第二章 素养提升课二 竖直面内圆周运动模型及临界问题-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一物理必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（教科版2019）

素养提升课二　竖直面内圆周运动模型及临界问题 【素养目标】　1．通过建立竖直面内圆周运动的轻绳模型，应用动力学方法分析临界问题。2．通过建立竖直面内圆周运动的轻杆模型，分析轻杆模型与轻绳模型的区别。3．会通过分析临界状态，找到临界条件，解决临界问题。 提升点一　竖直面内圆周运动的轻绳模型 1．模型概述 无支撑物(如球与绳连接，沿内轨道运动的“过山车”等)的竖直面内的圆周运动，称为“轻绳模型”。 2．模型特点 项目 特点 情景图示 弹力特征 在最高点弹力可能向下，也可能等于零 受力示意图 力学方程 mg＋T＝m 临界特征 T＝0，即mg＝m，可得v＝ v＝的意义 物体能否过最高点的临界速率 学生用书↓第50页 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与水一起以细绳的另一端点为圆心在竖直平面内做圆周运动，如图所示。水的质量m＝0.5 kg，水的重心到转轴的距离l＝50 cm，g取10 m/s2。 (1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留3位有效数字) (2)若在最高点水桶的速率v＝3 m/s，求水对桶底的压力大小。 答案：(1)2.24 m/s　(2)4 N 解析：(1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小，有mg＝m，则所求速率即为桶的最小速率，解得v0＝＝m/s≈2.24 m/s。 (2)在最高点水桶的速率v＝3 m/s> m/s。水桶能过最高点，此时桶底对水有向下的压力，设为N，则由牛顿第二定律有N＋mg＝m 代入数据解得N＝4 N 由牛顿第三定律可知水对桶底的压力 N′＝N＝4 N。 针对练1.(2022·重庆市江津区高一期中)如图所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，重力加速度为g，则下列说法不正确的是(　　) A．小球在圆周最高点时所受向心力可能等于重力 B．小球在圆周的最高点时绳子的拉力可能为零 C．若小球刚好在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点时速率为零 D．若小球刚好在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点时速率为 答案：C 解析：小球在圆周最高点时可能恰好由重力提供向心力，此时绳子的拉力为零，A、B正确；若小球刚好在竖直平面内做圆周运动，恰好由重力提供向心力，由牛顿第二定律得mg＝m，解得v0＝，C错误，D正确。本题选不正确的，故选C。 针对练2.游乐场翻滚过山车上的乘客常常会在高空倒悬时吓得魂飞魄散。其示意图如图所示，若轨道最高处离地面32 m，最低处几乎贴地，圆环直径为15 m，过山车经过圆环最高点时的速度约为18 m/s。在这样的情况下能否保证乘客的安全(g取10 m/s2)? 答案：能 解析：要保证乘客安全，过山车能通过最高点时的最小速度为临界速度，此时圆形轨道对过山车的作用力为零，重力提供向心力，则有mg＝ 可得v＝≈8.7 m/s 由8.7 m/s<18 m/s可知，这种情况下过山车和人一定能安全地通过顶点。 提升点二　竖直面内圆周运动的轻杆模型 1．模型概述 有支撑物(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)的竖直面内的圆周运动，称为“轻杆模型”。 2．模型特点 项目 特点 情景图示 弹力特征 在最高点弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力示意图 力学方程 mg±N＝m 临界特征 v＝0，即F＝0，此时N＝mg v＝的意义 N表现为拉力还是支持力的临界速率 (2022·甘南藏族自治州高一期中)如图所示，小球A质量为m＝0.5 kg。固定在长为L＝0.2 m的轻细直杆一端，并随杆一起绕杆的另一端O点在竖直平面内做圆周运动。如果小球经过最高位置时，杆对球的作用力为拉力，拉力大小等于球的重力(g取10 m/s2)。求： (1)球在最高点时的速度大小； 学生用书↓第51页 (2)当小球经过最低点时速度为4 m/s，杆对球的作用力的大小； (3)如果把其中轻细杆换成等长的轻绳，小球刚好能通过最高点的速度为多大。 答案：(1)2 m/s　(2)45 N　(3) m/s 解析：(1)在最高点，由牛顿第二定律可得mg＋F拉＝m，F拉＝mg 解得v1＝2 m/s。 (2)在最低点，由牛顿第二定律可得 F拉′－mg＝m 解得F拉′＝45 N。 (3)轻杆换成等长的轻绳，在最高点，当速度最小时，重力提供向心力，有mg＝m 解得v3＝ m/s。 针对练1.(多选)(2022·云南丽江市高一期末)如图所示，长为r的细杆一端固定一个质量为m的小球，使之绕另一光滑端点O在竖直面内做圆周运动，小球运动到最高点时的速率v＝，则(　　) A．小球在最高点时对细杆的压力为 B．小球在最高点时对细杆的压力为 C．若小球运动到最高点速率为，小球对细杆的弹力为零 D．若小球运动到最高点速率为2，小球对细杆的拉力为2mg 答案：AC 解析：球在最高点对杆作用力恰好为零时，重力提供向心力，根据牛顿第二定律有mg＝m，解得v0＝，由于v＝<v0，故杆对球有支持力，根据牛顿第二定律有mg－N＝m，解得N＝mg，根据牛顿第三定律可知，小球在最高点对杆的压力为mg，故A、C正确，B错误；同理，若小球运动到最高点速率为2，小球对细杆的拉力满足F＋mg＝m，解得F＝3mg，故D错误。 针对练2.(2023·河北衡水高一期末)如图所示，可视为质点的、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列有关说法中正确的是(　　) A．小球能够到达最高点时的最小速率为 B．小球达到最高点的速度为时，球受到的合外力为零 C．如果小球在最高点时的速度大小为2，则此时小球对管道外壁的作用力为3mg D．如果小球在最低点时的速度大小为，则小球通过最低点时对管道外壁的作用力为5mg 答案：C 解析：圆形管道内壁能支撑小球，小球能够通过最高点时的最小速度为0，A错误；当小球达到最高点的速度是时，有F合＝m＝mg，小球受到的合外力不为零，B错误；设管道对小球的弹力大小为F，方向竖直向下，由牛顿第二定律得mg＋F＝m，解得F＝3mg>0，方向竖直向下，根据牛顿第三定律可知，小球对管道外壁的作用力为3mg，方向竖直向上，C正确；重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得F－mg＝m，解得F＝6mg，根据牛顿第三定律可知，球对管道外壁的作用力为6mg，D错误。 针对练3.(多选)如图所示，有一个半径为R的光滑圆管道，现给小球一个初速度，使小球在竖直平面内做圆周运动，则关于小球在最高点时的速度v，下列叙述中正确的是(　　) A．v的最小值为 B．v由零逐渐增大，在最高点管道对小球的弹力逐渐增大 C．当v由逐渐增大时，在最高点管道对小球的弹力也逐渐增大 D．当v由逐渐减小时，在最高点管道对小球的弹力逐渐增大 答案：CD 解析：小球在最高点，管道对小球的作用力可以向上，也可以向下，所以v的最小值为零，故A错误；在最高点，当v＝时，根据牛顿第二定律得mg－N＝，可得管道对球的作用力N＝0；当v<时，管道对小球的作用力方向向上，根据牛顿第二定律得mg－N＝m，当v由逐渐减小时，管道对小球的弹力逐渐增大；当v>时，管道对小球的作用力方向向下，根据牛顿第二定律得mg＋N＝m，当v由逐渐增大时，管道对小球的弹力也逐渐增大，故C、D正确，B错误。 提升点三　圆周运动的临界问题 1．常见类型 (1)绳的拉力达到最大或为零。 (2)物体开始滑动时静摩擦力达到最大。 (3)物体脱离接触面时压力为零。 2．解题关键 (1)在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。 (2)分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。 如图所示，把质量为0.6 kg的物体A放在水平转盘上，A的重心到转盘中心O点的距离为0.2 m，若A与转盘间的最大静摩擦力为3 N，g＝10 m/s2，求： 学生用书↓第52页 (1)转盘绕中心O以ω＝2 rad/s的角速度旋转，A相对转盘静止时，转盘对A摩擦力的大小与方向； (2)为使物体A相对转盘静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的最大值。 答案：(1)0.48 N，沿OA所在半径指向圆心O (2)5 rad/s 解析：(1)静摩擦力提供向心力，有f＝mω2r＝0.6×22×0.2 N＝0.48 N；故转盘绕中心O以ω＝2 rad/s的角速度旋转时，A受到的摩擦力大小为0.48 N，方向指向圆心。 (2)当A所受最大静摩擦力提供向心力时，转盘绕中心O旋转的角速度ω最大，有fm＝mωr 解得ωmax＝ ＝ rad/s＝5 rad/s。 针对练1.如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R。当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是(　　) A．A的向心加速度最大 B．B和C所受摩擦力大小相等 C．当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动 D．当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动 答案：C 解析：A、B、C三物体角速度相同，由a＝ω2r可知物体C的向心加速度最大，选项A错误；摩擦力提供向心力，有fB＝mω2R，fC＝mω2·2R，物体B所受摩擦力小于物体C所受摩擦力，选项B错误；物体恰好滑动时，有kmg＝mω2r，可得ω＝，故滑动的临界角速度与质量无关，r越大，临界角速度越小，故物体C先滑动，选项C正确，D错误。 针对练2.一转动轴垂直于一光滑水平面，交点O的上方A处固定一细绳的一端，细绳的另一端固定一质量为m的小球B，AO＝h，绳长AB＝l>h，小球可随转动轴转动，并在光滑水平面上做匀速圆周运动，如图所示。要使小球不离开水平面，转动轴的转速的最大值是(重力加速度为g)(　　) A． B．π C． D．2π 答案：A 解析：如图所示，设细绳与转动轴的夹角为θ，以小球为研究对象，小球受三个力的作用，重力mg、水平面的支持力N和细绳的拉力F，在竖直方向合力为零，在水平方向所需向心力为，而R＝htan θ，则有Fcos θ＋N＝mg，Fsin θ＝m(2πn)2R＝m(2πn)2h tan θ，当小球即将离开水平面时，N＝0，转速n有最大值，由上述可得mg＝m(2πnmax)2h，解得nmax＝ ，故A正确，B、C、D错误。 1．(多选)如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是(　　) A．车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来 B．人在最高点时对座位仍可能产生压力 C．人在最低点时对座位的压力等于mg D．人在最低点时对座位的压力大于mg 答案：BD 解析：当人与保险带间恰好没有作用力时，重力提供向心力，有mg＝m，可得临界速度为v0＝，当速度v0>时，人与座椅产生挤压，没有保险带，人也不会掉下来，故A错误，B正确；人在最低点时，加速度方向竖直向上，根据牛顿第二定律得N－mg＝m，分析可知，人处于超重状态，有N>mg，由牛顿第三定律可知人对座位的压力大于mg，故C错误，D正确。 2．(多选)如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管内运动，小球通过最高点时的速率为v0，重力加速度为g，则下列说法中正确的是(　　) A．若v0＝，则小球对管内壁无压力 B．若v0>，则小球对管内上壁有压力 C．若0<v0<，则小球对管内下壁有压力 D．不论v0多大，小球对管内下壁都有压力 答案：ABC 解析：在最高点，只有重力提供向心力时，有mg＝m，解得v0＝，此时小球对管内壁无压力，选项A正确；若v0>，则有mg＋N＝m，表明小球对管内上壁有压力，选项B正确；若0<v0<，则有mg－N＝m，表明小球对管内下壁有压力，选项C正确；综上分析，选项D错误。 3．(2021·黑龙江哈师大附中高一下月考)如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧管壁半径为R，小球半径为r。下列说法正确的是(　　) 学生用书↓第53页 A．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 B．小球在水平线ab以上的管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力 C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力 D．小球通过最高点时的最小速度vmin＝ 答案：C 解析：小球在水平线ab以上的管道中运动时，由于沿半径方向的合力提供小球做圆周运动的向心力，可能外侧管壁对小球有作用力，也可能内侧管壁对小球有作用力，故A、B错误；小球在水平线ab以下的管道中运动时，由于沿半径方向的合力提供小球做圆周运动的向心力，所以外侧管壁对小球一定有作用力，而内侧管壁对小球一定无作用力，故C正确；在最高点，由于外侧管壁或内侧管壁都可以对小球产生弹力作用，所以小球通过最高点时的最小速度为0，故D错误。 4．如图所示，在匀速转动的圆盘圆心处通过一个光滑小孔把质量相等(均为m)的两物块用轻绳连接，物块A到转轴的距离为R＝20 cm，与圆盘间的动摩擦因数为μ＝0.2，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，(已知π2＝g)则(　　) A．物块A一定会受圆盘的摩擦力 B．当转速n＝0.5 r/s时，A不受摩擦力 C．A受摩擦力方向一定与线速度方向在一条直线上 D．当圆盘转速n＝1 r/s时，摩擦力方向沿半径背离圆心 答案：D 解析：若mg＝mω2R，则物块A不受摩擦力，当摩擦力为零时，有mg＝mω2R＝m(2πn)2R，代入数据解得n＝ r/s，A、B错误；物块A受摩擦力的方向与半径在一条直线上，指向圆心或背离圆心，C错误；当圆盘转速n＝1 r/s即n＝1 r/s< r/s时，物块A有沿半径向内运动的趋势，所以摩擦力方向沿半径背离圆心，D正确。 课时测评11　竖直面内圆周运动模型及临界问题 (时间：30分钟　满分：50分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (选择题1－8题，每题5分，共40分) 1．如图为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧。若竖直圆轨道的半径为R，重力加速度为g，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为(　　) A． B．2 C． D． 答案：C 解析：小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界状态为：由重力提供向心力，即mg＝mω2R，解得ω＝，选项C正确。 2．如图所示，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O做圆周运动。当小球运动到最高点时，瞬时速度大小为v＝，L是球心到O点的距离，g是重力加速度，则球对杆的作用力是(　　) A．mg的拉力 B．mg的压力 C．零 D．mg的压力 答案：B 解析：当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，所以mg＝m，解得v′＝，而<，故杆对球的作用力是支持力，即mg－N＝m，解得N＝mg，由牛顿第三定律可知，球对杆的作用力是压力，大小为mg，B正确，A、C、D错误。 3．如图所示，长为L的轻质细长物体一端与小球(可视为质点)相连，另一端可绕O点使小球在竖直平面内运动。设小球在最高点的速度为v，重力加速度为g，不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　) A．v最小值为 B．若v增大，此时小球所需的向心力将减小 C．若物体为轻杆，则当v逐渐增大时，杆对球的弹力也逐渐增大 D．若物体为细绳，则当v由逐渐增大时，绳对球的弹力从0开始逐渐增大 答案：D 解析：若物体为轻杆，则小球通过最高点的速度的最小值为0，物体所受重力和支持力相等，A错误；若v增大，根据F＝m可知向心力将增大，B错误；若物体为轻杆，在最高点杆的弹力为0时重力提供向心力，有mg＝m，解得v0＝，当速度小于时，根据牛顿第二定律得mg－N＝m，随着速度v增大，杆对球的弹力在逐渐减小，C错误；若物体为细绳，速度为时，重力提供向心力，所以绳子拉力为0，当v由逐渐增大时，根据牛顿第二定律得T＋mg＝m，可知绳子对球的弹力从0开始逐渐增大，D正确。 4．(2023·四川绵阳三台中学高一校考期末)如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的固定光滑圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v，当小球以3v的速度经过最高点时，对轨道的压力大小是(重力加速度为g)(　　) A．9mg B．8mg C．3mg D．2mg 答案：B 解析：当小球以临界速度v通过最高点时，重力提供向心力，有mg＝m，当小球以速度3v通过最高点时，有mg＋N＝m，联立可得N＝8mg，根据牛顿第三定律可得，小球对轨道的压力大小为8mg，故选B。 5．(多选)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，当轻杆绕轴OO′以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a绳与水平方向成θ角，b绳沿水平方向且长为l。下列说法正确的是(　　) A．a绳一定受拉力作用 B．a绳所受拉力随角速度的增大而增大 C．当角速度ω>时，b绳将出现弹力 D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化 答案：AC 解析：对小球受力分析可知a绳的弹力在竖直方向的分力平衡了小球的重力，则有Tasin θ＝mg，解得Ta＝，为定值，A正确，B错误；当Ta cos θ＝mω2l即ω＝时，b绳的弹力为零，若角速度大于该值，则b绳将出现弹力，C正确；由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，D错误。 6．(多选)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是(　　) A．b一定比a先开始滑动 B．a、b所受的摩擦力始终相等 C．若ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg D．ω＝是b开始滑动的临界角速度 答案：AD 解析：根据kmg＝mω2r可得，发生相对滑动的临界角速度ω＝，由于b的转动半径较大，则b发生相对滑动的临界角速度较小，可知b一定比a先开始滑动，故A正确；a、b做圆周运动的角速度相等，相对静止时，靠静摩擦力提供向心力，可知静摩擦力大小不等，故B错误；当a达到最大静摩擦力时，kmg＝mωl，解得ω1＝，当ω＝时，小于临界角速度，可知a的摩擦力未达到最大，则摩擦力大小f＝mω2l＝kmg，故C错误；当b达到最大静摩擦力时kmg＝mω2·2l，解得ω＝，故D正确。 7．(2023·四川绵阳高一统考期末)小朋友喜欢游乐园中“人力过山车”游乐项目。如图甲所示，在人力作用下将小车推到最高点A位置后撤去推力，让小车沿轨道ABCD自由滑行，轨道示意图如图乙所示，其中B点和C点分别为竖直面内半径为r的两个圆弧轨道的最低点和最高点。下列说法中正确的是(　　) A．小车要能顺利通过B点，过B点的速度最小为 B．小车要能顺利通过C点，过C点的速度最小为 C．小车过B点时小朋友对座位的压力大于小车过C点时小朋友对座位的压力 D．小车过B点时小朋友对座位的压力等于小车过C点时小朋友对座位的压力 答案：C 解析：B点为轨道最低点，只要小车的速度v≥0，都能过B点，故A错误；C点为轨道最高点，若小车与轨道无作用力，则有mg＝m，可得v＝，若小车速度v<，轨道会对小车产生向上的支持力，若小车速度v>，轨道不能对小车产生拉力，故小车要能顺利通过C点，过C点的速度最大为，故B错误；小车过B点时有竖直向上的加速度，处于超重状态，而小车过C点时有竖直向下的加速度，处于失重状态，故小车过B点时小朋友对座位的压力大于小车过C点时小朋友对座位的压力，故C正确，D错误。 8．(2023·重庆高一校联考期末)如图所示的装置中，小木块在摩擦力的作用下随水平转盘一起运动。当转速逐渐增大到某值时木块相对转盘滑动。下列图像中能大致反映小木块离开转盘前所受摩擦力大小与转盘转速间关系的是(最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力)(　　) 答案：A 解析：开始阶段当转速较小时物块相对平台静止，则由牛顿第二定律得f＝m(2πn)2r＝4mrπ2n2，即f-n图像为抛物线；当物块与平台之间的摩擦力达到最大静摩擦力时，再增加转速，物块就开始滑动，此后摩擦力为滑动摩擦力，大小为f＝μmg不变，故选A。 9．(10分)(2023·重庆九龙坡育才中学高一校考期末)小李同学站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球恰好能在竖直平面内做完整的圆周运动。再次加速甩动手腕，当球某次运动到最低点A时，绳恰好断开，如图所示。已知握绳的手离地面高度为2L，手与球之间的绳长为L，绳能承受的最大拉力为9mg，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力。求： (1)为使小球能在竖直平面内作完整的圆周运动，小球过最高点B时的最小速度； (2)绳断开时球的速度大小； (3)绳断开后，小球落地点与抛出点A的水平距离。 答案：(1) 　(2)2　(3)4L 解析：(1)为使小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，小球过最高点B时，有mg＝m 解得v＝ 即小球过最高点B时的最小速度为。 (2)绳刚要断开时，有9mg－mg＝m 解得绳断开时球的速度大小为vA＝2。 (3)绳断开后，小球做平抛运动，竖直方向有 2L－L＝gt2 解得t＝ 则小球落地点与抛出点A的水平距离为 x＝vAt＝2·＝4L。 学科网（北京）股份有限公司 $$