平行线与角平分线综合复习 -2024-2025学年人教版数学八年级上册

平行线与角平分线综合复习 一、复习回顾: 1、 添加条件 __________________ , 使AB∥CD. 根据是___________________________________. 2、如果AB∥CD,P为一点，连接PB、PC，当PB、PC为角平分线时，判断PB、PC的位置关系，并说明理由；当点P在两平行线之间任意位置时，你发现什么基本图形？ 二、典型例题: 例：若点C在△ABD外，且CB⊥AB,DC⊥AD，AE、CF分别平分 ∠BAD、∠BCD.探究：AE、CF的位置关系. 三、问题变式: 变式1 如果删去线段BD,在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE、CF分别平分∠DAB和∠BCD,交CD、AB于点E、F.求证：AE∥CF. 变式2 在四边形ABCD中，∠B=∠D=α，AE、CF分别平分∠DAB和∠BCD,交CD、AB于点E、F. 求证：AE∥CF. 变式3 在四边形ABCD中，∠B=∠D=α，AE、CF分别平分四边形的两个外角∠DAN和∠MCD. 求证：AE∥CF. 四、拓展拔高： 在四边形ABCD中，∠B=∠D=α，AE平分∠DAB,CF平分四边形一 个外角∠MCD.猜想并验证AE与CF的位置关系. 五、作业 1.（1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有（ ）个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是（ ），△AEF的周长是（ ）。 （2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改为“若△ABC为不等边三角形，AB＝8，AC＝10”其余条件不变，则图中共有2个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长。 （3）已知：如图3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明． 2.材料1：反射定律 当入射光线AO照射到平面镜上时，将遵循平面镜反射定律，即反射角（∠BOM）的大小等于入射角（∠AOM）的大小，显然，这两个角的余角也相等，其中法线（OM）与平面镜垂直，并且满足入射光线、反射光线（OB）与法线在同一个平面． 材料2：平行逃逸角 对于某定角∠AOB=α（0°＜α＜90°），点P为边OB上一点，从点P发出一光线PQ（射线），其角度为∠BPQ=β（0°＜β＜90°），当光线PQ接触到边OA和OB时会遵循反射定律发生反射，当光线PQ经过n次反射后与边OA或OB平行时，称角为定角α的n阶平行逃逸角，特别地，当光线PQ直接与OA平行时，称角β为定角α的零阶平行逃逸角． （1）已知∠AOB=α=20°， ①如图1，若PQ∥OA，则∠BPQ=_________°，即该角为α的零阶平行逃逸角； ②如图2，经过一次反射后的光线P1Q∥OB，此时的∠BPP1为α的平行逃逸角，求∠BPP1的大小； ③若经过两次反射后的光线与OA平行，请补全图形，并直接写出α的二阶平行逃逸角为_________°； （2） 根据（1）的结论，归纳猜想对于任意角α（0°＜α＜90°），其n（n为自然数）阶平行逃逸角β=_________（用含n和a的代数式表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $$