精品解析：广东省珠海市华中师范大学（珠海）附属中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷

广东省珠海市华中师范大学（珠海）附属中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 2. 已知，，则是的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充要也不必要条件 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 下列选项中表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5. 对于任意实数，下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知，，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列各图中，可能是函数图象的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 12. 若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知幂函数，且在严格递减，则_____. 14. 函数（）的最大值为______. 15. 设，，若，写出由实数所有可能值组成的集合______. 16. 命题：，为真命题，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知集合，. （1）若，求的值； （2）若，求实数的取值范围. 18. 求关于的不等式的解集. 19. 已知，，. （1）求的最小值； （2）求的最小值. 20. 已知函数是定义在上的奇函数，且 （1）求实数a和b的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明你的结论； （3）若，求t的取值范围． 21. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，其它成本投入（如肥料成本，培育管理、施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价大约20元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元） （1）写单株利润（元）关于施用肥料（千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 22. 设函数的定义域为，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称在区间上具有性质. 性质1：对任意，有； 性质2：对任意，有. （1）分别判断下列两函数在区间是否具有性质； ①；②； （2）若函数在区间（）具有性质，求的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省珠海市华中师范大学（珠海）附属中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】∵不等式可化为，解得， ∴不等式的解集是. 故选：C. 2. 已知，，则是的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充要也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合与充要条件的关系判断即可. 【详解】因为是的真子集， 所以，则是的必要而不充分条件. 故选：B. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得到答案. 【详解】根据存在量词命题的否定是全称量词命题， 命题“，”的否定是“，”. 故选：D. 4. 下列选项中表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据同一函数的概念判断. 【详解】与定义域不同，故A错误； 与定义域不同，故B错误； 与的对应关系不同，故C错误； 与定义域和对应关系均相同，为同一函数，故D正确. 故选：D. 5. 对于任意实数，下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 不能得到，比如，故错误， 对于B，若，不能得到，比如，故错误， 对于C，若，不能得到，比如，故错误， 对于D，因为，所以，故正确， 故选：D 6. 已知，，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法判断即可. 【详解】∵，当且仅当时取等号， ∴. 故选：D. 7. 已知函数，若，实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】计算出，从而得到，得到方程，求出答案. 【详解】，，解得. 故选：D 8. 函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数定义域的性质，结合二次根式的性质及分母不为零进行求解即可． 【详解】由函数的定义域为，可得， ∴函数的定义域为， ∴由函数，可得，解得 ∴函数的定义域为. 故选：D. 二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列各图中，可能是函数图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的概念即可求解 【详解】对于B选项，时每一个x的值都有两个y值与之对应，不是函数图象，故B错误， 其他选项均满足函数的概念，是函数的图象. 故选：ACD. 10. 下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除AC，再判断选项BD中函数的单调性从而得出答案. 【详解】的定义域是，故函数为非奇非偶函数，故A错误； 的对称轴为，故函数是偶函数且在区间上为增函数，故B正确； 令，则， 则是奇函数，故C错误； 令，则，则为偶函数， 当时，为增函数，故D正确. 故选：BD. 11. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意可得1和5是方程的两根，且，利用韦达定理可得与的关系，然后逐项判断可得答案. 【详解】由题意可得1和5是方程的两根，且， 由韦达定理可得，得， 对于A，因为，故A错误； 对于B，不等式，即，即，得， 所以不等式的解集是，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由不等式，得，即， 则，得或，即解集为或，故D正确. 故选：BD. 12. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用作差法判断A；利用特值法判断B，利用不等式的性质判断C；利用不等式的性质及基本不等式判断D. 【详解】∵，∴，∴，故A正确； 取，则，此时，故B错误； ∵，∴，故C错误； ∵，，∴， ∴，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知幂函数，且在严格递减，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数的性质结合单调性可解； 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 又在严格递减，所以. 故答案为：. 14. 函数（）的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】∵，∴， ∴， 当且仅当时，取等号， ∴函数（）的最大值为. 故答案为：. 15. 设，，若，写出由实数所有可能值组成的集合______. 【答案】 【解析】 【分析】分和讨论即可. 【详解】由解得或，则， 因为，所以， 当时，，满足题意； 当时，，则有或，解得或. 综上，实数所有可能值组成的集合为. 故答案为： 16. 命题：，为真命题，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件将问题转化不等式在上有解，利用判别式求解. 【详解】因为命题：，为真命题， 所以不等式在上有解， 当时，不等式可化为，得，符合题意； 当时，由题意得，即， 解得，结合，得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知集合，. （1）若，求的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用交集的定义求解； （2）分类讨论，利用补集和并集的定义可求得结果. 【小问1详解】 集合，，， 则由交集的定义可知，且，解得. 【小问2详解】 当，即时，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 当，即时，或， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 18. 求关于的不等式的解集. 【答案】当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为或. 【解析】 【分析】原不等式可化为，分三种情况求解即可. 【详解】原不等式可化为， 当时，原不等式为，故原不等式的解集为， 当时，， 当时，则，原不等式的解集为或， 当时，则，原不等式的解集为或， 综上，当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为或. 19. 已知，，. （1）求的最小值； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式，从而求解； （2）利用，可得，然后利用基本不等式“”的应用，即可求解. 【小问1详解】 由题意知，， 所以，解得， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【小问2详解】 由，，，可得， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故的最小值为. 20. 已知函数是定义在上的奇函数，且 （1）求实数a和b的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明你的结论； （3）若，求t的取值范围． 【答案】（1）， （2），函数在上单调递增， 证明：任取， 所以， 因为，所以， 则， 所以，即，故函数在上单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数为上的奇函数得到，求出，再代入，求出，验证后得到答案； （2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形，判号，下结论； （3）由函数的单调性和奇偶性，结合定义域得到不等式组，求出答案. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，解得， 则，又因为，则，解得， 经检验时，是奇函数， 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数是定义在上的奇函数，且， 则， 因为函数在上单调递增． 所以，则 解得，所以t的取值范围是． 21. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，其它成本投入（如肥料成本，培育管理、施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价大约20元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元） （1）写单株利润（元）关于施用肥料（千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当施用肥料为3千克时，该水果单株利润最大，最大利润为1140元 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用销售额减去成本投入可得出利润的解析式； （2）分段讨论，利用函数的单调性计算最值即可得解. 【小问1详解】 当时，； 当时，， 所以. 【小问2详解】 当时，， 由二次函数的性质可知； ∵当时，均为减函数， ∴当时，是减函数，则， 综上，当施用肥料为3千克时，该水果单株利润最大，最大利润为1140元. 22. 设函数的定义域为，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称在区间上具有性质. 性质1：对任意，有； 性质2：对任意，有. （1）分别判断下列两函数在区间是否具有性质； ①；②； （2）若函数在区间（）具有性质，求的取值范围 【答案】（1）①具有性质，②不具有性质； （2）. 【解析】 【分析】（1）记当时，的值域为M，则性质1；性质2.然后求出①的值域，根据集合包含关系即可判断；注意当时，②的函数值不存在即可判断； （2）分，和分别求出函数值域，根据集合关系讨论即可. 【小问1详解】 记当时，的值域为M， 则性质1；性质2 . 对于①，当时，，即， 所以，，即函数满足性质1，具有T性质. 对于②，因为当时，函数值不存在，故函数不具有T性质. 【小问2详解】 由二次函数性质知，函数在上单调递增， 在上单调递减， 当时，的值域为，显然不满足性质2， 故，要使具有T性质，则， 所以，解得（舍去）或（舍去）； 当时，， 所以的值域为，满足，即满足性质1，具有T性质； 当时，的值域为， 因为，所以不是的子集， 且， 所以，此时不具有T性质. 综上，若函数在区间具有性质，则的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $