3.2.1双曲线及其标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.2 双曲线 3.2.1 双曲线及其标准方程 一 二 三 学习目标 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.提升逻辑推理、数学运算的数学素养 掌握双曲线的标准方程及其求法,提升数学运算的核心素养 能利用双曲线的定义和标准方程解决一些实际应用问题,提升数学建模的核心素养. 学习目标 复习回顾 椭圆的定义: 平面内与两个定点|F1F2|的距离的 等于常数(大于|F1F2| )的点的轨迹叫做椭圆. 椭圆的标准方程: 和 思考 如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？ 差 ？ 下面，我们分别用数学实验和信息技术探究一下。 如图，在直线l上取两个定点A，B， P是直线l上的动点， 在平面内, 取定点F1, F2， 以点F1为圆心、线段PA为半径作圆， 再以F2为圆心、线段PB为半径作圆 l A B P F1 F2 新知探究 ①当点 P在线段AB上运动时， 如果|F1F2|<|AB|，那么两圆相交 A B P F1 F2 所以，其交点M的轨迹是椭圆; 两圆相交，设交点为M、M' M M' 新知探究 如果|F1F2|>|AB|, 两圆不相交，不存在交点轨迹. 新知探究 问题1 如图，在|AB|<|F1F2|<|PA|+|PB|的条件下, 让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件?两圆的交点M的轨迹是什么形状? F1 F2 M M' A B P F1 F2 M M' A B P 新知探究 当点M靠近定点F1时，|MF2|-|MF1|=|AB| 当点M靠近定点F2时，|MF1|-|MF2|=|AB|; 总之，点M与两个定点F1，F2距离的差的绝对值|AB|是一个常数(|AB|<|F1F2|)，这时，点M的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支. 新知探究 数学试验演示 [1]取一条拉链； [2]如图把它固定在 板上的两点F1、F2； [3] 拉动拉链（M）。 思考：拉链运动的轨迹是什么？ （要求：请认真观察图中动画，对比椭圆第一定义的生成，思考点M在运动过程中那些量没有发生变化？在试验中能否找到一种等量关系？） 概念生成 双曲线定义 我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线． 这两个定点叫做双曲线的焦点， 两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 符号表述：||MF1|-|MF2||=2a＜|F1F2|=2c 一般用2a表示 一般用2c表示 2 F F 1 M 概念辨析 辨析1 定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？若不强调轨迹是什么？ 如果不加绝对值，那得到的轨迹只是双曲线的一支. ① 若2a=2c, 即||MF1|-|MF2||= |F1F2|，则轨迹是什么？ ② 若2a>2c, 即||MF1|-|MF2|| > |F1F2|，则轨迹是什么？ ③ 若2a=0, 即|MF1|=|MF2|，则轨迹是什么？ 此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线 此时轨迹不存在 此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线 分3种情况来看： 辨析2 定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0(即0<2a<2c)？如果不对常数加以限制 ，动点的轨迹会是什么？ F1 F2 M F1 F2 M 概念辨析 辨析3 定义中为什么要加绝对值？如果不加绝对值，动点的轨迹会是什么？ ①如图(A)，当 |MF1|>|MF2| 时 ∵|MF1|=|MF|=|MF2|+|F2F| ∴ |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a 此时，点M的轨迹是双曲线的右支 ②如图(B)，当 |MF1|<|MF2| 时 ∵|MF2|=|MF|=|MF1|+|F1F| ∴ |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a 此时，点M的轨迹是双曲线的左支 新知探究 问题2 类比求椭圆标准方程的过程，如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？ 设 M(x, y) 是双曲线上任意一点， 双曲线的焦距为 2c(c > 0)， 则有F1(-c , 0) , F2 (c , 0). 又设||MF1|-|MF2||= 2a( a为大于0的常数, a<c)． F1 F2 M x y O 观察我们画出的双曲线，可以发现它也具有对称性，直线F1F2是它的一条对称轴. 我们取经过两焦点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy(如图). 由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合： 建系 设点 列式 代换 ① 新知探究 ① 追问 类比椭圆标准方程的化简，怎样化简上面的方程呢？ 化简 由双曲线定义知，2c＞2a， c＞a，所以c2-a2＞0 令b2=c2-a2 , 其中b＞0, 代入上式得： 新知探究 我们把上述方程叫做双曲线的标准方程，它表示焦点在x轴上，焦点坐标分别是F1(-c, 0), F2(c, 0)的双曲线，这里c2=a2+b2. F1 F2 M x y O 问题3 类比椭圆，请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？ F2 F1 M x y O 这个方程也是双曲线的标准方程，它表示焦点在y轴上，焦点坐标分别是F1(0, -c), F2(0, c)的双曲线，这里c2=a2+b2. 追问 如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？ 看x2，y2前的系数，哪一个为正，则焦点在哪一个轴上------焦点跟着正项走. 巩固练习 课本P121 变式 典例解析 例1 已知双曲线的焦点 F1(-5, 0), F2(5, 0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程. 解： 巩固练习 课本P121 1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1) 焦点在轴x上，a=4，b=3 ； (2) 焦点在轴x上，经过点 (3) 焦点为(0, -6), (0, 6), 且经过点(2, -5). (2) ∵焦点在x轴上，故可设双曲线的标准方程为 巩固练习 课本P121 1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程. (3) 焦点为(0, -6), (0, 6), 且经过点(2, -5). (3) 解1: ∵焦点在y轴上，故可设双曲线的标准方程为 (3) 解2: (定义法) 巩固练习 课本P121 解: 典例解析 ∴爆炸点P的轨迹是以A, B为焦点的双曲线靠近点B的一支. 例2 已知A, B两地相距800m, 在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s, 且声速为340m/s, 求炮弹爆炸点的轨迹方程. 解：如图示建立直角坐标系xOy, 使A, B两点在x轴上, 并且点O与线段AB的中点重合， 设爆炸点为P， 则 ∴炮弹爆炸点的轨迹方程为 x y o B A P • • • 思考 如果A, B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上？ 爆炸点应在线段AB的中垂线上. 由例2可知，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差 , 就可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但是不能确定爆炸点的准确位置. 要想确定爆炸点的准确位置，还需增设一个观测点C，利用A, C( 或B, C) 两处测得的爆炸声的时间差 , 求爆炸点所在的另一个双曲线的方程. 解这两个双曲线方程组成的方程组 , 就能确定爆炸点的准确位置 . 这是双曲线的一个重要应用 . 反思 如何准确测出爆炸点的位置？ x y o B A P • • • • C 典例解析 新知探究 探究 如图, 点A, B的坐标分别是(-5, 0), (5, 0), 直线AM, BM相交于点M, 且它们的斜率之积是 , 试求点M的轨迹方程, 并由点M的轨迹方程判断轨迹的形式, 与3.1例3比较, 你有什么发现? A B M O x y • 解： 由方程可知，点M的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点且焦点在x轴上的双曲线. 追问 通过比较能得到什么结论？ A B M O x y • x y B M O A • 点M的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点且焦点在x轴上的椭圆. 点M的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点且焦点在x轴上的双曲线. 追问 通过比较能得到什么结论？ 新知探究 新知探究 追问 通过比较能得到什么结论？ 结论1： 新知探究 追问 通过比较能得到什么结论？ 已知△ABC的两个顶点B(-a, 0), C(a, 0), 直线AB, AC所在直线的斜率之积等于m(m≠0), 则顶点A的轨迹与m有如下关系： 结论2： 设 A(x, y) , 则 化简整理得 ① 当m=－1时, 顶点A的轨迹是以原点为圆心, 半径为1的圆, 去掉(±a, 0)； ② 当－1<m<0时, 顶点A的轨迹是焦点在x轴上的椭圆， 去掉(±a, 0)； ③ 当m<－1时, 顶点A的轨迹是焦点在y轴上的椭圆， 去掉(±a, 0). ④ 当m>0时, 顶点A的轨迹是焦点在x轴上的双曲线， 去掉(±a, 0). 巩固练习 课本P121 证明: 课堂小结 椭圆 双曲线 定 义 方 程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦 点 a, b, c 的关系 F1(－c, 0), F2(c, 0) a>0, b>0, c2=a2+b2 a, b, c中c最大 a>b>0, a2=b2+c2 a, b, c中a最大 ||MF1|－|MF2||=2a (a<c) |MF1|+|MF2|=2a (a>c) F1(0, －c), F2(0, c) F1(－c, 0), F2(c, 0) F1(0, －c), F2(0, c) 双曲线与椭圆之间的区别与联系 EVCapture4.1.7软件录制 Lavf57.25.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn Lavf58.76.100 $$