精品解析：广东省广州市华侨中学等三校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题

广东省广州市华侨中学等三校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题 2024年11月 命题：广州协和学校高一数学备课组 审题人：刘伏英 试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分，考试时间为120分钟． 第一部分 选择题（共58分） 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解出集合中的不等式，然后两个解集取交集. 【详解】根据题意，， 又， 所以. 故选：B 2. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个选项推导或举反例判断即可. 【详解】对A，若，，则，故A错误； 对B，若，则，但，故B错误； 对C，若，则，但，故C错误； 对D，若，则，故，即，故D正确. 故选：D 3. 设函数，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数解析式直接代入求值即可得答案. 【详解】易知， 所以，即可得. 故选：A 4. 下列函数最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数性质，基本不等式确定最小值后判断． 【详解】选项A，时，，最小值不是4，A错； 选项B，由基本不等式知，当且仅当时等号成立，B正确； 选项CD中，当时，函数最小值为0，CD均错． 故选：B． 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性及又时函数值的正负即可判断. 【详解】解：因为定义域为R，且，所以为偶函数，其图象关于轴对称，故排除选项B、D； 又时，，排除选项C，故选项A正确. 故选：A. 6. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分与讨论，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】当时，即时，不等式化为，符合题意； 当时，即时，应满足， 解得； 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A 7. 已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】恒成立问题先转化为的最值问题，由条件等式利用常数的代换将式子转化为，再利用基本不等式求出最值，最后求解关于的不等式可得. 【详解】已知，则， 因为， 当且仅当时等号成立，由， 解得． 故的最小值为4． 因为恒成立， 所以，即， 解得，即． 故选：D 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如，，已知函数，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】变换得到，确定，计算得到答案. 【详解】， ，故，则，故， 即，故的值域为. 故选：D 二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 已知集合，则满足条件的集合的个数为3 B. 已知集合，若，则实数 C. 命题“”的否定是“或” D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】BCD 【解析】 【分析】直接根据命题的否定，充分条件和必要条件，集合的性质，命题的否定判断、、、的结论． 【详解】对于A：已知集合，则满足条件的集合，，，，故满足条件的集合的个数为4，故A错误； 对于B：若，则或， 当时，解得，此时，不符合题意， 当时，解得或（舍）， 综上，，故B正确； 对于C：根据存在量词命题的否定为全称量词命题， 可知命题“”的否定是“或”，C正确； 对于D：设，若，但可能为，所以可能为， 反之，若，则且， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：BCD 10. 已知是定义在上的奇函数，当时，.则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 若在上单调递减，则在上有最大值 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A选项，利用奇函数来确定的值； 对于B选项，根据奇函数定义求出时的表达式； 对于C选项，利用奇函数的单调性性质； 对于D选项，结合与的关系以及奇函数性质求解. 【详解】对于A选项，因为是定义在上的奇函数，当时，. 当时，，所以，即，解得，所以A选项正确. 对于B选项，当时，. 因为是奇函数，所以. 当时，，则. 所以当时，，所以B选项错误. 对于C选项，因为在上单调递减，根据奇函数的性质，奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同. 所以在上单调递减，在上有最大值. 当时，，当时，. 所以，所以C选项正确. 对于D选项，因为，. 因为是奇函数，所以. 则，可得. 所以，所以D选项错误. 故选：AC. 11. 已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.下列说法正确的是（ ） A. 不是“可分集合” B. 是“可分集合” C. 四个元素的集合可能是“可分集合” D. 五个元素的集合不可能是“可分集合” 【答案】ABD 【解析】 【分析】去掉3，由“可分集合”的定义判断即可判断A,逐一去掉一个元素，列举即可可判断BD；不妨设，讨论当在集合，，，，中去掉元素、后，将剩余元素构成的集合，结合“可分集合”的定义进行分拆，得出等式，推出矛盾，即可判断D； 【详解】对于A，去掉3后，,2,不满足定义，,2,3,不是“可分集合”， A正确； 对于B，集合所有元素之和为49， 当去掉元素1时，剩下的元素之和为48，集合,5,7,与,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素3时，剩下的元素之和为46，集合,9,与,7,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素5时，剩下的元素之和为44，集合,3,7,与,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素7时，剩下的元素之和为42，集合,9,与,5,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素9时，剩下的元素之和为40，集合,3,5,与,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素11时，剩下的元素之和为38，集合,7,与,5,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素13时，剩下的元素之和为36，集合,3,5,与,的元素和相等，符合题意； 因此集合是“可分集合”， B正确； 对于C，不妨设，去掉，则，去掉，则， 于是，与矛盾， 因此,,,一定不是“可分集合”， C错误； 对于D，不妨设， 若去掉元素，将集合,,,分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有，或者②， 若去掉元素，将集合,,,分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有③，或者④， 由①③或②④得，矛盾； 由①④或②③得，矛盾， 因此集合,,,,不是“可分集合”， D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力. 第二部分 非选择题（92分） 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数有意义，列出不等式组求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 13. 已知函数为幂函数，且其图象关于原点对称，则实数________． 【答案】1 【解析】 【分析】由幂函数的定义求出参数，然后检验函数是否是奇函数即可得解. 【详解】由题意，解得或， 当时，为偶函数，它的图象关于轴对称而非原点对称，故不符合题意； 当时，是奇函数，它的图象关于原点对称，故满足题意. 故答案为：1. 14. 