解直角三角形重难点真题特训之易错必刷题型（60题20个考点）专练-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

解直角三角形重难点真题特训之易错必刷题型（60题20个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、求角的正弦值 1．（24-25九年级上·云南·阶段练习）在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦：我们把锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作进行计算即可．此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义． 【详解】解：，，， ∴， ， 故选：A． 2．（22-23九年级上·湖南长沙·阶段练习）在中，，是斜边上的中线，，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，求解锐角的正弦，先求解，再利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，， ∴， 则． ； 3．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在等腰中，，平分，，垂足为点E． (1)试说明：； (2)若，，则的值为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义． （1）利用等腰三角形“三线合一”的性质求得，得到，据此可证明； （2）利用等腰三角形的性质求得，根据相似三角形的性质求得，再利用三角函数的定义即可求解． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 易错必刷题二、已知正弦值求边长 4．（23-24九年级下·广西梧州·阶段练习）如图是一把圆规的平面示意图，是支撑臂，是旋转臂．已知，使用时，以点为支撑点，笔芯端点可绕点旋转作出圆．若支撑臂与旋转臂的夹角，则圆规能画出的圆的半径长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．先作于H，然后根据等腰三角形的性质和锐角三角函数即可表示出． 【详解】解：如图，，作于H，如图所示： ∴，， ∵， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 5．（2024·山东聊城·三模）如图，半径为6的扇形中，，C，D分别是半径的中点，连接，则图中阴影部分面积为 ．（用含的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了锐角三角函数，扇形面积；过点C作于E，求出，则可求得面积，再利用扇形面积减去面积，即得阴影部分面积． 【详解】解：如图，过点C作于E， C，D分别是半径的中点， ， ， ， 则； 故； 故答案为：． 6．（2024·江苏无锡·一模）在矩形中，． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图．先在上确定点E，使．再在上确定点F，使以F为圆心的圆经过点E和点C． (2)在（1）的条件下，若，且，则的长为_____（如需要画草图请使用试卷中的备用图）． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，正弦函数的定义，勾股定理，矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）以为圆心，为半径作弧交于点E，则．再作的垂直平分线，交于点F； （2）根据，设，，利用，列式计算求得，设，在中，由勾股定理列式计算求解即可． 【详解】（1）解：所作图形如图， （2）解：∵， ∴， 设，， ∴，， ∵， ∴，， 解得， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 故答案为：． 易错必刷题三、求角的余弦值 7．（24-25九年级上·山东泰安·期中）在中，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求角的余弦值，勾股定理等知识点，熟练掌握锐角三角函数的相关知识是解题的关键． 在中，由于，因而可设，，根据勾股定理可求得，由即可求出答案． 【详解】解：如图， ， 可设，， 根据勾股定理可得： ， ， 故选：． 8．（2024·上海·模拟预测）在中，，于D，若和的面积比为，则的余弦值为 【答案】 / 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、余弦的求解，根据题意证，根据和的面积比为可得和的面积比为，结合即可求解； 【详解】解：如图所示： ∵ ∴ ∵和的面积比为， ∴和的面积比为， ∵ ∴ ∴ 故答案为： 9．（2024九年级上·上海·专题练习）如图，分别求和的正弦､余弦．    【答案】； 【分析】本题考查求锐角三角函数值，根据锐角三角函数的定义，进行求解即可． 【详解】：如图，    ． 易错必刷题四、已知余弦求边长 10．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，电线杆与水平地面垂直，高度为h，两根拉线与相互垂直，点A，D，B在同一水平线上．若，则拉线的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查锐角三角函数，根据同角的余角相等得，由知，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 在中， ∵， ∴， 故选：B． 11．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）如图，在中，是边上的高，，，，则线段长为 【答案】5 【分析】本题主要考查了余弦的定义，勾股定理，由余弦的定义可得出，根据勾股定理求出，再根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 12．（23-24九年级上·西藏林芝·期末）如图，已知正六边形的边长为．求边心距的长． 【答案】3 【分析】本题考查正多边形的计算，解题关键是理解正六边形被半径分成了六个全等的等边三角形．先得到，，再利用余弦的含义解答即可． 【详解】解：∵边心距， ∴， ∵正六边形的边长为， ∴正六边形的半径为， 即， ∴， ∴正六边形的边心距是； 故答案为3． 易错必刷题五、求角的正切值 13．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在Rt中，，则的正切值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，根据勾股定理求出，根据正切的定义计算即可． 【详解】解：，，， ， ． 故选：A． 14．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使得点D落在上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，旋转的性质，勾股定理，先由勾股定理求出，再由旋转的性质得到，，，则，，再由正切的定义即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴ 由旋转得：，，， ， ， ， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在边上，，连结交于点． (1)求的长． (2)的值为___________． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、菱形的性质及三角函数，熟练掌握菱形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）由题意易得，然后根据正切的定义可进行求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为4． 易错必刷题六、已知正切值求边长 16．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，手电筒的灯泡A距离地面的高度为h，灯泡照亮范围的横截面是，且，，地面被照亮的区域是一个圆，则该圆的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正切函数，掌握等腰三角形的性质是关键；由等腰三角形的性质得，在中，利用正切函数即可求出． 【详解】解：，， ； 在中，， ， ； 故选：A． 17．（22-23九年级上·江苏常州·阶段练习）已知中，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角函数的定义、勾股定理，熟练掌握三角函数的定义以及勾股定理是解决本题的关键．设，则．勾股定理得到，根据正弦的定义即可得到答案． 【详解】解：如图．    ∵，， ∴设，则． ∴． ∴． 故答案为：． 18．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知中，，， ，请你利用尺规在边上求作一点D，使点D到的距离为1．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，作一个角的平分线，三角函数的定义，作的垂直平分线即可． 【详解】解：如图，点D即为所求． 过点D作于点E， 中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，，平分， ∴． 易错必刷题七、特殊三角形的三角函数 19．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数求出，然后利用三角形内角和定理求出，然后利用角的余弦值求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 20．（2024九年级上·河北·专题练习）计算： ， ． 【答案】 / 1 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：∵，， 故答案为：；1． 21．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）计算和解方程： (1) (2) 【答案】(1)2 (2)， 【分析】本题考查了实数的运算，解一元二次方程，解题的关键是： （1）根据零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值化简计算即可； （2）根据配方法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 易错必刷题八、特殊角三角函数值的混合运算 22．（22-23九年级下·天津·阶段练习）的值等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了特殊角锐角函数值．把特殊角锐角函数值代入计算，即可求解． 【详解】解：． 故选：B. 23．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记相关三角函数值是解题关键． 【详解】解：原式 故答案为：． 24．（24-25九年级上·山东泰安·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入，再计算即可； （2）把特殊角的三角函数值代入，再计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 易错必刷题九、用计算器求锐角三角函数值 25．（2024·山东烟台·一模）若tan，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了计算器的使用方法，牢记计算器的按键顺序是解题的关键； 首先找到的按键符号，即键，然后根据键的使用方法，结合题目，即可得出答案． 【详解】在计算器中按下，然后找到的按键符号，即键 按下键，再按键，A项符合题意 故选：A． 26．（23-24九年级上·山东烟台·期中）利用计算器求值时，若按键顺序为则输出结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，求一个数的立方根，根据题意可得计算的式子为，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，计算器输出的结果为， 故答案为：． 27．（22-23九年级下·全国·课后作业）已知下列锐角的三角函数值，用计算器求锐角A的度数： （l）；（2）； （3）；（4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（l）先启用科学计算器上功能，再按函数值，从而得出答案； （2）先启用科学计算器上功能，再按函数值，从而得出答案； （3）先启用科学计算器上功能，再按函数值，从而得出答案； （4）先启用科学计算器上功能，再按函数值，从而得出答案； 【详解】解：（l） ， （2）， （3） （4） 【点睛】本题主要考查计算器-三角函数，解题的关键是掌握如何启用科学计算器上，，功能． 易错必刷题十、利用同角三角函数关系求值 28．（23-24九年级上·湖南邵阳·阶段练习）如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同角的三角函数的关系，熟练掌握同角的三角函数的关系是解答本题的关键． 根据题意得，利用求出答案． 【详解】解：， ． 故选：． 29．（23-24九年级上·北京·单元测试）下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ． 【答案】③④ 【分析】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：①∵，， ∴不一定小于等于1，故①错误； ②若，则， ， ∴ ∴，故②错误； ③当时，， ∴越大，对边越大，且越接近斜边， ∴越大， ∴当时，，故③正确； ④∵，，， ∴，故④正确． 故答案为：③④． 30．（22-23九年级上·福建泉州·期中）计算：． 【答案】 【分析】根据同一个角正弦的平方与余弦的平方的和等于1，和特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查特殊角三角函数值的混合运算．掌握同一个角正弦的平方与余弦的平方的和等于1，特殊角的三角函数值是解题关键． 易错必刷题十一、求证同角三角函数关系式 31．（22-23九年级上·上海静安·课后作业）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，画出图形，根据正切的定义和同角的正切值相同即可得出结论． 【详解】解：如下图所示 在Rt中，=，故A不符合题意； 在Rt中，=，故B不符合题意； ∵∠A＋∠ACD=90°，∠BCD＋∠ACD=90° ∴∠A=∠BCD ∴=tan∠BCD=，故C不符合题意； ≠，故D符合题意． 故选D． 【点睛】此题考查的是正切，掌握正切的定义和同角的正切值相同是解决此题的关键． 32．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知：，，，请你根据上式写出你发现的规律 ． 【答案】 【分析】从角度的倍数关系方面考虑并总结写出结论． 【详解】根据题意发现：同一个角正弦与余弦的积等于这个角的2倍的正弦的一半， 规律为：. 故答案为. 【点睛】本题考点：同角三角函数的关系. 33．（2024·甘肃武威·模拟预测）如图，在中，，请验证的结论． 【答案】见解析 【分析】本题考查同角的三角函数之间的关系，勾股定理以及互余两角三角函数的关系，掌握直角三角形的边角关系是正确判断的前提．根据直角三角形的边角关系求解即可． 【详解】证明：在中，， ∴ 易错必刷题十二、互余两角三角函数的关系 34．（22-23九年级下·上海普陀·期中）在中，，已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用互余两角的三角函数关系求解，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了互余两角的三角函数关系，解题关键是掌握一个角的正弦值等于它的余角的余弦值． 35．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，在中，，垂足为D．给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．根据，可得，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ，故②正确；故③错误； ∵， ∴故④正确； 故答案为①②④． 36．（2024·广东惠州·一模）已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：      如图1： 如图2： 如图3： ①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ； ②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； ③已知：，且，求． 【答案】1，1，1①1②见解析③ 【分析】根据正弦函数的定义，计算即可得出结果； ①由上计算可想到在中，，都有； ②在中，，利用锐角三角函数的定义得出，，则，根据勾股定理得到，从而证明； ③利用关系式，结合已知条件，进行求解． 【详解】由图可知： 故答案为：1，1，1． ①观察上述等式，可猜想： 故答案为：1． ②在中， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ③∵， ∴ 【点睛】本题侧重考查互余两角三角函数值，掌握三角函数的定义是解题的关键． 易错必刷题十三、三角函数综合 37．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，已知，是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角函数的理解和计算，正确理解各种三角函数的意义是解题的关键． 【详解】解：∵，是斜边边上的高，， ∴都是直角三角形． 在中， ∵， 故选项B不正确； 在中， ∵， 故选项A、C不正确． 在中， ∵， ∴． ∴， 故选项D正确． 故选：D． 38．（2024·河南平顶山·二模）如图，一个钟摆的摆长为1.5米，当钟摆向两边摆动时，摆角为，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置与其摆至最低位置时的高度之差为 ．（用含的式子表示） 【答案】米 【分析】本题考查了垂径定理和锐角三角函数，根据题意将实际问题抽象为几何问题，再利用垂径定理和锐角三角函数解三角形是解此题的关键． 由题可知，秋千摆到最低点时，点为弧的中心 ，由垂径定理知，．再根据锐角三角函数解三角形求得即可． 【详解】解：∵点为弧的中点，为圆心， 由垂径定理知，，， ∵， ∴， ∵， 在中，由三角函数可得， ∴， 故答案为：米． 39．（2023·安徽合肥·二模）如图，的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连结OC、AC、BD． (1)求证：； (2)若，，求弧AD的长． 【答案】(1)见解析 (2)弧AD的长为 【分析】（1）利用半径相等，构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质，同弧上的圆周角相等，证明即可； （2）连结OD，利用三角函数求得圆心角的度数，后利用胡长庚公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：连结OD，设的半径为r， ∵的直径AB垂直于弦CD，， ∴，， 在中，， 即， 解得，， ∵， ∴， ∴， ∴弧AD的长． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，三角函数，弧长公式，熟练掌握三角函数，弧长公式是解题的关键． 易错必刷题十四、解直角三角形的相关计算 40．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，若，，则的长是（  ） A． B． C．60 D．80 【答案】D 【分析】本题主要考查的是解直角三角形，根据三角函数的定义求出，然后利用勾股定理即可求解．掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：D． 41．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面材料，，则，则，已知为锐角且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，利用关系式，结合已知条件且，进行求解即可． 【详解】解：根据题意，猜想：对任意锐角，都有． 证明过程如下： 如图，在中，过点作于，则， ，， ， ， ， ， 又，为锐角，， ． 故答案为：． 42．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，中，于点D，，， ，求，，，，的值． 【答案】，，，， 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，由正切的定义求出，再根据勾股定理求出，根据正弦的定义求出，由线段的和差求出，再根据勾股定理求出，再根据正弦和余弦的定义分别求出和即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，． 易错必刷题十五、解非直角三角形 43．（22-23九年级上·全国·单元测试）在锐角中，是高，如果，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义即可得出，，从而得出即可． 【详解】解：， 在中，， 在中，， ，， ， ， ， 故选：B．    【点睛】本题考查了三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 44．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在△ABC中，，，，则 ． 【答案】或 【分析】画出图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可． 【详解】解：情况一：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示： 过A点作AH⊥BC于H， ∵∠B=45°， ∴△ABH为等腰直角三角形， ∴, 在Rt△ACH中，由勾股定理可知：， ∴． 情况二：当△ABC为钝角三角形时，如图2所示： 由情况一知：，， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将△ABC分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论． 45．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点A作，垂足为D，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长； （2）利用锐角三角函数的定义和勾股定理分别求出和的长，从而求出的长，然后利用三角形的面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作于． 在中， ，， ， ∵在中，， ； （2）∵在中，， ， 在中，根据勾股定理， ， 的面积． 易错必刷题十六、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积! 46．（22-23九年级上·山西·期末）利用计算机可以辅助数学学习，如图是小明利用几何画板软件，绘制的他家（点）到两个景点，的示意图，景点位于他家的东南（即南偏东）方向，景点位于他家的正南方向，并测得，，则景点位于景点的（    ） A．南偏东方向 B．北偏东方向 C．北偏东方向 D．南偏东方向 【答案】B 【分析】过B作BD⊥AC于D，在Rt△ADB中，，∠DAB=45º利用三角函数求BD=AD=cos∠DAB•AB，然后求出CD，再利用三角函数求出∠C=30º，景点B在景点C的方向就知道了 【详解】过B作BD⊥AC于D， 在Rt△ADB中，，∠DAB=45º， ∴BD=AD=cos∠DAB•AB=， ∵， ∴CD=AC-AD=km， 在Rt△CDB中， ∵BD=1km，CD=km， ∴tan∠C=， ∵tan30º=， ∴∠C=30º， 景点B在景点C北偏东30º方向， 故选择：B． 【点睛】本题考查利用解直角三角形确定方位角问题，掌握解直角三角形的方法，方位角的表示方法是解题关键． 47．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 ． 【答案】220 【分析】过点作的垂线，得到两个直角三角形，根据题意求出两直角三角形中，和的长，用三角形的面积公式求出三角形的面积． 【详解】解：如图： 过点作的垂线，垂足为点． ， 设，， ， 可设，， ， ， ， 由，得， 则 故． 故答案是：220 【点睛】本题主要考查了解直角三角形与勾股定理结合求面积，如何解直角三角形是解题的关键． 48．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 易错必刷题十七、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 49．（2024·河北·模拟预测）如图，为测量建筑物的高，利用一架无人机A对建筑物的点B和点C进行观测，则下列说法错误的是（   ） A．仰角为 B．当无人机远离水平飞行时，仰角增大 C．俯角为 D．当无人机远离水平飞行时，俯角减小 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角性质，仰角和俯角的定义，仰视角线与水平线的夹角为仰角，俯视角线与水平线的夹角为俯角，据此即可作答． 【详解】解：∵利用一架无人机A对建筑物的点B和点C进行观测， ∴仰角为，俯角为， 故A和C选项是正确的，不符合题意； 如图： 当无人机远离水平飞行时，例如无人机飞行至时 则 ∴ ∴仰角减小 故选项是错误的，符合题意； 当无人机远离水平飞行时，例如无人机飞行至时 则 ∴ ∴俯角减小 故选项是正确的；不符合题意． 故选：． 50．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为，测得该建筑底部C处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为 m．（参考数据：，，）    【答案】262 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 作于，根据正切的定义求出，根据等腰直角三角形的性质求出，结合图形计算即可． 【详解】解：作于，如图所示：    由题意得：， ∴四边形为矩形， ， 在中，， 则， 在中，， ， ， 则该建筑的高度为， 故答案为：262． 51．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，一座古塔坐落在小山上(塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成，点A，B，C，O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，，求小李到古塔的水平距离即的长． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，根据题意可得：米，米，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，如图所示： 由题意得：米，米，，， ， ， ， 在中，米， 在中，米， 米， 米， 小李到古塔的水平距离即的长为米． 易错必刷题十八、方位角问题(解直角三角形的应用) 52．（2024·安徽蚌埠·一模）如图，一艘游船在海上由西往东匀速航行，上午在A处观测得灯塔P位于北偏东的方向上，游船继续航行，上午到达B处，此时测得灯塔P位于北偏东的方向上，那么游船由B 处航行到达离灯塔P 距离最近的位置的时间为（　） A．上午 B．上午 C．上午 D．上午 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用—方位角，解本题的关键是通过作辅助线构造含特殊角的直角三角形．的延长线于点N，由题易可知知图中有两个直角三角形且，；由图中各角之间的关系可得，利用等角对等边还可进一步推出；设出该船的速度并表示出和的长，再在中表示出的长，利用路程、速度与时间的关系即可求解． 【详解】作的延长线于点N， 根据题意可得，， ∵是的一个外角， ∴， ∴， 设该船的速度为，则． ∵在中，， ∴， ∴该船继续匀速航行到达离灯塔距离最近的位置所需时间是， ∴游船由B 处航行到达离灯塔P 距离最近的位置的时间为上午， 故选：B 53．（2024·广东广州·三模）如图，，分别表示的是一个湖泊的南、北两端和正东方向的两个村庄，村庄位于村庄的北偏东方向上．若，则该湖泊南北两端的距离为 （结果保留根号）．    【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，矩形的判定与性质，过作于，根据题意及三角函数可求得的长，从而得到的长，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，再运用三角函数定义求解． 【详解】如图，过作于，    ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， 则， ∴， 故答案为：． 54．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，，从A测得船C在北偏东的方向，从B测得船C在北偏东的方向，求船C离海岸线l的距离（即的长）（结果不取近似值）． 【答案】船C离海岸线l的距离为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键． 由题意得，则为等腰直角三角形，则，解得，由线段和差得到，即可求解． 【详解】解：由题意得， 在中，∵， ， ∴， 在中，∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 答：船C离海岸线l的距离为 易错必刷题十九、坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 55．（24-25九年级上·上海·期中）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（   ）    A．4米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，解决问题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形． 【详解】解：过点B作于点C， ∵传送带和地面所成斜坡的坡度为，米 ∴ ， ∴米， 在中，， 由勾股定理得米 ， 故选：D．    56．（24-25九年级上·上海·期中）小明沿坡比为的山坡向上走了13米．那么他沿着垂直方向升高了 米． 【答案】5 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 设沿着垂直方向升高了x米，根据坡度的定义用x表示出他行走的水平宽度，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：设小明沿着垂直方向升高了x米， ∵坡比为， ∴他行走的水平宽度为米， 由勾股定理得，， 解得∶， 即他沿着垂直方向升高了5米， 故答案为：5． 57．（2024·陕西西安·一模）某中学开展综合与实践活动，小宇所在的小组负责测量该校附近的山坡的护坡石坝坝顶与坝脚之间的距离，如图，他们的测量方法如下：小宇将一根长5米的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长1米处米）距离地面的高度米，小组其他同学测得石坝与地面的倾斜角．请你根据以上信息，求出石坝坝顶与坝脚之间的距离．（结果保留一位小数；参考数据：，， 【答案】4.2米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作于，根据平行线分线段成比例定理定理求出，再根据正弦的定义求出． 【详解】解：如图，过点作于， 则， ∴ ， 米，米，米， ， 解得：， 在中，， ， （米）， 答：石坝坝顶与坝脚之间的距离约为4.2米． 易错必刷题二十、其他问题!(解直角三角形的应用) 58．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，放风筝的人与风筝的水平距离是90米，若拉紧的风筝线与水平线的夹角，则放出的线的长度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：∵米，，， ∴， ∴， 故选：A． 59．（2024·福建泉州·模拟预测）我们在物理学科中学过：光线从空气射入并水中会发生折射现象（如图1）．为了观察光线的折射现象，设计了如图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在处，加水至处，光斑左移至处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，测得入射角，折射角，，则光斑移动的距离的长为 ．（用含，，的代数式表示） 【答案】 【分析】延长交于，利用三角函数解答即可．本题考查了列代数式的知识，掌握三角函数的性质是解题关键． 【详解】解：延长交于． ， ， ， ， ． 故答案为： 60．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节（、）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（参考数据：，，，） 【答案】每节拉杆的长度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数求线段的长是解题的关键． 如图1，作，垂足为，设，则，利用三角函数求出，如图2，作，垂足为，则，得到，然后利用列方程求解即可． 【详解】解：如图1，作，垂足为，设，则， ， ， 如图2，作，垂足为，则， ， ， ， ， 解得：． 答：每节拉杆的长度为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 解直角三角形重难点真题特训之易错必刷题型（60题20个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、求角的正弦值 1．（24-25九年级上·云南·阶段练习）在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·湖南长沙·阶段练习）在中，，是斜边上的中线，，，则的值是 ． 3．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在等腰中，，平分，，垂足为点E． (1)试说明：； (2)若，，则的值为 ． 易错必刷题二、已知正弦值求边长 4．（23-24九年级下·广西梧州·阶段练习）如图是一把圆规的平面示意图，是支撑臂，是旋转臂．已知，使用时，以点为支撑点，笔芯端点可绕点旋转作出圆．若支撑臂与旋转臂的夹角，则圆规能画出的圆的半径长度为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山东聊城·三模）如图，半径为6的扇形中，，C，D分别是半径的中点，连接，则图中阴影部分面积为 ．（用含的式子表示） 6．（2024·江苏无锡·一模）在矩形中，． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图．先在上确定点E，使．再在上确定点F，使以F为圆心的圆经过点E和点C． (2)在（1）的条件下，若，且，则的长为_____（如需要画草图请使用试卷中的备用图）． 易错必刷题三、求角的余弦值 7．（24-25九年级上·山东泰安·期中）在中，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·上海·模拟预测）在中，，于D，若和的面积比为，则的余弦值为 9．（2024九年级上·上海·专题练习）如图，分别求和的正弦､余弦．    易错必刷题四、已知余弦求边长 10．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，电线杆与水平地面垂直，高度为h，两根拉线与相互垂直，点A，D，B在同一水平线上．若，则拉线的长度为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）如图，在中，是边上的高，，，，则线段长为 12．（23-24九年级上·西藏林芝·期末）如图，已知正六边形的边长为．求边心距的长． 易错必刷题五、求角的正切值 13．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在Rt中，，则的正切值为（   ）． A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使得点D落在上，则的值为 ． 15．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在边上，，连结交于点． (1)求的长． (2)的值为___________． 易错必刷题六、已知正切值求边长 16．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，手电筒的灯泡A距离地面的高度为h，灯泡照亮范围的横截面是，且，，地面被照亮的区域是一个圆，则该圆的直径为（    ） A． B． C． D． 17．（22-23九年级上·江苏常州·阶段练习）已知中，，则 ． 18．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知中，，， ，请你利用尺规在边上求作一点D，使点D到的距离为1．（保留作图痕迹，不写作法） 易错必刷题七、特殊三角形的三角函数 19．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 20．（2024九年级上·河北·专题练习）计算： ， ． 21．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）计算和解方程： (1) (2) 易错必刷题八、特殊角三角函数值的混合运算 22．（22-23九年级下·天津·阶段练习）的值等于（    ） A． B． C． D．1 23．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）计算： ． 24．（24-25九年级上·山东泰安·期中）计算 (1)； (2)． 易错必刷题九、用计算器求锐角三角函数值 25．（2024·山东烟台·一模）若tan，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（    ） A．     B．   C．   D．   26．（23-24九年级上·山东烟台·期中）利用计算器求值时，若按键顺序为则输出结果为 ． 27．（22-23九年级下·全国·课后作业）已知下列锐角的三角函数值，用计算器求锐角A的度数： （l）；（2）； （3）；（4）． 易错必刷题十、利用同角三角函数关系求值 28．（23-24九年级上·湖南邵阳·阶段练习）如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 29．（23-24九年级上·北京·单元测试）下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ． 30．（22-23九年级上·福建泉州·期中）计算：． 易错必刷题十一、求证同角三角函数关系式 31．（22-23九年级上·上海静安·课后作业）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（   ） A． B． C． D． 32．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知：，，，请你根据上式写出你发现的规律 ． 33．（2024·甘肃武威·模拟预测）如图，在中，，请验证的结论． 易错必刷题十二、互余两角三角函数的关系 34．（22-23九年级下·上海普陀·期中）在中，，已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 35．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，在中，，垂足为D．给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． 36．（2024·广东惠州·一模）已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：      如图1： 如图2： 如图3： ①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ； ②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； ③已知：，且，求． 易错必刷题十三、三角函数综合 37．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，已知，是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 38．（2024·河南平顶山·二模）如图，一个钟摆的摆长为1.5米，当钟摆向两边摆动时，摆角为，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置与其摆至最低位置时的高度之差为 ．（用含的式子表示） 39．（2023·安徽合肥·二模）如图，的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连结OC、AC、BD． (1)求证：； (2)若，，求弧AD的长． 易错必刷题十四、解直角三角形的相关计算 40．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，若，，则的长是（  ） A． B． C．60 D．80 41．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面材料，，则，则，已知为锐角且，则 ． 42．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，中，于点D，，， ，求，，，，的值． 易错必刷题十五、解非直角三角形 43．（22-23九年级上·全国·单元测试）在锐角中，是高，如果，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 44．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在△ABC中，，，，则 ． 45．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积（结果保留根号）． 易错必刷题十六、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积! 46．（22-23九年级上·山西·期末）利用计算机可以辅助数学学习，如图是小明利用几何画板软件，绘制的他家（点）到两个景点，的示意图，景点位于他家的东南（即南偏东）方向，景点位于他家的正南方向，并测得，，则景点位于景点的（    ） A．南偏东方向 B．北偏东方向 C．北偏东方向 D．南偏东方向 47．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 ． 48．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 易错必刷题十七、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 49．（2024·河北·模拟预测）如图，为测量建筑物的高，利用一架无人机A对建筑物的点B和点C进行观测，则下列说法错误的是（   ） A．仰角为 B．当无人机远离水平飞行时，仰角增大 C．俯角为 D．当无人机远离水平飞行时，俯角减小 50．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为，测得该建筑底部C处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为 m．（参考数据：，，）    51．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，一座古塔坐落在小山上(塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成，点A，B，C，O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，，求小李到古塔的水平距离即的长． 易错必刷题十八、方位角问题(解直角三角形的应用) 52．（2024·安徽蚌埠·一模）如图，一艘游船在海上由西往东匀速航行，上午在A处观测得灯塔P位于北偏东的方向上，游船继续航行，上午到达B处，此时测得灯塔P位于北偏东的方向上，那么游船由B 处航行到达离灯塔P 距离最近的位置的时间为（　） A．上午 B．上午 C．上午 D．上午 53．（2024·广东广州·三模）如图，，分别表示的是一个湖泊的南、北两端和正东方向的两个村庄，村庄位于村庄的北偏东方向上．若，则该湖泊南北两端的距离为 （结果保留根号）．    54．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，，从A测得船C在北偏东的方向，从B测得船C在北偏东的方向，求船C离海岸线l的距离（即的长）（结果不取近似值）． 易错必刷题十九、坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 55．（24-25九年级上·上海·期中）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（   ）    A．4米 B．米 C．米 D．米 56．（24-25九年级上·上海·期中）小明沿坡比为的山坡向上走了13米．那么他沿着垂直方向升高了 米． 57．（2024·陕西西安·一模）某中学开展综合与实践活动，小宇所在的小组负责测量该校附近的山坡的护坡石坝坝顶与坝脚之间的距离，如图，他们的测量方法如下：小宇将一根长5米的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长1米处米）距离地面的高度米，小组其他同学测得石坝与地面的倾斜角．请你根据以上信息，求出石坝坝顶与坝脚之间的距离．（结果保留一位小数；参考数据：，， 易错必刷题二十、其他问题!(解直角三角形的应用) 58．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，放风筝的人与风筝的水平距离是90米，若拉紧的风筝线与水平线的夹角，则放出的线的长度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 59．（2024·福建泉州·模拟预测）我们在物理学科中学过：光线从空气射入并水中会发生折射现象（如图1）．为了观察光线的折射现象，设计了如图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在处，加水至处，光斑左移至处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，测得入射角，折射角，，则光斑移动的距离的长为 ．（用含，，的代数式表示） 60．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节（、）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（参考数据：，，，） 学科网（北京）股份有限公司 $$