专题1.4 解直角三角形常见几种模型（3大知识点5类模型）（知识梳理与模型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.4 解直角三角形常见几种模型（3大知识点5类模型）（知识梳理与题型分类讲解） 一、【知识储备】解直角三角形的常用关系 （1）三边之间的关系：； （2）锐角之间的关系：； （3）边角之间的关系：，，. 二、【基本模型】 （1）背靠背型 图（1） 如图（1）若，设，则，由,得方程： （2） 母子型 图（2） 如图（2）若，设，则，由,得方程： 图（3） 如图（3）若，设，则，由,得方程： （3） 拥抱型 图4 如图（4）若，设，则，由,得方程： （4） 四边形模型 图（5） 如图（5）若，设，则，由,得方程： 图（6） 如图（6）若，设，则，由,得方程： （5） 组合模型 图（7） 如图（7）设，若，，则， 由,得方程： 二、【‌解题步骤】 （1）‌审题‌：首先，需要明确题目中的已知条件和未知量，并画出正确的平面图或截面示意图； （2）‌构造直角三角形‌：将已知条件转化为示意图中的边角关系，如果不能直接体现，则需要添加适当的辅助线，将实际问题转化为解直角三角形的问题； （3）‌列关系式‌：根据直角三角形的元素（边、角）之间的关系，列出相关的数学关系式或方程进行求解； （4）‌检验‌：解题完毕后，检查所求数据是否符合实际意义，并注意结果是否满足题目中的精度要求。 知识点与题型目录 【考点一】模型分类 【题型1】背靠背型............................................................3 【题型2】母子型..............................................................4 【题型3】拥抱型..............................................................6 【题型4】四边形模型..........................................................7 【题型5】组合模型............................................................8 【考点二】直通中考与拓展延伸 【题型6】直通中考............................................................9 【题型7】拓展延伸...........................................................10 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】背靠背型 【例1】（2024·西藏·中考真题）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为；格桑在B处测得山顶C的仰角为．已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度米，B处距地面的垂直高度米，点M，F，N在同一条直线上，求小山的高度．（结果保留根号）    【变式1】（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，A，B两城市相距，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段），经测量．森林保护中心在城市的北偏东和城市的北偏西的方向上．已知森林保护区的范围在以点为圆心，为半径的圆形区域内，请问：计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区？请说明理由．（参考数据） 【变式2】（22-23九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）重庆有六座矗立百年的文峰塔，其中位于江北区塔子山的文峰塔被称为是重庆的“航标”．小宇与小航准备测量塔子山文峰塔的高度，如图，小宇在点处观测到文峰塔最高点的仰角为，再沿正对文峰塔的方向前进至处测得最高点的仰角为，小航先在点处竖立长为标杆，再后退至其眼睛所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上，此时测得最高点的仰角为，已知两人身高均为（头顶到眼睛的距离忽略不计）． (1)求文峰塔的高度．（结果保留一位小数）； (2)测量结束时小宇站在点处（点在点的正下方），小航站在点处，两人相约在塔底见面，小宇的速度为，小航速度是其2倍，谁先到达塔底？请说明理由．（参考数据：） 【题型2】母子型 【例2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，赛格国际最近在举办11周年店庆活动，大厦在迎街的墙面上垂挂了一长为50米的宣传条幅，张强同学站在离大厦有一段距离的地面C处测得条幅顶端A的仰角为，测得条幅底端E的仰角为．求张强同学是在距离该大厦多远的地方进行测量的？ 【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图①，位于农安镇城西门的黄龙塔至今已有千年历史，亦称辽塔．某校数学兴趣小组在测量黄龙塔的高度的过程中，绘制了如图②的示意图．在处用高为的测角仪测得塔顶端的仰角为，再向黄龙塔方向前进到达距处的处，又测得塔顶端的仰角为．求黄龙塔的高度（结果精确到）．【参考数据：，，】 【变式2】（2024·甘肃嘉峪关·二模）为传承酒泉文明、弘扬民族精神．某校“综合与实践”小组开展了测量鼓楼（如图①）高度的实践活动，测量鼓楼高度的实践报告如图②，利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为；前进了14米到达A处（测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为．计算鼓楼的高度（结果保留整数）（，，，，，．） 【变式3】（2024·安徽合肥·三模）昌景黄高铁于2023年底通车运行，在设计线路图时，有很多地方需要打隧道．如图就是某隧道示意图，为了测量隧道的长度，施工队用无人机在距地面高度为200米的C处测得隧道南北两端A、B的俯角、（已知A、B、C三点在同一平面上），求该隧道南北两端A、B的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，，，） 【题型3】拥抱型 【例3】（2023·江苏南京·中考真题）如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B． 无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为无人机垂直上升悬停在D处，此时在B 处测得 D的仰角为点A， B， C， D在同一平面内， A， B两点在 的同侧． 求无人机在 C 处时离地面的高度．（参考数据：） 【变式1】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，有一塑像在高的假山上，在处测得塑像底部的仰角为，再沿方向前进到达处，测得塑像顶部的仰角为，求塑像的高度．（精确到．参考数据：，，，） 【变式2】（23-24九年级下·江西宜春·期中）风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座建在山坡上（坡比，垂直于水平地面，，，三点共线），坡面长，三个相同长度的风轮叶片，，可绕点转动，每两个叶片之间的夹角为；当叶片静止，与重合时，在坡底F处向前走米至点处，测得点处的仰角为，又向前走米至点处，测得点处的仰角为（点，，，在同一水平线上）． (1)求叶片的长； (2)在图2状态下，当叶片绕点顺时针转动时（如图3），求叶片顶端离水平地面的距离．（参考数据：，，，，结果保留整数） 【题型4】四边形模型 【例4】（2024·广东·模拟预测）如图，线段分别表示甲、乙建筑物的高，于点，于点，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点处测得点的仰角为，则乙建筑物的高为多少？ 【变式1】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）为增强民众生活幸福感，某社区服务队在休闲活动场所的墙上安装遮阳棚，方便居民使用、如图，在侧截面示意图中，遮阳棚长4米，与水平线的夹角为、且靠墙端离地的高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，求的长．（结果精确到0.1米：参考数据：，，，．） 【变式2】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：；）    (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． 【变式3】（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点C与点B在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为，然后沿坡面上行了米（即米）到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为．（参考数据：，，） (1)求点C到点D的水平距离的长； (2)求楼的高度． 【题型5】组合模型 【例5】（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，为了测量某建筑物的高度，测最员采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡行走米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为，建筑物底端B的俯角为，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度．根据测量员的测量数据， (1)求坡顶D到的距离. (2)求建筑物的高度．（参考数据：） 【变式1】（2024·安徽·模拟预测）某超市自动扶梯路线如图所示，一楼扶梯段坡角为，中转平台，二楼扶梯段坡角为，已知，，，求水平距离的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 【变式2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，为了测量某建筑物的高度，小明先在地面上用测角仪A处测得建筑物顶部的仰角是，然后在水平地面上向建筑物前进了到达D处，此时遇到一斜坡，坡度，沿着斜坡前进到达F处测得建筑物顶部的仰角是，（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）． (1)求斜坡的端点F到水平地面的距离和斜坡的水平宽度分别为多少米？ (2)求建筑物的高度为多少米？ (3)现小亮在建筑物一楼（水平地面上点B处）乘电梯至楼顶（点C），电梯速度为，同时小明从测角仪处（点A）出发，骑摩托车至斜坡的端点F处，已知，小明在平地上的车速是上坡车速的两倍，小亮所用时间是小明所用时间的一半，求小明上坡时的车速为多少？ 第二部分【直通中考与拓展延伸】 【题型6】直通中考 【例1】（2024·内蒙古·中考真题）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 【例2】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果精确到米，参考数据：） 【题型7】拓展延伸 【例1】（22-23九年级下·重庆南岸·阶段练习）木马是很多小朋友喜欢的玩具，图1是一个摆放在角落的木马的示意图，当木马静止时，以为圆心，为半径的圆弧的中点接触地面，表示地面，此时，．已知，，，点为中点，，．（参考数据：，，，，） (1)求的长度；（结果保留根号） (2)当木马沿弧向前滚动到点接触地面时，达到木马向前的最大安全角（如图2所示），此时，与地面夹角为．为了保证木马向前到最大安全角时不碰到墙面，木马静止时到墙角的距离长度最小是多少？（结果保留到十分位） 【例2】（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，所用到的长嘴壶更是历史悠久，源远流长．如图是长嘴壶放置在水平桌面上，是水平桌面，测得，，，且，，壶嘴与水平面的夹角为．（参考数据：，，） (1)如图，当壶嘴与水平面的夹角为时，壶嘴口F离桌面高度恰好为壶身高度的倍，求壶嘴的长度；（结果保留根号） (2)若长嘴壶放置在水平桌面上，为使得长嘴壶能够装满茶水，求的取值范围．（结果保留两位小数） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 解直角三角形常见几种模型（3大知识点5类模型）（知识梳理与模型分类讲解） 一、【知识储备】解直角三角形的常用关系 （1）三边之间的关系：； （2）锐角之间的关系：； （3）边角之间的关系：，，. 二、【基本模型】 （1）背靠背型 图（1） 如图（1）若，设，则，由,得方程： （2） 母子型 图（2） 如图（2）若，设，则，由,得方程： 图（3） 如图（3）若，设，则，由,得方程： （3） 拥抱型 图4 如图（4）若，设，则，由,得方程： （4） 四边形模型 图（5） 如图（5）若，设，则，由,得方程： 图（6） 如图（6）若，设，则，由,得方程： （5） 组合模型 图（7） 如图（7）设，若，，则， 由,得方程： 二、【‌解题步骤】 （1）‌审题‌：首先，需要明确题目中的已知条件和未知量，并画出正确的平面图或截面示意图； （2）‌构造直角三角形‌：将已知条件转化为示意图中的边角关系，如果不能直接体现，则需要添加适当的辅助线，将实际问题转化为解直角三角形的问题； （3）‌列关系式‌：根据直角三角形的元素（边、角）之间的关系，列出相关的数学关系式或方程进行求解； （4）‌检验‌：解题完毕后，检查所求数据是否符合实际意义，并注意结果是否满足题目中的精度要求。 知识点与题型目录 【考点一】模型分类 【题型1】背靠背型............................................................3 【题型2】母子型..............................................................7 【题型3】拥抱型.............................................................11 【题型4】四边形模型.........................................................15 【题型5】组合模型...........................................................20 【考点二】直通中考与拓展延伸 【题型6】直通中考...........................................................24 【题型7】拓展延伸...........................................................26 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】背靠背型 【例1】（2024·西藏·中考真题）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为；格桑在B处测得山顶C的仰角为．已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度米，B处距地面的垂直高度米，点M，F，N在同一条直线上，求小山的高度．（结果保留根号）    【答案】米 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，证明四边形和四边形为矩形，得出米，米，，，设，则米，解直角三角形得出，，根据米，得出，求出，最后得出答案即可． 解：根据题意可得：，， ∴四边形和四边形为矩形， ∴米，米，，， ∴（米）， 设，则米， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵米， ∴， 解得：， ∴米． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，A，B两城市相距，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段），经测量．森林保护中心在城市的北偏东和城市的北偏西的方向上．已知森林保护区的范围在以点为圆心，为半径的圆形区域内，请问：计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区？请说明理由．（参考数据） 【答案】不会，理由见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键． 过点P作，E是垂足．与都可以根据三角函数用表示出来．根据的长，得到一个关于的方程，解出的长．从而判断出这条路会不会穿越保护区． 解：如图，过点P作，E是垂足． 则线段的长，就是点P到直线的距离， 根据题意，，， 则在和中， ， ， 而， 即， ∴， ∵，即保护区中心到公路的距离大于半径100千米， ∴公路不会穿越保护区 【变式2】（22-23九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）重庆有六座矗立百年的文峰塔，其中位于江北区塔子山的文峰塔被称为是重庆的“航标”．小宇与小航准备测量塔子山文峰塔的高度，如图，小宇在点处观测到文峰塔最高点的仰角为，再沿正对文峰塔的方向前进至处测得最高点的仰角为，小航先在点处竖立长为标杆，再后退至其眼睛所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上，此时测得最高点的仰角为，已知两人身高均为（头顶到眼睛的距离忽略不计）． (1)求文峰塔的高度．（结果保留一位小数）； (2)测量结束时小宇站在点处（点在点的正下方），小航站在点处，两人相约在塔底见面，小宇的速度为，小航速度是其2倍，谁先到达塔底？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1)文峰塔的高度约为；(2)小宇先到达塔底． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）设与相交于点，设，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而列出关于的方程，进而求出的长，最后进行计算即可解答； （2）设与相交于点，根据题意可得：，则，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，从而求出的长，最后分别求出他们所用的时间，进行比较即可解答． 解：（1）设与相交于点， 由题意得： ，， 设， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 文峰塔的高度约为； （2）解：小宇先到达塔底，理由如下： 设与相交于点， 由题意得： ， ， ， 在中，，， ， 在中，， ， 小宇的速度为，小航速度是其2倍， 小航的速度为， ，， ， 小宇先到达塔底． 【题型2】母子型 【例2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，赛格国际最近在举办11周年店庆活动，大厦在迎街的墙面上垂挂了一长为50米的宣传条幅，张强同学站在离大厦有一段距离的地面C处测得条幅顶端A的仰角为，测得条幅底端E的仰角为．求张强同学是在距离该大厦多远的地方进行测量的？ 【答案】张强同学站在离办公楼米处进行测量的． 【分析】本题考查俯角、仰角的定义，首先分析图形，根据题意过D点作于F点构造直角三角形．利用其公共边构造方程求解即可． 解：作于F点，依题意，得， 而，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，设，则， 在中，， ∴， 解得，，经检验，符合题意， ∴． 答：张强同学站在离办公楼米处进行测量的． 【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图①，位于农安镇城西门的黄龙塔至今已有千年历史，亦称辽塔．某校数学兴趣小组在测量黄龙塔的高度的过程中，绘制了如图②的示意图．在处用高为的测角仪测得塔顶端的仰角为，再向黄龙塔方向前进到达距处的处，又测得塔顶端的仰角为．求黄龙塔的高度（结果精确到）．【参考数据：，，】 【答案】 【分析】本题主要查了解直角三角形．延长交于点F，根据题意得：，，，在中，可设，则，然后在中，解直角三角形，即可求解． 解：如图，延长交于点F， 根据题意得：，，， 在中，， ∴可设，则， 在中，， ∴，解得：， ∴． 即黄龙塔的高度为． 【变式2】（2024·甘肃嘉峪关·二模）为传承酒泉文明、弘扬民族精神．某校“综合与实践”小组开展了测量鼓楼（如图①）高度的实践活动，测量鼓楼高度的实践报告如图②，利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为；前进了14米到达A处（测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为．计算鼓楼的高度（结果保留整数）（，，，，，．） 【答案】24米 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键． 设，则，由锐角三角函数可得，从而可得，解得，即可求得结果． 解：设，则， 在中，， ∵， ， 在中，， ∵， ， ∴，解得：， 米． 故鼓楼的高度为24米． 【变式3】（2024·安徽合肥·三模）昌景黄高铁于2023年底通车运行，在设计线路图时，有很多地方需要打隧道．如图就是某隧道示意图，为了测量隧道的长度，施工队用无人机在距地面高度为200米的C处测得隧道南北两端A、B的俯角、（已知A、B、C三点在同一平面上），求该隧道南北两端A、B的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，，，） 【答案】隧道南北两端A、B的距离约为155米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键，分别过A、B两点作于E，于F，解直角三角形得出（米）， （米），求出结果即可． 解：分别过A、B两点作于E，于F，如图所示： 在中，，米， ，（米）．     在中，， ，（米）． （米）． 答：隧道南北两端A、B的距离约为155米． 【题型3】拥抱型 【例3】（2023·江苏南京·中考真题）如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B． 无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为无人机垂直上升悬停在D处，此时在B 处测得 D的仰角为点A， B， C， D在同一平面内， A， B两点在 的同侧． 求无人机在 C 处时离地面的高度．（参考数据：） 【答案】 【分析】过点C作于点M， 设， 则，根据仰角，解直角三角形计算即可． 本题考查了仰角解直角三角形，分式方程的应用，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 解：过点C作于点M， 设， 则， 在中， ， 则， 则； 在中， ， 则 解得：， 经检验，是该分式方程的解． ∴． 答：无人机在C处时离地面． 【变式1】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，有一塑像在高的假山上，在处测得塑像底部的仰角为，再沿方向前进到达处，测得塑像顶部的仰角为，求塑像的高度．（精确到．参考数据：，，，） 【答案】塑像的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－俯角仰角问题，要先将实际问题抽象成数学问题，分别在两个不同的直角三角形中，借助三角函数的知识，研究角和边的关系． 在中，利用正切函数的定义求得的长，继而求得的长，在中，同样利用正切函数的定义求得的长，从而求得结果． 解：在中， ∵，，， ∴， ∴ ∵ ∴ 在中， ∵，，， ∴， ∴ ∴ 答：塑像的高度约为 【变式2】（23-24九年级下·江西宜春·期中）风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座建在山坡上（坡比，垂直于水平地面，，，三点共线），坡面长，三个相同长度的风轮叶片，，可绕点转动，每两个叶片之间的夹角为；当叶片静止，与重合时，在坡底F处向前走米至点处，测得点处的仰角为，又向前走米至点处，测得点处的仰角为（点，，，在同一水平线上）． (1)求叶片的长； (2)在图2状态下，当叶片绕点顺时针转动时（如图3），求叶片顶端离水平地面的距离．（参考数据：，，，，结果保留整数） 【答案】(1) (2)叶片顶端C离水平地面的距离为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定及性质，勾股定理，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）利用坡比可求出、的长，在或中，利用和的正切值分别求出、的长即可得答案； （2）过点作于点，于，可得四边形是矩形，根据旋转的性质得出，利用的余弦值可求出的长，进而可得答案． 解：（1）∵垂直于水平地面， ∴， ∵坡比， ∴， 设，则， ∵坡面长， ∴， 解得：，（负值舍去） ∴，， ∵， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴． 由题意得：， ∴， ∴． （2）如图，过点作于点，于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵叶片绕点顺时针转动， ∴， ∵， ∴， 由题意得：， ∴， ∴． ∴叶片顶端离水平地面的距离为． 【题型4】四边形模型 【例4】（2024·广东·模拟预测）如图，线段分别表示甲、乙建筑物的高，于点，于点，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点处测得点的仰角为，则乙建筑物的高为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、解直角三角形的实际应用：仰角俯角问题，易得四边形是矩形，由矩形的性质得，在中，由的正切函数可求出的长，进而根据即可算出答案． 解：由题意得：四边形是矩形， ， 在中，， ， 答：乙建筑物的高为． 【变式1】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）为增强民众生活幸福感，某社区服务队在休闲活动场所的墙上安装遮阳棚，方便居民使用、如图，在侧截面示意图中，遮阳棚长4米，与水平线的夹角为、且靠墙端离地的高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，求的长．（结果精确到0.1米：参考数据：，，，．） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形、矩形的判定与性质，作于，于，在中，解直角三角形得出米，米，证明四边形为矩形，得出米，米，在中，解直角三角形得出米，即可得解． 解：如图：作于，于， 由题意得，米，米，，， ∴在中，，米，则米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米，米， ∴在中，， ∴米， ∴米． 【变式2】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：；）    (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，理解题意是解题的关键； （1）由题意可求得的长，再由余弦函数定义即可求得的长； （2）由正弦函数求得；延长，交于点，则得四边形是矩形，求得，再由条件得，最后由即可求解． 解：（1），， ， ， （2）， ， 延长，交于点， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ； 答：线段的长度为． 【变式3】（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点C与点B在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为，然后沿坡面上行了米（即米）到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为．（参考数据：，，） (1)求点C到点D的水平距离的长； (2)求楼的高度． 【答案】(1)40米； (2)楼的高度约为80米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据题意可得，设米，则米，然后利用勾股定理可求出．据此即可求得的长； （2）过点D作，垂足为G，则米，，然后设米，在中，利用锐角是三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于y的方程，进行计算即可解答． 解：（1）由题意得：， ∵山坡CF的坡度， ∴， 设米，则米， ∴（米）， ∵米， ∴， ∴， ∴米，（米）； （2）解：过点D作，垂足为G，则四边形是矩形， ∴米，， 设米， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴米， 在中，， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的根， ∴米， ∴楼的高度约为80米． 【题型5】组合模型 【例5】（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，为了测量某建筑物的高度，测最员采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡行走米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为，建筑物底端B的俯角为，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度．根据测量员的测量数据， (1)求坡顶D到的距离. (2)求建筑物的高度．（参考数据：） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过作于，延长交于．则四边形是矩形，得，在中求出； （2）解直角三角形求出、的长，即可解决问题． 解：（1）如图，过作于，延长交于． 则四边形是矩形， ，在中，米，， ∴，即， 米， 答：坡顶到地面的距离为米； （2）由（1）知，米， 米， 在中，， 是等腰直角三角形， 米， 在中，，， （米， （米． 即建筑物的高度约为米． 【变式1】（2024·安徽·模拟预测）某超市自动扶梯路线如图所示，一楼扶梯段坡角为，中转平台，二楼扶梯段坡角为，已知，，，求水平距离的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】． 【分析】此题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质等知识．分别过点，作，分别垂直于，垂足分别为，．过点E作于点H，证明四边形是矩形，则，证明四边形是矩形，则，再利用解直角三角形分别求出和，即可得到水平距离的长． 解：如图，分别过点，作，分别垂直于，垂足分别为，．过点E作于点H， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ． 在中，，， ， ∴， ． 答：水平距离的长为． 【变式2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，为了测量某建筑物的高度，小明先在地面上用测角仪A处测得建筑物顶部的仰角是，然后在水平地面上向建筑物前进了到达D处，此时遇到一斜坡，坡度，沿着斜坡前进到达F处测得建筑物顶部的仰角是，（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）． (1)求斜坡的端点F到水平地面的距离和斜坡的水平宽度分别为多少米？ (2)求建筑物的高度为多少米？ (3)现小亮在建筑物一楼（水平地面上点B处）乘电梯至楼顶（点C），电梯速度为，同时小明从测角仪处（点A）出发，骑摩托车至斜坡的端点F处，已知，小明在平地上的车速是上坡车速的两倍，小亮所用时间是小明所用时间的一半，求小明上坡时的车速为多少？ 【答案】(1)斜坡的端点F到水平地面的距离为米，斜坡的水平宽度为米； (2)米 (3)小明上坡时的车速为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角与俯角，坡度坡角问题等知识．解题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）由可得，再由直角三角形的性质和三角函数求解即可； （2）由可证，设米，根据得，即，再求解即可； （3）设小明上坡时的车速为，小明在平地上的车速为，根据题意可列方程，再求解即可． 解：（1） ， ， ， 米， ∴斜坡的端点F到水平地面的距离为，斜坡的水平宽度为米． （2）解：由题意知： ， 在中，， ， ， 设米， 在中，， ， ， 解得：， 米， 答：建筑物的高度为米； （3）解：设小明上坡时的车速为，小明在平地上的车速为， 由题意得，， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴小明上坡时的车速为． 第二部分【直通中考与拓展延伸】 【题型6】直通中考 【例1】（2024·内蒙古·中考真题）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题关键． （1）先求出，再在中，利用余弦的定义求解即可得； （2）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得的长，从而可得的长，再判断出是等腰直角三角形，从而可得的长，最后根据求解即可得． 解：（1）∵， ∴， 由题意可知，， 在中，， ∴， 答：试管口与铁杆的水平距离的长度． （2）如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 答：线段的长度为． 【例2】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果精确到米，参考数据：） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，分别过点作的垂线，垂足分别为，根据题意得出，解求得，，进而求得，根据，即可求解． 解：如图所示，分别过点作的垂线，垂足分别为， ∴四边形是矩形， ∴，， 依题意，， ∴， ∴， ∴； 在中，， ； 在中，， ∴． 答：大桥的长度约为米． 【题型7】拓展延伸 【例1】（22-23九年级下·重庆南岸·阶段练习）木马是很多小朋友喜欢的玩具，图1是一个摆放在角落的木马的示意图，当木马静止时，以为圆心，为半径的圆弧的中点接触地面，表示地面，此时，．已知，，，点为中点，，．（参考数据：，，，，） (1)求的长度；（结果保留根号） (2)当木马沿弧向前滚动到点接触地面时，达到木马向前的最大安全角（如图2所示），此时，与地面夹角为．为了保证木马向前到最大安全角时不碰到墙面，木马静止时到墙角的距离长度最小是多少？（结果保留到十分位） 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用； （1）过作于，由圆弧的中点可得，由平行可得，由中点可得，即可得到，再在中求出的长度，最后根据计算即可； （2）求出到木马向前的最大安全角时刚好碰到时到距离，再求出的长，两者之和即为木马静止时到墙角的距离长度最小值． 解：（1）过作于， ∵为半径的圆弧的中点接触地面， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵点为中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过作于， 由（1）可得，，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴的长为， ∴马静止时到墙角的距离长度最小值为． 【例2】（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，所用到的长嘴壶更是历史悠久，源远流长．如图是长嘴壶放置在水平桌面上，是水平桌面，测得，，，且，，壶嘴与水平面的夹角为．（参考数据：，，） (1)如图，当壶嘴与水平面的夹角为时，壶嘴口F离桌面高度恰好为壶身高度的倍，求壶嘴的长度；（结果保留根号） (2)若长嘴壶放置在水平桌面上，为使得长嘴壶能够装满茶水，求的取值范围．（结果保留两位小数） 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰梯形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过作于，先根据四边形是等腰梯形求出的长度，在求出，过作于，交过的水平线于，求出的长度，最后在中，求出的长度即可； （2）只需要，故，解得，所以即可求解． 解：（1）过作于， ，， 四边形是等腰梯形， ， 在中，， 过作于，交过的水平线于， 由题意得：，， 根据，，， 在中，， 所以，壶嘴的长度为； （2）解：壶嘴与水平面夹角为， 则， 故，依题意即可成立，故， 当时，取最小值为，即， 所以，的取值范围为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$