2025年四川省聚焦中考数学复习必备考点透析 课件-第6章 圆 6.2 点、直线与圆的位置关系

6.2　点、直线与圆的位置关系 数 学 第六章　圆 聚焦新中考·必备考点透析 2025 目录 1 紧贴课标·考点过关 聚焦题型·重难突破 2 四川中考真题精练 3 　紧贴课标·考点过关　 如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，那么点与圆的位置关系可等价 于d与r的大小关系. 点在圆内 点在圆上 点在圆外 d① ⁠r d② ⁠r d③ ⁠r ＜　 ＝　 ＞　 返回目录 1. 直线与圆的三种位置关系 相交 相切 相离 d④ ⁠r d⑦ ⁠r d⑩ ⁠r ＜　 ＝　 ＞　 返回目录 相交 相切 相离 两个交点 一个交点 无交点 直线称为⑤ ，交点称 为⑥ ⁠ 直线称为⑧ ，交点称 为⑨ ⁠ 割线　 割点　 切线　 切点　 返回目录 2. 切线的性质与判定 （1）切线的性质定理：圆的切线⑪ 于过切点的半径.圆心到切 线的距离⑫ 圆的半径. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过⑬ ⁠. 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过⑭ ⁠. （2）切线的判定定理：经过半径的外端，并且⑮ ⁠于这条半径的 直线是圆的切线. 垂直　 等于　 切点　 圆心　 垂直　 返回目录 方法点拨：切线的判定方法总结：判定一条直线是圆的切线，有三 种方法： （1）交点个数法：和圆有一个公共点的直线是圆的切线. （2）点线距离法：如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么 这条直线是圆的切线. （3）判定定理法：“连半径证垂直”或“作垂直证半径”.在几何 证明题中，最后一种方法是常用的方法. 返回目录 3. 切线长定理 （1）切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间⑯ ⁠的 长，叫作这点到圆的切线长. （2）切线长定理：过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长 ⑰ ，这一点和圆心的连线⑱ 两条切线的夹角. 线段　 相等　 平分　 返回目录 1. 圆与圆的位置关系 （1）相离：如果两个圆⑲ 公共点，那么就说这两个圆相离.两 圆相离有两种情况：外离和内含. （2）相切：如果两个圆只有⑳ 公共点，那么就说这两个圆相 切.两圆相切有两种情况：内切和外切. （3）相交：如果两个圆有㉑ 公共点，那么就说这两个圆相交. 没有　 一个　 两个　 返回目录 2. 两圆位置关系中，圆心距d与两圆半径r1、r2之间的关系 两圆的位置关系 d与r1、r2之间的关系 图示 外离 d㉒ r1＋r2 外切 d㉓ r1＋r2 相交 r2－r1㉔ d㉕ r1＋r2 ＞　 ＝　 ＜　 ＜　 返回目录 两圆的位置关系 d与r1、r2之间的关系 图示 内切 d㉖ r2－r1 内含 d㉗ r2－r1 ＝　 ＜　 返回目录 　聚焦题型·重难突破　 　（2023·江苏宿迁中考）在同一平面内，已知☉O的半径为2， 圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最 大距离是（） A. 2 B. 5 C. 6 D. 8 返回目录 分析：如下图，由题意，得OA＝2，OB＝3. 当点P为BO的延长线与☉O的交点时，点P到直线l的距离最大.此时，点P到直线l的最大距离是3＋2＝5. 答案：B 返回目录 　（2024·湖北武汉中考）如后图，△ABC为等腰三角形，O是底 边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E、F 两点. 例2 （1）求证：AB与半圆O相切. （2）连接OA，若CD＝4，CF＝2，求 sin ∠OAC的值. 返回目录 分析：（1）连接OD，OA，过点O作OH⊥AB于点H，利用等腰 三角形的性质得AO⊥BC，AO平分∠BAC，再根据切线的性质得 OD⊥AC，利用角平分线的性质得到OH＝OD，从而根据切线的判定定 理得到结论. （2）在Rt△OCD中，根据勾股定理求得OD＝3，OC＝5，进而得 到 cos C＝ .在Rt△OCA中，由 cos C＝ ＝ ，即可求出 sin ∠OAC. 返回目录 解答：（1）证明：如题图，连接OD，OA，过点O作OH⊥AB于 点H. ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO⊥BC，AO平分∠BAC. ∵AC与☉O相切于点D，∴OD⊥AC. 又∵OH⊥AB，∴OH＝OD， ∴AB是☉O的切线， 即AB与半圆O相切. 返回目录 （2）由（1）知，OD⊥AC， 在Rt△OCD中，CD＝4，OC＝OF＋CF＝OD＋2，OD2＋CD2＝ OC2， ∴OD2＋42＝（OD＋2）2， 解得OD＝3，∴OC＝5， ∴ cos C＝ ＝ . 在Rt△OCA中， cos C＝ ＝ ， ∴ sin ∠OAC＝ ＝ . 返回目录 解题技巧：本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切 点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.判定切 线时，“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线” 是证明切线的常用方法. 返回目录 　（2024·上海中考）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点 P在△ABC内，分别以点A、B、P为圆心画圆，圆A的半径为1，圆B的 半径为2，圆P的半径为3，圆A与圆P内切，则圆P与圆B的关系是（） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 相离 返回目录 分析：∵圆A的半径为1，圆P的半径为3，圆A与圆P内切， ∴圆A在圆P内，即PA＝3－1＝2， ∴点P在以点A为圆心、2为半径的圆与△ABC的边相交形成的弧上运动，如下图所示：∴当点P运动到点P'位置时，圆P与圆B的圆 心距PB最大，为 ＝ . ∵ ＜3＋2＝5， ∴圆P与圆B相交. 答案：B 返回目录 　四川中考真题精练　 （一）切线性质的相关计算 1. （2022·自贡中考）P为☉O外一点，PT与☉O相切于点T，OP＝ 10，∠OPT＝30°，则PT的长为（　A　） A. 5 B. 5 C. 8 D. 9 A 返回目录 2. （2024·泸州中考）如下图，EA、ED是☉O的切线，切点分别为A、 D，点B、C在☉O上.若∠BAE＋∠BCD＝236°，则∠E＝（　C　） A. 56° B. 60° C. 68° D. 70° 第2题 C 返回目录 3. （2023·泸州中考）如上图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边 AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连 接DE. 若AC＝8，BC＝6，则DE的长是（　B　） A. B. C. D. 第3题 B 返回目录 4. 如下图，AB是☉O的直径，C为☉O上一 点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D. 第4题 返回目录 （1）求证：∠CAD＝∠CAB. （1）证明：连接OC. ∵CD是☉O的切线，∴OC⊥CD. ∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠CAD＝∠ACO. ∵OA＝OC， ∴∠CAB＝∠ACO，∴∠CAD＝∠CAB. 第4题 返回目录 （2）若 ＝ ，AC＝2 ，求CD的长. 第4题 返回目录 （2）解：连接BC. ∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°.∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠ACB. 由（1）知∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB，∴ ＝ .∵ ＝ ，AC＝2 ，则可设 AD＝2x，AB＝3x，x＞0，∴ ＝ ，解得x＝2， ∴AD＝4.在Rt△ADC中，由勾股定理，得CD＝ ＝2 . 返回目录 5. （2023·广元中考）如下图，AB为☉O的直径，C为☉O上一点，连接 AC、BC，过点C作☉O的切线交AB的延长线于点D，过点O作 OF⊥BC于点E，交CD于点F. 第5题 返回目录 （1）求证：∠BCD＝∠BOE. （1）证明：连接OC. ∵CD是☉O的切线，∴∠OCD＝90°， ∴∠OCB＋∠BCD＝90°.∵OF⊥BC，∴∠BEO＝90°， ∴∠BOE＋∠OBE＝90°.∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC， ∴∠BCD＝∠BOE. 第5题 返回目录 （2）若 sin ∠CAB＝ ，AB＝10，求BD的长. 第5题 返回目录 （2）解：过点B作BH⊥CD于点H. ∵AB为☉O的直径，∴∠ACB＝ 90°.∵ sin ∠CAB＝ ＝ ，AB＝10，∴BC＝6.∵OF⊥BC， ∴AC∥OF，∴∠BOE＝∠CAB. ∵∠BCD＝∠BOE，∴∠CAB＝ ∠BCD，∴ sin ∠CAB＝ sin ∠BCD＝ ＝ ，∴BH＝ .∵CD为 ☉O的切线，∴OC⊥CD. ∵BH⊥CD，∴BH∥OC， ∴△BDH∽△ODC，∴ ＝ ，∴ ＝ ，解得BD＝ ，故BD 的长为 . 返回目录 6. 如下图，△ABC是☉O的内接三角形，过点C作 ☉O的切线交BA的延长线于点F，AE是☉O的直径，连接EC. 第6题 返回目录 （1）求证：∠ACF＝∠B. （1）证明：连接OC. ∵CF是☉O的切线，∴∠OCF＝90°， ∴∠OCA＋∠ACF＝90°.∵OE＝OC，∴∠E＝∠OCE. ∵AE是 ☉O的直径，∴∠ACE＝90°，∴∠OCA＋∠OCE＝90°，∴∠ACF ＝∠OCE＝∠E. ∵∠B＝∠E，∴∠ACF＝∠B. 第6题 返回目录 （2）若AB＝BC，AD⊥BC于点D，FC＝4，FA＝2，求AD·AE的值. 第6题 返回目录 （2）解：∵∠ACF＝∠B，∠F＝∠F，∴△ACF∽△CBF，∴ ＝ ＝ .∵AF＝2，CF＝4，∴ ＝ ，∴BF＝8，∴AB＝BC＝BF －AF＝6，AC＝3.∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ACE＝90°.∵∠B＝ ∠E，∴△ABD∽△AEC，∴ ＝ ，即AD·AE＝AB·AC＝6×3＝ 18. 返回目录 7. （2023·南充中考）如下图，AB与☉O相切于点A，半径OC∥AB， BC与☉O相交于点D，连接AD. 第7题 返回目录 （1）求证：∠OCA＝∠ADC. （1）证明：连接OA交BC于点F. ∵AB是☉O的切线，∴∠OAB＝ 90°.∵OC∥AB，∴∠AOC＝∠OAB＝90°，∴∠ADC＝ ∠AOC＝ 45°.∵OC＝OA，∴∠OCA＝45°，∴∠OCA＝∠ADC. 第7题 返回目录 （2）若AD＝2，tanB＝ ，求OC的长. 第7题 返回目录 （2）解：过点A作AE⊥BC于点E. ∵∠ADE＝45°，∴△ADE是等 腰直角三角形，∴AE＝DE＝ AD＝ .∵tanB＝ ＝ ，∴BE＝ 3AE＝3 ，∴AB＝ ＝ ＝2 .在Rt△ABF中， tanB＝ ＝ ，∴AF＝ AB＝ .∵OC∥AB，∴∠OCF＝∠B， ∴tan∠OCF＝ ＝ .设OC＝R，则OF＝OA－AF＝R－ ， ∴3 ＝R，解得R＝ ，∴OC＝ . 返回目录 8. （2023·泸州中考）如下图，AB是☉O的直径，AB＝2 ，☉O的 弦CD⊥AB于点E，CD＝6.过点C作☉O的切线交AB的延长线于点F， 连接BC. 第8题 返回目录 （1）求证：CB平分∠DCF. （1）证明：连接OC. ∵CF是☉O的切线，点C是切点，∴OC⊥CF， ∴∠OCF＝90°，∴∠OCB＋∠BCF＝90°.∵CD⊥AB，∴∠BEC ＝90°，∴∠BCE＋∠OBC＝90°.∵OB＝OC，∴∠OCB＝ ∠OBC，∴∠OCB＋∠BCE＝90°，∴∠BCE＝∠BCF，即CB平分 ∠DCF. 第8题 返回目录 （2）G为 上一点，连接CG交AB于点H，若CH＝3GH，求BH的 长. 第8题 返回目录 （2）解：连接OC、OG，过点G作GM⊥AB于点M. ∵AB是☉O的直 径，CD⊥AB，∴CE＝ CD＝3，OC＝OG＝ AB＝ ，∴OE＝ ＝1.∵GM⊥AB，CD⊥AB，∴CE∥GM， ∴△GMH∽△CEH，∴ ＝ ＝ .∵CH＝3GH，∴ ＝ ＝ ，∴GM＝1.设MH＝x，则EH＝3x，∴OH＝3x－1，OM＝4x－ 1.在Rt△OGM中，∵OM2＋GM2＝OG2，∴（4x－1）2＋12＝（ ） 2，解得x＝1（负值舍去），∴BH＝OH＋OB＝3×1－1＋ ＝2＋ . 返回目录 （二）与切线判定有关的计算或证明 9. （2022·南充中考）如下图，AB为☉O的直径，C是☉O上一点，D是 ☉O外一点，∠BCD＝∠BAC，连接OD交BC于点E. 第9题 返回目录 （1）求证：CD是☉O的切线. （1）证明：连接OC. ∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＋ ∠B＝90°.∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC. ∵∠BCD＝∠BAC， ∴∠OCB＋∠BCD＝90°，即∠OCD＝90°，∴OC⊥CD. ∵OC为 ☉O的半径，∴CD是☉O的切线. 第9题 返回目录 （2）若CE＝OA， sin ∠BAC＝ ，求tan∠CEO的值. 第9题 返回目录 （2）解：过点O作OH⊥BC于点H. ∵ sin ∠BAC＝ ＝ ，∴可以设 BC＝4k，AB＝5k，则AO＝OC＝CE＝2.5k.∵OH⊥BC，∴CH＝ BH＝2k，∴EH＝CE－CH＝2.5k－2k＝0.5k.∵OA＝OB，∴OH ＝ AC＝1.5k，∴tan∠CEO＝ ＝ ＝3. 返回目录 10. （2023·达州中考）如下图，△ABC、△ABD内接于☉O，AB＝ BC，P是OB延长线上的一点，∠PAB＝∠ACB，AC、BD相交于点E. 第10题 返回目录 （1）求证：AP是☉O的切线. 第10题 返回目录 （1）证明：连接OA. ∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB. ∵∠PAB＝ ∠ACB，∴∠BAC＝∠PAB. ∵AB＝BC，∴ ＝ ， ∴OB⊥AC，∴∠BAC＋∠ABO＝90°.∵OB＝OA，∴∠ABO＝ ∠BAO，∴∠BAO＋∠BAC＝90°，∴∠BAO＋∠PAB＝90°， ∴∠PAO＝90°，即OA⊥AP. ∵OA为☉O的半径，∴AP是☉O的切 线. 返回目录 （2）若BE＝2，DE＝4，∠P＝30°，求AP的长. 第10题 返回目录 （2）解：∵OA⊥AP，∠P＝30°，∴∠AOP＝60°.∵OA＝OB， ∴△OAB为等边三角形，∴AO＝AB. ∵∠BAC＝∠BCA，∠BCA＝ ∠D，∴∠BAC＝∠D. ∵∠ABE＝∠DBA，∴△ABE∽△DBA， ∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴AB＝2 ，∴OA＝2 .在Rt△OAP中， ∵tanP＝ ，∴AP＝ ＝ ＝6. 返回目录 11. （2024·资阳中考）如下图，已知AB是☉O的直径，AC是☉O的弦， 点D在☉O外，延长DC、AB相交于点E，过点D作DF⊥AB于点F， 交AC于点G，DG＝DC. 第11题 返回目录 （1）求证：DE是☉O的切线. 第11题 返回目录 （1）证明：连接OC. ∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠DCG. ∵∠DGC＝ ∠AGF，∴∠DCG＝∠AGF. ∵DF⊥AB，∴∠AFG＝90°，∴∠A ＋∠AGF＝90°.∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠DCG＋∠ACO ＝90°，∴∠DCO＝90°，即DE⊥OC. ∵OC是☉O的半径，∴DE是 ☉O的切线. 返回目录 （2）若☉O的半径为6，点F为线段OA的中点，CE＝8，求DF的长. 第11题 返回目录 （2）解：由（1）知，∠OCE＝90°.∵OC＝6，CE＝8，∴OE＝ ＝10.∵OA＝6，点F为线段OA的中点，∴OF＝ OA＝ 3，∴EF＝13.∵∠DFE＝∠OCE＝90°，∠E＝∠E， ∴△OCE∽△DFE，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴DF＝ . 返回目录 12. （2024·甘孜中考）如下图，AB为☉O的弦，C为 的中点，过点 C作CD∥AB，交OB的延长线于点D，连接OA、OC. 第12题 返回目录 （1）求证：CD是☉O的切线. （1）证明：设OC交AB于点E. ∵OC是☉O的半径，C为 的中点， ∴OC垂直平分AB. ∵CD∥AB，∴∠OCD＝∠OEB＝90°，即 CD⊥OC. ∵OC是☉O的半径，∴CD是☉O的切线. 第12题 返回目录 （2）若OA＝3，BD＝2，求△OCD的面积. （2）解：∵OA＝OC＝OB＝3，BD＝2，∴OD＝OB＋BD＝3＋2＝ 5.∵∠OCD＝90°，∴CD＝ ＝ ＝4，∴S△OCD＝ CD·OC＝ ×4×3＝6. 第12题 返回目录 13. （2024·广元中考）如下图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝ 90°，☉O经过A、C两点，交AB于点D，CO的延长线交AB于点F， DE∥CF交BC于点E. 第13题 返回目录 （1）求证：DE为☉O的切线. （1）证明：连接OD. ∵AC＝BC，∠ACB＝90°.∴△ACB为等腰直 角三角形，∴∠CAB＝45°，∴∠COD＝2∠CAB＝ 90°.∵DE∥CF，∴∠COD＋∠EDO＝180°，∴∠EDO＝90°，即 DE⊥OD. ∵OD是☉O的半径，∴DE为☉O的切线. 第13题 返回目录 （2）若AC＝4，tan∠CFD＝2，求☉O的半径. 第13题 返回目录 （2）解：过点C作CH⊥AB于点H. ∵△ACB为等腰直角三角形，AC ＝4，∴CH＝AH＝ AB＝2 .∵tan∠CFD＝ ＝2，∴FH＝ . 在Rt△CFH中，由勾股定理，得CF2＝CH2＋FH2，∴CF＝ .∵tan∠CFD＝ ＝ ＝ ＝2，∴OD＝ .故☉O的 半径为 . 返回目录 14. （2024·达州中考）如下图，BD是☉O的直径，四边形ABCD内接于 ☉O，连接AC，且AB＝AC，以AD为边作∠DAF＝∠ACD交BD的延 长线于点F. 第14题 返回目录 （1）求证：AF是☉O的切线. （1）证明：连接OA. ∵BD是☉O的直径，∴∠BAD＝90°， ∴∠OAB＋∠OAD＝90°.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA. ∵∠DAF＝∠ACD，∠OBA＝∠ACD，∴∠DAF＝∠OAB， ∴∠DAF＋∠OAD＝∠OAB＋∠OAD＝90°，∴∠OAF＝90°， ∴OA⊥AF. ∵OA是☉O的半径，∴AF是☉O的切线. 第14题 返回目录 （2）过点A作AE⊥BD于点E，若CD＝3DE，求 cos ∠ABC的值. 第14题 返回目录 （2）解：延长CD交AF于点H，延长AO交BC于点G，连接OC. ∵BD是☉O的直径，∴∠BCD＝90°，即CH⊥BC. ∵AB＝AC，OB ＝OC，∴OA垂直平分BC，∴AG⊥BC，∴AG∥CH. 由（1）知AF 与☉O相切，∴∠OAF＝90°，∴四边形AGCH为矩形，∴∠AHC＝ 90°.∵AE⊥BD，∴∠AEB＝∠AHC＝90°.又∵∠ABE＝∠ACH， ∴△ABE≌△ACH（AAS），∴AE＝AH，BE＝CH. ∵AD＝AD， ∴Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），∴DE＝DH. 返回目录 设DH＝DE＝a，则CD＝3a，∴BE＝CH＝DH＋CD＝4a，∴BD ＝BE＋DE＝5a，∴OA＝OD＝2.5a，∴OE＝OD－DE＝1.5a， ∴AE＝ ＝2a，∴AD＝ ＝ a，∴ cos ∠ADE＝ ＝ .∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. ∵∠ADE＝ ∠ACB，∴∠ABC＝∠ADE，∴ cos ∠ABC＝ cos ∠ADE＝ . 返回目录 15. （2022·乐山中考）如下图，线段AC为☉O的直径，点D、E在☉O 上， ＝ ，过点D作DF⊥AC，垂足为F，连接CE交DF于点G. 第15题 返回目录 （1）求证：CG＝DG. 证明：（1）连接AD. ∵线段AC为☉O的直径，∴∠ADC＝90°， ∴∠ADF＋∠CDG＝90°.∵DF⊥BC，∴∠DFA＝∠DAF＋∠ADF ＝90°，∴∠CDG＝∠DAF. ∵ ＝ ，∴∠DAF＝∠DCG， ∴∠CDG＝∠DCG，∴CG＝DG. 第15题 返回目录 （2）已知☉O的半径为6， sin ∠ACE＝ ，延长AC至点B，使BC＝4， 求证：BD是☉O的切线. 第15题 返回目录 （2）连接OD，交CE于点H. ∵ ＝ ，∴OD⊥EC. ∵ sin ∠ACE ＝ ＝ ，BC＝4，OD＝OC＝6，∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ，即 ＝ .∵∠COH＝∠BOD，∴△COH∽△BOD，∴∠BDO＝∠CHO ＝90°，∴OD⊥BD. ∵OD是☉O的半径，∴BD是☉O的切线. 返回目录 16. 如下图，△ABC 内接于☉O，点D为 的中点，连接AD、BD，BE 平分∠ABC 交AD于点E，过点D作DF∥BC交AC的延长线于点F. 第16题 返回目录 （1）求证：DF是☉O的切线； （1）证明：连接OD. ∵点D为 的中点，O为圆心，∴OD⊥BC. ∵DF∥BC，∴OD⊥DF. ∵OD为☉O的半径，∴DF是☉O的切线. 第16题 返回目录 （2）求证：BD＝ED； （2）证明：∵点D为 的中点，∴ ＝ ，∴∠DBC＝∠BAD. ∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE. ∵∠DEB是△ABE的外角， ∴∠DEB＝∠BAE＋∠ABE. ∵∠DBE＝∠CBE＋DBC，∴∠DEB ＝∠DBE，∴BD＝ED. 第16题 返回目录 （3）若DE＝5，CF＝4，求AB的长. 第16题 返回目录 （3）解：连接CD. ∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠ABD＋ ∠ACD＝180°. ∵∠DCF＋∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠DCF. ∵DF∥BC， ∴∠ACB＝∠F. ∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ADB＝∠F， ∴△ABD∽△DCF，∴ ＝ .∵点D为 的中点，∴ ＝ ， ∴BD＝CD. 由（2）知BD＝ED，∴CD＝BD＝DE＝5.∵CF＝4， ∴ ＝ ，∴AB＝ . 返回目录 17. （2024·雅安中考）如下图，AB是☉O的直径，C是☉O上的一点， P是BA延长线上的一点，连接AC，∠PCA＝∠B. 第17题 返回目录 （1）求证：PC是☉O的切线. （1）证明：连接OC. ∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠BCO＋∠OCA＝90°.∵OB＝OC，∴∠B＝∠BCO. ∵∠PCA＝ ∠B，∴∠PCA＝∠BCO，∴∠PCA＋∠OCA＝90°，∴OC⊥PC. ∵OC是☉O的半径，∴PC是☉O的切线. 第17题 返回目录 （2）若 sin B＝ ，求证：AC＝AP. （2）证明：∵ sin B＝ ，∴∠B＝30°，∴∠PCA＝∠B＝30°.由 （1）知，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝60°，∴∠P＝∠CAB－∠PCA ＝30°，∴∠PCA＝∠P，∴AC＝AP. 第17题 返回目录 （3）若CD⊥AB于点D，PA＝4，BD＝6，求AD的长. 第17题 返回目录 （3）解：设AD＝x，在Rt△ACB中，CD⊥AB，∴CD2＝AD·BD＝ 6x.∵∠P＝∠P，∠PCA＝∠B，∴△PAC∽△PCB，∴ ＝ ， ∴PC2＝PA·PB＝4（6＋4＋x）＝4（10＋x）.在Rt△PCD中，由勾股 定理，得PD2＋CD2＝PC2，即（4＋x）2＋6x＝4（10＋x），解得x1＝ 2，x2＝－12（舍去），故AD＝2. 返回目录 18. （2023·德阳中考）已知☉O1的半径为1，☉O2的半径为r，圆心距 O1O2＝5，若在☉O2上存在一点P，使得PO1＝2，则r的取值范围 是 ⁠. 3≤r≤7　 返回目录 $$