设是定义域为，满足，若对任意的，都有不等式成立，且，则不等式解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由已知是奇函数，由，设，可得，令，则在上单调递增，可得在上单调递减，又，即可解得不等式解集. 【详解】是定义域为，关于原点对称, 又，所以是奇函数， 因为，， 设，则， 所以， 所以， 令，则在上单调递增， 又， 所以在上为偶函数， 所以在上单调递减， ， 所以当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 所以解集是. 故答案为： 四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，且为非空集合. （1）分别求； （2）若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合后可得. （2）根据条件关系可得集合的包含关系，从而可得参数的取值范围. 【小问1详解】 ， 又，所以， 故； 【小问2详解】 因为是的充分不必要条件，故是的真子集， 故，故. 16. 已知函数， （1）判断的奇偶性并加以证明； （2）根据函数单调性的定义证明：在区间上单调递增； （3）解不等式：. 【答案】（1）为奇函数， 证明：函数的定义域为， 又， 所以为奇函数. （2）证明：设， 因为，， 所以， 即， 所以在区间上单调递增. （3）或 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质证明即可； （2）由函数单调性的定义证明即可； （3）化为分式不等式后用“穿针引线”法求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 所以原不等式等价于， 即， 解得或， 所以不等式的解集为或. 17. 师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与投入的成本（单位：元）满足如下关系：，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为（单位：元）. （1）求的函数关系式； （2）当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1） （2）当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）由题意可知：，结合题意代入运算即可； （2）分和，结合二次函数和基本不等式求最大值. 【小问1详解】 由题意可知：. 【小问2详解】 由（1）可知：， 若，则，可知其图象开口向上，对称轴为， 此时的最大值为； 若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 此时的最大值为； 又因为，可知的最大值为， 所以当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是元. 18. 已知二次函数， （1）若的解集为，求的值； （2）若函数的定义域和值域均为，求实数的值； （3）若函数在区间上单调递减，且对任意的，总有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）8 （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式的性质求解即可； （2）求出的单调性，求出函数的最值，得到关于的方程，解出即可； （3）根据在区间上是减函数，得出的一个取值范围；再对任意的，，又可求出的一个取值范围；最后两者取交集，则问题解决． 【小问1详解】 由题意可得的两个根为， 所以， 所以. 【小问2详解】 ，开口向上，对称轴是 ∴在递减，则，即，故； 【小问3详解】 因为在区间上是减函数，所以． 因此任意的，总有，只需即可， ，即， 解得，又， 因此． 19. 已知函数，对于任意的，都有，当时，，且. （1）求的值； （2）求函数在区间上的值域； （3）设函数，若方程有4个不同的解，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合特殊值，进行合理赋值，即可求解； （2）根据题意，结合函数单调性的定义和判定方法，求得函数是上的减函数和奇函数，得到在上单调递减，进而求得函数的最值； （3）根据题意，求得，令，得到，转化为，令，结合二次函数的图象与性质，即可求解. 【小问1详解】 因为， 令，可得，解得， 令，可得， 令，可得. 【小问2详解】 任取，且， 因为，即， 令，则，可得， 又因为时，，且，所以， 所以，即，所以函数是上的减函数， 所以在上单调递减，所以， 又因为， 令，代入，可得， 所以，可得函数为奇函数， 所以， 所以，函数在区间上的值域为. 【小问3详解】 由（2）可知函数为奇函数， 可得，即 所以 ， 令，即， 因为函数是上的减函数，所以，即， 令， 则函数的图象，如图所示， 结合图象，可得：当时，函数有4个零点， 即实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：根据函数为奇函数可得，令，又由函数的单调性得到，转化为，令，结合二次函数的图象与性质，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省广州市华侨中学等三校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题 2024年11月 命题：广州协和学校高一数学备课组 审题人：刘伏英 试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分，考试时间为120分钟． 第一部分 选择题（共58分） 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 设函数，则（    ） A. B. C. D. 4. 下列函数最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如，，已知函数，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 已知集合，则满足条件的集合的个数为3 B. 已知集合，若，则实数 C. 命题“”的否定是“或” D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 10. 已知是定义在上的奇函数，当时，.则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 若在上单调递减，则在上有最大值 D. 若，则 11. 已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.下列说法正确的是（ ） A. 不是“可分集合” B. 是“可分集合” C. 四个元素的集合可能是“可分集合” D. 五个元素的集合不可能是“可分集合” 第二部分 非选择题（92分） 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为__________. 13. 已知函数为幂函数，且其图象关于原点对称，则实数________． 14. 设是定义域为，满足，若对任意的，都有不等式成立，且，则不等式解集是_____． 四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，且为非空集合. （1）分别求； （2）若是的充分不必要条件，求的取值范围. 16. 已知函数， （1）判断的奇偶性并加以证明； （2）根据函数单调性的定义证明：在区间上单调递增； （3）解不等式：. 17. 师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与投入的成本（单位：元）满足如下关系：，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为（单位：元）. （1）求的函数关系式； （2）当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少? 18. 已知二次函数， （1）若的解集为，求的值； （2）若函数的定义域和值域均为，求实数的值； （3）若函数在区间上单调递减，且对任意的，总有成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数，对于任意的，都有，当时，，且. （1）求的值； （2）求函数在区间上的值域； （3）设函数，若方程有4个不同的解，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $