专题13.5 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线及构造等腰三角形（6大考点）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题13.5 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线及构造等腰三角形 目录 【考点一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 1 【考点二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】 7 【考点三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 16 【考点四 利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】 19 【考点五 过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】 24 【考点六 利用倍角关系构造新等腰三角形】 28 【典型例题】 【考点一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 例题：（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，． (1)求证：． (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）连接，由线段垂直平分线的性质得到，得到，根据等腰三角形的三线合一证明； （2）根据等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质得到，然后利用等边对等角得到，最后利用等腰三角形三线合一性质及三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ，是的垂直平分线， ， ， ，即是等腰三角形， 为线段的中点， ； （2）解：，， ， ， 由（1）知是等腰三角形，， 由等腰三角形三线合一性质可知是的角平分线， ． 【点睛】本题考查了证明及求角度，涉及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）如图，在中，，E，F分别在三边上，且，，G为的中点．    (1)若，求的度数； (2)试说明：垂直平分． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定 【分析】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定及其性质，垂直平分线的判定，解题的关键是灵活运用等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理等几何知识点来分析、判断、解答． （1）如图，首先证明，运用三角形的内角和定理即可解决问题； （2）如图，作辅助线；首先证明，得到，运用等腰三角形的性质证明，即可解决问题． 【详解】（1）解：因为所以， 因为，所以 ； （2）如图，连接，    在和中， ， 所以， 所以， 因为G为的中点，所以 ， 所以垂直平分． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，是边上的点，于，于． (1)若，求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的性质定理、根据三线合一证明、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，角平分线的性质，含度角的直角三角形的性质 （1）连接．根据等腰三角形三线合一的特性，可知也是的角平分线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，那么； （2）由可求得，根据角所对的直角边等于斜边的一半可求得、的长，即可求解． 【详解】（1）证明：连接． ，， ∴点是边上的中点， 平分， 、分别垂直、于点和． ； （2）解：，， ， 于，于． ， ， ． 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）在中，，，，，的两边分别交直线、于点、． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，问线段、、之间有何数量关系，并证明； (3)如图3，当时，问线段之间、、有何数量关系？并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）如图1，连接，由等腰直角三角形可得，，，由“”可证，可得； （2）如图2，在上截取，连接，，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，则； （3）如图3，过点作，连接，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，则． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ，，， ，，， ， ，且，， ， ； （2）解：， 理由如下：如图2，在上截取，连接，， ，，， ，，， ，，， ， ，， ， ，且， ，且，， ， ， ； （3）解：， 理由如下：如图3，过点作，连接， ，，， ，，， ， ， ， ，且，， ， ，， ，，， ， ， ． 【考点二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】 例题：（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知在中，，且，作等腰，使得．    (1)如图1，若与互余，则___________；（用含的代数式表示） (2)如图2，若与互补，过点C作于点H，求证：； (3)若与的面积相等，请直接写出的度数．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、等边对等角、根据三线合一证明 【分析】（1）根据与互余得 ，根据等腰三角形两底角相等得，即可求出的度数； （2）作，根据AAS证明，则，由等腰三角形三线合一可得，因此，问题得证； （3）由与的面积相等得高相等.情况①：作于，于,根据可得，则可得；情况②:是钝角三角形，作于，作垂直于的延长线于，根据可得，则可得，由于与互补，因此与互补，即可得出结果． 【详解】（1）解：中，，且=, ，， ， ， ，          ； 故答案为：； （2）证明：如图，过A点作于E点，   中，，， ， 中，， ， ， ,=， ，         ，   ，   ， ． 在和中， ， ∴，     ∴，     ∴； （3）解：①如图，作于，于，    ∵与的面积相等， ∴， 又∵ ， ∴， ∴， 即， ， ； ②如图，作于，作垂直于的延长线于，    则， ∵，， ∴， ∵与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ， ， 综上，或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同底等高的两个三角形面积相等，.熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧），点D是射线上一个动点（不与点C重合），点E在线段上，且．    (1)如图1，当点E与点C重合时，在图中画出线段．若，则的长为 （用含a的式子表示）； (2)如图2，当点E与点C不重合时，连接． ①求证：； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①详见解析；②，详见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明 【分析】（1）根据各角之间的关系得出，即可确定位置关系，画出；再由全等三角形的判定和性质得出，即可得出结果； （2）①过点A作于点点N，根据各角之间的关系及全等三角形的判定得出，再由其性质即可得出结果；②在上截取，连接，由各角之间的关系得出，再由全等三角形的判定和性质得出，，即可得出结果． 【详解】（1）当点E与点C重合时，， ∵， ∴， ∵， ∴， 若，过点A作于点M，如图1：    则， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， 即的长为， 故答案为：； （2）①证明：过点A作于点M、点N，如图2：      则， ∴， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； ②，证明如下： 在上截取，连接，如图3：    ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由①知：， 即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，理解题意，作出相应辅助线，熟练运用全等三角形的判定和性质是解决本题的关键． 2．如图，与△BCA均为等腰三角形，，且，为延长线上一点，． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，，求的面积（用含，，的式子表示）． 【答案】(1)20° (2)见解析 (3) 【分析】（1）先，是等腰三角形性质与三角形内角和定理求出，即可由求解； （2）过点作于点，过点作于点，证明，得出，，进而求得，，即可得出，从而得出结论； （3）由（2）可知，，从而有，再根据，则有 ，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． （2）证明：过点作于点，过点作于点， ∴， 又∵， ∴，， ∵， ∴， ∴在和中，， ∴， ∴，， ∵， 设、交于点，则 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：由（2）可知，， ∴， ∵， ∴． ． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和，三角形外角性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积，属三角形综合题目，难度适中． 【考点三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 例题：（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E． (1)求证：为等腰三角形； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵在和中 ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）连接， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴ ， 又∵中，， ∴， ∴， ∴． ∴． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖南常德·期末）如图1：在中，平分，且， (1)若，求的长； (2)如图2，若交于，交于，且为等腰三角形，求的长． 【答案】(1)10 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质． （1）延长交于点．证明，由即可得出结论； （2）根据题意得到，由为等腰直角三角形，证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，延长交于点． 平分， ， ， 又， ， ，即， 在中， ， ， ； （2）解：如图，（对顶角）， ， ， 又为等腰直角三角形， ，， 在与中， ， ， ，即． 【考点四 利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）已知如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等． （1）首先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可得，据此即可证得； （2）同理（1）可得，根据的周长，求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 平分， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ， 平分， ， ， ， ∵，， ∴的周长为： ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在中，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E．    (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，求的长（用含m，n的式子表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据和平分，可以求出和，然后利用三角形外角即可求解； （2）根据条件证明，再根据等角对等边即可证明； （3）根据题意和（1）（2）问的结论证明，，是等腰三角形即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解决问题的关键． 2．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ． 【答案】（1）2， ，理由见解析．（2）5，（3）2， 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质得到角相等，再进行等量代换得到，，再利用等角对等边，得到，，即可解题． （2）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质，再进行等量代换得到、、、，再利用等角对等边，得到对应线段相等，即可解题． （3）本题解法与（1）类似． 【详解】（1）解： ，理由如下： ，的平分线交于O点， ，，     ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2． （2）解：，即为等腰三角形， ， ，的平分线交于O点， ， ，即为等腰三角形， ， ，，， ，，，即为等腰三角形， ，， 和为等腰三角形， ． 综上所述，共有5个等腰三角形， 故答案为：5，． （3）解：的角平分线与外角的角平分线交于点O， ，， ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2，． 【考点五 过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】 例题：（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）已知在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，． (1)【特殊情况，探索结论】 如图（1），当点为的中点时，确定线段与的大小关系：______（填“”“”或“=”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图（2），当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，并说明理由（提示：过点作，交于点）． (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为，，求的长（请根据题意画出相应图形，并直接写出结果）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)3 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质： （1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论； （2）过点E作，交于点F，证为等边三角形，得，再证，得，即可得出结论； （3）过点E作，交于点F，同（2 ）得是等边三角形，，则，即可得出答案． 【详解】（1）解：：，理由如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点作，交于点， 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：过点作，交的延长线于点，如图3所示： 同（2 ）得：是等边三角形，， ，， ， ． 【变式训练】 1.（2024上·天津滨海新·八年级校考期末）已知直线，相交于点，点，分别为直线，上的点，，且，点是直线上的一个动点，点是直线上的一个动点，运动过程中始终满足． (1)如图1，当点运动到线段的中点，点在线段的延长线上时，求的长． (2)如图2，当点在线段上运动，点在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质； （1）证明为等边三角形，得出，由等边三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，由三角形的外角性质得出，即可得出结论； （2）过点E作交于点F，由平行线的性质得出，证出，得出，证出，由证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， 为等边三角形， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， ， ， ∵ ， ； （2）解：，理由如下： 过点E作交于点F，如图， ∵， ∴， ， ∵， ， ， ， ∴， ， ， 在和中， ∵， ∴， ， ∵， ． 【考点六 利用倍角关系构造新等腰三角形】 例题：（23-24八年级上·江苏泰州·期末）数学活动：折纸与证明． 折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法． 如图1，在中，，怎样证明呢？      如图2，把沿的平分线翻折，因为，所以，点C落在上的点处．于是，由，，可得． 感悟与应用： （1）如图3，是的高，．若，，求的长．小龙同学的解法是：将沿折叠，点C落在边上的点处……，画出图形并写出完整的解题过程； （2）如图4，是的角平分线，．线段、、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想并证明． 【答案】（1）图见解析，；（2），理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质与判定，掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质与三角形外角的性质得出，根据等角对等边得出，进而计算可得结论； （2）根据折叠的性质与三角形外角的性质得出，根据等角对等边得出，进而根据等量代换可得结论． 【详解】解：（1）将沿折叠，点C落在边上的点处，如图， ∵， ∴点落在上的点处， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下， 证明：把沿的平分线翻折，使点C落在上的点处． ∴， ∵， 又， ∴， ∴， ∴， 即． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）【方法探究】如下图，在中，平分，，探究，，之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如下图，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题 方法2：如下图，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题 (1)根据探究，直接写出，，之间的数量关系； 【迁移应用】 (2)如下图，在中，是上一点，，于，探究，，之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】 (3)如下图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：； 【答案】(1)；(2) ，证明见解析；(3)证明见解析． 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质； （1）方法一：证明得到，，根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定证得，则，进而可得结论； 方法二：先根据等腰三角形的性质和外角性质证得，再证明得到，进而可得结论； （2）在上取，连接，根据等边对等角得出，根据三角形的外角的中得出，进而得出，即可得证； （3）先证明 ，过作，交于点，证明，根据等角对等边得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：方法一：∵平分， ∴， 在和中，，，， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：延长到点E，使得，连接， ∴，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）在上取，连接， ∵于 ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴； （3）如图所示，∵，为等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 过作，交于点， ∴， ∵是的中点， ∴， 又 ∴ ∴ ，， 而， ∴， 又∵ ∴ ∴     即　． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13.5 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线及构造等腰三角形 目录 【考点一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 1 【考点二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】 7 【考点三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 16 【考点四 利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】 19 【考点五 过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】 24 【考点六 利用倍角关系构造新等腰三角形】 28 【典型例题】 【考点一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 例题：（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，． (1)求证：． (2)若，求． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）如图，在中，，E，F分别在三边上，且，，G为的中点．    (1)若，求的度数； (2)试说明：垂直平分． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，是边上的点，于，于． (1)若，求证：； (2)若，，求的长． 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）在中，，，，，的两边分别交直线、于点、． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，问线段、、之间有何数量关系，并证明； (3)如图3，当时，问线段之间、、有何数量关系？并证明． 【考点二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】 例题：（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知在中，，且，作等腰，使得．    (1)如图1，若与互余，则___________；（用含的代数式表示） (2)如图2，若与互补，过点C作于点H，求证：； (3)若与的面积相等，请直接写出的度数．（用含的式子表示） 【变式训练】 1．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧），点D是射线上一个动点（不与点C重合），点E在线段上，且．    (1)如图1，当点E与点C重合时，在图中画出线段．若，则的长为 （用含a的式子表示）； (2)如图2，当点E与点C不重合时，连接． ①求证：； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 2．如图，与△BCA均为等腰三角形，，且，为延长线上一点，． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，，求的面积（用含，，的式子表示）． 【考点三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 例题：（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E． (1)求证：为等腰三角形； (2)已知，，求的长． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖南常德·期末）如图1：在中，平分，且， (1)若，求的长； (2)如图2，若交于，交于，且为等腰三角形，求的长． 【考点四 利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）已知如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在中，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E．    (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，求的长（用含m，n的式子表示）． 2．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ． 【考点五 过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】 例题：（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）已知在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，． (1)【特殊情况，探索结论】 如图（1），当点为的中点时，确定线段与的大小关系：______（填“”“”或“=”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图（2），当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，并说明理由（提示：过点作，交于点）． (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为，，求的长（请根据题意画出相应图形，并直接写出结果）． 【变式训练】 1.（2024上·天津滨海新·八年级校考期末）已知直线，相交于点，点，分别为直线，上的点，，且，点是直线上的一个动点，点是直线上的一个动点，运动过程中始终满足． (1)如图1，当点运动到线段的中点，点在线段的延长线上时，求的长． (2)如图2，当点在线段上运动，点在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由． 【考点六 利用倍角关系构造新等腰三角形】 例题：（23-24八年级上·江苏泰州·期末）数学活动：折纸与证明． 折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法． 如图1，在中，，怎样证明呢？      如图2，把沿的平分线翻折，因为，所以，点C落在上的点处．于是，由，，可得． 感悟与应用： （1）如图3，是的高，．若，，求的长．小龙同学的解法是：将沿折叠，点C落在边上的点处……，画出图形并写出完整的解题过程； （2）如图4，是的角平分线，．线段、、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想并证明． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）【方法探究】如下图，在中，平分，，探究，，之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如下图，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题 方法2：如下图，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题 (1)根据探究，直接写出，，之间的数量关系； 【迁移应用】 (2)如下图，在中，是上一点，，于，探究，，之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】 (3)如下图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：； 学科网（北京）股份有限公司 $$