精品解析：江西省上饶市骏华中学2025届高三上学期十一月数学自测题

江西省上饶市骏华中学2024-2025学年高三上学期十一月数学自测题 （总分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，一个质点从原点O出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为，向右的概率为，共移动4次，则该质点共两次到达1的位置的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的图象过点，且对任意，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面四边形中，，点是线段上的一点，且，点是线段上的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆：，圆：，M，N分别是圆，上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图（数据来自国家统计局）． 根据该折线图，下列说法错误的是（ ） A. 城镇人口与年份呈现正相关 B. 乡村人口与年份的相关系数接近 C. 城镇人口逐年增长率大致相同 D. 可预测乡村人口仍呈现下降趋势 7. 数列满足，则下列，的值能使数列为周期数列的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 在上有极大值，无极小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 10. （多选）如图，在正方体中，E，F，M分别为所在棱的中点，P为下底面的中心，则（ ） A. 平面平面 B. C. D. 平面 11. 已知，，…，，为1，2，…，5，6的任意排列，设，．则（ ） A. 任意交换的顺序，不影响X的取值 B. 满足及的排列有20个 C. 的概率为 D. 的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象关于点对称，则在上的最小值为______. 13. 已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点（其中在第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线的斜率为_____. 14. 已知函数，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知，； （1）解关于x的不等式； （2）若任意的恒成立，试求实数a的取值范围. 16. 新冠肺炎疫情在我国爆发以来，我国举国上下众志成城、团结一致抗击新冠肺炎疫情，经过几个月的努力，我国的疫情已经得到有效控制．为了解大众对新冠肺炎相关知识的掌握情况，某网站举行“新冠肺炎”防控知识竞赛网上答题，共有人通过该网站参加了这次竞赛，为了解竞赛成绩情况，从中随机抽取了名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图； （1）试估计这名学生成绩的第百分位数； （2）若采用分层抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取人参加志愿者活动．现从这人中随机抽取人分享活动经验，求抽取的人成绩都在的概率． 17. 已知，分别为函数图象上相邻的最高点和最低点，，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，为奇函数． （1）求函数的解析式； （2）在中，角的对边分别为，若，，，求的面积． 18. 在四棱锥中，底面是正方形，若. （1）证明：平面； （2）证明：平面PDC⊥平面ABCD （3）求二面角的余弦值. 19. 数列、满足：是等比数列，，，且． （1）求数列、的通项公式. （2）求集合中所有元素的和． （3）对数列，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试判断数列、是否是“和稳定数列”，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省上饶市骏华中学2024-2025学年高三上学期十一月数学自测题 （总分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法构造函数，利用新函数的最值进行求解即可. 【详解】解：令，因为，则， 所以原不等式等价于在上恒成立； 令， 在时单调递减，在时单调递增， 所以当时， ， 若在上恒成立，则，所以. 故选：A 2. 如图，一个质点从原点O出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为，向右的概率为，共移动4次，则该质点共两次到达1的位置的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据该质点共两次到达1的位置的方式有和，且两种方式第次移动向左向右均可以求解. 【详解】共移动4次，该质点共两次到达1的位置的方式有和，且两种方式第次移动向左向右均可以， 所以该质点共两次到达1的位置的概率为. 故选：A. 3. 已知函数的图象过点，且对任意，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用图象所过点求出，再利用单调递增区间求出范围. 【详解】依题意，，而，则，， 由对任意，都有， 得函数在上单调递增， 当时，， 而余弦函数的递增区间为：， 则， 于是，解得，显然， 即，而，因此或， 所以的取值范围是或. 故选：C 【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得. 4. 如图，在平面四边形中，，点是线段上的一点，且，点是线段上的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理求解长度，进而可得，．是等边三角形，建立直角坐标系，利用向量的坐标运算，结合二次函数的性质即可求解 【详解】以为原点，所在的直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，如图所示： 连接，在中，由余弦定理得 ．所以， 所以．而，所以． 连接，在中，由余弦定理得 ．所以， 所以．在中，， 所以三角形是等边三角形，所以， 所以．设，令， 即，所以，所以， 所以， 所以当时，有最小值为． 故选:B． 5. 已知圆：，圆：，M，N分别是圆，上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的标准方程得到圆心及半径，利用对称得到圆：，即可得到使最小值的点，再根据两点之间的距离公式可得到结果. 【详解】圆：，的圆心为，半径为1， 圆：，的圆心为，半径为3，如图： ， 圆关于x轴的对称圆为圆：， 连接，交x轴于P，则P为使最小的点， 此时M点为线段与圆的交点，N为线段与圆的交点， 最小值为，而， ∴的最小值为. 故选：C. 6. 如图是近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图（数据来自国家统计局）． 根据该折线图，下列说法错误的是（ ） A. 城镇人口与年份呈现正相关 B. 乡村人口与年份的相关系数接近 C. 城镇人口逐年增长率大致相同 D. 可预测乡村人口仍呈现下降趋势 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的折线图，结合相关系数的概念，以及回归分析的含义，逐项判定，即可求解. 【详解】根据近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图，可得： 对于A中，城镇人口与年份呈现上升趋势，所以关城镇人口与年份正相关，所以A正确； 对于B中，乡村人口与年份呈现下降趋势，且比较均匀的分布在直线的两侧， 所以乡村人口与年份的相关系数接近，所以B错误； 对于C中，城镇人口与年份呈现上升趋势，且比较均匀的分布在直线的两侧， 所以城镇人口逐年增长率大致相同，所以C正确； 对于D中，乡村人口与年份呈现下降趋势，且比较均匀的分布在直线的两侧， 可预测乡村人口仍呈现下降趋势，所以D正确. 故选：B. 7. 数列满足，则下列，的值能使数列为周期数列的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由数列的周期性定义，逐项代入验证即可； 【详解】对于A，当时，；当时，；当时，无周期性，故A错误； 对于B，当时，；当时，；当时，所以数列是以2为周期的周期数列，故B正确； 对于C，当时，；当时，；当时，无周期性，故C错误； 对于D，当时，；当时，；当时，无周期性，故D错误； 故选：B. 8. 在上有极大值，无极小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合导函数和一元二次函数性质得，解该不等式组即可得解. 【详解】由题意可得在上有下穿变号零点，无上穿变号零点， . 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】画出函数草图，数形结合，分析各选项的准确性. 【详解】如图： 由图象可知，若方程有4个不同的解，须有，故A错误； 当时，方程有4个不同的解，且. 所以，且，故B正确； 又，且关于直线对称，所以，故C错误； 由，又.所以，故D正确. 故选：BD 【点睛】方法点睛：根据函数的解析式，作出函数草图，数形结合，可非常直观的得到方程的根的性质. 10. （多选）如图，在正方体中，E，F，M分别为所在棱的中点，P为下底面的中心，则（ ） A. 平面平面 B. C. D. 平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间中的线面平行及线线垂直，线面、面面垂直相互转化来分析判断. 【详解】即判断平面平面，如图①，由正方体可得，平面ABCD， 因为平面ABCD，所以，又，，平面， 则平面，又平面，则平面平面，A正确； 如图②，取中点为N，连接MN，PN，易得，平面，又平面， 则，结合，且MN，平面MNP，则平面， 又平面MNP，则，B正确； 如图③，连接，易得，则判断，即判断，又， 则是以为直角的直角三角形，则与不垂直，即MP与不垂直，C错误； 因为，，得，又平面，平面， 则平面，D正确． 故选：ABD. 11. 已知，，…，，为1，2，…，5，6的任意排列，设，．则（ ） A. 任意交换的顺序，不影响X的取值 B. 满足及的排列有20个 C. 的概率为 D. 的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由的定义判断A选项；满足条件的排列数即满足条件的的组数，计算数据判断选项B；列举符合条件的取法，计算相应的概率判断选项CD. 【详解】由的定义可知，任意交换的顺序，不影响的取值， 任意交换的顺序，不影响的取值，A选项正确； 注意到当被确定后，的取值也被固定， 因此满足条件的排列组数即满足条件的的组数， 即从1，2，…，5，6中任选3个数的数目，即种取法，B选项正确； 因此不妨设及． 注意到，整体交换和也不影响X，Y的取值， 因此不妨设，即，， 将满足以上条件的排列列举如下： X Y X Y 123 456 3 4 135 246 5 2 124 356 4 3 136 245 5 2 125 346 5 3 145 236 5 2 126 345 5 3 146 235 5 2 134 256 4 2 156 234 4 2 总情况数共10种，除第一种外均满足． 因此，，C选项错误，D选项正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!本题围绕的定义，分析交换数据位置对的影响，列举符合条件的不同取法，计算概率验证选项. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象关于点对称，则在上的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意可得，，进而得到，再根据正弦函数的性质求解即可. 【详解】由题意，函数的图象关于点对称， 所以，，即，， 又，所以，即， 当时，， 所以当，即时，. 故答案为：. 13. 已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点（其中在第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线的斜率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】作出示意图，由切线性质结合双曲线定义可得两内切圆都与轴相切于，后设直线倾斜角为，由几何知识可得，后由两圆外切相关条件可得答案. 【详解】设的内切圆的圆心为，的内切圆的圆心为， 记边上的切点分别为， 由切线的性质可得：，由双曲线定义可得：，即，则，又. 则，又，则，即. 同理可得，的内切圆也与轴相切于点. 连接，则与轴垂直，设圆与相切于点，连接， 过点作，记垂足为，则. 设直线倾斜角为，则. 在四边形中，注意到，又四边形内角和为， 则，在中，， ， 则， 则直线斜率，即. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：双曲线上一点与两焦点形成的三角形的内切圆与x轴相切于双曲线顶点处. 14. 已知函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求导函数，令，代入运算求解即可. 【详解】因为，则， 令，可得，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知，； （1）解关于x的不等式； （2）若任意的恒成立，试求实数a的取值范围. 【答案】（1）当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为. （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件得到，利用一元二次不等式的解法，对分类讨论即可求解； （2）原不等式等价于对任意实数恒成立，当时，不等式恒成立；当时，分与两种情况讨论，当时，分和两种情况讨论即可求解. 【小问1详解】 ，则，即， 令，解得或， 当时，即时，原不等式的解集为， 当时，即时，原不等式的解集为， 当时，即时，原不等式的解集为. 【小问2详解】 由题知对任意实数恒成立， 当时，由得，满足题意； 当时，当时，不等式成立， 当时，可变形为， 即在上恒成立， 当时，， 当时，即在上恒成立， 所以，解得， 所以满足题意； 当时，当时，不等式成立， 当时，令，， 当，即，，显然不满足题意； 当时，由，得， 即，显然在上不恒成立， 当时，由，得， 即，即在上恒成立， 所以，解得； 所以实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：一元二次含参不等式的解法（二次项系数不含参数）： （1）利用十字相乘法等因式分解，不能因式分解则利用求根公式求根； （2）比较两根的大小，由于根含参数，则需分类讨论，先让两根相等，找分界点，分成：①小于分界点；②等于分界点；③大于分界点来讨论即可. 16. 新冠肺炎疫情在我国爆发以来，我国举国上下众志成城、团结一致抗击新冠肺炎疫情，经过几个月的努力，我国的疫情已经得到有效控制．为了解大众对新冠肺炎相关知识的掌握情况，某网站举行“新冠肺炎”防控知识竞赛网上答题，共有人通过该网站参加了这次竞赛，为了解竞赛成绩情况，从中随机抽取了名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图； （1）试估计这名学生成绩的第百分位数； （2）若采用分层抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取人参加志愿者活动．现从这人中随机抽取人分享活动经验，求抽取的人成绩都在的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据百分位数的求法求得正确答案. （2）根据分层抽样、列举法以及古典概型概率计算公式求得正确答案. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得 成绩小于的频率为， 成绩在的频率为，因为， 所以这名学生成绩的第百分位数在内， 所以随机抽取的名学生成绩的第百分位数为 【小问2详解】 因为成绩在，，的学生人数所占比例为, 所以从成绩在，，所抽取人数分别应抽取人，人，人． 记抽取成绩在的人为，成绩在为，，． 从这人中随机抽取人的所有可能为： ， ，共种， 抽取的人成绩都在的是，共种， 抽取的人成绩都在的概率为· 17. 已知，分别为函数图象上相邻的最高点和最低点，，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，为奇函数． （1）求函数的解析式； （2）在中，角的对边分别为，若，，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的性质，结合待定系数法求得，再利用三角函数平移的性质与奇偶性求得，从而得解； （2）利用已知可求得，由正弦定理可得，利用余弦定理可求得，可求三角形的面积. 【小问1详解】 由题意得，， 即，又， 则，，所以， 则， 因为为奇函数，所以，所以， 因为，所以，所以． 【小问2详解】 由，得, 因为，所以，得，得， 因为，由正弦定理得， 因为，代入余弦定理公式，得 ， 得． 18. 在四棱锥中，底面是正方形，若. （1）证明：平面； （2）证明：平面PDC⊥平面ABCD （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：在中，，， 所以，所以， 又，平面， 所以平面. （2）证明：由（1）知平面， 又平面， 所以平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可得线线垂直，再由线面垂直的判定定理得出线面垂直即可得证； （2）根据（1）及面面垂直的判定定理得证； （3）证明为二面角的平面角，再由余弦定理求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知平面，又， 所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在中，由余弦定理可得： 19. 数列、满足：是等比数列，，，且． （1）求数列、的通项公式. （2）求集合中所有元素的和． （3）对数列，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试判断数列、是否是“和稳定数列”，并说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）数列是“和稳定数列”，理由如下： 当时，是的正整数倍， 故一定不是数列中的项； 当时，，不是数列中的项； 当时，，是数列中的项； 综上，数列是“和稳定数列”，； 数列不是“和稳定数列”，理由如下： 不妨设：，则， 且， 故不是数列中的项. 数列不是“和稳定数列”. 【解析】 【分析】（1）根据已知及等比数列的定义求出的通项公式，由已知和求通项可得的通项公式； （2）根据等差数列及等比数列的求和公式可得结果； （3）根据“和稳定数列”的定义可判定. 【小问1详解】 根据题意可知，所有可得， 又因是等比数列，所以设的公比为，则， 所以， 因①， 当时，②， ①式减去②式可得， 将，可得， 将之化简可得， 所以数列是为首项，公差为的等差数列， 故. 【小问2详解】 由题意知集合， 则化简转化为， 设前项和为， 数列前项和为， 且解之可得， 所以集合所有元素之和为 . 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：解决新定义的综合性数列题目，常用思想及方法有： （1）数列的公式法；（2）数列定义法；（3）阅读理解能力应用；（4）分类与整合思想. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $