专题15 实数（8考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题15 实数 目录 【典型例题】 1 【考点一 实数的分类】 1 【考点二 实数的大小比较】 3 【考点三 实数与数轴】 5 【考点四 实数与数轴中的化简问题】 7 【考点五 实数的混合运算】 9 【考点六 程序设计与实数运算】 10 【考点七 新定义下的实数运算】 12 【考点八 与实数运算相关的规律题】 17 【过关检测】 21 【典型例题】 【考点一 实数的分类】 例题：（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）把下列各数：，，，，，，，…….分别填入相应的集合中. 【变式训练】 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）将下列各数分别填入相应的大括号里： (1)正数集合{___________}； (2)负整数集合{___________}； (3)无理数集合{___________}； 2．（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）把下列各数填到相应的集合内（只填序号）： ；；；：；；；；；（相邻两个之间的个数逐次加一） 有理数集合： ． 无理数集合： ． 分数集合： ． 【考点二 实数的大小比较】 例题：（24-25八年级上·江苏南京·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”）． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）比较大小，填或号： 11， ， 2 2．（23-24七年级下·北京朝阳·阶段练习）比较下列实数的大小（填上、或=）． ① ；② 【考点三 实数与数轴】 例题：（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图， 在中，，，，则数轴上点A所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，面积为2的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为（    ）    A．0.414 B． C． D． 2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴正方向滚动1周，点A到达点处，则点表示的数为（   ） A． B． C． D．或 【考点四 实数与数轴中的化简问题】 例题：（23-24七年级下·福建莆田·期中）已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示：化简： ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·湖北恩施·期中） 实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图， (1)比较大小 a 0； 0； 0 ； 0 (2)化简： 2．（22-23八年级上·江苏·单元测试）化简求值： (1)已知a是的整数部分，，求的平方根． (2)已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【考点五 实数的混合运算】 例题：（24-25八年级上·全国·阶段练习）计算 (1) (2) 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·期末）计算： (1)． (2)． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【考点六 程序设计与实数运算】 例题：（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图所示的是一个数值转换器． （1）当输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为时，输入的值为 ； （2）若输入有效的值后，始终输不出值，所有满足要求的的值为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）按如图所示的程序计算，若开始输入的值是64，则输出的值是 ． 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图为一个数值转换器．当输入的x值为81时，输出的y值为 ；当输入的x值为 后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为． 【考点七 新定义下的实数运算】 例题：（23-24七年级下·江西宜春·期中）对于两个不相等的实数a，b，定义新的运算如下：，如，，如． 请你计算： (1)； (2)； (3)． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）定义：把形如与为有理数且，为正整数且开方开不尽的两个实数称为共轭实数． (1)请你举出一对共轭实数：_________________； (2)与______共轭实数，与______共轭实数；在横线上填“是”或“不是” (3)共轭实数，是有理数还是无理数？为什么？ (4)【变式】若有理数，满足，则______． (5)你发现共轭实数与的和、差有什么规律？ 2．（23-24七年级上·四川南充·期中）阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对 若满足，则称该有序数对为“望一”数对； 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤ (3)若有序数对是“望音”数对，求整数x的值． (4)计算的值，请直接写出答案． 【考点八 与实数运算相关的规律题】 例题：（24-25八年级上·河南平顶山·期中）观察下列各式： 第1个等式：    第2个等式： 第3个等式：    第4个等式： …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)直接写出第5个等式：______． (2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______． (3)利用上述规律化简：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想______； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：____（为正整数）； (3)应用上述结论，请计算的值． 2．