10．如图，直线经过原点，点在轴上，为线段上一动点，若，，，，则长度的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D． 【答案】A 【分析】分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、点，得出，，，最后利用垂线段最短及三角形的面积公式解决问题． 【详解】解：如图，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、点， ∵，，，， ∴，，； ∵垂线段最短， ∴当时有最小值， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴长度的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，掌握：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键． 11．如图，是的平分线上的一点，，垂足为，且，是射线上一动点，则长的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质定理，由垂线段最短可得，当时，的长最小，再由角平分线的性质定理即可得出答案． 【详解】解：由垂线段最短可得，当时，的长最小， ∵当时，平分，， ∴， ∴长的最小值为， 故选：C． 12．如图，平分，于点A，点Q是射线上的一个动点，若，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查角平分线性质，垂线段最短．根据题意可知当时将有最小值，再利用角平分线性质即可得到本题答案． 【详解】解：根据题意可得：当时将有最小值， ∵平分，于点A，， ∴， 故选：D． 13．如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键． 在上取一点E，使，连接，先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，在上取一点E，使，连接， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， 由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为， 又由垂线段最短得：当时，取得最小值， ， ， 解得， 即的最小值为5， 故选：C 14．如图，在 中，，，，，平分 ，交 于点，，是 ，上的动点，则 的最小值为（   ）    A． B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，判断出，得出，进而得出当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，最后用面积法，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，    ∵平分 ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为， ∵， ∴， 即的最小值为， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 15．如图，的面积为6，，平分．若E，F分别是，上的动点，则的最小值（   ）    A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了最短路线问题，角平分线性质，灵活应用角平分线性质、三角形三边的关系、垂线段最短，将所求最小值转化为求的长是解题的关键．在上取点，使，通过证明得，再根据三角形三边的关系得到，垂线段最短得出的最小值为的长，利用三角形面积公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，在上取点，使，过点作，垂足为，交于点，连接，，    平分， ， 在和中，， ， ， ， ， ， 当，点与重合时，的值最小，为的长， ，， ， 的最小值是， 故选：B． 16．如图，在四边形中，，，连接，，，若P 是边上一动点，连接，则 长的最小值为（    ） A．2 B．4 C．2.5 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理及垂线段最短，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键； 根据垂线段最短，当垂直于的时候，的长度最小，则结合已知条件，利用三角形的内角和定理推出，由角平分线性质即可得，由的长可得的长． 【详解】解：根据垂线段最短，当的时候，的长度最小， ∵，即，又， ∴， 又， ∴， 又∵， ∴，又， ∴； 故选：C． 17．如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的最值问题，过点作于，当、、共线，且垂直于时，最小，掌握角平分线的性质、三角形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：在边上取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即当、、共线，且垂直于时，最小， 过点作于， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 18．如图，在中，，平分，交于点D，如果，P为上一动点，那么的最小值为（    ） A．8 B．5 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质定理．过点作与点，由垂线段最短可知，当点在位置时，有最小值，再利用角平分线的性质，即可得到的最小值．熟练掌握角平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键． 【详解】解：如图，过点作与点， 由垂线段最短可知，当点在位置时，有最小值， 平分，，， ，即的最小值为5， 故选：B． 19．如图，在中，，M为的中点，H为上一点，过点C作，交的延长线于点 G，，当四边形周长的最小值时，（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】通过证明可得，可得四边形的周长即为，进而可确定当时，四边形的周长有最小值，进而可求解． 【详解】解：， ∴， ∵M是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形的周长， ∴当最小时，即时，四边形的周长有最小值， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，确定时，四边形的周长有最小值是解题的关键． 20．如图，，以点B为圆心适当的长度为半径作弧，分别交、于E、D，再分别以D、E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于O；作射线交于F．，P是上的动点，则的最小值为（    ）．    A．1 B．2 C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的作图方法、角平分线的性质、求直线外一点到直线的最短距离等知识，由作法得平分，过F点作于H，根据角平分线的性质可知 ，再根据垂线段最短即可求解． 【详解】解：由作法得平分， 过F点作于H，如图，    根据角平分线的性质可知：， ∵点P是上的动点，， ∴点P点运动到H点时，的最小值，此时， 即的最小值为2． 故选：B． 21．如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值必（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将的最小值为转化为．过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，    ∵平分，，， ∴， ∴，此时取最小值． ∵的面积为18，， ∴， ∴． 即的最小值为6， 故选B． 22．如图，在中，，是边的中点，点是边上一点，过点作的平行线，交延长线于点，若，，则四边形周长的最小值是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质．通过证得得出，即可得出，则四边形周长，然后求得时，四边形周长最小，最小值为7． 【详解】解：∵， ． 又，， ， ， ， 四边形周长， 取最小值时，四边形周长最小， 当时，最小， 当时，四边形周长最小， ，， ， 四边形周长最小值为：． 故选：B． 23．如图​中，​．​为​中点，​为​上一点，​交DE的延长线于点​．则四边形​周长的最小值是（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，垂线段最短，证明△BFE≌△ADE是解题的关键．根据证明，从而，则，所以只需最小即可，由垂线段最短原理可知，当垂直时最短． 【详解】​， ​． 在 ​和​中， ​， ​， ​， ​， ​当​时，​最短，此时​， ​四边形​周长的最小值为​． 故选A． 24．如图， 中，，，， 平分 ，如果 、 分别为 、 上的动点，那么 的最小值是（    ） A．2.4 B．3 C．4 D．4.8 【答案】A 【分析】过点作于，交于点，过点作于点，根据角平分线的性质定理得到，进而得到，利用面积法求出，由此得到的最小值 【详解】过点作于，交于点，过点作于点， ∵平分， ∴， ∴， ∵中，，，，，， ∵， ∴， ∴，即的最小值是 故选A． 【点睛】此题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，还考查了最短路线问题，解题的关键是找到使最小时的动点和 25．如图，在中，，平分交于点，，若是上的动点，则线段的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由垂线段最短可知当时，最短，根据角平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：当时，的值最小， 平分，， 当时，， ， 的最小值是， 故选：． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，垂线段最短，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键． 二、填空题 26．如图，等腰的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交边于点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ．    【答案】11 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短距离的计算，根据题意，连接，由三角形的面积可得，连接，当的值最小时，的周长最小，当点三点共线时，的值最小，最小值为，即，由此即可求解． 【详解】解：连接，    ∵是等腰三角形，点为边的中点， ∴，， ∵底边长为，面积是， ∴， 解得，， 连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当的值最小时，的周长最小， 在中，， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值为，即， ∴的周长为， 故答案为：11 ． 27．如图，在中，，M是边上一点，，，，若点和点M关于对称，点和点M关于对称，则点，之间的距离的最小值是 ，点，之间的距离的最大值是 ． 【答案】 16 【分析】本题考查轴对称，垂线段最短，根据轴对称的性质，得到，，推出A，，三点共线，得到，进而得到当最小时，最小，当最大时，最大，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，，． ∵点和点M关于对称，点和点M关于对称， ∴，，，． ∵， ∴， ∴， ∴A，，三点共线， ∴， ∴当最小时，最小． ∵M是上一点， ∴时，最小， 此时， ∴， ∴， ∴的最小值为． ∵M是上一点， ∴点M与点B重合时，最大， ∴的最大值为， 故点，之间的距离最小值是，点，之间的距离最大值是16 故答案为；16． 28．如图，在等边三角形中，是边的中点，是的中线上的动点，且，则的最小值是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题以及等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是解题的关键．要求的最小值，需考虑通过作辅助线转化的值为，从而找出其最小值求解即可． 【详解】连接，交于点，连接，如图所示． 是等边三角形，是边上的中线， ， 是的垂直平分线， ， ． 当三点共线时，最小，有最小值， 当点在点处时，有最小值，且最小值为的长． 是边的中点， 是的中线， ， ， ， 即的最小值为9． 29．如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为，为上任意一点，，，，则周长的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题以及线段垂直平分线的性质，连接，依据是的垂直平分线，可得，进而得到当B，M，C在同一直线上时，的最小值为的长，依据，即可得到周长的最小值． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 当B，M，C在同一直线上时，的最小值为的长， 又∵， ∴周长的最小值， 故答案为：10． 30．如图，在中，，，，是的垂直平分线，是直线上的任意一点，则的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小的问题，根据中垂线的性质，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 是的垂直平分线，点直线上的任意一点， ∴， ∴， ∴的最小值即为的长为． ∴的最小值为． 故答案为：． 31．如图，过边长为2的等边的顶点C作直线，然后作关于直线l对称的，P为线段上一动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称的性质及等边三角形的性质，连接，利用全等三角形将的长转化为的长即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵与关于直线l对称，且是边长为2的等边三角形， ∴ 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 根据“两点之间，线段最短”可知， 当点P在点C位置时，取得最小值为的长度4， 所以的最小值是4． 故答案为：4． 32．如图，，C为边上一动点（不与点A、点B重合），以为边在的上方作等边三角形，过点C作的垂线，E为垂线上任意一点，连接，F为的中点，连接，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查垂线段最短，含30度角的直角三角形，等边三角形的性质，解题的关键是利用垂线段最短解决最值问题． 连接，，设交于点H，根据垂线的性质及直角三角形斜边中线的性质得出，利用等边三角的性质证明得出，再运用垂线段最短及含30度角的直角三角形的性质可得答案． 【详解】连接，如图，连接，，设交于点H， ， F为的中点， ， 为等边三角形， ， 在和中 ， ， ， 当时，的值最小，如图所示，设点为垂足， 在中，， ， 故答案为：6． 33．如图，等腰中，，面积为24．点在边上，点在边上，且垂直平分，点是边的中点，点在线段上移动，连接，，则的周长的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接，由，点是边的中点可得 ，再根据三角形的面积公式求出的长，再判断出点在上时，最小，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵，点是边的中点， ， ， 解得， 是线段的垂直平分线， ， 当点在上时，最小，最小值为， 的周长最短 ． 故答案为：10． 34．如图，，点，分别是射线，上的动点，且，的周长最小值为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了最短路径问题和等边三角形的性质与判定，作P点关于射线的对称点C点，作P点关于射线的对称点D点，连接与．证明是等边三角形即可求解． 【详解】解：作P点关于射线的对称点C点，作P点关于射线的对称点D点，连接与射线的交点即为M点、N点，连接，此时的周长最小， ∵C点、P点关于射线对称， ∴射线垂直平分， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长最小值， 故答案为：6． 35．如图，等腰的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的周长最小值为： ．    【答案】 【分析】本题考查中垂线的性质，三线合一，利用轴对称解决线段和最小的问题，连接，根据中垂线的性质，得到，进而得到的周长，三线合一求出的长即可得出结果． 【详解】解：连接，    ∵腰的垂直平分线分别交，边于E，F点，点M为线段上一动点， ∴， ∴的周长， ∵等腰的底边长为4，面积是12，点D为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， ∴的周长最小值为：； 故答案为： 36．如图，中，，，，为高．点，分别为，上的动点，那么的最小值为 【答案】1 【分析】设与的交点为，作，垂足为，则为所求的最小值，根据含的直角三角形的性质求出即可．本题考查了最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质，角平分线的判定和性质，垂线段最短，含的直角三角形的性质，解题的关键是从已知条件并结合图形思考，通过三线合一的性质和垂线段最短，确定线段和的最小值． 【详解】解：如图，设与的交点为，作，垂足为，则为所求的最小值 ，为高， 是的平分线， ， ， 为高， 是点到直线的最短距离， ，， ， ， 的最小值是1， 故答案为：1． 37．如图，在直角中，，平分，N是上一动点(不与A，C重合)，M是上一动点(不与A，D重合)，则的最小值为 . 【答案】 【分析】作于点，由，求得，在上取点，使，连接，则，可知当点与点重合，点与点重合时，取得最小值，则的最小值为． 【详解】解：作于点， ， ， ，，， ， ， 在上取点，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 当点与点重合，点与点重合时，则的值最小， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查根据面积等式求线段的长度、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、垂线段最短等知识与方法，正确作出辅助线是关键． 38．如图，已知平分，点在上，于，点是射线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】此题考查了垂线段最短以及角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质及垂线段最短的实际应用． 过作，根据垂线段最短即可求出最小值． 【详解】平分， ， ， ， 过作于点， ∵平分， ， ∵点是射线上的动点， ∴的最小值为， 故答案为：6． 39．如图，在中，，、分别平分、，E为上一点，若，则的最小值为 【答案】3 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的角平分线的性质，含的直角三角形的性质，垂线段最短，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 过点D作交于点F，得出，根据，得到C、D、F三点共线，，根据即可求解． 【详解】解：过点D作交于点F， ∵、分别平分、， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴C、D、F三点共线， ∴ ∴ 当时，此时的值最小， 则， ∴ ∴的最小值为3． 故答案为：3． 40．古建筑中，三角形结构被广泛运用在房梁设计中．如图，在等腰三角形的房梁中， ，，，，是边上的高．因年久失修，该房梁需要加固，于是工人准备在高上找一点E，在边上找一点F，使得绳子从C点出发，先绕到点E，再绕到点F，要使所用的绳子最短，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，垂直平分线的判定与性质，垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作交于点，交于点，根据等腰三角形三线合一，可知，从而知道是线段的垂直平分线，推导出，那么，当点和重合时，与重合时，最短，且此时，最后结合，求得的长度，得到的最小值． 【详解】过点作交于点，交于点，连接、、，如图所示： ，， 是线段的垂直平分线 ， 根据垂线段最短，可知当点与点重合，与重合时，最短 此时 ，，， 的最小值为 故答案为：． 41．如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为 ．    【答案】6 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，根据三角形的面积公式即可得到，由垂直平分，得到点A，B关于对称，再说明的最小值，即可得到结论． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴点P到A，B两点的距离相等， 即， 要求最小，即求最小，则A、P、D三点共线， ∴的长度即的最小值， 即的最小值为6， 故答案为：6． 42．如图，在面积为的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，推出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵为直线上一动点， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称—最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，三角形三边关系，三角形的面积与周长等知识，解题的关键是确定． 43．如图，为等腰三角形，，，，，F为线段AD上一动点，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】此题考查等边对等角，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，连接，证明是等边三角形，得到，再证明，推出，由此得到，当三点共线时，有最小值，即为线段的长． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，即， ∴当三点共线时，有最小值，即为线段的长， ∴的最小值为8， 故答案为8． 44．如图，点在直线上，于点，，点在直线上运动，以为边作等边，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短，以为边作等边，连接，证明，由全等三角形的性质得出，过点作于点，则的最小值为，再直角三角形的性质求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，以为边作等边，连接， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴最小时，有最小值， ∵为直线上的动点，过点作于点， ∴的最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 的最小值为， 故答案为：． 45．如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，最短路径问题，解题的关键是通过转化思想，利用轴对称，把较难求的最值问题通过两点之间线段最短转化为求线段的最值问题；在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质可证是的垂直平分线，可得，根据两点之间线段最短可知，的最小值即为的最小值，再根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H， ，是的平分线， ， 是的垂直平分线， ， ， 当C，P，三点共线，且时，的值最小，即为的值， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 46．如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，等面积法，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵是的平分线， ∴垂直平分， ∴． 过点B作于点Q，交于点P，如图所示． 则此时取最小值，最小值为的长， ∵ ∴． 故答案为：9.6． 47．如图，在中，，，，点E为边上的动点，点F为边上的动点，则线段的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、两点之间线段最短、垂线段最短、轴对称的性质、等腰三角形的三线合一等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 作点关于的对称点，连接，先根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，线段的值最小，最小值为，再根据直角三角形的性质、等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后在中，根据含角的直角三角形的性质即可得． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ， ， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，最小，最小值为， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， ， ， 又， （等腰三角形的三线合一）， ， 则在中，， 即的最小值为4， 故答案为：4． 48．如图，分别为上的点，分别为上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，轴对称的性质，能用一条线段的长表示出三条线段的和的最小值是解题的关键． 作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，根据轴对称的性质，得到的最小值为，推出为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接， 则， ， ∴的最小值为的长． ∵， ， ∴， ∴为等边三角形， ， 即的值最小为4； 故答案为：． 49．如图，等腰底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上一动点，则的周长最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是轴对称的最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质和垂直平分线的性质是解答此题的关键．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：8． 50．如图，在中，，，且，现将其沿折叠后，点恰好与点重合，若点是折痕上的一点，点是的中点，连接，．则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，等腰三角形的性质，连接、，根据折叠的性质及垂直平分线的性质得，则，继而得到，推出周长的最小值是，根据等腰三角形的三线合一性质得，，进一步根据三角形的面积公式得出，即可得解．确定周长的最小值为是解题的关键． 【详解】解：连接、， ∵将沿折叠后，点恰好与点重合，若点是折痕上的一点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 当点、、三点共线时，取“”，此时取得最小值，即周长的最小值是， ∵，，点是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值是． 故答案为：． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 几何最值问题专项训练（精选50道） 1．如图， 在中， ， ， 于点 ， 且， 若点 在边上移动，则的最小值是（  ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，点D是中点，点P是线段上一个动点，若 则的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 3．如图，在中，，，是边上的中线，点P是上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D．6 4．如图，在三角形中，，，，．点P在边上，连接，则的最小值为（   ） A．5 B． C．12 D． 5．如图，在直角三角形中，，为所在直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．5 B．4.8 C．4.5 D．4 6．如图，三角形中，，D为边上的任意一点，连接，E为线段上的一个动点，过点E作点F．，则的最小值为（　　）    A．6 B．4.8 C．2.4 D．5 7．如图，点为直线外一动点，，连接、，点、分别是、的中点，连接、交于点，当四边形的面积为时，线段长度的最小值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，点A是直线l外一点，点B、C是直线l上的两动点，且，连接，点D、E分别为的中点，为的中线，连接，若四边形的面积为5，则的最小值为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 9．如右图，已知AM是的中线，点P是AC边上一动点，若的面积为10，，则MP的最小值为（    ） A．5 B．4 C．2.5 D．1.25 10．如图，直线经过原点，点在轴上，为线段上一动点，若，，，，则长度的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D． 11．如图，是的平分线上的一点，，垂足为，且，是射线上一动点，则长的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图，平分，于点A，点Q是射线上的一个动点，若，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 13．如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A．4 B． C．5 D．6 14．如图，在 中，，，，，平分 ，交 于点，，是 ，上的动点，则 的最小值为（   ）    A． B．3 C．4 D． 15．如图，的面积为6，，平分．若E，F分别是，上的动点，则的最小值（   ）    A． B． C． D．3 16．如图，在四边形中，，，连接，，，若P 是边上一动点，连接，则 长的最小值为（    ） A．2 B．4 C．2.5 D．5 17．如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 18．如图，在中，，平分，交于点D，如果，P为上一动点，那么的最小值为（    ） A．8 B．5 C．3 D．2 19．如图，在中，，M为的中点，H为上一点，过点C作，交的延长线于点 G，，当四边形周长的最小值时，（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 20．如图，，以点B为圆心适当的长度为半径作弧，分别交、于E、D，再分别以D、E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于O；作射线交于F．，P是上的动点，则的最小值为（    ）．    A．1 B．2 C． D．无法确定 21．如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值必（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 22．如图，在中，，是边的中点，点是边上一点，过点作的平行线，交延长线于点，若，，则四边形周长的最小值是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 23．如图​中，​．​为​中点，​为​上一点，​交DE的延长线于点​．则四边形​周长的最小值是（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 24．如图， 中，，，， 平分 ，如果 、 分别为 、 上的动点，那么 的最小值是（    ） A．2.4 B．3 C．4 D．4.8 25．如图，在中，，平分交于点，，若是上的动点，则线段的最小值是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 26．如图，等腰的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交边于点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ．    27．如图，在中，，M是边上一点，，，，若点和点M关于对称，点和点M关于对称，则点，之间的距离的最小值是 ，点，之间的距离的最大值是 ． 28．如图，在等边三角形中，是边的中点，是的中线上的动点，且，则的最小值是 ． 29．如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为，为上任意一点，，，，则周长的最小值为 ． 30．如图，在中，，，，是的垂直平分线，是直线上的任意一点，则的最小值是 ． 31．如图，过边长为2的等边的顶点C作直线，然后作关于直线l对称的，P为线段上一动点，连接，，则的最小值是 ． 32．如图，，C为边上一动点（不与点A、点B重合），以为边在的上方作等边三角形，过点C作的垂线，E为垂线上任意一点，连接，F为的中点，连接，则的最小值是 ． 33．如图，等腰中，，面积为24．点在边上，点在边上，且垂直平分，点是边的中点，点在线段上移动，连接，，则的周长的最小值为 ． 34．如图，，点，分别是射线，上的动点，且，的周长最小值为 ． 35．如图，等腰的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的周长最小值为： ．    36．如图，中，，，，为高．点，分别为，上的动点，那么的最小值为 37．如图，在直角中，，平分，N是上一动点(不与A，C重合)，M是上一动点(不与A，D重合)，则的最小值为 . 38．如图，已知平分，点在上，于，点是射线上的动点，则的最小值为 ． 39．如图，在中，，、分别平分、，E为上一点，若，则的最小值为 40．古建筑中，三角形结构被广泛运用在房梁设计中．如图，在等腰三角形的房梁中， ，，，，是边上的高．因年久失修，该房梁需要加固，于是工人准备在高上找一点E，在边上找一点F，使得绳子从C点出发，先绕到点E，再绕到点F，要使所用的绳子最短，则的最小值为 ． 41．如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为 ．    42．如图，在面积为的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 43．如图，为等腰三角形，，，，，F为线段AD上一动点，则的最小值为 ． 44．如图，点在直线上，于点，，点在直线上运动，以为边作等边，连接，则的最小值为 ． 45．如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 46．如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 47．如图，在中，，，，点E为边上的动点，点F为边上的动点，则线段的最小值为 ． 48．如图，分别为上的点，分别为上的动点，则的最小值为 ． 49．如图，等腰底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上一动点，则的周长最小值为 ． 50．如图，在中，，，且，现将其沿折叠后，点恰好与点重合，若点是折痕上的一点，点是的中点，连接，．则周长的最小值是 ． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$