小升初典型奥数：抽屉原理（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

抽屉原理 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 2024年10月 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体． 例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况： ①4＝4+0+0 ②4＝3+1+0 ③4＝2+2+0 ④4＝2+1+1 观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体． 抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有： ①k＝[]+1个物体：当n不能被m整除时． ②k个物体：当n能被m整除时． 理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数． 例：[4.351]＝4；[0.321]＝0；[2.9999]＝2； 关键问题：构造物体和抽屉．也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算． 第二部分 典型例题 例题1：一兴趣小组有10名学生，他们都订阅甲、乙两种杂志中的一种或两种．问：至少有多少名学生订阅的杂志种类相同？ 【答案】4名 【详解】1+2=3（种） 10÷3=3（名）……1（名） 3+1=4（名） 答：至少有4名学生订阅的杂志种类相同． 例题2：幼儿园买来了很多白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友可以任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意7个小朋友中总有两个小朋友的玩具相同，请说明道理． 【答案】每个小朋友可以任意选择两件，选择情况有：2个白兔、2个熊猫、2个长颈鹿、白兔和熊猫、白兔和长颈鹿、熊猫和长颈鹿，一共有6种拿法；最差情况是6个小朋友选择的玩具各不相同，分别是上面的6种情况；此时只要有一个要朋友再任意选择两个玩具，就能保证有两人选的玩具是相同的； 6+1=7（个）； 所以，在任意7个小朋友中总有两个小朋友的玩具相同． 【详解】已知共有三种玩具，每个小朋友任意选择两件相同的玩具有3种情况；选择两件不同的玩具一共有3种不同的情况，所以一共有6种不同的拿法，最差情况是6个小朋友选择的玩具各不相同，此时只要有一个要朋友再任意选择两个玩具，就能保证有两人选的玩具是相同的，所以在任意7个小朋友中总有两个小朋友的玩具相同；据此解答． 例题3：六（1）班有个书架，40名同学可以任意借阅，试问书架上至少要多少本书，才能保证至少有一名同学能借到两本或两本以上的书？ 【答案】41本 【分析】把40个同学看做40个抽屉，要保证至少有1个学生拿到2本或2本以上的书，则书的数量应该是比学生数多1，即40+1=41，据此即可解答． 【详解】解：根据题干分析可得：40+1=41（本）， 答：书架上至少要41本书，才能保证至少有一名同学能借到两本或两本以上的书． 例题4：“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人。试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等。 【答案】见详解 【分析】题目并未给出小朋友的数量，可以假设为n，那么苹果数是n，这里抽屉数是每个小朋友遇到的熟人数目；然后按照小朋友有没有遇到熟人进行分类讨论。 【详解】证明： 假设共有n个小朋友到公园游玩，我们把他们看作n个“苹果”，再把每个小朋友遇到的熟人数目看作“抽屉”，那么， n个小朋友每人遇到的熟人数目共有以下n种可能：0，1，2，…， n−1，其中0的意思是指这位小朋友没有遇到熟人；而每位小朋友最多遇见n−1个熟人，所以共有n个“抽屉”；下面分两种情况来讨论： （1）如果在这 n个小朋友中，有一些小朋友没有遇到任何熟人，这时其他小朋友最多只能遇上 n−2个熟人，这样熟人数目只有n−1种可能：0，1，2，…， n−2 ； 这样，“苹果”数（n个小朋友）超过“抽屉”数（n−1种熟人数目），根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等。 （2）如果在这n个小朋友中，每位小朋友都至少遇到一个熟人，这样熟人数目只有n−1种可能：1，2，3，…， n−1 ； 这时，“苹果”数（n个小朋友）仍然超过“抽屉”数（n−1种熟人数目），根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等。 总之，不管这n个小朋友各遇到多少熟人（包括没遇到熟人），必有两个小朋友遇到的熟人数目相等。 【点睛】本题考查的是抽屉原理的问题，首先要找出题目中的隐藏的抽屉数和苹果数。 第三部分 高频真题 1．一副扑克牌(大、小王除外)，有四种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，至少要抽几张，才能保证有四张牌是同一花色的？ 2．据说人的头发不超过20万根，如果陕西省有3645万人，根据这些数据，你知道陕西省至少有多少人头发根数一样多吗？ 3．学校举行开学典礼，要沿操场的400米跑道插40面彩旗．能否找到一种插法，使得任何两面彩旗之间的距离都大于10米？ 4．把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔？ 5．把1、2、3、…、10这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻的三个数之和不小于17。 6．两个布袋各有12个大小一样的小球，且都是红、白、蓝各4个。从第一袋中拿出尽可能少的球，但至少有两种颜色一样的放入第二袋中；再从第二袋中拿出尽可能少的球放入第一袋中，使第一袋中每种颜色的球不少于3个。这时，两袋中各有多少个球？ 7．六年级有240人，男生和女生的人数比是1∶1，至少随机选取多少人，才能保证选出的学生中男、女生都有？ 8．口袋里放有足够多的红、白两种颜色的球，有若干人轮流从袋中取球，每人取三个球．要保证有4人取出的球的颜色完全相同，至少应有多少人取球？ 9．10双不同尺码的鞋子堆在一起，若随意地取出鞋来，并使其至少有两只鞋可以配成一双，试问需取出多少双鞋就能保证成功？ 10．海天小学五年级学生身高的厘米数都是整数，并且在厘米到厘米之间（包括厘米到厘米），那么，至少从多少个学生中保证能找到个人的身高相同？ 11．有只鸽笼，为保证至少有只鸽笼中住有只或只以上的鸽子。请问：至少需要有几只鸽子？ 12．要做一个长6分米，宽40厘米，高3分米的长方体木制抽屉，至少需要多少平方米的木板？ 13．衔衔家今天有5个人，衔衔妈妈至少要买几个苹果分给大家，才能保证至少有一人能得两个苹果？ 14．口袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各20个，至少要摸出多少个球，才能摸出红球与黄球的和比蓝球多？黄球与蓝球的和比红球多？红球与蓝球的和比黄球多？ 15．班上有名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？ 16．100名少先队员选大队长，候选人是甲、乙、丙三人，选举时每人只能投票选举一人，得票最多的人当选，开票中途累计，前61张选票中，甲得35票，乙得10票，丙得16票．那么，在尚未统计的选票中，甲至少再得多少票就一定能当选？ 17．从1、2、3、…、1998、1999这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个数的差不等于4？ 18．六年级一班同学年龄都相同，并且至少有两个同学出生在同一周内，这个班至少有多少名同学？ 19．学校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生至少有3人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人数为多少人？ 20．某班的小图书库，有诗歌、童话、小人书三类课外书，如果每位同学最多可以借阅两种不同类型的书．至少有多少位同学来借书，才一定有两位同学借阅的书的类型相同． 21．全世界52个国家308名选手参加了第三十一届国际中学生数学奥林匹克竞赛，按组委会规定，每个国家的选手不得超过6名，问至少有几个国家派足6名选手参赛？ 22．从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意抽出5张，那么至少有3张是同花色．你认为这个说法对吗?你的理由是什么? 23．在长度是10厘米的线段上任意取11个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于1厘米？ 24．一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块？ 25．体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球，有66个同学来仓库拿球，要求每个人至少拿一个，最多拿两个球，问至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样的？ 26．9条直线的每一条都把一个正方形分成两个梯形，而且它们的面积之比为2∶3。证明：这9条直线中至少有3条通过同一个点。 27．任给六个数字，一定可以通过加、减、乘、除、括号，将这六个数组成一个算式，使其得数为105的倍数。 28．一个盒子里装有黑白两种颜色的跳棋各10枚，从中最少摸出几枚才能保证有2枚颜色相同？从中至少摸出几枚，才能保证有3枚颜色相同？ 29．只鸽子要飞进个笼子，每个笼子里都必须有只，一定有一个笼子里有只鸽子。对吗？ 30．体育组有足球、篮球和排球，上体育课前，老师让一班的41名同学往操场拿球，每人最多拿两个．问：至少有几名同学拿球的情况完全一样？ 31．有一个布袋中有5种不同颜色的球，每种都有20个，问：一次至少要取出多少个小球，才能保证其中至少有3个小球的颜色相同？ 32．黑、白、黄三种颜色的筷子各有很多根，在黑暗处至少拿出几根筷子就能保证有一双是相同颜色的筷子？ 33．有10把钥匙，去开10扇门，但是不知道哪把钥匙和哪个门是匹配的，问：至少要开多少次，才能确保把所有的钥匙和门匹配上？ 参考答案： 1．13张 【详解】3×4＋1＝13(张) 2．183人 【详解】解：人的头发不超过20万根，可看作20万个“抽屉”，3645万人可看作3645万个“元素”，把3645万个“元素”放到20万个“抽屉”中，得到3645÷20＝182……5 根据抽屉原则的推广规律，可知k＋1＝183 答：陕西省至少有183人的头发根数一样多． 3．不能 【详解】将400米平均分成40份，每一份之间的距离为10米，也就是说总能找到2面彩旗之间的距离小于或者等于10米．所以没有哪种插法能使任何两面彩旗之间的距离都大于10米． 4．个 【分析】要想保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔，把小兔子当作“物品”，把“笼子”当作“抽屉”，根据抽屉原理求解即可。 【详解】（只） （只） （个） 答：至多9个笼子。 【点睛】本题考查的是抽屉原理，抽屉原理实则是最不利原则和平均原则的体现。 5．见详解 【分析】十个数按任意顺序排成一圈，如果以相邻的三个数为一组，那么总共可以找出10组数，这10组数的总和相当于把1~10的每一个数加了3次，总共是165，165是苹果数，10是抽屉数。 【详解】证明： 把这一圈从某一个数开始按顺时针方向分别记为 a1 、 a2 、 a3 、…、 a10 ； 相邻的三个数为一组，有 a1a2a3 、 a2a3a4 、 a3a4a5 、…、 a9a10a1 、 a10a1a2 共10组； 这十组三个数之和的总和为：； 根据抽屉原理： 所以一定有相邻的三个数之和不小于17。 【点睛】本题考查的也是抽屉问题，合理构造抽屉是求解问题的关键。 6．第一袋里有19个球，第二袋里有5个球。 【分析】这道题如果我们从正面分析，无论是第一次还是第二次的情况都很复杂，不容易考虑。这时我们可以反向考虑一下，也就是说我们从后往前推，当第二次取完之后，第一袋的球都保证了至少有三个，那么这个时候的最不利的情况是，某两种球全都拿到第一袋中，而第三种还只有2个，这时候如果再拿一个，就能保证每种球都至少有3个了。 第一次取完后，只需知道第一袋中有某种颜色的球不足3个即可（取了多少个球，怎样取的都可以不考虑）。第二次取后，要保证第一袋中每种颜色的球不少于3个，最不利的情况是两种颜色的球各有8个，另一种颜色的球有3个。所以，第一袋中有球8＋8＋3＝19（个），第二袋中有球4×3×2－19＝5（个）。 【详解】第一袋中：8＋8＋3＝19（个） 第二袋中：4×3×2－19＝5（个） 答：这时第一袋里有19个球，第二袋里有5个球。 【点睛】有的时候如果正面考虑情况太复杂，我们不妨从反面考虑一下。 7．121人 【分析】六年级有240人，男生和女生的人数比是1∶1，根据比的应用求出男生和女生的人数，至少随机选取（男生人数＋1）或（女生人数＋1）才能保证选出的学生中男、女生都有。 【详解】男生人数：240×＝120（人） 女生人数：240×＝120（人） 120＋1＝121（人） 答：至少随机选取121人，才能保证选出的学生中男、女生都有。 8．13人 【详解】每个人取出来的球只有可能是这4种情况：3白，3红，2白1红，1白2红. 根据抽屉原理：4×（4-1）+1=13（人） 答：至少应有13人取球． 