精品解析：广东省深圳市南山外国语学校（集团）高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

深圳市南山外国语学校（集团）高级中学 2024－2025学年第一学期期中考试 高一数学试卷 说明：1、本试卷满分150分，考试时间为120分钟； 2、本试卷分试题卷、答题卷两部分．考试结束，只交答题卷． 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 若（且），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的定义将指数化为对数. 【详解】因为（且），所以. 故选：A. 2. 命题“”否定（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】全称命题的否定为特称命题，具体的否定方法：改量词，否结论. 【详解】因为原命题“”，所以其否定为“”， 故选：D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】化简不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 详解】由，得，显然， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. （ ） A. B. 5 C. D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数幂的运算性质求解即可 【详解】 故选：C 5. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复合函数的定义及给定函数式列出不等式组，求出其解集即可作答. 【详解】因函数的定义域为，则在函数中， 必有，解得， 所以的定义域为. 故选：A 6. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，结合函数的解析式解方程，可求得实数的值. 【详解】若，由，得，即，解得； 若，由，得，该方程无解. 综上，. 故选：C. 【点睛】本题考查分段函数方程的求解，考查计算能力，属于基础题. 7. 如果函数对于任意实数t都有，那么（ ） A. f(2)<f(1)<f(4) B. f(1)<f(2)<f(4) C. f(4)<f(2)<f(1) D. f(2)<f(4)<f(1) 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件可得函数图象对称轴为，再借助对称性、单调性即可比较判断作答. 【详解】因函数对于任意实数t都有，则其图象对称轴为，且在上递增， 于是得，而， 所以. 故选：A 8. 函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将不等式转化成或，结合图象即可求解. 【详解】由图象可知当时， 可得：或 也即：或， 当时， 可得：或， 也即：或， 所以可转化成： 解得：或， 或解得：， 综上可知：原不等式的解集为：. 故选：B 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】举例说明判断AC；利用不等式性质推理判断BD. 【详解】对于AC，取，满足，而，，AC错误； 对于B，由，得，而，则，B正确； 对于D，由，得，则，D正确. 故选：BD 10. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BD 【解析】 【分析】当且仅当两个函数的定义域和对应关系相同，两函数是同一个函数，所以分别求各选项中两函数的定义域，若定义域相同，再判断对应关系是否相同即可. 【详解】对于A：与的定义域都是R,对应关系不同，因此不是同一函数； 对于B：与,定义域都是R，对应关系也相同，是同一函数； 对于C：的定义域为R,与的定义域为， 定义域不同，因此不是同一函数； 对于D：与，定义域和对应关系都相同，因此是同一函数. 故选：BD. 11. 已知函数．设命题：“关于的不等式解集为空集”，则命题的必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出，令，解得，然后得无解，结合的值域可得结论． 【详解】， 设，则化为， ，，， 由题意此不等式无解，则，∴． 结合选项命题的必要条件可以是或， 故选：ABC 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知幂函数的图象过点，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数的解析式的形式可求出和的值，再将点 代入可求的值，即可求解. 【详解】因为是幂函数， 所以，，又的图象过点， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数单调递增区间为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出定义域，再根据复合函数单调性求出答案. 【详解】令，解得，故函数定义域为， 其中， 故在上单调递增，在上单调递减， 其中在上单调递增， 由复合函数单调性可知，的单调递增区间为. 故答案为： 14. 已知a，b为正实数，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 分析】先将两个分母看做两个整体，然后化简利用基本不等式求解即可. 【详解】令 得 所以 当且仅当时，即时，等号成立， 故答案为： 四、解答题（本大题共5个大题，共77分．解答应写出相应的文字说明、证明过程和演算步骤） 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】（1）化简集合，，根据集合的补集和交集运算可得结果； （2）分类讨论集合，根据交集运算的结果列式可得解. 【详解】（1）时，， ∴或；. （2）或，且， ∴①时，，解得； ②时，，解得， 综上得，实数m的取值范围为或. 16. 已知是定义在上的奇函数． （1）求； （2）求函数在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数定义及性质，列式计算求出即可得到结果. （2）由（1）的结论，求出函数的解析式，利用换元法结合二次函数求出值域.. 【小问1详解】 由题意得，，解得，即， 由得，， ∴， 经检验得时，是奇函数, ∴. 【小问2详解】 由（1）得，， 令，由得，， 函数可化为，对称轴为直线， 当时，，当时，， ∴函数值域为. 17. 国庆黄金周期间，旅游潮、探亲潮必将形成高交通压力现象已知某火车站候车厅，候车人数与时间相关，时间单位：小时满足，经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数为人，当，候车人数相对于满厅人数会减少，减少人数与成正比，且时间为点时，候车人数为人，记候车厅候车人数为． （1）求的表达式，并求当天中午点时，候车厅候车人数 （2）铁路系统为了体现“人性化”管理，每整点时会给旅客提供的免费面包数量为，则当为何值时需要提供的免费面包数量最少. 【答案】（1），人 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，设出函数，建立方程，解得函数解析式，则求得函数值，可得答案； （2）由（1）的函数解析式，分段整理函数解析式，求得最值，比较可得答案. 【小问1详解】 当时，设，，则， ， 故当天中午点时，候车厅候车人数为人. 【小问2详解】 当，，当且仅当时等号成立； 当时，． 又，所以当时，需要提供的面包数量最少． 18. 已知函数. （1）若，求a的取值范围； （2）解关于x的不等式. 【答案】（1）的取值范围是； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）由条件可得不等式在上恒成立，根据抛物线的开口方向和判别式可得所求范围；（2）原不等式化为，根据的不同取值结合一元二次不打算的解法解不等式即可． 【小问1详解】 可变形为，由已知在上恒成立， 下面分两种情况讨论 1.当时，不等式可化为，不等式不恒成立，与已知矛盾； 2.当时，由已知可得，即，解得 综上两种情况，的取值范围是； 【小问2详解】 不等式化为， 1､当时，解集为； 2､当时，解集为； 3､当时，解集为； 4､当时，解集为； 5.当时，解集为. 19. 函数的定义域为，对，，都有；且当时，．已知． （1）求，； （2）判断并证明的单调性； （3）解不等式：． 【答案】（1）； （2）在上单调递增，证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用赋值法即可求，的值； （2）根据函数单调性的定义即可判断的单调性并证明； （3）结合函数单调性将不等式进行转化，即，可解不等式. 【小问1详解】 令，则，， 令，则， 又，； 【小问2详解】 任取，且， 则， ∵， ∴， ∴， 即， 所以在上单调递增． 【小问3详解】 由， 即， 也就是， 即，因为在上是增函数， 所以， 可得不等式解集为或. 【点睛】关键点点睛：由，即，也就是，即，再结合函数单调性即可解不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 深圳市南山外国语学校（集团）高级中学 2024－2025学年第一学期期中考试 高一数学试卷 说明：1、本试卷满分150分，考试时间为120分钟； 2、本试卷分试题卷、答题卷两部分．考试结束，只交答题卷． 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 若（且），则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. （ ） A. B. 5 C. D. 25 5. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如果函数对于任意实数t都有，那么（ ） A f(2)<f(1)<f(4) B. f(1)<f(2)<f(4) C. f(4)<f(2)<f(1) D. f(2)<f(4)<f(1) 8. 函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D 若，则 10. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A 与 B. 与 C 与 D. 与 11. 已知函数．设命题：“关于的不等式解集为空集”，则命题的必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知幂函数的图象过点，则___________. 13. 已知函数的单调递增区间为______. 14. 已知a，b为正实数，则的最小值为________． 四、解答题（本大题共5个大题，共77分．解答应写出相应的文字说明、证明过程和演算步骤） 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围. 16. 已知是定义在上的奇函数． （1）求； （2）求函数在上的值域． 17. 国庆黄金周期间，旅游潮、探亲潮必将形成高交通压力现象已知某火车站候车厅，候车人数与时间相关，时间单位：小时满足，经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数为人，当，候车人数相对于满厅人数会减少，减少人数与成正比，且时间为点时，候车人数为人，记候车厅候车人数为． （1）求的表达式，并求当天中午点时，候车厅候车人数 （2）铁路系统为了体现“人性化”管理，每整点时会给旅客提供的免费面包数量为，则当为何值时需要提供的免费面包数量最少. 18. 已知函数. （1）若，求a的取值范围； （2）解关于x的不等式. 19. 函数定义域为，对，，都有；且当时，．已知． （1）求，； （2）判断并证明的单调性； （3）解不等式：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$