基本不等式微专题讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

高一基本不等式微专题 一、基本不等式(或)均值不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 重要不等式：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 二、基本不等式的变形与拓展 1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）． 2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）； (3)若,则（当且仅当时取“=”）． 3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 5．一个重要的不等式链：． 若，则（当且仅当时取“=”） 其中，为的调和平均值反应了平均速度 证明： 如图，在C是以AB为直径的半圆上一点，CD⊥AB，DE⊥CO，记AD＝a，BD＝b，则有 由三角函数可得：，显然 6．函数图象及性质 (1)函数图象如右图所示： (2)函数性质： ①值域：； ②单调递增区间：；单调递减区间：． 7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”； (2)求最值的条件“一正,二定,三相等”； (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 7、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 三、利用基本不等式求最值的方法 1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系．但要注意若变量的项是负数，则提取符号，将其转化为正数，再利用基本不等式公式求最值． 2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式． 需要注意以下几个问题： （1）配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中的常数的调整，做到等价变形； （2）代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； （3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 3、二次/一次分离法：当所求问题为分式时，可采用分离常数法将分式分解为对勾函数形式，再结合基本不等式求最值．为了简化运算，当分母为多项式时，可以用换元法将分母转换为单项式进行分离常数． 4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题． 5、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况 类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时 方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式， 如分母为与，分子为， 设 ∴，解得： 6、双换元法：在代换法运用中，如果分母是两个相关的多项式的问题中，可以将分母通过换元转换成一个变量，这样就可以将所求的式子转换为简单的形式． 7、构造目标不等式不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值，注意等号成立的条件． 8、多次使用基本不等式法：一个问题中多次用到基本不等式时，不仅要注意每次验证等号成立的条件，而且一定要注意所求等号成立的条件必须一致． 四、基本不等式恒成立问题 1、参变分离法：如果能够将参数分离出来,建立起明确的参数和变量的关系, 那么恒成立;恒成立 2、变更主元：在有几个变量的问题中,常常有一个变量处于主要地位,我们称之为主元。在解含有参数的不等式时,有时若能换一个角度,变参数为主元,则可以得到意想不到的效果。 3、判别式法：对于含有参数的一元二次不等式问题,若能把不等式转化成二次函数或二次方程,则通过根的判别式或数形结合思想,可使问题顺利解决,这里一定要注意对含参数的二次项系数进行分类讨论。 五、能成立问题又称有解问题 ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 六、基本不等式的实际应用问题 (1)先理解题意，设变量， (2)建立相应的函数关系式． (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值 (4)正确写出答案 1. 判断不等式是否成立、比较大小 例1（23-24高一上·安徽合肥·期中）对于实数a，b，c，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C【解析】若，，则，故A错误； 若，则，故B错误； 因为，所以，即，故C正确； 因为，所以，所以，故D错误． 故选：C. 变式1（23-24高一上·安徽池州·期中）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】对于A：，，A错误； 对于B：， 所以当时，当时， 当时，B错误； 对于C：， 所以，C正确； 对于D：，所以，D错误， 故选：C 2. 直接法求最值 例2已知，则的最小值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C【解析】由，得，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故选：C 变式2.1“”是“”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】A【解析】若，则，当且仅当，即时，等号成立，所以充分性成立； 若，例如，则，符合题意， 但，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 变式2.2函数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B【解析】，，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最大值为，故选：B. 3. 配凑法求最值 例3已知实数，则的（    ） A．最小值为1 B．最大值为1 C．最小值为 D．最大值为 【答案】D【解析】因为， 当且仅当即时取等号； 故最大值为，故选：D. 变式3．已知，则的最小值为 ． 【答案】【解析】因为，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取最小值为. 故答案为：. 4. 因式分解型 例4（2023·重庆巴蜀中学校考）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】C【解析】方法一：因为，故，解得， 故，当且仅当 ，即，时等号成立． 方法二：因为，则，且，故， 故，当且仅当 ， 即，时等号成立．故选：C． 变式4（23-24高一上·辽宁·期中）若，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】若，且满足，则有，所以，， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 5.分式分离法求最值 例5当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C【解析】因为，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最小值为.故选：C 变式5.1已知，则函数的最大值为（    ） A． B．7 C． D． 【答案】A【解析】因为，所以，设，则， ， 当且仅当即相当于时取等号， 所以函数的最大值为是.故选：A 变式5.2（23-24高一上·浙江宁波）函数的最大值为 . 【答案】/【解析】， 设，而在上单调递增， 所以，当且仅当时等号成立， 则. 所以函数的最大值为. 故答案为： 6.“1”的代换 例6．若且，则的最小值为（ ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】D【解析】若且，则， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为4．故选：D. 变式6.1利用不等式求最值 （1）已知，且，求的最小值. （2）已知，且，求的最小值. 【答案】（1）9；（2）16 【解析】（1）因为，， 所以， 所以， 当且仅当，时等号成立，即时等号成立， 所以的最小值为. （2）因为，， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 变式6.2已知正实数满足，则的最小值为（      ） A．4 B．9 C．10 D．20 【答案】B【解析】为正实数，方程两边同时除以得， ， 当且仅当即时等号成立， 故 的最小值为.故选：. 变式6.3（23-24高一上·安徽合肥·期中）已知.若，求的最小值是 . 【答案】【解析】由得， 由于，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故最小值为， 故答案为： 7.用不等式性质求代数式的范围 例7（22-23高一上·安徽六安·期中）若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】令，则， 所以，解得， 所以， 因为，， 所以，， 所以， 即， 所以， 故选：B. 变式7.（21-22高一上·安徽合肥·期中）已知，，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】，且，，则， 所以，. 因此，的取值范围为. 故答案为：. 8. 基本不等式概念及应用 例8（多选）下列命题中，真命题的是（    ） A．，都有 B．，使得 C．任意非零实数，都有 D．若，则的最小值为4 【答案】AB【解析】解：对于A，恒成立， 则，都有，A选项正确； 对于B，当时，， （当且仅当时取等号）， ，，使得，B选项正确； 对于，当时，，C选项错误； 对于 D，，当且仅当 时取等号，故当时，的最小值不是4，D选项错误 变式8.1（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）下列选项中正确的是（   ） A．若，则的最小值为4 B．若，则的最大值为 C．若，则的最小值为2 D．若，且，则的最大值为7 【答案】ABD【解析】A选项，若，则， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立，故A正确； B选项，若，则， 故， 当且仅当，即时，等号成立，B正确； C选项，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立， 但无解，故最小值取不到，C错误； D选项，设，则，， 则， 因为，所以， 其中 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故，D正确. 故选：ABD 8变式.2（23-24高一上·安徽池州·期中）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B．当时， C．当时， D． 【答案】B【解析】A：当时，，所以的最小值不为4，故A不符合题意； B：当时，，当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为4，故B符合题意； C：当时，，所以的最小值不为4，故C不符合题意； D：， 当且仅当即时等号成立，但无解，故D不符合题意. 故选：B. 变式8.3（高一上·广东深圳·期中）（多选）下列选项正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．若正实数x，y满足，则的最小值为8 C．的最小值为2 D．函数（）的最大值是0 【答案】BD【解析】对于A，当时，，故A错误， 对于B，∵，，， 则，当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为8，故B正确， 对于C，令，， 在上单调递增，则y的最小值为，故C错误， 对于D，当时， ，当且仅当，即时，等号成立， 故，即函数y的最大值为0，故D正确． 变式8.4（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知，下列最小值为4的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC【解析】对于，此二次函数在时取最小值，此时最小值为4，符合题意； 对于，当且仅当即时，取最小值， 但是，所以等号取不到，所以的最小值不是4，不合题意； 对于C，， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值为4，符合题意； 对于D，，令， 则原式化为，当且仅当即时等式成立，不满足， 等号取不到，所以的最小值不是4，不合题意. 故选：AC 变式8.5（20-21高一上·安徽六安·期中）下列命题中错误的是（ ） A．当时， B．当时，的最小值为2 C．当时， D．当时， 【答案】B【解析】对于A，当时，，当且仅当时取等号，正确； 对于B，当时，，错误； 对于C，当时，，当且仅当，即时取等号，正确； 对于D，当时，，，当且仅当时取等号，正确； 故选：B 变式8.6（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）下列说法正确的有（ ） A．函数 的最小值为 B．已知，则的最小值为 C．若正数满足，则的最小值为3 D．设，，则的最小值为 【答案】BCD【解析】对A，令，则， 因为在上单调递增，所以，A错误； 对B，， 当且仅当，即时，等号成立，所以B正确； 对C，由得， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以C正确； 对D，由得， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以D正确. 故选：BCD 9.能成立问题 例9若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 【答案】【解析】由， 因为，所以，令， 由，则有， 且 变式9.若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】由得， ， 当且仅当时，等号成立， 则使不等式有解，只需满足即可， 解得． 10.恒成立问题 例10（23-24高一上·江苏南京·期中）若命题“对任意的，恒成立”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】由题意得：存在，成立为真命题， 又因为：，当且仅当，即：取等号， 所以：，故B项正确. 故选：B. 变式10.1（23-24高一上·重庆·期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】因为即且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，故的取值范围为. 变式10.2当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】【解析】不等式恒成立， 即恒成立， 又， 当且仅当时取等号， 所以，解得． 故答案为： 变式10.3若不等式对恒成立，则实数m的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C【解析】分离参数使不等式化为，使乘以利用基本不等式求出的最小值即可求解． 【详解】将不等式化为，只需当时，即可， 由 ， 当且仅当时取等号，故，故m的最大值为9． 11.换元法 例11若，则的最小值为______. 【答案】【解析】因为， 所以． 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 则. 变式11.1已知正数、满足，求 的最小值； 【答案】 【解析】因为，， 所以，， 所以 ， 当且仅当，且，即时，等号成立， 故的最小值为； 变式11.2正实数a，b满足，则的最小值为______. 【答案】1【解析】因为正实数满足，所以， 则 ， 当且仅当,即时取等号， 所以的最小值为1， 变式11.3设x，y是正实数，且，则的最大值是 . 【答案】【解析】令，则， 可得，即， 且， ∵， 当且仅当，即时，等号成立， 可得， ∴， 即的最大值是. 变式11.4已知正数满足，则的最小值为 ． 【答案】【解析】由题意得，则 ， 当且仅当时取等号，故的最小值为． 故答案为：. 变式11.5已知正数a，b满足，则的最小值为 . 【答案】2【解析】因为正数a，b满足，所以， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2 12.用2次基本不等式 例12已知实数x，y满足，若，则z的最小值是 【答案】8【解析】因为，所以， ，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当，即时等号成立，此时． 变式12（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）若对于任意的实数，恒成立，则实数的最大值是 ，此时 ． 【答案】 4 ． 【解析】因为，所以； 所以． （当且仅当时取等号） ∴，此时． 13.构造不等式求最值 例题13设，且，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C【解析】由，由， 得，当且仅当时，取等号， 解不等式，得， 所以的最大值为4.故选：C. 变式13.1已知，则的最大值为 ． 【答案】2【解析】由，得，当且仅当时取等号，即，解得，所以的最大值为2. 变式13.2（2011·浙江·高考真题）已知实数满足，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】[方法一]：（代换，用判别式法） 设，则，代入， 得，由得，因此. [方法二]：（代换，构造一元二次方程用判别式法） 设，则，则2x、y可看作关于m的方程的两个实根，由得，因此. [方法三]：（构造向量法） 令，. 则，即的最大值为. [方法四]：（待定系数法） 令 则解得故，化简得. ［方法五］：（代换消项结合放缩法） 令，则，则原题等价于：已知，求2a的最大值. 由的几何意义得，即得.即. ［方法六］：（换元法，转化为三角函数求解） 令则. 即，即，则. . 故. ［方法七］：（三角换元结合均值不等式求解） 令代入条件方程得. 则. 故. 故答案为：． ［方法八］：【最优解】基本不等式 ， 即，(当且仅当，即时，取等号) 故答案为：． 【点评】法一：换元利用判别式法求出； 法二：代换构造一元二次方程根据判别式法求出； 法三：构造向量利用求出； 法四：构造平方和，利用平方数自身的范围求出； 法五：代换利用椭圆的几何性质求出； 法六：利用三角代换求出，是该类型题的常用方式； 法七：利用三角代换结合基本不等式求出； 法八：直接利用基本不等式，是该题的通性通法，也是最优解． 变式13.3（2013·天津·高考真题）设，，则当 时，取得最小值. 【答案】【解析】因为， 所以， 又因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 因此当时，的最小值是； 当时，的最小值是. 故的最小值为，此时，即. 故答案为：. 14实际应用 例题14（23-24高一上·江苏盐城·期中）天气转冷，某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本18万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润=销售收入-投入成本-促销费用） (1)求出的值，并将表示为的函数； (2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 【答案】(1)4； (2)7万元，125万元 【分析】（1）根据时，，即可求得k的值；根据利润=销售收入-投入成本-促销费用即可求得表示为的函数关系式； （2）结合（1）的结果，化简变形，利用基本不等式，即可求得答案. 【解析】（1）由题意知时，，故， 则， 故， 即； （2）， 当且仅当，即时等号成立， 故促销费用为7万元时，该产品的利润最大，此时最大利润为125万元. 变式14.1（23-24高一上·江苏南通·期中）第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，本届亚运会吉祥物是一套名为“江南忆”的三个机器人模型，三个机器人模型分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某公益团队联系亚运会组委会计划举办一场吉祥物商品展销会，成套出售“江南忆”，将所获利润全部用于体育设施建设.据市场调查：每套吉祥物纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，（单位：元，其中销售量单位为：万套）.而当每套吉祥物售价定为x元时，销售量可达到万套.注：利润＝（售价－供货价格）×销售量（不计其他成本） (1)每套吉祥物纪念品售价为125元时，能获得的总利润是多少万元？ (2)每套吉祥物纪念品售价为多少元时，单套吉祥物的利润最大？并求出最大值. 【答案】(1)320 (2)售价为145元，利润最大，最大值为80元 【分析】（1）代入数值，求出销售量与单价，即可得出答案； （2）设单套售价为元，根据已知表示出单套利润，根据基本不等式求解，即可得出答案. 【解析】（1）每套吉祥物纪念品售价为125元时， 销售量为（万套）， 供货单价为（元）， 总利润为（万元）. （2）设单套售价为元，此时销售量为万套， 供货价格为元， 同时，所以. 所以单套利润为 ， 当且仅当，即时取等号. 所以每套吉祥物售价为145元时，单套的利润最大，最大值是80元. 变式14.2某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，池底面积为.如果池底每平方米的造价为180元，池壁每平方米的造价为150元，若总造价不能超过90万元，则该贮水池的最大深度为 m.    【答案】15 【解析】设该贮水池的高为，池底的长为， 则， 即，当且仅当时，等号成立， 所以该贮水池的最大深度为15m. 故答案为：15 变式14.3某农户计划在一片空地上修建一个田字形的菜园如图所示，要求每个矩形用地的面积为且需用篱笆围住，菜园间留有一个十字形过道，纵向部分路宽为，横向部分路宽为. (1)当矩形用地的长和宽分别为多少时，所用篱笆最短？此时该菜园的总面积为多少？ (2)为节省土地，使菜园的总面积最小，此时矩形用地的长和宽分别为多少？ 【答案】(1)长和宽均为时，所用篱笆最短，总面积为. (2) 【详解】（1）设矩形用地平行于横向过道的一边长度为， 则所需篱笆的长度为，又， 当且仅当时，等号成立，所以当矩形用地的长和宽均为时，所用篱笆最短， 此时该菜园的总面积为； （2）设矩形用地平行于横向过道的一边长度为，菜园的总面积为， 则， 当且仅当即时，等号成立， 此时另一边为， 即矩形的长和宽分别为时，菜园的总面积最小. 变式14.4运货卡车以的速度匀速行驶，按交通法规限制速度为（单位：），假设汽油价格是每升6元，汽车每小时耗油，司机的工资是每小时46元.令行车总费用为（元），当为何值时，这次行车的总费用最低？求出最低费用的值. 【答案】当时，这次行车的总费用最低，最低费用为600元 【解析】行车所用时间，根据汽油的价格是每升6元，汽车每小时耗油，司机的工资是每小时46元， 可得行车总费用为. ，当且仅当，即时，等号成立. 所以当时，这次行车的总费用最低，最低费用为600元. 变式14.5如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B【解析】如图，设，由矩形的周长为4，可知． 设，则．， ． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 所以． 所以的面积． 所以，当且仅当时， 即当时，的面积最大，面积的最大值为，故选：B． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$