9．6双 【分析】从最极端情况分析，我们假设左脚的鞋为abcdefghij；右脚的鞋为ABCDEFGHIJ；由于只有相同字母的才能配成一双，最坏的可能是一种字母拿出一只（拿出十只）如果再多拿一只就肯定会配上一双鞋，但题目是需要取出多少双鞋就能保证成功（不可能出现5.5双）所以为六双。 【详解】5＋1＝6（双） 答：需取出6双鞋就能保证成功。 【点睛】此题做题的关键是从最极端情况进行分析，进而通过分析得出问题答案。 10．个 【分析】身高可能是140~150厘米，总共11种可能，这11种身高即为抽屉数，然后不能保证能找到4个人的身高相同的最大数量是这11种身高都取出3个人，那么再多取1人就可以了。 【详解】身高的可能性：140厘米、141厘米、142厘米、143厘米、144厘米、145厘米、146厘米、147厘米、148厘米、149厘米、150厘米，共11种； （人） （人） 答：至少从34个学生中保证能找到4个人的身高相同。 【点睛】本题考查的是最不利原则，首先找到不符合要求的最大数量，加上1，即为符合要求的最小数量。 11．只 【分析】当每个鸽笼各住1只鸽子时，总共10只鸽子，此时是不符合要求的，但只要再多1只鸽子，不论在哪一个笼子里，一定可以保证至少有1只鸽笼中住有2只鸽子。 【详解】（只） （只） 答：至少需要有11只鸽子。 【点睛】本题考查的是最不利原则，也就是按照最倒霉的情况考虑问题，要满足什么，就偏不满足。 12．答：做一个这样抽屉至少需要0.84平方米的木板． 【详解】试题分析：首先要明确长方体木抽屉共有5个面，即四周的侧面加上一个底面就是本题要求的问题，注意单位不统一，先转化成统一单位再解答． 解：40厘米=4分米 （4×3+6×3）×2+6×4， =30×2+24， =84（平方分米） 84平方分米=0.84平方米； 答：做一个这样抽屉至少需要0.84平方米的木板． 点评：把四周的面积加上一个底面积就是做一个这样抽屉需要的木板的面积． 13．5+1=6（个） 【详解】略 14．：至少需要摸出41个球，才能使摸出红球与黄球的和比蓝球多，且黄球与蓝球的和比红球多，红球与蓝球的和比黄球多． 【详解】试题分析：考虑最差情况：蓝球20个全部摸出，要使摸出的红球与黄球的和比蓝球多，则还需要摸出21个球，这21个球肯定没有蓝球，所以21个球是红球与黄球的和；同理，后两个问题据此解答． 解答：解：（1）考虑最差情况：蓝球20个全部摸出， 要使摸出的红球和黄球的个数比蓝球多，则还需要摸出红球和黄球共21个球， 20+21=41（个）， 所以至少摸出41个球，正好满足摸出红球与黄球的和比蓝球多， （2）考虑最差情况：红球20个全部摸出， 要使摸出的黄球和蓝球的个数比红球多，则还需要摸出黄球和蓝球共21个球， 20+21=41（个）， 所以至少摸出41个球，正好满足摸出黄球与蓝球的和比红球多， （3）考虑最差情况：黄球20个全部摸出， 要使摸出的红球和蓝球的个数比红球多，则还需要摸出红球和蓝球共21个球， 20+21=41（个）， 所以至少摸出41个球，正好满足摸出红球与蓝球的和比黄球多， 答：至少需要摸出41个球，才能使摸出红球与黄球的和比蓝球多，且黄球与蓝球的和比红球多，红球与蓝球的和比黄球多． 点评：此题考查了抽屉原理在实际问题中的灵活应用，要注意从最差情况进行分析． 15．本 【分析】要保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书，可以给每个小朋友都先分1本书，现在是不符合要求的，但只要再拿一本书分给任意一个小朋友，就可以保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书。 【详解】（本） （本） 答：老师至少拿29本书。 【点睛】本题考查的是最不利原则，可以先找出不符合要求的最大数量，加上1即为符合要求的最小数量。 16．11票 【详解】在前61票中，甲最大的竞争对手是丙．一共100张选票，乙已经得到10票，甲和丙的总票数最多为100-10=90票．甲若当选，必须获得90票中的一半以上即46票方可．所以甲至少再得46-35=11（票）． 17．1000个 【分析】把这组数据先划分成四组公差为4的等差数列，则差是4的数都在同一个数列之中，由此即可进行推理解答。 【详解】把1，2，3…1998，1999这1999个数分成四组公差是4的等差的数列， 1，5，9，13…1993，1997﹣﹣﹣﹣共500个数； 2，6，10，14…1994，1998﹣﹣﹣﹣共500个数； 3，7，11，15…1995，1999﹣﹣﹣﹣共500个数； 4，8，12，16…1992，1996﹣﹣﹣﹣共499个数； 我们发现：1.四行中每一行中任意相邻两数相差为4，不相邻两数相差不可能是4； 2.而分属不同两行的任意两个数相差不可能为4，因为如果相差为4的话，两数将被归为一行，这显然与事实矛盾； 故我们用这样的方法来选符合规定的数：前三行每隔一个数选一个，每行最多可选250个数；第四行先选4，再隔一个数字选一个，可选出250个，最终得到250×4＝1000个数。 答：最多可以取1000个数，才能使其中每两个数的差不等于4。 【点睛】本题难度较大，关键是掌握满足条件的数的特征，然后有的放矢的进行解答。注意不要漏解。 18．54名 【分析】一年有365天，最多有366天，每周有7天，用366÷7=52（周）..2（天），52+1=53，把53个周看作53个抽屉，至少有两个同学出生在同一周内，这个班至少有53+1=54人；由此解答即可． 【详解】解：用366÷7=52（周）..2（天） 52+1=53 把53个周看作53个抽屉，至少有两个同学出生在同一周内， 这个班至少有：53+1=54（人）； 答：这个班至少有54名同学． 19．46人 【详解】因为分成四组，必有一组的女生至少有3人，所以女生至少有4×2＋1＝9（人），因为任意10人中必有男生，所以女生人数也至多9人，所以女生有9人，则男生有55－9＝46（人）． 20．7位 【分析】首先把诗歌、童话、小人书三类课外书任意两本排列，一共有（诗歌，童话），（童话，小人书），（诗歌，小人书）三种情况；任意借1本，又有3种情况；一共是6种情况，看做6个抽屉，只要学生数比抽屉1就可以使同学来借阅时就一定会有两位同学借阅图书的种类相同． 【详解】一共有（诗歌，童话），（童话，小人书），（诗歌，小人书）三种情况；任意借1本，又有3种情况；一共是6种情况，构造6个抽屉，6+1=7（位）， 答：至少要7位学生借阅才能保证其中一定有2个人所借阅的图书属于同一种类． 21．48 【详解】试题分析：每个国家最多派出的选手不超过6名，而且要保证派满6名选手的国家数量最少，我们可以假设52个国家每个国家都派了5名，则剩下308﹣52×5=48（名）选手．因为每个国家派出的选手不超过6名，所以只好把48名选手平均分到48个国家中去，也就是说，至少有48个国家派足6名选手参赛． 解：308﹣52×5 =308﹣260 =48（名） 48÷（6﹣5） =48÷1 =48（个） 答：至少有48个国家派足6名选手参赛． 【点评】此题也可这样解答：假设52个国家都派了6名选手，则一共有52×6=312（名）选手，结果只去了308名，说明至多有4个国家没派足6名选手，那么至少有52﹣4=48个国家派足6名选手参赛． 22．这种说法不对，理由是：        5÷4=1……1        1+1=2（张） 所以是至少有2张是同花色的． 【详解】略 23．至少存在两个点，它们之间的距离不大于1厘米． 【详解】把长度10厘米的线段10等分，那么每段线段的长度是1厘米（见下图）． 将每段线段看成是一个“抽屉”，一共有10个抽屉．现在将这11个点放到这10个抽屉中去．根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的点（包括这些线段的端点）．由于这两个点在同一个抽屉里，它们之间的距离当然不会大于1厘米． 所以，在长度是10厘米的线段上任意取11个点，至少存在两个点，它们之间的距离不大于1厘米． 24．9块 【详解】将1，2，3，4四种号码看成4个抽屉。要保证有一个抽屉中至少有3件物品，根据抽屉原理2，至少要有4×2＋1＝9（件）物品。所以一次至少要取出9块木块，才能保证其中有3块号码相同的木块。 25．8名 【分析】以拿球配组的方式为抽屉，每人拿一个或两个球，所以抽屉有：足、排、篮、足足、排排、篮篮、足排、足篮、排篮共9种情况，即有9个抽屉。 【详解】拿球方式： 拿1个足球，拿1个排球，拿1个篮球； 拿2个足球，拿2个排球，拿2个篮球； 拿足球和排球，拿足球和篮球，拿排球和篮球； 总共9种拿球方式； （名） 答：至少有8名同学所拿球的种类是一样的。 【点睛】本题考查的是抽屉原理，这里学生的拿球方式是抽屉数，首先要列举出所有的拿球方式。 26．见详解 【分析】如图，设正方形为ABCD，E、F分别是AB、CD的中点．设直线MN把正方形ABCD分成两个长方形ABMN和CDNM，并且与EF相交于P，然后根据题目的要求，构造抽屉，找出对应的苹果数和抽屉数，利用抽屉原理求解。 【详解】如图所示： 证明： 长方形ABMN的面积∶长方形CDNM的面积＝2∶3，如果把直线MN绕点P旋转一定角度后，原来的两个长方形就变成两个梯形，根据割补法两个梯形的面积比也为2∶3，所以只要直线MN绕点P旋转，得到的两个梯形的面积比为2∶3，所以将长方形分成2∶3的两个梯形必定经过点P，同样根据对称经过点Q的直线也是满足条件的直线，同理我们还可以找到把长方形分成上下两个梯形的两个点这样，在正方形内就有个固定的点，凡是把正方形面积分成两个面积为2∶3的梯形的直线，一定通过这4点中的某一个； 我们把这4个点看作4个抽屉，9条直线看作9个苹果，由抽屉原理可知，，所以，必有一个抽屉内至少放有3个苹果，也就是，必有三条直线要通过一个点。 【点睛】本题实质上考查的是抽屉原理，解决问题的关键是合理地构造抽屉，找出对应的抽屉数和苹果数。 27．见详解 【分析】假设算式是105的倍数，而105可以拆成3、5、7相乘，所有要考虑是否任给六个数字，都可以构造出3、5、7的倍数。 【详解】是105的倍数，那么我们的思路是使第一个括号里是7的倍数，第二个括号里是5的倍数，第三个括号里是3的倍数； 那么对于如果六个数字里有7的倍数，那么第一个括号里直接做乘法即可，如果没有7的倍数，那么我们做如下抽屉： 除以7的余数是1或者是6，除以7的余数是2或者是5，除以7的余数是3或者是4，那么六个数字肯定有两个数字在同一个抽屉里，那么这两个数如果余数相同，做减法就可以得到7的倍数，如果余数不同，做加法就可以得到7的倍数； 这样剩下的4个数中，同理可得后面的括号里也可以组合出5和3的倍数，于是本题可以证明。 【点睛】本题考查的是抽屉原理，对于任意的8个自然数，一定构造算式，使其得数为105的倍数。 28．3枚  5枚 【分析】把2种不同颜色看作2个抽屉，把2种不同颜色的跳棋看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放1个，共需要2个，再取出1个不论是什么颜色，总有一个抽屉里的和它同色，所以至少要取出：2+1=3（枚）； 把2种不同颜色看作2个抽屉，把2种不同颜色的跳棋看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放2个，共需要4个，再取出1个不论是什么颜色，总有一个抽屉里的和它同色，所以至少要取出：4+1=5（枚）；据此解答． 【详解】2+1=3（枚）， 2×2+1=5（枚）； 答：从中最少摸出3枚才能保证有2枚颜色相同，从中至少摸出5枚，才能保证有3枚颜色相同． 29．对 【分析】6只鸽子要飞进5个笼子，可以先让每个笼子飞进1只，这样每个笼子各有1只，第6只鸽子不论飞进哪一个笼子中，一定可以保证有一个笼子里有2只鸽子。 【详解】6只鸽子相当于是苹果，5个笼子相当于是抽屉； （只） 答：一定有一个笼子里有2只鸽子是对的。 【点睛】本题考查的是抽屉原理的问题，题目明确给出了抽屉数和苹果数，直接求解即可。 30．5名 【详解】先看拿球情况． 如果拿一个，即从足球、篮球和排球中选一个，有3种方法； 如果拿两个，从足球、篮球和排球中选一种拿两个，有3种方法； 如果拿两个，从足球、篮球和排球中选两种各拿一个，有足球篮球、足球排球和排球篮球3种方法； 一共有3+3+3=9（种）方法． 419=4……5 4+1=5（名） 答：至少有5名同学拿球的情况完全一样． 31．11个 【分析】5种颜色看作5个抽屉，当每种颜色的球取出2个，此时是不符合要求的，但只要再任取1个，不论是什么颜色，都能保证其中至少有3个小球的颜色相同。 【详解】5种颜色看作5个抽屉： （个） （个） 答：至少要取出11个小球。 【点睛】本题考查的是抽屉原理中的最不利原则，要按照最不利于事件发生的方式考虑问题。 32．根 【分析】考虑最“倒霉”的情况，每样各取一根，都凑不成双，但只要再取1根，不论什么颜色，都可以凑出1双相同颜色的筷子。 【详解】先黑、白、黄三种颜色的筷子各取1根，取出3根，此时是不符合要求的最大数量； 但只要再取1根，一定可以可以凑出1双相同颜色的筷子。 （根） 答：至少拿出4根筷子就能保证有一双是相同颜色的筷子。 【点睛】本题考查的是最不利原则，考虑问题就要按照最倒霉的情况分析，怎样不利于事件发生就怎样考虑。 33．45次 【分析】要保证所有的钥匙和门都能匹配上，我们用最不利原则来考虑，最不利的情况是，第一把钥匙开9次才能保证打开一扇门，因为如果9次都没打开，那么第10次就不用试了，肯定就是第10扇门了．然后再考虑第2把钥匙，第3把…… 【详解】9+8+7+6+5+4+3+2+1=45次． 答：至少要开45次，才能确保把所有的钥匙和门匹配上． 【点睛】此题有两点需要注意：一是要优先考虑保证，二是当前9次都打不开的时候，第10次就不用试了． 学科网（北京）股份有限公司 $$