湖南省武冈市第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学考试题

2024年下学期期中考试试卷 高二数学 本试卷分为问卷和答卷，考试时量120分钟，满分150分，请将答案写在答题卡上。 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．设，向量，，，且，，则等于（    ） A． B． C．3 D．4 4．空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 5．已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 6．在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．已知曲线，设曲线上任意一点与定点连线的中点为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的上顶点为，离心率为，过其左焦点倾斜角为30°的直线交椭圆于，两点，若的周长为16，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．若直线经过第三象限，则， C．点在直线上 D．存在使得直线与直线垂直 10．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（    ） A． B．直线与所成角的余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．存在实数使得 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，点满足．设点的轨迹为，则（    ） A．轨迹的方程为 B．在轴上存在异于的两点，使得 C．当三点不共线时，射线是的角平分线 D．在轨迹上存在点，使得 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线，若，则实数 . 13．在空间直角坐标系中，点为平面外一点，点为平面内一点．若平面的一个法向量为，则点到平面的距离是 ． 14．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 16．（13分）在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值. 17．（15分）在四棱锥中，，，平面平面，，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求二面角的余弦值. 18．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为． (1)求的方程； (2)若的面积为，求的方程； (3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值． 19．（17分）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． (1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，，求的最大值； (3)已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年下学期期中考试试卷 高二数学（参考答案） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【】【详解】由集合或， 所以，可得.故选：. 2．【C】【详解】 由得：，设其倾斜角为，， 所以斜率， 故倾斜角为，故选：C 3. 【C】【详解】 ，，，，，， ，．，．故选：C. 4. 【B】【详解】 连结，因，点为的中点，则，于是，.故选：B. 5．【D】【详解】联立和方程，求得交点坐标，再结合垂直关系求得斜率，即可求解 【详解】由，，联立方程可得：又直线斜率为，所以要求直线斜率为，故直线方程为，即. 故选：D 6.【D】【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，， 设平面的法向量为，则，令，得，所以，故，设直线与平面所成角为， 则，所以.故选：D 7． 【B】【详解】设，因为为的中点，所以，即， 又因为点在曲线上，所以，所以． 所以点的轨迹方程为即．故选：B 8．【C】【详解】 因为椭圆的离心率，可得，所以，即，可得， 则点，右焦点，所以，由题意可得直线的斜率，所以，即，由题意设直线的方程为， 直线的方程为，设直线与直线的交点为，联立，可得，，则，可得为的中点，所以直线为线段的中垂线，即，，的周长，可得，所以，，所以椭圆的方程为：.故选：C． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．ACD 对于A：直线的斜率，所以该直线的倾斜角为，故A正确； 对于B：当，时，直线经过第三象限，故B错误； 对于C：将代入方程，则，即点在直线上，故C正确； 对于D：若两直线垂直，则，解得，故D正确. 故选：ACD. 10．BD 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 对于A，，故与不垂直，故A错误； 对于B，， 所以直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，由上，所以， 所以即，又， 所以， 因为，又由正方体性质可知平面即平面， 所以，故C错误； 对于D，若存在实数使得， 则， 所以，所以，故D正确. 故选：BD. 11．BCD 对于A，设，则，整理得，即，A错误； 对于B，假设在轴上存在异于，的两点，，使得， 设，，则， 整理得，而点的轨迹方程为， 于是，解得或（舍去），B正确； 对于C，如图所示， 当三点不共线时，，即， 于是，显然，因此， 射线是的角平分线，C正确； 对于D，假设在C上存在点M，使得，设，则，， 则，整理得，又， 联立解得或，D正确. 故选：BCD 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．2 由直线，因为，可得，即，解得.故答案为： 13．由题知，又平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为，故答案为：. 14． 连接，因为是的中点，分别是，的中点，所以 , 又因为，所以，所以.故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分）解：（1）因为是边的中点，所以，........................................................2分 所以直线的斜率，.......................................................................................................................4分 所以所在直线的方程为：，即，................................................................6分 （2）因为是边AB的中点，所以， 因为是边上的高， 所以，所以，......................................................................................................9分 所以，....................................................................................................................................................10分 因此高所在直线的方程为：，即..............................................................13分 16．（15分）解:（1）因为，的中点为，且直线的斜率， 则线段的垂直平分线所在直线的方程为，.............................................................3分 联立方程，解得，.....................................................................................6分 即圆心，， 所以，圆的方程为..............................................................................................8分 （2）因为直线被曲线截得弦长为， 则圆心到直线的距离，...............................................................................................12分 由点到直线的距离公式可得，解得...........................................................15分 17．（15分）解：（1）证明：过作于， 因为，所以与相交， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，...........................................................................................................2分 因为平面，所以， 因为，与相交，平面， 所以平面；.......................................................................................................5分 （2）取的中点，连接， 因为，，所以， 因为，所以为等边三角形，， 所以，因为，所以， 因为平面，平面，所以， 所以两两垂直，.....................................................................................................6分 所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 所以，...............................................................................8分 因为，，，平面 所以平面，所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则 .......................................................................................................10分 （3）因为， 所以， 设平面的法向量为，则 ，令，则，...........................................12分 设平面的法向量为，则 ，令，则，.................................................14分 所以， 因为二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为...............................................................................15分 18．（17分）解：（1）设椭圆的半焦距为，由题意知，所以， 的周长为，所以， 所以， 故的方程为．..........................................................................................4分 （2）易知的斜率不为0，设， 联立，得， 所以．........................................................................6分 所以， 由， 解得， 所以的方程为或．.................................................................10分 （3）由（2）可知，...................12分 因为的斜率是的斜率的2倍，所以， 得．.....................................................................................................14分 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为．.............................................................................................17分    19．（17分）解：（1），.............................1分 ， ；.........................................................4分 （2）设，由题意得：， 即，而表示的图形是正方形， 其中、、、．................................................................6分 即点在正方形的边上运动，，， 可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值． 因此，点有如下两种可能： ①点为点，则，可得；.................8分 ②点在线段上运动时，此时与同向，取， 则． 因为，所以的最大值为．..............................................................12分 （3）易知，设，则..............14分 当时，，则，，满足题意； 当时，， 由分段函数性质可知， 又且恒成立，当且仅当时等号成立． 综上，满足条件的直线有且只有两条，和．.........................................................................17分 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年下学期期中考试试卷 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得：，设其倾斜角为，， 所以斜率， 故倾斜角为， 故选：C 2．设，向量，，，且，，则等于（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【详解】， ， ，， ， ， ，． ， ． 故选：C. 3．空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，连结，因，点为的中点，则， 于是，. 故选：B. 4．设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆，可得， 所以，所以椭圆的离心率， 又，所以双曲线的离心率为， 又双曲线，所以， 所以，解得. 故选：B. 5．已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 设，则，解得或（舍去）， 则． 故选：B． 6．在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 设平面的法向量为， 则，令，得，所以， 故，设直线与平面所成角为， 则，所以. 故选：D 7．设双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，且，若的面积为3，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】由双曲线C：, 可得，∴. ∵, ∴. 假设在双曲线右支上， 则两边平方得， ∴， 又∵ 的面积为 3， ∴，即. 故选：A. 8．已知椭圆的上顶点为，离心率为，过其左焦点倾斜角为30°的直线交椭圆于，两点，若的周长为16，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为椭圆的离心率，可得， 所以，即，可得， 则点，右焦点，所以， 由题意可得直线的斜率， 所以，即， 由题意设直线的方程为， 直线的方程为， 设直线与直线的交点为， 联立，可得，， 则，可得为的中点，所以直线为线段的中垂线， 即，， 的周长为，可得， 所以，， 所以椭圆的方程为：. 故选：C． 1、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．若直线经过第三象限，则， C．点在直线上 D．存在使得直线与直线垂直 【答案】ACD 【详解】对于A：直线的斜率，所以该直线的倾斜角为，故A正确； 对于B：当，时，直线经过第三象限，故B错误； 对于C：将代入方程，则，即点在直线上，故C正确； 对于D：若两直线垂直，则，解得，故D正确. 故选：ACD. 10．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（    ） A． B．直线与所成角的余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．存在实数使得 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】BD 【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 对于A，，故与不垂直，故A错误； 对于B，， 所以直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，由上，所以， 所以即，又， 所以， 因为，又由正方体性质可知平面即平面， 所以，故C错误； 对于D，若存在实数使得， 则， 所以，所以，故D正确. 故选：BD. 11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，点满足．设点的轨迹为，则（    ） A．轨迹的方程为 B．在轴上存在异于的两点，使得 C．当三点不共线时，射线是的角平分线 D．在轨迹上存在点，使得 【答案】BCD 【详解】对于A，设，则，整理得，即，A错误； 对于B，假设在轴上存在异于，的两点，，使得， 设，，则， 整理得，而点的轨迹方程为， 于是，解得或（舍去），B正确； 对于C，如图所示， 当三点不共线时，，即， 于是，显然，因此， 射线是的角平分线，C正确； 对于D，假设在C上存在点M，使得，设，则，， 则，整理得，又， 联立解得或，D正确. 故选：BCD 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第二部分（非选择题 共92分） 2、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若双曲线的一个焦点，一条渐近线方程为，则 ． 