精品解析：广东省惠州市第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

惠州一中2026届高二（上）11月期中考试 数 学 考试时长：120分钟 满分：150分 一、单选题（本小题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知直线经过点和两点，则直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两点坐标求出直线斜率，进而求倾斜角即可. 【详解】因为直线经过点和两点， 所以直线斜率存在，斜率， 设直线的倾斜角为，则，解得， 故选：A 2. 直线：，直线：，则直线是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】假设成立，去推导是否成立，假设去推导是否成立即可得. 【详解】若，由，可得，若，即， 则需，即，即可得时，，故不是的充分条件； 若，则，，此时，故， 综上，直线是的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知两个非零向量 它们平行的充要条件是（ ） A. B. C. D. 存在非零实数k，使 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量共线定理直接判断即可. 【详解】解：对于A选项，当向量共线且反向时，不等能得到，故错误； 对于B选项，当有一个为时，不满足条件，故错误； 对于C选项，当时，，故错误； 对于D选项，由共线向量基本定理可知存在非零实数，使，故正确； 故选：D. 4. 如图，四棱锥的底面是矩形，设，，，是棱上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理求解． 【详解】由已知． 故选：B． 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点作直线与椭圆交于两点，设，若内切圆的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知内切圆的半径为，的周长为，由求解即可. 【详解】解：由椭圆，可知长轴长，焦距为， 因为内切圆的面积为， 所以内切圆的半径为， 记内切圆的半径为，的周长为，则， 则, 又因为 所以， 即， 所以. 故选：C. 6. 已知圆和圆恰有三条公共切线，则的最小值为（ ） A. 6 B. 36 C. 10 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由公切线条数得两圆外切，由此可得的关系，从而点在以原点为圆心，4为半径的圆上，记，由求得的最小值，平方后即得结论． 【详解】圆标准方程为，，半径为， 圆标准方程为，，半径为， 两圆有三条公切线，则两圆外切， 所以，即， 点在以原点为圆心，4为半径的圆上，记， ，所以， 所以的最小值为． 故选：B． 7. 将边长为1的正方形沿对角线翻折，使得二面角的平面角的大小为，若点,分别是线段和上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点为中点，连接，，由题意可证得，作，，利用向量的基本运算可得，再通过建立平面直角坐标系，设，，，，求出，，利用向量数量积的坐标表示可求出，借助的范围，即可得解. 【详解】设点为中点，连接，， 由题意可知，，所以， 作，则P为OC中点作， 则平面BCD， 所以， 如图建立平面直角坐标系： 则，， 设，，，， 所以，，， 则， 因为， 所以， 故选：B. 【点睛】本题考查平面图形的翻折，考查二面角，向量的基本运算以及向量数量积的坐标表示，考查学生的推理能力和计算能力，难度较大. 8. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点及动点，若且，则点的轨迹是圆. 后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，则点的轨迹是以为直径的圆，除去点，得到的轨迹方程为，由阿氏圆性质找到点，将转化为，问题转化为求解到两定点距离之和最小即可. 【详解】当时，，此时，交点为. 当时，由，斜率为， 由，斜率为，， 综上，. 又， 直线恒过， ，直线恒过， 若为的交点，则，设点， 所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故的轨迹方程为， 即，则有. 又，易知O，Q在该圆内， 又由题意可知圆上一点满足，取， 则，满足. 下面证明任意一点都满足，即， ， 又， ∴. 所以， 又， 所以， 如图，当且仅当三点共线，且位于之间时，等号成立 即最小值为. 故选：A. 二、多选题（本小题共3小题，每小题6分，错选多选不给分，满分18分） 9. 已知椭圆，，则（为椭圆上的点到两焦点的距离之和，为两焦点之间的距离）为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】分焦点在轴上还是在轴上讨论确定的值. 【详解】当焦点在x轴上时，，曲线方程为， 则长半轴长为，半焦距为1， 离心率为； 当焦点在y轴上时，时，方程为， 则长半轴，半焦距1， 离心率为 故选:BC. 10. 已知点到直线l：的距离为d，则d的可能取值是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 4 【答案】AB 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式求出点P到直线l的距离d的表达式，再借助均值不等式求出d的取值范围即可逐项判断作答. 【详解】依题意，直线l方程化为：， 于是得： ，当且仅当时取“=”， 因，显然不成立，则，而当时，点P在直线l上，即， 因此，，所以选项中只有0或1满足. 故选：AB 11. 如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，为的中点，则（ ） A. 当为的中点时，异面直线与所成角为 B. 当平面时，点的轨迹长度为 C. 当时，点到的距离可能为 D. 存在一个体积为的圆柱体可整体放入内 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AC：建立空间直角坐标系计算求解；对于B：过作面的平行平面，进而可得点的轨迹；对于D：由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥内接最大圆柱的体积，表示出体积，然后利用导数求其最值即可. 【详解】对于A，因为为正方形，如图，连接与，相交于点，连接， 则两两垂直，故以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 为的中点，则， 当为的中点时，， 设异面直线与所成角为， 则，故，故正确； 对于B，如图，设为的中点，为的中点， 则，平面，平面， 则平面，又平面，又，设， 故平面平面，平面平面，平面平面， 则，则为的中点，点在四边形内（包含边界）运动，则， 点的轨迹是过点与平行的线段，长度为4，故B错误； 对于C，当时，设， ，得，即， 即点的轨迹以中点为圆心，半径为的圆在四边内（包含边界）的一段弧（如下图）， 到的距离为3，弧上的点到的距离最小值为， 因为，所以存在点到的距离为，故C正确； 对于D，如图，由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥内接最大圆柱的体积， 设圆柱底面半径为，高为，为的中点，为的中点，， 根据，得，即， 则圆柱体积， 设，求导得， 令得，或，因为，所以舍去，即， 所以当时，，当时，， 即当时，， 则， 所以， 故存在一个体积为的圆柱体可整体放入内，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题（本小题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为， 所以， 即， 故． 13. 已知椭圆的长轴长为4，离心率为.若分别是椭圆的上，下顶点，分别为椭圆的上，下焦点，为椭圆上任意一点，且，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据长轴及离心率列式求出得出椭圆方程，再设点应用数量积得出点的坐标，最后计算面积即可. 【详解】根据题意有：，所以椭圆的方程为：， 设，则，，， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 在平面直角坐标系中，点，，从直线上一点向圆引两条切线，切点分别为，则直线过定点，定点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，求出所在的直线方程，可得所在的直线方程含有，且在直线上，分别取任意的两个的值，联立方程组，即可求得定点的坐标，得到答案. 【详解】如图所示，直线的方程为， 设，则，① 又由圆，可得圆心，② 则圆心到点的中点坐标为， 圆心到点的距离为， 则以为圆心，以为直径的圆的方程为，③ 将代入③得， 由②-③可得的直线方程：， 因为， 当时，则，代入上式，可得， 令时，则，代入上式，可得， 则两直线和的交点即为经过的定点，定点坐标为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了圆的切线方程，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力. 四、解答题（本小题共5小题，共77分） 15. 已知，，．求： （1）BC边上的中线所在的直线方程； （2）AB边垂直平分线方程； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据中点坐标公式求出中点，然后利用两点坐标写出直线方程即可； （2）利用垂直平分线经过的中点，且和垂直求解即可. 【小问1详解】 由于，，则中点坐标为，直线的斜率， 所以BC边上的中线所在的直线方程为，整理得； 【小问2详解】 由于，，所以直线的斜率，中点坐标为 所以，AB边垂直平分线的斜率且过， 故AB边垂直平分线方程为整理得． 16. 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，（分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆：． （1）求的面积； （2）若直线交于两点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程和椭圆面积公式，即可求解； （2）直线与椭圆方程来努力，利用弦长公式，即可求解. 【小问1详解】 椭圆的方程为，所以，， 则，， 所以椭圆的面积； 【小问2详解】 联立，得， ，，， . 17. 如图，平面ABCD，，，，，， （1）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值； （2）求平面BDE与平面BDF的夹角． 【答案】（1） （2）90° 【解析】 【分析】以A为原点，，，分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系， （1）求出平面的一个法向量与的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线与平面所成角的正弦值； （2）再求出平面的一个法向量，由两平面法向量所成角的余弦值可得平面与平面夹角的余弦值，可得夹角． 【小问1详解】 以A为原点，，，分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系， ，，，，， （1）设平面BDE法向量，，，则， 令，则，，∴ 因为，设直线CE与平面BDE所成角为 所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值 【小问2详解】 设平面BDF法向量，，，则， 令，则，，∴ 由（1）知 设平面BDE与平面BDF的夹角为 ∴ ∵ 所以平面BDE与平面BDF的夹角为90° 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若斜率为的直线过椭圆的焦点以及点.点P是椭圆上与左、右顶点不重合的点，且的面积最大值. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于点、，且满足（为坐标原点），求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求得直线的方程，由此求得焦点坐标，即求得，结合三角形的最大面积求得，进而求得，从而求得椭圆的方程. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合三角形的面积来求得直线的方程. 【小问1详解】 直线，直线过椭圆焦点，所以，该焦点坐标为，则，又的面积最大值，则，所以，，， 故椭圆的方程为③. 【小问2详解】 ①当直线的斜率存在时，设， 代入③整理得， 设、，则，. 所以，. 点到直线的距离. 因为，即， 又由，得， 所以，.. 而，，即， 解得，此时；. ②当直线的斜率不存在时，，直线交椭圆于点、. 也有，经检验，上述直线均满足， 综上：直线的方程为或. 19. 如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，（在上方），直线与圆交于，（在上方）．原点在圆内．设交轴于点，交轴于点． （1）当，，，时，分别求线段和的长度； （2）①求证：； ②猜想和的大小关系，并证明． 【答案】（1）， （2）①由原点在圆内，知, 由得，即， 则，是上述方程的两个解，由根与系数的关系得， 同理可得， 所以. ②猜测，证明如下： 设点，， 因为三点共线，所以，解得， 又因为点在直线上，所以，点在直线上，所以， 所以， 同理因为三点共线，可得, 由①可知， 所以,即， 所以成立． 【解析】 【分析】（1）联立直线与圆的方程，可求出各点的坐标，利用直线的两点式方程，可得直线和的方程，并求它们与轴的交点坐标，可得和的长度． （2）①联立直线与圆的方程，求出两根之和与两根之积，找到相等代换量，从而证明成立；②猜测，分别求出点和点的横坐标表达式，结合①中的结论，从而证明成立． 【小问1详解】 当，，，时， 圆，直线，由解得或， 故，； 直线，由解得或， 故，． 所以直线，令得，即； 直线，令得，即， 所以． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州一中2026届高二（上）11月期中考试 数 学 考试时长：120分钟 满分：150分 一、单选题（本小题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知直线经过点和两点，则直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 直线：，直线：，则直线是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知两个非零向量 它们平行的充要条件是（ ） A. B. C. D. 存在非零实数k，使 4. 如图，四棱锥的底面是矩形，设，，，是棱上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点作直线与椭圆交于两点，设，若内切圆的面积为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆和圆恰有三条公共切线，则的最小值为（ ） A. 6 B. 36 C. 10 D. 7. 将边长为1的正方形沿对角线翻折，使得二面角的平面角的大小为，若点,分别是线段和上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点及动点，若且，则点的轨迹是圆. 后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本小题共3小题，每小题6分，错选多选不给分，满分18分） 9. 已知椭圆，，则（为椭圆上的点到两焦点的距离之和，为两焦点之间的距离）为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点到直线l：的距离为d，则d的可能取值是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 4 11. 如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，为的中点，则（ ） A. 当为的中点时，异面直线与所成角为 B. 当平面时，点的轨迹长度为 C. 当时，点到的距离可能为 D. 存在一个体积为的圆柱体可整体放入内 三、填空题（本小题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为_________． 13. 已知椭圆的长轴长为4，离心率为.若分别是椭圆的上，下顶点，分别为椭圆的上，下焦点，为椭圆上任意一点，且，则的面积为__________. 14. 在平面直角坐标系中，点，，从直线上一点向圆引两条切线，切点分别为，则直线过定点，定点坐标为________． 四、解答题（本小题共5小题，共77分） 15. 已知，，．求： （1）BC边上的中线所在的直线方程； （2）AB边垂直平分线方程； 16. 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，（分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆：． （1）求的面积； （2）若直线交于两点，求． 17. 如图，平面ABCD，，，，，， （1）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值； （2）求平面BDE与平面BDF的夹角． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若斜率为的直线过椭圆的焦点以及点.点P是椭圆上与左、右顶点不重合的点，且的面积最大值. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于点、，且满足（为坐标原点），求直线的方程. 19. 如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，（在上方），直线与圆交于，（在上方）．原点在圆内．设交轴于点，交轴于点． （1）当，，，时，分别求线段和的长度； （2）①求证：； ②猜想和的大小关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $