精品解析： 辽宁省沈阳市铁西区2024-2025学年上学期九年级期中 数学试题

2024-2025上学期·期中考试·九年级（铁西区） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等．利用因式分解法解该方程，即可获得答案． 【详解】解：， ∴或， ∴． 故选：A． 2. 已知，则下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，能正确运用比例的性质进行变形是解此题的关键．根据比例的性质：两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 详解】解：∵， ∴，，， 只有C符合题意， 故选：C． 3. 掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面朝上的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，解决本题的关键是掌握树状图法求概率．根据树状图法即可求解． 【详解】解： 根据树状图可知： 共有4种等可能的情况， 两枚硬币全部正面朝上的概率为， 故选：D 4. 如图，在矩形中，点E、F为对角线上两点，，，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．先得出，根据矩形的性质得出，，再得出，进而求出，进一步可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 5. 下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．利用直接开平方法解答，即可求解． 【详解】A、因为，此时方程没有实数根，故本选项不符合题意； B、解得：，有两个相等实数根，故本选项符合题意； C、解得：，，有两个不相等实数根，故本选项不符合题意； D、，直接开平方，得或，得，，有两个不相等实数根，故本选项不符合题意； 故选：B． 6. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 7. 如图，四边形是正方形，延长到点E，使，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．根据正方形得到，继而由即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 故选：C． 8. 两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为，利用现在生产1千克甲种药品的成本两年前生产1千克甲种药品的成本年（平均下降率），即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：甲种药品成本的年平均下降率为， 根据题意可得， 故选：B． 9. 如图，与位似，点是位似中心，若，，则为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形，熟练掌握位似图形的定义和性质是解题关键．首先根据题意可知，再结合位似图形的性质可得，结合解得的值，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵与位似，点是位似中心， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∴． 故选：C． 10. 小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看，他们约定，若两个人所写的数的和是偶数，则小明获胜，若两个人所写的数字和是奇数，则小亮获胜，这个游戏（ ） A. 无法确定对谁有利 B. 对小亮有利 C. 对小明有利 D. 游戏公平 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了游戏的公平性，根据游戏规则，总结果有4种，分别是奇偶，偶奇，偶偶，奇奇，而和为偶数的情况和和为奇数的情况都为两种，则和为偶数的概率和和为奇数的概率相同，故游戏公平，据此可得答案． 【详解】解：根据游戏规则，总结果有4种，分别是奇偶，偶奇，偶偶，奇奇； ∵奇数与奇数的和为偶数，偶数与偶数的和为偶数，奇数与偶数的和为奇数， ∴和为偶数的情况和和为奇数的情况都为两种， ∴和为偶数的概率和和为奇数的概率相同， ∴这个游戏是公平的， 故选：D． 二、填空题（每题5分，共15分） 11. 方程 __________ 一元二次方程（填“是”或“不是”） 【答案】不是 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是先化简，再判定． 把方程移项，合并后为，据此判定． 【详解】解：方程， 移项，合并，得：， 这是一元一次方程，不是一元二次方程， 故答案为：不． 12. 如图，直线，直线和与直线交于点A、D，与直线交于点B、E，与直线交于点C、F，如果，， ，那么的长为 __________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 13. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有个，除颜色外其他完全相同．小张通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色、黑色球的频率稳定在和，则可估计袋中白色球的个数是__________________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据题意可得：摸到白色球的频率是，再乘以球的总个数即可． 【详解】解：根据题意，可估计袋中白色球的个数是； 故答案为：16． 【点睛】本题考查了频率与概率，属于常考题型，正确理解题意、掌握求解的方法是关键． 14. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法，如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）小孔O在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔O到的距离为，则的面积为 __________ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．利用已知得出：，进而利用相似三角形的性质求出小孔O到的距离，再根据三角形的面积公式得出答案即可． 【详解】解：设小孔O到的距离为x， 由题意可得：， 则， 解得：． 面积为， 故答案为： 15. 如图，在矩形中，，点F在边上，且，点E是边上的一个动点，连接，点M是的中点，按下面作图： （1）以点A为圆心，以任意长为半径作弧，交于点G，交于点H （2）以点M为圆心，以长为半径作弧，交射线于点 （3）以点为圆心，以长为半径作弧，交前弧于点，过点M作射线交射线于点N，则在点E从点B运动到点C的过程中，线段所扫过的图形的周长是 __________ 【答案】 【解析】 【分析】根据四边形是矩形，得出，算出，勾股定理算出，根据作图可得：，得出，证明，得出是的中位线，从而得出，画出当点运动到点时，点运动到点时，对应图象得出，四边形是平行四边形，证明是中位线，得出长度，即可求出在点E从点B运动到点C的过程中，线段所扫过的图形的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据作图可得：， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴， 即点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 当点运动到点时，点位于点，点运动到点时，点位于点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点是中点，点是中点， ∴是中位线， ∴， 则在点E从点B运动到点C的过程中，线段所扫过的图形的周长是， 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，平行线的判定，三角形的中位线定理，勾股定理，矩形的性质等知识点，解题的关键是判断出线段所扫过的图形的形状． 三、解答题（共75分） 16. 计算 （1）解方程： （2）已知，求的值 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程以及比例的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）根据，则设，再把代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：， ∴， ， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴设， 则． 17. 如图，线段交于点，，其中，，，求的长． 【答案】2.1 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线性质、相似三角形的判定与性质，证明是解题关键．结合平行线的性质证明，由相似三角形的性质可得，然后计算的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得， 即的长为2.1． 18. 某中学建成了一处劳动实践基地，计划将其中1000平方米的土地全部种植甲、乙两种蔬菜，经调查发现：甲种蔬菜每平方米种植成本（单位：元）与其种植面积（单位：平方米）满足函数关系，乙种蔬菜的种植成本为50元/平方米，若该学校今年这1000平方米的土地全部种植甲、乙两种蔬菜的总成本为42500元，求种植甲种蔬菜的面积 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意建立方程是解题的关键．根据题意得到甲的成本，乙的成本，再由甲、乙两种蔬菜的总成本为42500元建立方程即可． 【详解】解：由题意得， 整理得：， 解得：， ∴种植甲种蔬菜的面积为或， 答：种植甲种蔬菜的面积为或． 19. 如图，有两个可以自由转动的转盘，转盘平均分成两个扇形，分别涂上红色和蓝色，转盘平均分成三个扇形，分别涂上黄色、蓝色和绿色，同时转动两个转盘（指针停在分界线时重新转动转盘），如果转盘指针停在红色扇形，转盘指针停在蓝色扇形时，这两种颜色就可以配成紫色，请用列表或树状图的方法，求同时转动这两个转盘，指针停在两个扇形的颜色能配成紫色的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列举法求概率，根据题意正确作出列表是解题关键．根据题意作出列表，由列表可知共有6种等可能的结果，其中指针停在两个扇形的颜色能配成紫色的结果有2种，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，列表如下， 盘 盘 红 蓝 黄 （红，黄） （蓝，黄） 红 （红，红） （蓝，红） 蓝 （红，蓝） （蓝，蓝） 由列表可知，共有6种等可能的结果，其中转盘指针停在红色扇形，转盘指针停在蓝色扇形的结果有2种， 所以，指针停在两个扇形的颜色能配成紫色的概率为． 20. 若关于的一元二次方程的一个根是，求的值． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的解、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先将代入方程并解得的值，再根据一元二次方程的定义可知，即可获得答案． 【详解】解：将代入方程， 可得，解得，， 因为关于的方程为一元二次方程， 所以，解得， 所以，的值为3． 21. 如图，点E是矩形的边上一点，连接，把沿所在直线折叠，点D的对称点F恰好落在上，已知，，求边的长． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查矩形折叠问题、勾股定理，先由勾股定理计算出，由折叠前后对应边相等可得，，设，利用勾股定理解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ，， ， 由折叠知， ，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 即边的长为10． 22. 某企业集团为迎接2025年新年，计划给全体员工定制一批新的工装，该企业集团委托甲、乙两个厂家共同生产这批工装，根据调查统计，甲厂每小时能生产40套这种工装，乙厂每小时能生产50套这种工装 （1）若甲、乙两个工厂生产的时间共12小时，且生产工装的总套数不少于530套，则乙厂至少生产这种工装多少小时？ （2）原计划甲、乙两个工厂每天均生产8小时，但现在为了该企业集团的需求，两个工厂每天均需要增加生产时间，且甲厂增加的时间比乙厂增加的时间多2小时，因为甲厂机器损耗及人员不足的原因，甲厂每增加1小时，该厂每小时的产量将减少2套，乙厂每小时的产量保持不变，这样两个工厂每天生产的工装套数将比原计划多164套，求甲厂实际每天生产工装增加的时间 【答案】（1）乙厂至少生产工装小时 （2）甲厂实际每天生产工装增加的时间为小时 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用； （1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的不等式，然后求解即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可，注意求得结果要符合题意． 【小问1详解】 解：乙厂生产工装小时，则甲厂生产工装小时， 由题意可得：， 解得， 答：乙厂至少生产工装小时； 【小问2详解】 设甲厂实际每天生产工装增加的时间为小时， 由题意可得：， 化简，得：， 解得，（舍去）， 答：甲厂实际每天生产工装增加的时间为小时． 23. 在中，，平分交于点D，于点E，交于点F （1）如图1，求证： （2）九年一班智慧小组通过探究发现：当 时，，当 时，，由此可以猜测，当 时， ． （3）如图1，当 时，求的值（用含的式子表达） （4）如图2，九年一班创新校区在图1的基础上，作，当 时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由，平分得，由等角得余角相等得到，即可求证； （2）观察发现与的分母一样，分子是的两倍即可解决； （3）过点作交于，由得，可证明，则，设，则，则，故； （4）过点作于点，由角平分线性质可得，设， 由（3）知，则，角度推导证明，则，故． 【小问1详解】 证明：如图， ∵平分， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴，, ∵, ∴ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当 时，， 当 时，， 由此可以猜测，当 时，， 故答案为：； 【小问3详解】 解：过点作交于，如图， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：过点作于点， ∵平分，， ∴，设， ∵， ∴由（3）知， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，角平分线的性质定理，三角形的外角，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键在于正确添加辅助线构造相似三角形或者等角的三角函数值相等解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025上学期·期中考试·九年级（铁西区） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面朝上的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 4. 如图，在矩形中，点E、F为对角线上两点，，，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A B. C. D. 6. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 7. 如图，四边形是正方形，延长到点E，使，，则长为（ ） A B. 2 C. D. 8. 两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，与位似，点是位似中心，若，，则为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 18 10. 小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看，他们约定，若两个人所写的数的和是偶数，则小明获胜，若两个人所写的数字和是奇数，则小亮获胜，这个游戏（ ） A. 无法确定对谁有利 B. 对小亮有利 C. 对小明有利 D. 游戏公平 二、填空题（每题5分，共15分） 11. 方程 __________ 一元二次方程（填“是”或“不是”） 12. 如图，直线，直线和与直线交于点A、D，与直线交于点B、E，与直线交于点C、F，如果，， ，那么的长为 __________ 13. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有个，除颜色外其他完全相同．小张通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色、黑色球的频率稳定在和，则可估计袋中白色球的个数是__________________． 14. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法，如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）小孔O在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔O到的距离为，则的面积为 __________ 15. 如图，在矩形中，，点F在边上，且，点E是边上的一个动点，连接，点M是的中点，按下面作图： （1）以点A圆心，以任意长为半径作弧，交于点G，交于点H （2）以点M为圆心，以长为半径作弧，交射线于点 （3）以点为圆心，以长为半径作弧，交前弧于点，过点M作射线交射线于点N，则在点E从点B运动到点C的过程中，线段所扫过的图形的周长是 __________ 三、解答题（共75分） 16. 计算 （1）解方程： （2）已知，求的值 17. 如图，线段交于点，，其中，，，求的长． 18. 某中学建成了一处劳动实践基地，计划将其中1000平方米的土地全部种植甲、乙两种蔬菜，经调查发现：甲种蔬菜每平方米种植成本（单位：元）与其种植面积（单位：平方米）满足函数关系，乙种蔬菜的种植成本为50元/平方米，若该学校今年这1000平方米的土地全部种植甲、乙两种蔬菜的总成本为42500元，求种植甲种蔬菜的面积 19. 如图，有两个可以自由转动的转盘，转盘平均分成两个扇形，分别涂上红色和蓝色，转盘平均分成三个扇形，分别涂上黄色、蓝色和绿色，同时转动两个转盘（指针停在分界线时重新转动转盘），如果转盘指针停在红色扇形，转盘指针停在蓝色扇形时，这两种颜色就可以配成紫色，请用列表或树状图的方法，求同时转动这两个转盘，指针停在两个扇形的颜色能配成紫色的概率． 20. 若关于的一元二次方程的一个根是，求的值． 21. 如图，点E是矩形的边上一点，连接，把沿所在直线折叠，点D的对称点F恰好落在上，已知，，求边的长． 22. 某企业集团为迎接2025年新年，计划给全体员工定制一批新的工装，该企业集团委托甲、乙两个厂家共同生产这批工装，根据调查统计，甲厂每小时能生产40套这种工装，乙厂每小时能生产50套这种工装 （1）若甲、乙两个工厂生产的时间共12小时，且生产工装的总套数不少于530套，则乙厂至少生产这种工装多少小时？ （2）原计划甲、乙两个工厂每天均生产8小时，但现在为了该企业集团的需求，两个工厂每天均需要增加生产时间，且甲厂增加的时间比乙厂增加的时间多2小时，因为甲厂机器损耗及人员不足的原因，甲厂每增加1小时，该厂每小时的产量将减少2套，乙厂每小时的产量保持不变，这样两个工厂每天生产的工装套数将比原计划多164套，求甲厂实际每天生产工装增加的时间 23. 在中，，平分交于点D，于点E，交于点F （1）如图1，求证： （2）九年一班智慧小组通过探究发现：当 时，，当 时，，由此可以猜测，当 时， ． （3）如图1，当 时，求的值（用含的式子表达） （4）如图2，九年一班创新校区在图1的基础上，作，当 时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$