【答案】 【详解】双曲线的渐近线方程为， 又为双曲线的一条渐近线， 所以， 设双曲线的半焦距为，因为为其一个焦点， 所以，又， 所以， 所以. 故答案为：. 13．在空间直角坐标系中，点为平面外一点，点为平面内一点．若平面的一个法向量为，则点到平面的距离是 ． 【答案】/ 【详解】由题知，又平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为， 故答案为：. 14．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则 . 【答案】 【详解】解：连接，如图所示： 因为是的中点，分别是，的中点， 所以 , 又因为，所以， 所以.故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值. 【详解】（1）因为，的中点为，且直线的斜率， 则线段的垂直平分线所在直线的方程为，.............................................................3分 联立方程，解得，.....................................................................................5分 即圆心，， 所以，圆的方程为..............................................................................................7分 （2）因为直线被曲线截得弦长为， 则圆心到直线的距离，...............................................................................................10分 由点到直线的距离公式可得，解得...........................................................13分 16．（15分）已知抛物线C：的焦点与双曲线E：的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为. (1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程. (2)斜率为1且纵截距为的直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，求的面积 【详解】（1）因为双曲线E的渐近线方程为. 所以，解得，从而，即，...................................3分 所以右焦点为，从而，解得， 抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程依次分别为，..........................6分 （2）    由题意直线，它过抛物线的焦点， 联立抛物线方程得，化简并整理得， 显然，， 所以，.................................................................................10分 点到直线的距离为，.....................................................................12分 所以，即的面积为.............................................15分 17．（15分）在四棱锥中，，，平面平面，，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：过作于， 因为，所以与相交， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，...........................................................................................................2分 因为平面，所以， 因为，与相交，平面， 所以平面；.......................................................................................................4分 （2）取的中点，连接， 因为，，所以， 因为，所以为等边三角形，， 所以，因为，所以， 因为平面，平面，所以， 所以两两垂直，.....................................................................................................6分 所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 所以，...............................................................................8分 因为，，，平面 所以平面，所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则 .......................................................................................................11分 （3）因为， 所以， 设平面的法向量为，则 ，令，则，...........................................13分 设平面的法向量为，则 ，令，则，.................................................15分 所以， 因为二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为...............................................................................17分 18．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为． (1)求的方程； (2)若的面积为，求的方程； (3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意知，所以， 的周长为，所以， 所以， 故的方程为．..........................................................................................4分 （2）易知的斜率不为0，设， 联立，得， 所以．........................................................................6分 所以， 由， 解得， 所以的方程为或．.................................................................10分 （3）由（2）可知，...................12分 因为的斜率是的斜率的2倍，所以， 得．.....................................................................................................14分 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为．.............................................................................................17分    19．（17分）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． (1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，，求的最大值； (3)已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 【详解】（1），.............................1分 ， ；.........................................................4分 （2）设，由题意得：， 即，而表示的图形是正方形， 其中、、、．................................................................6分 即点在正方形的边上运动，，， 可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值． 因此，点有如下两种可能： ①点为点，则，可得；.................8分 ②点在线段上运动时，此时与同向，取， 则． 因为，所以的最大值为．..............................................................12分 （3）易知，设，则..............14分 当时，，则，，满足题意； 当时，， 由分段函数性质可知， 又且恒成立，当且仅当时等号成立． 综上，满足条件的直线有且只有两条，和．.........................................................................17分 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$