第一章 解直角三角形重难点检测卷-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

第一章 解直角三角形重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（23-24九年级上·甘肃白银·期末）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（　　） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，正八边形内接于，连接，若，则的半径为（    ） A．1 B． C． D．2 3．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，，，，将菱形绕点A顺时针旋转后，得到菱形，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，在矩形中，是对角线，，垂足为点E，连接，已知，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·辽宁盘锦·期末）在中，、均为锐角，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 6．（22-23九年级下·全国·课后作业）用科学记算器计算，下面结果不正确的是（　　） A．175=1419857 B．=4.358898944 C．sin35°=0.573576436 D．若tanα=，则α=25°56′50″ 7．（22-23九年级下·全国·单元测试）在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA＝ .则下列关系式中不成立的是(　 　) A．tanA·cotA＝1 B．sinA＝tanA·cosA C．cosA＝cotA·sinA D．tan2A＋cot2A＝1 8．（22-23九年级上·浙江台州·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上任取一点，连接，过点作轴的垂线交的垂直平分线于点，则点到轴的距离的最小值是（    ） A．10 B．5 C． D． 9．（2024·全国·模拟预测）福州白塔是福州的标志性建筑之一，也是中国现存最早的木塔之一（如图．小明想测量白塔的高度（如图，在离白塔底端正前方8米的处，用高为1.5米的测角仪测得白塔顶部A处的仰角为，则白塔的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 10．（2024·宁夏银川·模拟预测）5G时代，万物互联．互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力数字经济发展，共建智慧生活．网络公司在改造时，把某一5G信号发射塔建在了山坡的平台上，已知山坡的坡度为．身高的小明站在A处测得塔顶M的仰角是，向前步行到达B处，再沿斜坡步行至平台点C处，测得塔顶M的仰角是，若在同一平面内，且 和分别在同一水平线上，则发射塔的高度约为（    ）（结果精确到，参考数据：，，，，，） A． B． C． D． 二、填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.） 11．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点；④过点作于点．若，则的长为 ． 12．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在矩形中，是对角线，，垂足为点E，连接，已知，，则的面积为 ． 13．（24-25九年级上·广东惠州·开学考试）如图，在矩形中，是上一点，，，则的度数是 ． 14．（22-23九年级上·河北邯郸·期中）若，则 ． 15．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ． 16．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，河流两岸，互相平行，点，是河岸上的两座建筑物，点，是河岸b上的两点，，的距离约为米，某人在河岸上的点处测得，，则河流的宽度约为 米． 三、解答题（本题共8小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17．（2024·安徽·模拟预测）如图，是的直径，点在上，，点为上一点，且，连接．    (1)求的直径； (2)若点为的中点，求的长． 18．（2024·广东·模拟预测）综合运用 如图所示，圆内接四边形中，点B平分，平分． (1)求证：． (2)若，求证：． (3)求证：． 19．（24-25九年级上·重庆渝中·阶段练习）如图，在四边形中，，，连接交于点，，且． (1)求的长； (2)若，求的长． 20．（24-25九年级上·全国·期中）计算 (1)； (2) 21．（2022·山东淄博·一模）如图，已知在中，，，，点D在射线上，以点D为圆心，为半径画弧交边于点E，过点E作交边于点F，射线交射线于点G． (1)求证：； (2)请探究线段与的倍数关系，并证明你的结论． (3)设，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；         22．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．    (1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）； (2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明． 23．（2023·安徽·二模）如图，已知：是的直径，点C在圆上，，，点C、E分别在两侧，且E为半圆的中点． (1)求的面积； (2)求的长． 24．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如图所示，经测量，点、均在点的正北方向，点在点的正西方向，点在点的南偏西方向上且米，点在点的南偏东方向且米，点在点的东北方向．求道路的长度（结果保留整数）． 参考数据：，，，， 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 解直角三角形重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（23-24九年级上·甘肃白银·期末）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（　　） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【分析】根据三角函数定义与性质，值越大越大；值越小越大；值越大越大，从而判断出答案． 本题考查三角函数定义与性质，熟记“值越大越大；值越小越大；值越大越大”是解决问题的关键． 【详解】解：A、的值越大，梯子越陡，故A符合题意； B、的值越小，梯子越陡，故B不符合题意； C、的值越大，梯子越陡，故C不符合题意； D、陡缓程度与的三角函数值有关，故D不符合题意． 故选：A． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，正八边形内接于，连接，若，则的半径为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查正多边形与圆、解一元二次方程、锐角三角函数，连接，过点A作于点M，设的半径为r，根据多边形的性质求得，利用锐角三角形函数求得，再利用，求解即可． 【详解】解：连接，过点A作于点M， 设的半径为r， 在正八边形中，， ∵， 在中，， ∵是的直径， ∴， ∴， 解得或（舍）， 故选：D． 3．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，，，，将菱形绕点A顺时针旋转后，得到菱形，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接，，作轴于，作轴于，由菱形，，，可得，，，则，，，，由旋转的性质可知，，，则，，，计算求解，进而可得点的坐标． 【详解】解：如图，连接，，作轴于，作轴于， ∵菱形，，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∴，， ∴点的坐标是， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，正弦，余弦，点坐标等知识．熟练掌握菱形的性质，旋转的性质，正弦，余弦，点坐标是解题的关键． 4．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，在矩形中，是对角线，，垂足为点E，连接，已知，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，正切函数的定义．利用等角的余角相等求得，推出，求得，根据的面积计算即可求解． 【详解】解：作，垂足为点F， ∵矩形，， ∴， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故选：D． 5．（22-23九年级上·辽宁盘锦·期末）在中，、均为锐角，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】先根据非负数的性质求出与的值，再根据特殊角的三角函数值求出、的值即可． 【详解】解：， ，， ，， ，，， 在中，，且， 是直角三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，并充分利用非负数的性质． 6．（22-23九年级下·全国·课后作业）用科学记算器计算，下面结果不正确的是（　　） A．175=1419857 B．=4.358898944 C．sin35°=0.573576436 D．若tanα=，则α=25°56′50″ 【答案】D 【详解】试题分析：利用计算器分别计算后，只有D是错误的，α应等于26°33′54″． 故选D． 7．（22-23九年级下·全国·单元测试）在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA＝ .则下列关系式中不成立的是(　 　) A．tanA·cotA＝1 B．sinA＝tanA·cosA C．cosA＝cotA·sinA D．tan2A＋cot2A＝1 【答案】D 【分析】可根据同角三角函数的关系：平方关系；正余弦与正切之间的关系（积的关系）；正切之间的关系进行解答． 【详解】解：根据锐角三角函数的定义，得 A.tanA•cotA= =1，关系式成立； B.sinA=，tanA•cosA==，关系式成立； C.cosA=，cotA•sinA==，关系式成立； D.tan2A+cot2A=≠1，关系式不成立． 故选D． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系解题关键是明确三角函数的意义，准确进行推理证明． 8．（22-23九年级上·浙江台州·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上任取一点，连接，过点作轴的垂线交的垂直平分线于点，则点到轴的距离的最小值是（    ） A．10 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据轴，得，得到，利用三角函数，直角三角形的性质解答即可． 本题考查了三角函数，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握三角函数，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴点到轴的距离为的长，， ∴， ∵点的坐标是， ∴， ∵最小， ∴最小即可， 在中，根据斜边大于任何一条直角边， ∴与重合时最小， ∴， 故．    故选B． 9．（2024·全国·模拟预测）福州白塔是福州的标志性建筑之一，也是中国现存最早的木塔之一（如图．小明想测量白塔的高度（如图，在离白塔底端正前方8米的处，用高为1.5米的测角仪测得白塔顶部A处的仰角为，则白塔的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考解直角三角形应用，关键在于能熟练地在不同直角三角形中解直角三角形． 过点作，垂足为，由中，，，，结合米，即得米． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：米，米， 在中，， （米， 米， 白塔的高度为米． 故选：A． 10．（2024·宁夏银川·模拟预测）5G时代，万物互联．互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力数字经济发展，共建智慧生活．网络公司在改造时，把某一5G信号发射塔建在了山坡的平台上，已知山坡的坡度为．身高的小明站在A处测得塔顶M的仰角是，向前步行到达B处，再沿斜坡步行至平台点C处，测得塔顶M的仰角是，若在同一平面内，且 和分别在同一水平线上，则发射塔的高度约为（    ）（结果精确到，参考数据：，，，，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．如图，设C点处垂线与B处视线交点为F，过点F作于L，过点E作于I，延长交的延长线于H，设，，利用三角形函数构建方程求出x即可解决问题． 【详解】解：如图，设C点处垂线与B处视线交点为F，过点F作于L，过点E作于I，延长交的延长线于H， 设，， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∵，， ∴，则， 在中，， ∵， ， ∴，则， ∴， 解得． 故选：B． 二、填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.） 11．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点；④过点作于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了角平分线的性质． 过D点作于H，首先根据，可得，在中，求出，然后根据角平分线的性质可得． 【详解】解：如图所示，过D点作于H， ∵， ∴， ∴， 由作图可得，平分 ∵，， ∴． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在矩形中，是对角线，，垂足为点E，连接，已知，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，正切函数的定义．利用等角的余角相等求得，推出，求得，根据的面积计算即可求解． 【详解】解：作，垂足为点F， ∵矩形，， ∴， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·广东惠州·开学考试）如图，在矩形中，是上一点，，，则的度数是 ． 【答案】/15度 【分析】首先根据题意得到，求出，然后根据三角形内角和定理和等边对等角求解即可． 【详解】∵， ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解直角三角形，矩形的性质，三角形内角和定理和等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 14．（22-23九年级上·河北邯郸·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】根据锐角三角函数的增减性判断出与的大小、与 的大小，然后化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角三角函数的混合运算，根据锐角三角函数的增减性判断出与的大小、与 的大小是解题的关键． 15．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、解直角三角形、勾股定理，过点作于点，连接．由翻折可知，，，设，在中，，可求得，再利用勾股定理求出，在中，，即可求得，结合勾股定理可得，则，进而可得出答案． 【详解】解：过点作于点，连接． 由翻折可知，，， ， ，． 设， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 则， ． 故答案为：． 16．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，河流两岸，互相平行，点，是河岸上的两座建筑物，点，是河岸b上的两点，，的距离约为米，某人在河岸上的点处测得，，则河流的宽度约为 米． 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．过点作于点，结合勾股定理和锐角三角函数即可求解； 【详解】解：过点作于点， 则 ，，， ， ∴， ， ，， ， 解得：， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17．（2024·安徽·模拟预测）如图，是的直径，点在上，，点为上一点，且，连接．    (1)求的直径； (2)若点为的中点，求的长． 【答案】(1)的直径为10 (2) 【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理、解直角三角形等知识； （1）根据圆周角定理求出，，根据锐角三角函数求解即可； （2）根据勾股定理求出，根据垂径定理求出垂直平分，，根据三角形中位线的判定与性质求出，则，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：为的直径， ， 点、在圆上， ， ， ， ， ， 的直径为10； （2）解：连接交于点，如图所示，    由（1）得，直径， 在中，， 点为的中点， ， 垂直平分， ，， 是的中位线， ， ， ． 18．（2024·广东·模拟预测）综合运用 如图所示，圆内接四边形中，点B平分，平分． (1)求证：． (2)若，求证：． (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由点B平分，可知，由平分，可知，即可证明结论； （2）结合题意可知，，，设，，则，，结合，求得，再求得，即可证明结论； （3）如图， 过点作， 在上取点，使，连接， 则，可知，得，可证，得，可知，根据即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵点B平分， ∴，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点B平分， ∴，则， ∴． ∵平分， ∴，则， 设，，则，， ∴ ∴，则， ∴． ∵ ， ∴． （3）如图， 过点作， 在上取点，使，连接， 则． ∴． ∵点平分， ∴，则， ∴． ∴， 在和中， ∴． ∴． ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，锐角三角函数，弦与弧之间的关系，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质等知识点，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 19．（24-25九年级上·重庆渝中·阶段练习）如图，在四边形中，，，连接交于点，，且． (1)求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了正切，勾股定理，平行线的性质等知识．熟练掌握正切，勾股定理，平行线的性质是解题的关键． （1）由，可得，即，设，则，，由勾股定理得，，可求，进而可求； （2）如图，过C作于F，由，可得，则，设，则，由勾股定理得，，可求，则，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， ∴的长为6； （2）解：如图，过C作于F， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，， ∴，， 由勾股定理得，， ∴的长为． 20．（24-25九年级上·全国·期中）计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式混合运算，实数的混合运算； （1）先计算出零次幂、特殊角的三角形函数、化简二次根式后，在计算出负指数幂、去绝对值，再进行加减运算，即可求解； （2）先进行分母有理化、化简二次根式、完全平方式展开，再进行二次根式加减运算，即可求解； 掌握最简二次根式的化法，特殊角的三角函数值，会进行二次根式混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 21．（2022·山东淄博·一模）如图，已知在中，，，，点D在射线上，以点D为圆心，为半径画弧交边于点E，过点E作交边于点F，射线交射线于点G． (1)求证：； (2)请探究线段与的倍数关系，并证明你的结论． (3)设，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；         【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了相似形综合题：熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质；灵活利用相似比用x表示其它线段是解决问题的关键；会利用分类讨论的思想解决数学问题． （1）先证明，然后利用相似三角形的判定方法即可得到结论； （2）证明即可得解． （3）作于点H，如图1，利用勾股定理计算出，利用△EFG∽△AEG得到，再证明得到，所以，则，，，x， ，接着•利用相似比表示出EH=，AH=，然后根据三角形面积公式表示出y与x的关系，最后利用可确定x的范围； 【详解】（1）证明：， ， ， ． ， ， ， ， ， ； （2）答： 证明：作于点H． 在中，，, ． 在中，，． ， ． ， （3）， , ． ． ， ． ． ， ． ． ． 在中，，． ． 在中，，． ． ． ． ． ． ． x的取值范围． 22．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．    (1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）； (2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明． 【答案】(1)②④ (2)见解析 【分析】本题考查锐角三角函数，以及相似三角形的判定和性质． （1）根据锐角三角函数的定义，结合相似三角形的判定和性质，逐一进行判断即可； （2）选择②，根据，得到，进而得到即可；选择④，等积式化为比例式，证明，得到，进而得到即可． 掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，如图可知，均为锐角， ∴， ∴是等腰三角形，无法得到是直角三角形；故①错误； ②当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故②正确； 若是直角三角形，则：， ∵， ∴， ∴， ∴，与不符；故③错误； 当， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故④正确； 综上：可以选择的是②④； 故答案为：②④； （2）选择②，证明如下： 当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 选择④，证明如下： 当， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 23．（2023·安徽·二模）如图，已知：是的直径，点C在圆上，，，点C、E分别在两侧，且E为半圆的中点． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可以得到，根据勾股定理求长，然后求出面积即可； （2）连，过点A作于点D，则，解直角三角形解题即可． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， （2）连，过点A作于点D， ∵E为半圆的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵, ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，能作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 24．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如图所示，经测量，点、均在点的正北方向，点在点的正西方向，点在点的南偏西方向上且米，点在点的南偏东方向且米，点在点的东北方向．求道路的长度（结果保留整数）． 参考数据：，，，， 【答案】道路的长度约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题．过点A作，交的延长线于点，过点A作，垂足为，根据题意可得：，，然后在和中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：过点A作，交的延长线于点，过点A作，垂足为，如图所示： 由题意得：， 在中，，米， （米）， 在中，，米， （米）， 米， 米， 在中，， （米）， 答：道路的长度约为米． 学科网（北京）股份有限公司 $$