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，在数轴上对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列各组数中互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和3 D．和 3．（2024八年级上·全国·专题练习）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 4．（20-21七年级下·北京西城·期中）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（   ） A． B．2 C． D． 5．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）任意实数，可用表示不超过的最大整数，如，，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似的：对数字900进行了次操作后变为1，那么的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 6．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）比较大小，填或号： 11， ， 2 7．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）用“”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，例如，那么 ． 8．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知有一个数值替换器，其原理如图所示，当输入x的值是64时，输出y的值是 ． 9．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）对于不相等的两个实数 、，定义一种运算 @ ： ，如   则 ． 10．（2024八年级上·全国·专题练习）小明做数学题时，发现；；按此规律，若为正整数），则 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)； 12．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）实数在数轴上的位置如图所示，化简代数式 13．（23-24七年级下·西藏林芝·期末）把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，，，，，，，相邻的两个之间依次多一个． (1)无理数集合：________________________________________ (2)有理数集合：________________________________________． (3)分数集合：_______________________． (4)负无理数集合：_____________． 14．（22-23七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，是一个计算流程图：    (1)求计算流程图能够运算进行下去的最小整数？ (2)是否存在输入有效的x值后，始终输不出y值？如果存在，请写出所有满足要求的x的值；如果不存在，请说明理由． 15．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1) ； (2)求的值； (3)在数轴上还有点C表示实数c，且A与C的距离比A与B的距离多，求点C表示的实数c． 16．（23-24七年级下·广东东莞·期中）先观察下列等式，再回答问题： ① ②； ③ …… (1)请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________； (2)请利用上述规律，猜想_________=_________； (3)计算：的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 实数 目录 【典型例题】 1 【考点一 实数的分类】 1 【考点二 实数的大小比较】 3 【考点三 实数与数轴】 5 【考点四 实数与数轴中的化简问题】 7 【考点五 实数的混合运算】 9 【考点六 程序设计与实数运算】 10 【考点七 新定义下的实数运算】 12 【考点八 与实数运算相关的规律题】 17 【过关检测】 21 【典型例题】 【考点一 实数的分类】 例题：（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）把下列各数：，，，，，，，…….分别填入相应的集合中. 【答案】见解析 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的分类 【分析】本题主要考查了实数的分类，求一个数的算术平方根和立方根，有理数分为整数和分数，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此求解即可． 【详解】解：， ∴。 【变式训练】 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）将下列各数分别填入相应的大括号里： (1)正数集合{___________}； (2)负整数集合{___________}； (3)无理数集合{___________}； 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】实数的分类 【分析】本题主要考查了实数的分类， 对于（1），根据正数的定义进行判断即可； 对于（2），根据负整数的定义进行判断即可； 对于（3），根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：正数集合：； （2）解：由，负整数集合：； （3）解：无理数集合：． 2．（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）把下列各数填到相应的集合内（只填序号）： ；；；：；；；；；（相邻两个之间的个数逐次加一） 有理数集合： ． 无理数集合： ． 分数集合： ． 【答案】见解析 【知识点】实数的分类、求一个数的立方根 【分析】本题考查了实数的分类，解题关键是掌握实数的概念，注意有理数包含了整数与分数（无限循环小数也是分数），无理数则是无限不循环小数，含有的式子和有特殊结构的无限不循环小数都是无理数，本题要先对含有立方根和平方的式子进行化简再判断． 【详解】解：∵，， ∴有理数集合：{②③④⑤⑦⑧⑨…}． 无理数集合：{①⑥⑩…}． 分数集合：{②④⑤…}． 【考点二 实数的大小比较】 例题：（24-25八年级上·江苏南京·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了估算实数的大小；根据，利用算术平方根比较出和大小；即可求解． 【详解】∵ ∴即 ∴ 故答案为： 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）比较大小，填或号： 11， ， 2 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较，两个正无理数比较，被开方数大的比被开方数小的大；一个有理数与一个开方开不尽的数比较，常通过比较它们的平方（或立方）的大小来比较或都化成带根号的数比较被开方数的大．用比较平方法可比较第一组数；根据绝对值大的反而小可比较第二组数；用比较立方法可比较第三组数． 【详解】解：∵，， ∴； ∵，，， ∴； ∵，，， ∴． 故答案为：，，． 2．（23-24七年级下·北京朝阳·阶段练习）比较下列实数的大小（填上、或=）． ① ；② 【答案】 【知识点】有理数大小比较、实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】①根据实数的大小比较解答即可. ②根据实数的大小比较，无理数的估算解答即可. 本题考查了无理数的估算，大小比较，正确掌握无理数大小比较的基本原则是解题的关键. 【详解】解：①∵，且， ∴； 故答案为：. ②∵， ∴ ∴， ∵是负数， ∴， 故答案为：. 【考点三 实数与数轴】 例题：（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图， 在中，，，，则数轴上点A所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、用勾股定理解三角形、勾股定理与无理数、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理的应用和实数与数轴，利用勾股定理求得的长度，然后结合数轴求得的值即可． 【详解】解：在中，，， ， 设点A所表示的数为， ∵， ∴， ∴， 数轴上点所表示的数是：． 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，面积为2的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为（    ）    A．0.414 B． C． D． 【答案】D 【知识点】算术平方根的实际应用、实数与数轴 【分析】本题考查了算术平方根的应用、实数与数轴、数轴上两点之间的距离，由题意得出，再利用数轴上两点之间的距离公式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：面积为2的正方形的顶点在数轴上， ， ， 点在数轴上，且表示的数为， 数轴上的点所表示的数为， 故选：D． 2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴正方向滚动1周，点A到达点处，则点表示的数为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【知识点】实数的混合运算、实数与数轴 【分析】根据圆的直径为1个单位长度,其周长为,设点表示的数为t， 则,解答即可． 本题考查了有理数的加法，数轴上表示数，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得圆的直径为1个单位长度,其周长为, 设点表示的数为t，则, 解得． 故选：A． 【考点四 实数与数轴中的化简问题】 例题：（23-24七年级下·福建莆田·期中）已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示：化简： ． 【答案】 【知识点】实数与数轴、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、化简绝对值 【分析】本题考查实数与数轴，化简绝对值，开方运算，先根据点在数轴上的位置，判断数和式子的符号，进而化简运算即可． 【详解】解：由图可知：，且， ∴， ∴原式； 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·湖北恩施·期中） 实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图， (1)比较大小 a 0； 0； 0 ； 0 (2)化简： 【答案】(1) (2) 【知识点】实数与数轴、实数的性质 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质： （1）根据数轴可得，据此可得答案； （2）根据（1）所求先计算算术平方根，立方根和绝对值，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴ ． 2．（22-23八年级上·江苏·单元测试）化简求值： (1)已知a是的整数部分，，求的平方根． (2)已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的性质、实数与数轴、无理数整数部分的有关计算、整式的加减运算 【分析】（1）先估算出的取值范围，求出a的值；由于，根据算术平方根的定义可求b，再代入计算，进一步求平方根即可． （2）利用数轴得出各项符号，进而利用二次根式和绝对值的性质化简． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的平方根是； （2）由数轴可得：， 则， 则 ． 【点睛】本题考查了算术平方根与平方根的定义，以及估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【考点五 实数的混合运算】 例题：（24-25八年级上·全国·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】化简绝对值、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】此题考查实数的运算，解题关键在于掌握运算法则． （1）先计算算术平方根，立方根，求绝对值，乘方，再计算加减即可解答； （2）先计算立方根，绝对值，乘方，再计算加减即可解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的立方根、实数的混合运算、负整数指数幂 【分析】（1）按顺序先分别进行算术平方根的运算、立方根运算、化简绝对值，然后合并计算即可； （2）按顺序先分别进行立方根运算、化简绝对值、平方与负整数指数次幂运算，然后合并计算即可． 本题考查了实数的混合运算，正确化简各数是解题的关键. 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】负整数指数幂、实数的混合运算、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查的是实数的混合运算，熟记算术平方根与立方根的含义是解本题的关键． （1）分别计算负整数指数幂，算术平方根，立方根，再合并即可； （2）分别计算立方根，化简绝对值，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点六 程序设计与实数运算】 例题：（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图所示的是一个数值转换器． （1）当输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为时，输入的值为 ； （2）若输入有效的值后，始终输不出值，所有满足要求的的值为 ． 【答案】 100 0或1/1或0 【知识点】求一个数的算术平方根、程序设计与实数运算 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，能够正确计算算术平方根是解题的关键． （1）根据两次取算术平方根运算，输出的值为，返回运算两次平方可得的值； （2）根据0和1的算术平方根分别是0和1，可得结论． 【详解】解：（1）当时，，，则； 故答案为：100； （2）当，1时，始终输不出值， ，1的算术平方根是0，1，一定是有理数， 所有满足要求的的值为0或1． 故答案为：0或1． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）按如图所示的程序计算，若开始输入的值是64，则输出的值是 ． 【答案】 【知识点】程序设计与实数运算、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查实数、平方根与立方根的应用，解题的关键是熟练掌握运算程序；根据题中所给的运算程序可直接进行求解． 【详解】解：由题可得： 64的立方根为4，4的算术平方根为2，2的立方根是； 故答案为． 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图为一个数值转换器．当输入的x值为81时，输出的y值为 ；当输入的x值为 后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为． 【答案】 625 【知识点】程序设计与实数运算 【分析】本题考查了算术平方根，能够正确计算算术平方根是解题的关键．根据运算规则即可求解；根据三次取算术平方根运算；输出的y值为，返回运算三次平方可得y的值． 【详解】解：当时，，，输出的y值为； 当经过三次取算术平方根运算，输出的y值为时， 则，，． 故答案为：；625． 【考点七 新定义下的实数运算】 例题：（23-24七年级下·江西宜春·期中）对于两个不相等的实数a，b，定义新的运算如下：，如，，如． 请你计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查定义新运算的计算，理解计算方法是解题的关键． （1）把，代入求解； （2）把，代入求解； （3）先计算，再计算． 【详解】（1）解：， 又， 故； （2）解：∵， 故； （3）解：∵， 故， ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）定义：把形如与为有理数且，为正整数且开方开不尽的两个实数称为共轭实数． (1)请你举出一对共轭实数：_________________； (2)与______共轭实数，与______共轭实数；在横线上填“是”或“不是” (3)共轭实数，是有理数还是无理数？为什么？ (4)【变式】若有理数，满足，则______． (5)你发现共轭实数与的和、差有什么规律？ 【答案】(1) 与 (2)不是；是 (3)共轭实数 ， 是无理数，详见解析 (4) (5)共轭实数 与 的和是一个有理数，它们的差是一个无理数 【知识点】新定义下的实数运算、实数的混合运算 【分析】本题考查的是实数的运算，掌握新概念是解决此题关键． （1）根据题意写出一对共轭实数即可； （2）利用新定义判断即可； （3）根据新定义得共轭实数是无理数； （4）由得，然后根据有理数、无理数的概念即可得到答案； （5）根据实数的运算计算即可． 【详解】（1）解：与 是一对共轭实数， 故答案为：与（答案不唯一）； （2）与 不是共轭实数， 与 是共轭实数， 故答案为：不是，是； （3）解：共轭实数， 是无理数，理由如下： ∵是开方开不尽的数， ∴无理数，而是不等于0的有理数， ∴是无理数，有理数加上或减去一个无理数，其结果仍是无理数； （4）解：由得， ∵a、为有理数， ∴为有理数， ∴必为有理数方能与相等，而为有理数， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：4； （5）解：， ， ∴共轭实数 与 的和是一个有理数，它们的差是一个无理数 ． 2．（23-24七年级上·四川南充·期中）阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对 若满足，则称该有序数对为“望一”数对； 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤ (3)若有序数对是“望音”数对，求整数x的值． (4)计算的值，请直接写出答案． 【答案】(1)1 (2)③④，①⑤ (3)0、1、2 (4) 【知识点】求不等式组的解集、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义运算，无理数大小的估算，求不等式组的解集，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的定义． （1）根据题干中给出的信息进行计算即可； （2）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （3）根据“望音”数对定义列出方程，解方程即可； （4）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①∵， ∴是“望音”数对； ②∵， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ③∵， ∴是“望一”数对； ④， ∴是“望一”数对； ⑤∵ ∴是“望音”数对； 综上分析可知：“望一”数对的有③④，是“望音”数对的有①⑤． （3）解：∵有序数对是“望音”数对， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴整数x的值为0、1、2． （4）解： 解：，，， ，，，，， ，，，，，，， …… ，， ， ， ∴中有3个1，5个2，7个3，……87个，89个44， ． 【考点八 与实数运算相关的规律题】 例题：（24-25八年级上·河南平顶山·期中）观察下列各式： 第1个等式：    第2个等式： 第3个等式：    第4个等式： …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)直接写出第5个等式：______． (2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______． (3)利用上述规律化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查与实数相关的规律型问题，算术平方根，关键是由给出的等式，发现规律． （1）由前几个等式的规律，即可得到答案； （2）由给出的等式，发现规律，即可得到答案 （3）根据规律化简，再计算即可． 【详解】（1）解：由前几个等式的规律得到第5个等式是：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ， ∴第n个等式是：， 故答案为：； （3）解： ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想______； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：____（为正整数）； (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查了实数运算相关的规律的探究． （1）利用题中等式的计算规律得到的结果为； （2）第n个等式的左边为，等式右边为1与的和； （3）根据规律得到，，，，，相加即可求解． 【详解】（1）解：的结果为； 故答案为：； （2）解：∵①； ②； ③， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ， ， ， ， ∴ ． 2．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查了二次根式的规律探究．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，； （2）由，可求当一个等式的最右边的值是的等式； （3）由题意可推导一般性规律为，第n个等式为，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， …… ∴第七个等式为； （2）解：∵， ∴当一个等式的最右边的值是，这个等式为； （3）解：由题意可推导一般性规律为，第n个等式为， ∴第n个等式为． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，在数轴上对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，数轴上实数的特点，掌握无理数的估算方法，数轴的特点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴在数轴上对应的点可能是， 故选：C ． 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列各组数中互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和3 D．和 【答案】C 【知识点】实数的性质、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了实数的相反数，根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，化简各项数字后再判断求解即可． 【详解】解：A、由，得3和不互为相反数，故A选项不符合题意； B、由，得和不互为相反数，故B选项不符合题意； C、由，得和3互为相反数，故C选项符合题意； D、由，得和不互为相反数，故D选项不符合题意； 故选：C． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数的性质、实数与数轴 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特点，由数轴可知，，则，，再运算绝对值即可求解． 【详解】解：由数轴可知，， ，， ， 故选：B． 4．（20-21七年级下·北京西城·期中）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的立方根、程序设计与实数运算、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了程序设计与实数运算，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根，先根据程序得出，再求它的算术平方根，接着判断是否为无理数，是就输出结果，否则就继续算它的算术平方根，即可作答． 【详解】解：∵输入的x为64， ∴， ∴， ∵2是有理数， ∴2的算术平方根是，是无理数， 则输出的y是， 故选：C． 5．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）任意实数，可用表示不超过的最大整数，如，，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似的：对数字900进行了次操作后变为1，那么的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算、新定义下的实数运算、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，根据表示不超过的最大整数计算，可得答案． 【详解】解：第一次第二次第三次第四次， 即对数字900进行了4次操作后变为1． 故选：B． 二、填空题 6．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）比较大小，填或号： 11， ， 2 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较，两个正无理数比较，被开方数大的比被开方数小的大；一个有理数与一个开方开不尽的数比较，常通过比较它们的平方（或立方）的大小来比较或都化成带根号的数比较被开方数的大．用比较平方法可比较第一组数；根据绝对值大的反而小可比较第二组数；用比较立方法可比较第三组数． 【详解】解：∵，， ∴； ∵，，， ∴； ∵，，， ∴． 故答案为：，，． 7．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）用“”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，例如，那么 ． 【答案】18 【知识点】求一个数的算术平方根、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了实数的新定义运算，算术平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式根据题中的新定义计算列式计算即可求出值． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 故答案为：18． 8．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知有一个数值替换器，其原理如图所示，当输入x的值是64时，输出y的值是 ． 【答案】 【知识点】程序设计与实数运算 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，先求出64的立方根，如果结果为无理数，则输出，若结果为有理数，则把结果作为新的数输入，如此循环求解即可． 【详解】解：当输入x的值是64时，是有理数， 当输入x的值是4时，是无理数，则输出y的值为， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）对于不相等的两个实数 、，定义一种运算 @ ： ，如   则 ． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握题中的新定义的运算法则是解本题的关键．根据题中的新定义的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故 答 案 为 ：． 10．（2024八年级上·全国·专题练习）小明做数学题时，发现；；按此规律，若为正整数），则 ． 【答案】73 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】此题考查了数字类规律，找出一系列等式的规律为的正整数），令求出与的值，即可求得的值． 【详解】解：根据题中的规律得：的正整数）， ， ，， 则． 故答案为：73． 三、解答题 11．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算、零指数幂 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂： （1）先计算立方根，算术平方根和乘方，再计算加减法即可； （2）先计算算术平方根和零指数幂，再去绝对值后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）实数在数轴上的位置如图所示，化简代数式 【答案】 【知识点】实数的混合运算、实数与数轴 【分析】本题考查实数和数轴，实数的混合运算，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，进行化简计算即可． 【详解】解：由图可知： ． 13．（23-24七年级下·西藏林芝·期末）把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，，，，，，，相邻的两个之间依次多一个． (1)无理数集合：________________________________________ (2)有理数集合：________________________________________． (3)分数集合：_______________________． (4)负无理数集合：_____________． 【答案】(1)，，，，相邻的两个之间依次多一个 (2)，，，， (3)，， (4)， 【知识点】实数的分类 【分析】此题考查了实数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．根据无理数，有理数，分数，负无理数的定义求解即可． 【详解】（1）无理数集合：，，，，相邻的两个之间依次多一个， 故答案为：，，，，相邻的两个之间依次多一个， （2）有理数集合：，，，，， 故答案为：，，，，， （3）分数集合：，，， 故答案为：，，， （4）负无理数集合：，， 故答案为：，， 14．（22-23七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，是一个计算流程图：    (1)求计算流程图能够运算进行下去的最小整数？ (2)是否存在输入有效的x值后，始终输不出y值？如果存在，请写出所有满足要求的x的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或 【知识点】程序设计与实数运算、求一元一次不等式的整数解 【分析】（1）根据非负数才有算术平方根列出不等式即可解得； （2）为0和1时，有效，始终输不出y值． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ∴计算流程图能够运算进行下去的最小整数是； （2）解：当时，始终输不出y值． ∵0的算术平方根是0，一定是有理数； 当时，始终输不出y值； ∵1的算术平方根是1，一定是有理数； 当时，是负数时，始终输不出y值， ∵负数没有算术平方根； 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了程序设计与实数运算，掌握实数运算规则是关键． 15．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1) ； (2)求的值； (3)在数轴上还有点C表示实数c，且A与C的距离比A与B的距离多，求点C表示的实数c． 【答案】(1) (2)2 (3)或2 【知识点】实数与数轴、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算： （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据（1）所求推出，再化简绝对值后计算求解即可； （3）先求出A与C的距离为，再分当点C在点A右边时， 当点C在点A左边时，两种情况根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：由题意得，点A到点B的距离为2， ∵A与C的距离比A与B的距离多， ∴A与C的距离为， 当点C在点A右边时，点C表示的数为， 当点C在点A左边时，点C表示的数为， 综上所述，点C表示的数为或2，即或． 16．（23-24七年级下·广东东莞·期中）先观察下列等式，再回答问题： ① ②； ③ …… (1)请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________； (2)请利用上述规律，猜想_________=_________； (3)计算：的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【知识点】与实数运算相关的规律题、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键． （1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案； （2）根据规律写出猜想即可； （3）根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得：； （2）解：① ②； ③ …… ； （3）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $$