解直角三角形重难点真题特训之压轴满分题型（30题10个考点）专练-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

解直角三角形重难点真题特训之压轴满分题型（30题10个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、求角的正弦值 1．（22-23九年级·浙江杭州·自主招生）网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点都在网格的交点处，则的值是（　　）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理、正弦的定义等知识点，根据网格和勾股定理以及等面积法求得成为解题的关键． 如图，取的中点D，则，垂足为E，由网格可得、，再根据等面积法求得，最后根据正弦的定义即可解答． 【详解】解：如图，取的中点D，则，垂足为E， 由网格可得，，， 则边上的高， ∵， ∴，即，解得：， ∴． 故选：C． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、坐标与图形、正弦的定义等知识点，正确如图：作的外接圆，将求转换为求成为解题的关键． 如图：先分别作的垂直平分线确定的外接圆，由圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，进而得到，然后根据勾股定理结合网格可得、，最后根据正弦的定义求得即可． 【详解】解：如图：先分别作的垂直平分线确定的外接圆， 由圆周角定理可得：， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，在矩形中，点E中的中点，交边于F，连． (1)求证：； (2)若，直线写出的值______； (3)如图2，点G为边上一点，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质以及求三角函数值，证明三角形相似并运用性质解决问题是解答本题的关键： （1）证明结合即可得出结论； （2）根据可得出设分别可求出从而可求出； （3）多次运用相似三角形的判定与性质可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴ （2）解：∵， ∴ ∵， ∴ ∵为的中点， ∴ ∴， ∴ 设则 解得， ∴ ∴ 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 压轴满分题二、求角的余弦值 4．（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、、、均在格点上，与相交于点，则的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于E，由可证，则可得，由此可求出的长，再在中根据面积法求出的长，再根据勾股定理求出的长，即可求出的余弦值，由于，因此可得的余弦值． 【详解】    作于E， ， ， ， ， ． 中， ． ， ， 解得， ． ， ． 故选：C 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、用面积法求直角三角形斜边上的高、勾股定理及余弦的定义．熟练掌握以上知识并且正确的作出辅助线是解题的关键． 5．（23-24九年级上·上海·开学考试）正二十四边形中心角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】由题意知，正二十四边形中心角的度数为，如图，中，，在上取点，连接，使，则，设，则，，，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，正二十四边形中心角的度数为， 如图，中，， 在上取点，连接，使， ∴， 设，则，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角，三角形外角的性质，余弦，正弦，勾股定理等知识．熟练掌握正多边形的中心角，三角形外角的性质，余弦，正弦，勾股定理是解题的关键． 6．（2024·山东济南·模拟预测）在中，已知，点是线段上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转到，旋转角等于，连接．    (1)如图1，若，则线段与线段的数量关系是______，此时______． (2)如图2，若，则线段与线段有怎样的数量关系？请给出证明，并求此时的度数． (3)当点在射线上时，过点作交于点．若，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，详见解析 (3)或，详见解析 【分析】本题考查几何变换的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质． （1）根据题意及旋转的性质证得为等边三角形，证明，即可解答； （2）过点作于点，过点作于点，证明，列出比例式，代入数值计算，即可解答； （3）设，分情况讨论：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，利用三角函数，勾股定理及相似三角形的性质与判定，即可解答． 【详解】（1），， 为等边三角形， ， 将线段绕点逆时针旋转到，旋转角等于， ，， 为等边三角形， ，， ， ， ，， ， 故答案为：；； （2），，证明如下： 如图，过点作于点，过点作于点，   ，，， ，，， ，， ， ∴ 又， ， 即， ， ，， ， ； （3）或，理由如下： 设， ①如图，当点在线段上时，   ， ， ，，， ， ， ，， ，， ， ， ， 在中，． ， ， ， ， ， ， 即； ②如图，当点在线段的延长线上时，   ， ， ， ， ， ， ， 即， 综上所述，或． 压轴满分题三、求角的正切值 7．（2024·浙江温州·一模）已知中，，以，为边分别向外作两个正方形，正方形，，，分别交边，于点，，下列说法不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先根据正方形的性质证明可得，可判断A选项；再根据直角三角形的斜边比直角边长可得，从而判定B选项；然后再运用等量代换可得可判定C选项，根据同角的余角相等可得，然后根据正切的定义以及等量代换可判定D． 【详解】解：∵中，，以，为边分别向外作两个正方形，正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， 在和中 ， ∴， ∴，即选项A说法正确，不符合题意； 在中，， ∴，即选项B说法正确，不符合题意； ∵，， ∴，即选项C说法不正确，符合题意； ∵， ∴， ∴，即：， ∴即， ∴，即选项D说法正确，不符合题意． 故选：C． 8．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图所示，在中，，点D是上的一点，且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识点，证得并根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 如图：过D作交于H，由平行线的性质得到，由勾股定理求出，由，推出，求出得到，然后根据正切的定义即可解答． 【详解】解：如图：过D作交于H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴, ∴． 故答案为：． 9．（2024九年级下·全国·专题练习）如图是由小正方形组成的网格，的顶点都是格点．先在上画点F，使得，再在上画点G，使得．    【答案】见解析 【分析】本题考查了复杂作图，涉及了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，三角函数．取格点，连接交于点，点即为所求．取格点，连接交于点，连接并延长，交于点，点即为所求． 【详解】解：如图，取格点，连接交于点，点即为所求．   ， ∴， ∵，，， ∴， ∴，∴， ∴； 取格点，连接交于点，连接并延长，交于点，点即为所求．设交于点， 同理， ∴， ∴，又， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴． 压轴满分题四、特殊三角形的三角函数 10．（2022·广东深圳·二模）如图，，都经过A、B两点，且点O在上，连接并延长，交于点C，连接交于点D，连接，，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过O1作O1E⊥AB，垂足为E，连接O1B，易证AC、AD分别是，的直径，根据垂径定理可得AB=AO，进而易证△ABO是等边三角形，在Rt△BAD中，利用正切求出AD，进而即可求解． 【详解】如图，过O1作O1E⊥AB，垂足为E，连接O1B， ∵AC是的直径， ∴∠ABC=90°， ∴AD是的直径， ∵， ∴AB=AO， ∴∠ABO=∠AOB， ∵， ∴AO=3，BO=3， ∴AO=AB=BO=3， ∵△ABO是等边三角形， ∴∠BAO=60°， ∵∠BAD=∠DAO， ∴∠BAD=30°， ∴∠BO1D=60°， 在Rt△BAD中，，     ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查圆的综合题，涉及到弧长公式、圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定及其性质、等腰三角形的性质、正切，解题的关键是熟练掌握圆的性质及定理求出的直径AD． 11．（21-22九年级上·四川宜宾·期末）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角和等腰直角，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得到，，再根据相似三角形的判定定理即证明，故①正确；根据相似三角形的性质得到，再由，即可证明，根据相似三角形的性质即可得出，故②正确；根据②易证，即得出，再根据，可求出 ，即易证，得出．最后等量代换即可求出，故③正确；设BE与AC相交于O，则，由，得出，即可求出，所以，故④错误． 【详解】∵和都为等腰直角三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴，即， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即． ∵， ∴，即，故③正确； 如图，设BE与AC相交于O，则， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误． 综上，可知正确的有①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判断，等腰直角三角形的性质以及特殊角的三角函数值．掌握三角形相似的判定条件和性质是解答本题的关键． 12．（2023九年级下·全国·专题练习）在学习华师版九上《解直角三角形》一章时，小华同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一般研究． (1)初步尝试：我们知道：_____，_____，发现结论：_____（填“”或“” (2)实践探究：在解决“如图1，在中，，，，求的值”这一问题时，小华想构造包含的直角三角形，延长到，使，连接，所以得，即转化为求的正切值，请按小华的思路求的值； (3)拓展延伸：如图2，在中，，，．请模仿小华的思路或者用你的新思路，试着求一求： ①的值； ②的值． 【答案】(1)，， (2) (3)①；② 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值填空即可求解； （2）如图，延长至，使得，进而根据正切的定义即可求解； （3）①作的垂直平分线交于，连接，设，则，解，进而即可求解． ②作交于点，使，同理解即可求解． 【详解】（1）解： ，， 发现结论：， 故本题答案为：，，； （2）在中，，，， ， 如图，延长至，使得， ， ， ，， ； （3）①如图，作的垂直平分线交于，连接， 则，，， 中，，，， ，， 设，则， 在中，， 解得：，即，， ； ②如图，作交于点，使， 则． 设，则， ， 设点到边上的距离的为， 根据等面积可得， ，即， ， 在中，， 即， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 即，， ． 【点睛】本题考查了正切的定义，特殊角的三角函数值，解直角三角形，根据等腰三角形构造半角或倍角是解题的关键． 压轴满分题五、利用同角三角函数关系求值 13．（21-22九年级下·湖南邵阳·自主招生）已知m为实数，且，是关于x的方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】先由一元二次方程根与系数的关系得到，再将原式变形为，再根据二倍角公式进行化简求值即可． 【详解】 ，是关于x的方程的两根 由一元二次方程根与系数的关系，可得 故选：C． 【点睛】本题属于初升高题目，考查了二倍角公式的运用，一元二次方程根与系数的关系，即如果方程的两个实数根是，那么，；也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商． 14．（22-23九年级下·湖北武汉·阶段练习）课堂上小刚进行如下实践操作：第一步，将一张矩形纸片利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，然后把纸片展平；第三步，如图3，折出内侧矩形AFBC的对角线AB，并把AB沿AQ对折到AD处．则 ． 【答案】 【分析】过点Q作，交于点G，根据题意，设，则；根据矩形和勾股定理性质，得、、，通过平行线和平行四边形性质，得；通过轴对称性质，得，，；根据平行四边形性质，得；再通过勾股定理、三角函数、二次根式性质计算，即可得到答案． 【详解】如图，过点Q作，交于点G 根据题意，设，则 ∵矩形AFBC ∴，，，即 ∴ ∴四边形为平行四边形 ∴ ∵AB沿AQ对折到AD处 ∴，， ∴四边形为平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形、正方形、平行四边形、平行线、勾股定理、二次根式、轴对称、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、平行四边形、轴对称、勾股定理、三角函数的性质，从而完成求解． 15．（2024·江苏盐城·二模）综合与实践 折纸中蕴藏着丰富的数学知识，也启迪着数学问题的解决．综合实践课上，老师和同学们一起通过折纸，探究数学的奥秘． 【折纸探究】 如图1，在矩形纸片中，点、分别在边和上，将矩形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点落在点处，连接，则与的位置关系为______； 折叠一：小明发现，当点和点重合时，连接，如图2，则有，请说明理由； 折叠二：如图3，若矩形是一张A4纸，探究、和三者之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 小华受【折纸探究】的启发，解决了下面的问题． 如图4，在矩形纸片中，点、分别在边和上，连接、、，平分，，，求的值．（用含有的代数式表示） 【答案】折纸探究：；折叠一：见解析；折叠2：，见解析；解决问题： 【分析】折纸探究：由折叠的性质可得；折叠一：可证明，得结论；折叠二：过点作，垂足为，连接，交于点，连接，证明，得，从而求出、和的关系；解决问题：延长到点，使得，连接，交于点，连接．易证，可转化为“折叠二”问题，得，把代入， 得 【详解】折纸探究：，     折叠一：连，交于点． ∵点和点关于对称， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 折叠二：过点作，垂足为，连接，交于点，连接． ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点和点关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：．     解决问题： 延长到点，使得，连接，交于点，连接． ∵平分， ∴， ∴， 转化为“折叠二”问题， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，关键是作适当的辅助线构造相似三角形． 压轴满分题六、三角函数综合 16．（2024·浙江宁波·一模）将正六边形折叠成三角形后（如图1）用剪刀剪下一个角，展开后得到如图2所示的图形，图2中虚线为折叠时产生的折痕，折痕，若剪完后所得阴影图形的面积为原正六边形面积的，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，正多边形的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些性质．过点作于点，过点作于点，根据题意得：每个被剪掉的小三角形（如）的面积占大三角形（如）面积的，设，可得，，由，可推出，根据三角形的面积关系求出，进而求出、，最后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 由折叠的性质知，被剪掉的个小三角形完全相同， 剪完后所得阴影图形的面积为原正六边形面积的， 每个被剪掉的小三角形（如）的面积占大三角形（如）面积的， 设， 则，， ，， ， ，， ， 或（舍去）， ，， ，， 由勾股定理得：，即， ， ， 故选：A． 17．（2024·山西长治·二模）如图，已知点C为线段的中点，且，连接，点E是上的一点，且，于点F，分别交，于点G，H，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理，设，则，再次运用勾股定理，得，得到；，根据，结合，后作差计算即可． 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角函数的应用，熟练掌握勾股定理，三角函数是解题的关键． 【详解】解：∵点C为线段的中点，且， ∴，， 设，则， 由勾股定理，得， 解得，， ∵，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 18．（23-24九年级下·江西宜春·期中）如图①，为等边三角形，动点从点出发，以的速度沿边运动至点；动点从点出发，以的速度沿边运动至点．若，两点同时出发，设点的运动时间为，的面积为，运动过程中，关于的函数图象如图②所示． (1)的边长为 ， ， ； (2)当时，求的长； (3)当时，求关于的函数解析式，并求出的最大值． 【答案】(1)，， (2) (3)，有最大值为 【分析】本题主要考查了函数的动点问题，三角函数、勾股定理等知识，根据动点的位置进行分类讨论是解决问题的关键． （1）由图可知当时，，即、都运动到点，此时，求出，即可求出的边长；根据题意可求出当运动到点时的时间是，求出时关于的函数解析式，结合图形即可求出，将代入函数解析式可求出； （2）过点作于点，当时，，，结合等边三角形的性质，利用三角函数求出，，进而求出，最后根据勾股定理即可求解； （3）过点作于点，则，利用三角函数求出，根据得到与的二次函数，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由图可知当时，，即、都运动到点， ， ， 当时，， 为等边三角形， ，即的边长为； 动点从点出发，以的速度沿边运动至点，， 当运动到点时的时间是， 当时，，，， 如图，过点作于点， 为等边三角形， ， ， ， 结合图像可知，当时，关于的函数是一次函数， ； 当时，， ； 故答案为：，，； （2）如图，过点作于点， 则， 当时，，， 在中，，， ，， ， 在中，； （3）如图，过点作于点，则， 当，即时，，， 在中，，， ， 又， 随的增大而减小， 当时，有最大值为． 压轴满分题七、解直角三角形的相关计算 19．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知在中，，，点是延长线上任意一点，作于点，于点，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，用函数思想确定的表达式是解题的关键．设，则，则，在中，，则，由，即可求解． 【详解】解：过点作于点，设交于点，过点作于点， ，，， ，，， 则， 设，则， 则， 在中，， 则， 则， 故的最小值为， 故选：A 20．（24-25九年级上·全国·期末）在矩形中，，，点在对角线上，且，过点作交于点，交于点，在上取一点，使，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质，锐角三角函数，分类讨论思想，关键是用锐角三角函数求出的长．根据题意可得，由可得，根据三角函数求，根据，则，可求的长，即可求的长． 【详解】解：如图： 矩形， ，， ； ， ，； ， ， ； 若在线段上， ， ， ， ， ； 若在线段上， ， ， ， ， ， 的长为． 故答案为：或． 21．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图1，在和中，，，，点在边上，是的中点．连结，是的中点． (1)求证：； (2)如图2，若点恰好在上，求出的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）利用“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”证明结论即可； （2）如下图，连接，由（1）可知，，，由相似三角形的性质可得，利用等腰三角形“三线合一”的性质以及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，即，再证明，易得，然后根据求解即可； 【详解】（1）证明：：∵，，， ∴， ∴，即，， ∴； （2）解：如下图，连接， 由（1）可知，，， ∴， ∵，，是的中点， ∴，，即， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，解直角三角形的相关计算，等边对等角等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形． 压轴满分题八、解非直角三角形 22．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，小黄站在河岸上的点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船的俯角是，若小黄的眼睛与地面的距离是米，米，平行于所在的直线，迎水坡的坡度为，坡长米，则此时小船到岸边的距离的长为（ ）米．（，结果保留两位有效数字） A．11 B．8.5 C．7.2 D．10 【答案】D 【分析】把AB和CD都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B和点D到CA的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度．CH﹣AE=EH即为AC长度． 【详解】过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG． ∵i==，设BE=4x，则AE=3x，AB=5x． ∵AB=10.5，∴x=2.1，∴BE=8.4，AE=6.3． ∵DG=1.6，BG=0.7，∴DH=DG+GH=1.6+8.4=10，AH=AE+EH=6.3+0.7=7． 在Rt△CDH中，∵∠C=∠FDC=30°，DH=10，tan30°==，∴CH≈17． 又∵CH=CA+7，即17=CA+7，∴CA=17﹣7=10（米）． 故选D． 【点睛】本题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键． 23．（23-24九年级下·上海·自主招生）一个三角形的边长为、、，另一个三角形的边长分别为、、，其中，若两个三角形的最小内角相等，则 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是添加合适的辅助线，构造直角三角形． 在中，，，在中，，，．过点A作于点H，于点．设，利用勾股定理求出，再根据，推出，构建关系式，即可得出答案． 【详解】解：如图， 在中，，，在中，，，． 过点A作于点H，于点．设 ， ， ， ， ， ，， ， ， 解得：或（负值舍去） 故答案为： 24．（2022·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （2）点为该抛物线上一点（不与点重合），直线将的面积分成2：1两部分，求点的坐标； （3）点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴移动，运动时间为秒，当时，求的值． 【答案】（1）；（2）点（6，-8）；（3）当点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴正方向移动时，秒；沿CO方向在轴移动时，秒． 【分析】（1）根据待定系数法将AB两点坐标代入函数解析式求解即可； （2）在的AB边上找到将AB分成2：1两部分的点Q，此时CQ将的面积分成2：1两部分，求出直线CQ与抛物线交点坐标即是点P坐标； （3）先利用图形在内构造，求出，在中由，，求出OM长即可解答， 【详解】解：（1）由抛物线经过点和点，得： ， 解得： 即：条抛物线所对应的函数表达式为：； （2）由（1）可知点C坐标为（0,4） ∵点和点． ∴， ∴将AB分成2：1两部分的点有原点和Q（2,0），此时CQ将的面积分成2：1两部分，如解（2）图， ∵点为该抛物线上一点（不与点重合）， ∴直线CP经过Q点， 设直线CP解析式为：，经过C（0,4），Q（2,0）两点，得： ， ∴， 即可设直线CP解析式为：， 联立函数解析式为：， 解得：，， 故P点坐标为（6，-8）， （3）如解（3）图取点A关于y轴对称点，连接，过点作，垂足为H， 由轴对称性质可知：，， ∴， ∵，即， ∴ ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 点从点出发，以每秒1个单位的速度运动： 当沿轴正方向移动时，，则秒， 当沿轴CO方向移动时，，则秒， 综上所述：当点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴正方向移动时，秒；沿CO方向在轴移动时，秒． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，问题（1）关键是在三角形边上找到将的面积分成2：1两部分直线CP经过的点，问题（3）关键是通过对称构造，再通过解三角形求解OM长． 压轴满分题九、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 25．（2022·广西·一模）如图，某数学兴趣小组想测量斜坡旁一棵树的高度，他们先在点处测得树顶的仰角为，然后在坡顶测得树顶的仰角为，已知斜坡的长度为，的长为，则树的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件结合三角函数得∠DCE=30°，进而得到∠DCB=90°，再由∠BDF=30°，可知∠DBE=60°，由DF//AE可得出∠BGF =60°，进一步可得∠ABC=30°，∠DCB=90°.故∠DBF=30°，所以∠DBC=30°，再由锐角三角函数的定义即可解答． 【详解】解：在Rt△CDE中，CD=10m，DE=5m， ∴sin∠DCE= ∴.∠DCE=30° ∵∠ACB=60°，DF//AE. ∴∠BGF=60° ∴∠ABC=30°，∠DCB=90° ∵∠BDF=30°， ∴∠DBF=60°， ∴∠DBC=30°， ∴（m） ∴（m）． 故选答案为B． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，正确作出辅助线、构造直角三角形并灵活运用锐角三角函数的知识是解答本题的关键． 26．（2022九年级·全国·专题练习）在数学实践活动课上，某兴趣小组测量操场上篮球筐距地面的高度如图所示，已知篮球筐的直径AB约为0.45m，某同学站在C处，先仰望篮球筐直径的一端A处，测得仰角为42°，再调整视线，测得篮球筐直径的另一端B处的仰角为35°．若该同学的目高OC为1.7m，则篮球筐距地面的高度AD大约是 m．（结果精确到1m）．（参考数据：tan42°≈0.9，tan35°＝0.7，tan48°≈1.1，tan55°≈1.4） 【答案】3 【分析】设OE＝x，AE＝BF＝y，然后通过解Rt△AOE，Rt△BOF，得出，，列方程组求得x，y的值，从而求得AD的高度． 【详解】解：如图： 由题意可得四边形AEFB是矩形，四边形OCDE是矩形， ∴AB＝EF＝0.45，OC＝ED＝1.7， 设OE＝x，AE＝BF＝y， 在Rt△AOE中，tan42°＝， ∴， 在Rt△BOF中，tan35°＝， ∴， 联立方程，可得，， 解得，， ∴AD＝AE+ED＝≈3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 27．（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：      (1)探究原理：制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G测量时，使支杆、量角器刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②），此时目标P的仰角是图②中的∠_____．目标P的仰角与图②中的∠_____相等，请写出这两个角相等的证明过程． (2)拓展应用：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F，E、F、H在同一直线上，分别测得点的仰角、，测得E、F间的距离2米，点、到地面的距离、均为1.5米．求PH的长（结果保留根号） 【答案】(1)，，证明见解析 (2)米 【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，理清题意，找到思路是解答本题的关键． （1）根据题意写出目标的仰角，再根据同角的余角相等找到和目标的仰角相等的角； （2）先根据解直角三角形的知识求出的长度，再根据求出的值即可． 【详解】（1）目标P的仰角是图②中的  目标P的仰角与图②中的相等 证明，， ， ； （2）解：由题意可得， ，米， 由图可得，，， ，， ， ， ， 米． 故的值为米． 压轴满分题十、方位角问题(解直角三角形的应用) 28．（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）平陆运河连通西江“黄金水道”和北部湾港口，是广西世纪大工程．如图是某港口的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是（   ）    A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先求得的度数，求得，则，设，则，根据，计算求解的值即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 过B作，垂足为P，    ∴， ∴，， ∴，， 设，则， ∴， 解得， ∴观测站到的距离是1． 故选：B． 29．（2023·山东泰安·模拟预测）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在A处时，船上游客发现岸上P1处的临皋亭和P2处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600m到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶400m到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．则临皋亭P1处与遗爱亭P2处之间的距离为 ．（计算结果保留根号） 【答案】（800400）m 【分析】如图，作P1M⊥AC于M，设P1M＝x，在两个直角三角形中，利用三角函数即可x表示出AM与CM，根据AC＝AM+CM即可列方程，从而求得P1M的长，进一步求得AP1的长，作BN⊥AP2于N，在两个直角三角形中，利用三角函数即可求出AN与P2N，求得P1N，从而求得P1P2． 【详解】解：作P1M⊥AC于M， 设P1M＝xm， 在Rt△P1AM中，∵∠P1AB＝45°， ∴AM＝P1M＝xm， 在Rt△P1CM中，∵∠P1CA＝30°， ∴MCP1Mxm， ∵AC＝1000 m， ∴x1000，解得x＝500（1）（m）， ∴P1M＝500（1）m， ∴P1A500（）m， 作BN⊥AP2于N， ∵∠P2AB＝45°，∠P2BA＝75°， ∴∠P2＝60°， 在Rt△ABN中， ∵∠P1AB＝45°，AB＝600 m ∴BN＝ANAB＝300（m）， ∴P1N＝500（）﹣300（500800） （m）， 在Rt△P2BN中， ∵∠P2＝60°， ∴P2NBN300100 （m）， ∴P1P2＝100（500800）＝（800400） （m）． 故临摹亭P1处与遗爱亭P2处之间的距离是（800400）m， 故答案为：（800400）m． 【点睛】本题考查解直角三角形解决实际问题，解决问题的关键是构造直角三角形解决问题． 30．（2024·上海·三模）在城市A地气象台测得台风中心在该地正西方向300千米的B处正以每小时26千米的速度沿射线（北偏东方向）移动，如果距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．假如这次台风从点B位置沿北偏东方向移动3小时后，方向转为北偏东方向继续行进．请问：城市A是否受到台风的影响？如果受到影响，请计算影响的时间：如果不影响，请说明理由？（结果保留一位小数，参考数据：） 【答案】地不受台风影响； 【分析】如图，过作于，过作于，交于，过作于， 由题意可得：，，求解，此时地不受台风影响；再求解，，，，此时地不受台风影响；从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于，过作于，交于，过作于， 由题意可得：，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴此时地不受台风影响； 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴此时地不受台风影响； 综上：地不受台风影响． 【点睛】本题考查的是与方位角相关的解直角三角形的应用，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，熟练的画出图形是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 解直角三角形重难点真题特训之压轴满分题型（30题10个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、求角的正弦值 1．（22-23九年级·浙江杭州·自主招生）网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点都在网格的交点处，则的值是（　　）．    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处， ． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，在矩形中，点E中的中点，交边于F，连． (1)求证：； (2)若，直线写出的值______； (3)如图2，点G为边上一点，若，求的值． 压轴满分题二、求角的余弦值 4．（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、、、均在格点上，与相交于点，则的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·上海·开学考试）正二十四边形中心角的余弦值为 ． 6．（2024·山东济南·模拟预测）在中，已知，点是线段上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转到，旋转角等于，连接．    (1)如图1，若，则线段与线段的数量关系是______，此时______． (2)如图2，若，则线段与线段有怎样的数量关系？请给出证明，并求此时的度数． (3)当点在射线上时，过点作交于点．若，试猜想与的数量关系，并说明理由． 压轴满分题三、求角的正切值 7．（2024·浙江温州·一模）已知中，，以，为边分别向外作两个正方形，正方形，，，分别交边，于点，，下列说法不正确的是（    ）． A． B． C． D． 8．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图所示，在中，，点D是上的一点，且，则 ． 9．（2024九年级下·全国·专题练习）如图是由小正方形组成的网格，的顶点都是格点．先在上画点F，使得，再在上画点G，使得．    压轴满分题四、特殊三角形的三角函数 10．（2022·广东深圳·二模）如图，，都经过A、B两点，且点O在上，连接并延长，交于点C，连接交于点D，连接，，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 11．（21-22九年级上·四川宜宾·期末）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角和等腰直角，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有 ．（写出所有正确结论的序号） 12．（2023九年级下·全国·专题练习）在学习华师版九上《解直角三角形》一章时，小华同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一般研究． (1)初步尝试：我们知道：_____，_____，发现结论：_____（填“”或“” (2)实践探究：在解决“如图1，在中，，，，求的值”这一问题时，小华想构造包含的直角三角形，延长到，使，连接，所以得，即转化为求的正切值，请按小华的思路求的值； (3)拓展延伸：如图2，在中，，，．请模仿小华的思路或者用你的新思路，试着求一求： ①的值； ②的值． 压轴满分题五、利用同角三角函数关系求值 13．（21-22九年级下·湖南邵阳·自主招生）已知m为实数，且，是关于x的方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D．1 14．（22-23九年级下·湖北武汉·阶段练习）课堂上小刚进行如下实践操作：第一步，将一张矩形纸片利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，然后把纸片展平；第三步，如图3，折出内侧矩形AFBC的对角线AB，并把AB沿AQ对折到AD处．则 ． 15．（2024·江苏盐城·二模）综合与实践 折纸中蕴藏着丰富的数学知识，也启迪着数学问题的解决．综合实践课上，老师和同学们一起通过折纸，探究数学的奥秘． 【折纸探究】 如图1，在矩形纸片中，点、分别在边和上，将矩形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点落在点处，连接，则与的位置关系为______； 折叠一：小明发现，当点和点重合时，连接，如图2，则有，请说明理由； 折叠二：如图3，若矩形是一张A4纸，探究、和三者之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 小华受【折纸探究】的启发，解决了下面的问题． 如图4，在矩形纸片中，点、分别在边和上，连接、、，平分，，，求的值．（用含有的代数式表示） 压轴满分题六、三角函数综合 16．（2024·浙江宁波·一模）将正六边形折叠成三角形后（如图1）用剪刀剪下一个角，展开后得到如图2所示的图形，图2中虚线为折叠时产生的折痕，折痕，若剪完后所得阴影图形的面积为原正六边形面积的，则的值为（   ） A． B． C． D． 17．（2024·山西长治·二模）如图，已知点C为线段的中点，且，连接，点E是上的一点，且，于点F，分别交，于点G，H，则的长为 ． 18．（23-24九年级下·江西宜春·期中）如图①，为等边三角形，动点从点出发，以的速度沿边运动至点；动点从点出发，以的速度沿边运动至点．若，两点同时出发，设点的运动时间为，的面积为，运动过程中，关于的函数图象如图②所示． (1)的边长为 ， ， ； (2)当时，求的长； (3)当时，求关于的函数解析式，并求出的最大值． 压轴满分题七、解直角三角形的相关计算 19．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知在中，，，点是延长线上任意一点，作于点，于点，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 20．（24-25九年级上·全国·期末）在矩形中，，，点在对角线上，且，过点作交于点，交于点，在上取一点，使，则的长为 ． 21．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图1，在和中，，，，点在边上，是的中点．连结，是的中点． (1)求证：； (2)如图2，若点恰好在上，求出的值． 压轴满分题八、解非直角三角形 22．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，小黄站在河岸上的点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船的俯角是，若小黄的眼睛与地面的距离是米，米，平行于所在的直线，迎水坡的坡度为，坡长米，则此时小船到岸边的距离的长为（ ）米．（，结果保留两位有效数字） A．11 B．8.5 C．7.2 D．10 23．（23-24九年级下·上海·自主招生）一个三角形的边长为、、，另一个三角形的边长分别为、、，其中，若两个三角形的最小内角相等，则 ． 24．（2022·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （2）点为该抛物线上一点（不与点重合），直线将的面积分成2：1两部分，求点的坐标； （3）点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴移动，运动时间为秒，当时，求的值． 压轴满分题九、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 25．（2022·广西·一模）如图，某数学兴趣小组想测量斜坡旁一棵树的高度，他们先在点处测得树顶的仰角为，然后在坡顶测得树顶的仰角为，已知斜坡的长度为，的长为，则树的高度是（    ） A． B． C． D． 26．（2022九年级·全国·专题练习）在数学实践活动课上，某兴趣小组测量操场上篮球筐距地面的高度如图所示，已知篮球筐的直径AB约为0.45m，某同学站在C处，先仰望篮球筐直径的一端A处，测得仰角为42°，再调整视线，测得篮球筐直径的另一端B处的仰角为35°．若该同学的目高OC为1.7m，则篮球筐距地面的高度AD大约是 m．（结果精确到1m）．（参考数据：tan42°≈0.9，tan35°＝0.7，tan48°≈1.1，tan55°≈1.4） 27．（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：      (1)探究原理：制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G测量时，使支杆、量角器刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②），此时目标P的仰角是图②中的∠_____．目标P的仰角与图②中的∠_____相等，请写出这两个角相等的证明过程． (2)拓展应用：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F，E、F、H在同一直线上，分别测得点的仰角、，测得E、F间的距离2米，点、到地面的距离、均为1.5米．求PH的长（结果保留根号） 压轴满分题十、方位角问题(解直角三角形的应用) 28．（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）平陆运河连通西江“黄金水道”和北部湾港口，是广西世纪大工程．如图是某港口的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是（   ）    A． B．1 C．2 D． 29．（2023·山东泰安·模拟预测）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在A处时，船上游客发现岸上P1处的临皋亭和P2处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600m到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶400m到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．则临皋亭P1处与遗爱亭P2处之间的距离为 ．（计算结果保留根号） 30．（2024·上海·三模）在城市A地气象台测得台风中心在该地正西方向300千米的B处正以每小时26千米的速度沿射线（北偏东方向）移动，如果距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．假如这次台风从点B位置沿北偏东方向移动3小时后，方向转为北偏东方向继续行进．请问：城市A是否受到台风的影响？如果受到影响，请计算影响的时间：如果不影响，请说明理由？（结果保留一位小数，参考数据：） 学科网（北京）股份有限公司 $$