3.1.1椭圆及其标准方程限时练-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.1椭圆及其标准方程-四维限时练 (考察范围： 椭圆的定义，方程，最值 ) 【1】知识总览（1-2分钟，快速阅读，重点查看不熟悉的知识点） ******************************************************************************* 【2】限时练习（约30分钟，全心投入，旨在检测自己的解题能力） 1、 单选题 1.“平面内一动点满足到两定点的距离之和为常数”是“点的轨迹是椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 2.在三角形ABC中，，则顶点A的轨迹方程（   ） A． B． C． D． 3．平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长是（    ） A．8 B．9 C．10 D．20 5.已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A．5 B．9 C．4 D．3 6．某椭圆的两焦点坐标分别为，，是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2、 多选题 7．设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（   ） A．， B．为直角三角形 C．的面积为6 D．的面积为12 8.已知椭圆的左、右焦点分别为在上且不在轴上，则（    ） A．面积的最大值为 B．直线与的斜率之积可能为 C．存在点使得 D．的取值范围是 三、填空题 9．椭圆的焦点为，点在该椭圆上，若，则的大小为 ． 10．设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为 四、解答题 11. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，求则动圆圆心P的轨迹方程. 12. 已知圆：，点M为圆上任意一点，，的中垂线交于点E．求点E的轨迹方程． ******************************************************************************* 【3】核对解析（5-10分钟，筛选需看题目，变“不会”为“会”） 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B D C C ABC AD 1.【详解】“点的轨迹是以，为焦点的椭圆” “为常数”； 反之不成立，若常数两个定点的距离，其轨迹不是椭圆． 因此“平面内一动点满足到两定点的距离之和为常数”是“点的轨迹是椭圆”的必要不充分条件． 故选：D． 2.【详解】因为， 可知顶点A的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括轴上的点）， 则， 所以顶点A的轨迹方程. 故选：A. 3.【详解】由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数， 故根据椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，， 故，故椭圆的标准方程为. 故选：B 4【详解】 为椭圆的两个焦点， ， 的周长为． 故选：D． 5.【详解】由已知得，，， 设，则，所以， 从而或时取最小值为4. 故选：C. 6..【详解】设，， 因为，，所以，即； 因为，所以， 所以； 因为，，所以，即，， 所以，， 所以椭圆的方程为， 故选：C. 7.【分析】由椭圆的定义可得，结合可求出的值，然后逐个分析判断即可. 【详解】由，得，则 ， 因为P是椭圆上一点，所以， 因为，所以，，所以A正确， 对于B，因为，所以， 所以为直角三角形，所以B正确， 对于CD，因为为直角三角形，，所以，所以C正确，D错误. 故选：ABC. 8.【分析】根据椭圆方程即可判断A正确，设出点坐标并利用椭圆性质及其范围可判断B错误，满足的点在以为原点，1为半径的圆上，此时圆与椭圆无交点，即C错误；利用椭圆定义求得的表达式并利用二次函数性质可判断D正确. 【详解】对于A，易知当点位于的上（下）顶点时，的面积最大为，A正确； 对于B，设，则， 又点在上，则，即，所以， 由得，所以， 因此不可能为，B错误； 对于C，满足的点在以为原点，1为半径的圆上， 易知其与椭圆无公共点，因此不存在上的点，使得，C错误； 对于D，由椭圆的定义可得，， 易知，则，D正确． 故选：AD 9.【答案】 【分析】由椭圆方程，结合椭圆的定义求，在焦点三角形中应用余弦定理求的余弦值，进而确定其大小. 【详解】∵，， ∴， ∴，又，， ∴，由余弦定理，得， ∴. 10.【答案】 【分析】根据椭圆的定义可知，则，则要求的最小值，即求得最小值，再结合点到直线的距离公式即可得解. 【详解】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为， 根据椭圆的定义可知，所以， 则， 所以最小时，即最小， 即定点到直线最短距离是过定点到直线的垂线段长， 根据点到直线的距离公式可得， 所以. 故答案为：. 11.【详解】【分析】计算两个已知圆的圆心和半径，根据圆的位置关系得到动圆圆心到两已知圆圆心距离和为定值，结合椭圆的定义即可得到结果. 【详解】圆可化为，圆心，半径为. 圆可化为，圆心，半径为. 动圆圆心为点，半径为，圆与圆外切于点，圆与圆内切于点，如图所示： 由题意得，三点共线，三点共线，，， ∴， ∴点的轨迹为以为焦点的椭圆，且，， ∴， ∴点的轨迹方程为. 12.【分析】作图分析，由中垂线性质可得，即有点M到两定点的距离之和为定值，结合椭圆的定义求解即可得. 【详解】，，的中垂线交于点E． 则有，， 所以E点在以，为焦点的椭圆上， 设该椭圆的方程为（）， 半焦距为， 由，得，由，得， 所以． 故点E的轨迹方程为． ******************************************************************************* 【4】反思总结（3-5分钟，重在做好错因分析和查漏补缺，但不一定都写出来） 解题点睛: 求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法 (1)定义法:若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义,则可用定义直接求解. (2)直接法:将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化,列出等式后化简,得出动点的轨迹方程. (3)相关点法:根据相关点所满足的方程,通过转换求出动点轨迹的方程. 个人感悟： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$