专题03 解直角三角形重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题03 解直角三角形重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 解直角三角形的相关计算 题型二 解非直角三角形 题型三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型四 仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 题型五 方位角问题(解直角三角形的应用) 题型六 坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 题型七 其他问题(解直角三角形的应用) 题型八 临界值问题 知识点一、解直角三角形 已知条件 图形 解法 已知一直角边和一个锐角对边 邻边 斜边 A C B b 已知斜边和一个锐角 已知两直角边 已知斜边和一条直角边 【经典例题一 解直角三角形的相关计算】 【例1】（24-25九年级上·上海闵行·期中）在中，，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 根据锐角三角函数的定义，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴可设， ∴， A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，△中，，，，以点为圆心、为半径画弧，交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形面积的计算、含30度角的直角三角形、勾股定理，掌握特殊角的三角函数、扇形和三角形面积计算公式是解题的关键． 求出，根据三角函数求出；利用扇形的面积公式，根据“阴影部分的面积扇形的面积扇形的面积三角形的面积”计算即可． 【详解】解：，，， ，， ， 阴影部分的面积为． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·上海闵行·期中）在中，，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，先根据余弦定义求得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图所示，已知在平面直角坐标系，点A的坐标为，点B在x轴上，且，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t秒． (1)求点B的坐标； (2)当t为何值时，与相似？ (3)求的面积S与t之间的函数关系式？并求当t为何值时S最大？ 【答案】(1) (2)或 (3)，当时，S有最大值． 【分析】（1）先求出，再解直角三角形得到，则； （2）利用勾股定理求出，当时，，利用其对应边成比例解．当时，，利用其对应边成比例解得． （3）过点作于，解直角三角形得到，则可求出，再根据得到，据此利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：在直角三角形中，由勾股定理得， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴分两种情况讨论： 当时，则，即，解得； 当时，，即，解得， 综上，当或时，和相似； （3）解：如图所示，过点Q作于H， 在中，， ∴在中，， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，二次函数的最值问题等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【经典例题二 解非直角三角形】 【例2】（2023·湖北武汉·模拟预测）阅读材料：余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：；；．已知在中，＝2，＝4，＝，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查学生类比迁移思想，直接画出题目中描述的三角形，按照题干中的方程代入已知量解方程即可． 【详解】由题可知，需要画出满足条件的，如下图所示； ∵，； ∴，； ∴在中； ； ∵； ∴； 整理得：； ，（舍）； ∴； 故选．    1．（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 2．（2024·四川资阳·中考真题）在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是正确作出辅助线．作的高，，根据题意可得，，在中，根据三角函数可得，即，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，作的高，， 是锐角三角形， ，在的内部， ，， 在中，，， ， ， 又， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【分析】如图，作边上的高．,，分别使用勾股定理，计算即可，本题考查了化斜为直解直角三角形，熟练掌握作高是解题的关键． 【详解】解：如图，作边上的高． 在中， ∵， ∴． ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． ∴，． ∴． 【经典例题三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 【例3】（22-23八年级下·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果． 【详解】解：连接，如图所示   ，， ， 四边形的面积为48 故选：A． 【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 1．（2022·四川绵阳·三模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=DO，BH=BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出； 【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H， ∵∠AOD=60°， ∴∠AOD=∠BOC=60°， ∴DG=DO， 同理可得：BH=BO， S四边形ABCD=×AC×DG+×AC×BH =×AC××（DO+BO） =， 故选：C． 【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键． 2．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 【答案】 【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到． 【详解】解：过作，如图所示： 在中，，， ， 在中，， ，即， ， 由勾股定理得； ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键． 3．（2024·湖北武汉·一模）【问题提出】在等腰中，为中点，以D为顶点作，角的两边分别交于点，连接，试探究点D到线段的距离． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化，如图2，当点E和A重合时，直接写出D到线段的距离（用含的式子表示）； （2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中的结论仍然成立； 【问题拓展】如图3，在等腰中，为中点，以D为顶点作，角的两边分别交直线于点，连接．若，直接写出的值（用含的式子表示）． 【答案】（1）；（2）证明见解析；【问题拓展】 【分析】（1）解：根据“三线合一”可得，，，，证明点D到线段的距离即为的长，根据正弦的定义即可求解； （2）作于于N，由（1）可得，证明，再证明，得到，即可求解； 问题拓展：连接，作于P，设，则，证明，得到，可表示出，由（2）得，得到，表示出，即可求解． 【详解】（1）解：∵为中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴D到线段的距离即为的长， ∵, ∴； （2）作于于N， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 问题拓展：， 连接，作于P，设， 则， ∵为中点， ∴，， ∵，是公共角， ∴， ， 由（2）得 ∴ 由（2）得 ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质等，解题的关键是由特殊到一般，从特殊的图形中发现规律，再将解题思路运用到一般图形中． 【经典例题四 仰角俯角问题(解直角三角形的应用)】 【例4】（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考査了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点C，根据题意得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】如图，延长交于点C． 由题意得． 在中，， ， ． 在中，， ， ． 故选B． 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）两建筑物的水平距离为米，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了利用三角函数解决有关仰角、俯角的计算问题．作于点，分别在和中，利用三角函数即可表示出与的长，根据即可求解． 【详解】解：如图，作于点， ，， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ， ， 同理：． 米， 故选：D． 2．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从相距米的1号楼和2号楼的地面正中间点垂直起飞到点处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为．已知1号楼的高度为20米，那么2号楼的高度为 米（结果保留根号）．    【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形．过点E作于，于，先利用正切三角函数可求出的值，在中，求出的值，然后根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：如图，过点E作于，于，      则四边形和四边形均为矩形， ， 由题意得：米，米，米，，， 在中，，即， 解得（米）， 米， 在中，，，， 米， （米）， 答：2号楼的高度是米． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图所示，和表示前后两幢楼，按照有关规定两幢楼问的间距不得小于楼的高度，即图中大于等于．小明想测量一下他家所住楼与前面楼是否符合规定，于是他在间的点M处架了测角仪，测得楼顶D的仰角为，已知米，测角仪距地面米． (1)问：两楼的间距是否符合规定？并说出你的理由； (2)为了知道前面楼的高度，小明又到家里（点P处），用测角仪再次测得楼顶D的仰角为，如果米，，请你来计算一下楼的高度． 【答案】(1)两楼的间距符合规定，理由见解析 (2)37.5米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，题目中涉及到了仰角的问题，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解． （1）过点作于点，在中，由得到，比较与即可； （2）延长，交于，由，可得，由正切函数可求得，设，则，，列方程可求得结论． 【详解】（1）解：过点作于点， 在中， ， ，，米，米， ∴， 两楼的间距符合规定； （2）解：延长，交于， 则，（米）， ， ， （米）， 设，则， ， ， 解得，即米， （米， 楼的高度为37.5米． 【经典例题五 方位角问题(解直角三角形的应用)】 【例5】（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港．则，两港之间的距离（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，勾股定理，由题意得，由勾股定理，从而得出的长，解决本题的关键是根据题意得到． 【详解】解：由题意可得，， ， ， ， ， ， 故选：A． 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）渔船在A处看到灯塔C在北偏东方向上，渔船由A处向正东方向航行了海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是（    ） A． 海里 B． 海里 C．12海里 D． 海里 【答案】D 【分析】此题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，先根据题意画出图形，易得，再解直角三角形，运用三角函数即可求得渔船与灯塔的距离. 【详解】如图，由题意得：， ∵在直角三角形中，， 海里， (海里). 故选：D. 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离A处的距离是 海里．（参考数据：，，） 【答案】140 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题．正确作出辅助线构造直角三角形成为解题的关键． 如图：过作于，在中解直角三角形可得、，再在中可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过作于， 在中，，海里， （海里），（海里）， 在中，， 海里， （海里）． 3．（24-25八年级上·上海·期中）如图，A点、B点分别表示小岛码头、海岸码头的位置，离B点正东方向的处有一海岸瞭望塔C，又用经纬仪测出：点分别在点的北偏东处、在点的东北方向．（注：，结果精确到） (1)试求出小岛码头A点到海岸线的距离； (2)有一观光客轮从至方向沿直线航行，某瞭望员在处发现，客轮刚好在正北方向的处，当客轮航行至处时，发现点在的北偏东处，请求出点到点的距离； 【答案】(1)小岛码头点到海岸线的距离约为 (2)点到点的距离约为 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用； （1）根据题意可得，，，然后由列式计算即可； （2）过C作于N，先求出，再解直角三角形求出，然后根据含直角三角形的性质得出答案． 【详解】（1）解：过A作于M， 由题意得：，，， ∴，， ∴， 解得：， 经经验，是原方程的解，且符合题意， 答：小岛码头点到海岸线的距离约为； （2）解：如图所示，过C作于N， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：点到点的距离约为． 【经典例题六 坡度坡比问题(解直角三角形的应用)】 【例6】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）为贯彻“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市开展植树造林活动．如图，在坡度的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距（相邻两棵树间的水平距离）为，则这两棵树之间的坡面距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，由坡比为，株距（相邻两树间的水平距离）为，则上升的高度为米，根据勾股定理即可求解，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 【详解】解：∵坡比为，株距（相邻两树间的水平距离）为， ∴铅直高度为米， 由勾股定理得，斜坡上相邻两树间的坡面距离为， 故选：A． 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（    ）米 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题考查了解直角三角形的应用，在中，由，即可得出的长度． 【详解】在中，， ∵坡面米，坡角， ∴该山坡的高度， 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知一个山坡的坡度为，则山坡的坡角为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坡度和坡角的知识，解答本题的关键是掌握坡度和坡角的概念．根据坡度等于坡角的正切即可求解． 【详解】解：设坡角为， 由题意得，， ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，为了测量某建筑物的高度，测最员采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡行走米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为，建筑物底端B的俯角为，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度．根据测量员的测量数据， (1)求坡顶D到的距离. (2)求建筑物的高度．（参考数据：） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过作于，延长交于．则四边形是矩形，得，在中求出； （2）解直角三角形求出、的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，过作于，延长交于． 则四边形是矩形， ，在中，米，， ∴，即， 米， 答：坡顶到地面的距离为米； （2）由（1）知，米， 米， 在中，， 是等腰直角三角形， 米， 在中，，， （米， （米． 即建筑物的高度约为米． 【经典例题七 其他问题(解直角三角形的应用)】 【例7】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，则该机器人的最高点距地面的高度约为（   ）．（参考数据：，，） A．189.5 B．147 C．167 D．158 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用．过点分别作，垂足为，过点作，垂足为，分别解，，求出的长，进而求出最高点距地面的高度即可． 【详解】解：过点分别作，垂足为，过点作，垂足为，则：四边形为矩形，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点到的高度为， ∵矩形底座的高为， ∴点到底面的高度约为． 故选：A． 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）某地受台风暴雨的影响，电力检修员发现，一根原来与水平地面垂直的电线杆发生了15°的倾斜，其抽象示意图如图所示，已知原来电线杆上接线点A到地面的距离，则现在接线点A到水平地面的距离约是（   ）m． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键；过点A作于点B，由题意易得，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：过点A作于点B，如图所示： 由题意得：， ∴； 故选C． 2．（24-25九年级上·全国·期中）胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”．已知主塔垂直于桥面于点B，其中两条斜拉索，与桥面的夹角分别为和，两固定点D，C之间的距离约为，主塔 米．（结果保留整数．参考数据：，） 【答案】78 【分析】本题考查解直角三角形的应用，设，利用正切定义可求得，，由列方程求解即可． 【详解】解：设， 由题意，在中，，， 由得， 在中，， 由得， ∵， ∴， 解得，即米． 故答案为：78． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂是可伸缩的，且起重臂可绕点A在一定范围内转动，张角为，转动点A距离地面的高度为．某日，一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为，通过计算说明该消防车能否实施有效救援？（参考数据：，） 【答案】该消防车能实施有效救援 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，当，时，过点C作于F，过点A作于点M，则四边形是矩形，可得，，求出，解得到，则，据此可得答案． 【详解】解：当，时，过点C作于F，过点A作于点M，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴该消防车能实施有效救援． 【经典例题八 临界值问题】 【例8】（2024·福建泉州·二模）如图所示为单反照相机取景器的示意图，五边形为五棱镜的一个截面，．光线垂直射入，且只在和上各发生一次反射，两次反射的入射角相等，最后光线垂直射出．若两次反射都为全反射，则该五棱镜折射率的最小值是（ ）（注：满足全反射的条件为折射率)    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何关系求出入射角，通过折射定律求出五棱镜折射率的最小值即可得到答案； 【详解】解：设入射到面上的入射角为，因为在和上发生反射，且两次反射的入射角相等，    根据光学几何关系可得， ∴两次反射的入射角相等， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴最小折射率， 故选：D； 【点睛】本题主要考查解答几何光学问题，解题的关键是正确作出光路图． 1.（23-24九年级·江苏南通·开学考试）如图，斜坡的坡角，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端安装支架，所在的直线垂直于水平线，垂足为点，为与的交点．已知，前排光伏板的坡角．求的长（ ）（结果取整数）；    A．80cm B．90cm C．91cm D．95cm 【答案】C 【分析】解求出，再解求出即可； 【详解】在中， ， ∴ ， 在中，， ∴； 2.（23-24九年级·陕西西安·期中）【问题提出】如图①，在中，点是边的中点，连接并延长至点，连接，若，的面积为，的面积为，则________的大小（填“”“”“”）    【答案】 【分析】（1）如图所示，在上取一点E使得，连接，利用证明，得到，由此可证明，由，可得， 【详解】解：如图所示，在上取一点E使得，连接， ∵点是边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3.（23-24九年级·浙江金华·阶段练习）知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．如图，现有一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上．（参考数据：，）    (1)当人安全使用这架梯子时，求梯子底端与墙距离（即）的最小值； (2)当梯子顶端与地面距离为时，计算等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？ 【答案】(1)米 (2)，人能安全使用这架梯子 【分析】（1）根据得出当时，取最小值，根据求解即可； （2）根据计算出的正弦值，即可得出的度数，最后判断的度数是否在安全的角度范围之内，即可进行解答． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，取最小值， 在中，， （米）， 梯子底端与墙距离（即）的最小值为米； （2）解：在中，， ， ， ， 人能安全使用这架梯子． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和步骤，利用三角函数值进行计算． 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是的直径，为的弦， 与交于点E，且 且 则的长为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理、垂径定理、解直角三角形等知识． 连接，过点O作于点E，由垂径定理得到，同时，先求出， 在中得到，中，即可得到． 【详解】解：连接，过点O作于点E，则，， ∴ ∴， ∵是的直径，是的半径， ∴， 在中， ∴， 在中，， ∴ 故选：D 2．（2022·陕西西安·三模）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为　　 A． +1 B．2 C． D．- 【答案】B 【分析】作于，作于，分别解直角三角形求得，和，从而求得，设，在直角三角形中表示出，进而根据列出方程求得，进而求得结果． 【详解】如图， 作于，作于， 在Rt中，， 在Rt中，，， ， 在Rt中，设， 在Rt中，， ， 由得， ， ， ， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 3．（22-23九年级上·湖南株洲·期末）在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（    ） A． B．＋1 C． D．＋1 【答案】C 【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中和Rt△ACD中，分别用AD表示出BD、CD，根据BC的长先求出AD，再求三角形的面积． 【详解】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D． 在Rt△ABD中，∠B＝45°， ∴BD＝AD． 在Rt△ACD中，∠C＝30°， ∴CD＝AD． ∵BD＋CD＝BC， ∴AD＋AD＝1＋． 即AD＝1． ∴S△ABC＝×BC×AD ＝（1＋）． 故选：C． 【点睛】本题考查了一般三角形面积计算问题，关键是通过作辅助线转化为直角三角形来解决. 4．（24-25九年级上·全国·单元测试）重庆是美丽的山城，某大楼依山而建，如果要进入大楼可以从G处沿水平方向行走150米到D大门处，或者从E处沿坡比的斜坡行走130米到F处，再沿水平方向行走到M大门处，在G处仰望大楼顶端B处仰角为32°，则大楼的上部分的高度为（    ）（参考数据：，，） A．43米 B．77.5米 C．79.5米 D．93米 【答案】A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题，作于， 根据矩形的性质得到，根据坡度的概念和勾股定理求出，根据正切的概念求出，计算即可. 【详解】解：作于，则四边形为矩形， ∴，设米， 则米， 由勾股定理得 解得， ， 即米， ∴米， 在中， 即米， ∴(米) ， 故选： A. 5．（23-24九年级下·重庆·自主招生）在课题学习后，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，表示窗户，且米，表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线的最小夹角a为，最大夹角为，根据以上数据，计算出遮阳蓬中的长是（结果精确到）（参考数据：）（   ） A．1.2米 B．1.5米 C．1.9米 D．2.5米 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，把实际问题转化为数学问题成为解题的关键． 如图：设为x米，则有在中可利用得到米，在中利用得到米，则，列方程可得，解得x的值即可． 【详解】解：如图：设为x米， 在中，， ∵， ∴米， 在中，， ∵， ∴米， ∵， ∴，解得：． ∴米． 故选：B． 6．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）菱形中，，点为对角线上一点，点是边上一点，连接，，若的最小值是，则菱形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，垂线段最短，三角函数，连接，根据菱形的对称性可得，即得，当时，可知最短，此时点三点共线，，再利用三角函数求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，根据菱形的对称性可得， ∴， 当时，可知最短，此时点三点共线，如图， ∵的最小值是， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的边长为， 故答案为：． 7．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）泉州开元寺石塔是我国古代石构建筑瑰宝．从石塔的建筑规模、形制和技艺等方面来看，都可以说得上精妙绝伦，它既是中世纪泉州海外交通鼎盛时期社会空前繁荣的象征，也是泉州历史文化名城特有的标志．某校九年级测量小组要测量东塔“镇国塔”的高度，因为塔尖可视不可达，塔底不可达，于是采用米高的测角仪，在、两处分别测得塔尖A的仰角为和，同时量得为34米，则通过小组测量得到的数据，可以计算东塔塔高约为 米．（，，最后结果精确到米） 【答案】48.0 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握各个锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意可得，在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，进而即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， ， 设， 在中，， ， 即， 解得：， ， 东塔塔高约为48.0米， 故答案为：48.0． 8．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的北偏东方向有一灯塔．轮船继续向北航行2小时后到达处，发现灯塔在它的北偏东方向，则的距离为 海里． 【答案】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义，解本题的关键是特殊角的三角函数的灵活运用．设出，先利用锐角三角函数表示出，，再用三角函数表示出，列出方程求出即可． 【详解】解：如图， 设，在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 9．（2024·湖北武汉·模拟预测）某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度 （结果精确到，参考数据：，，） 【答案】m/10.3米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据含角的直角三角形的性质求出，，根据正切的定义求出，再计算即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 在中，，， ， 则， 答：改造后的自动扶梯增加的占地长度的长约为 10．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一条直线上．已知纸板的两条边，，测得，，树高的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理求出的长，根据，求出的长，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 由题意，得：， ∴，即：， ∴， ∴； 故答案为：． 11．（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）过点作于点，利用，求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出； （2）利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，在中， ． 【点睛】本题考查解直角三角形．通过作高，构造直角三角形是解题的关键． 12．（22-23八年级下·河南安阳·期末）如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理即可推得； （2）根据代入公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即． （2）解：在中，， 在中，． ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 13．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）慈氏塔位于洞庭湖边西南，塔为楼阁式，八角七层，雄视洞庭湖，为“巴陵胜状”之一，一次数学综合实践活动中，智慧小组设计了如下方案测量慈氏搭的高度．如图，在地面C处测得塔顶A的仰角为，从C点沿水平地面向前走a米到达点D处后，在D处测得塔顶端A的仰角为，即过计算求得塔高．若测得的，，米，请你利用所测数据计算塔高．（结果精确到1米，参考数据：，，）    【答案】米 【分析】此题考查了解直角三角形的实际应用．：设塔高米．在中，，在中，，由得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设塔高米． 在中， ∴， 在中， ∴， ∵，米， ∴ 解得，（米）， 答：塔高为米． 14．（24-25九年级上·四川巴中·期末） 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． (1)当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离． (2)当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号） 【答案】(1)渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里 (2)救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是解答的关键． （1）过作于，根据题意求得，在中，根据垂线段最短和锐角三角函数定义求解即可； （2）先根据锐角三角函数定义求得，进而可得，在中，利用两点之间线段最短及锐角三角函数定义求解即可． 【详解】（1）解：过作于，则， 由题意可知，则， 在中，∵，， ∴． 答：渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴． 故救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里． 15．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形．如图所示，已知迎水坡面的长为米，，背水坡面的长为米，加固后大坝的横截面为梯形，的长为米． (1)已知需加固的大坝长为米，求需要填土石方多少立方米？ (2)求加固后大坝背水坡面的坡度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理、坡度的定义（是指地表单元陡缓的程度，通常把坡面的垂直高度和水平方向的距离的比叫做坡度，即坡角的正切值），熟记特殊角的三角函数值和坡度的定义是解题关键． （1）分别过、作下底的垂线，设垂足为、．在中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度的值，也就得到了的长；以为底，为高即可求出的面积，再乘以大坝的长度，即为所需的填方体积． （2）在中，由勾股定理求的长，即可得到的长；中，根据、的长即可求得坡角的正切值，即坡面的坡度． 【详解】（1）过点作于，过点作于， ∴． 在中，（米）， ∴（米）． ∴（平方米）． ∴需要填土石方体积为：． （2）在中，， ∴． ∴加固后大坝背水坡面的坡度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 解直角三角形重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 解直角三角形的相关计算 题型二 解非直角三角形 题型三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型四 仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 题型五 方位角问题(解直角三角形的应用) 题型六 坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 题型七 其他问题(解直角三角形的应用) 题型八 临界值问题 知识点一、解直角三角形 已知条件 图形 解法 已知一直角边和一个锐角对边 邻边 斜边 A C B b 已知斜边和一个锐角 已知两直角边 已知斜边和一条直角边 【经典例题一 解直角三角形的相关计算】 【例1】（24-25九年级上·上海闵行·期中）在中，，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，△中，，，，以点为圆心、为半径画弧，交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海闵行·期中）在中，，，，那么 ． 3．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图所示，已知在平面直角坐标系，点A的坐标为，点B在x轴上，且，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t秒． (1)求点B的坐标； (2)当t为何值时，与相似？ (3)求的面积S与t之间的函数关系式？并求当t为何值时S最大？ 【经典例题二 解非直角三角形】 【例2】（2023·湖北武汉·模拟预测）阅读材料：余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：；；．已知在中，＝2，＝4，＝，则的长为（  ） A． B． C． D． 1．（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 2．（2024·四川资阳·中考真题）在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是 ． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，求和的长． 【经典例题三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 【例3】（22-23八年级下·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 1．（2022·四川绵阳·三模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 3．（2024·湖北武汉·一模）【问题提出】在等腰中，为中点，以D为顶点作，角的两边分别交于点，连接，试探究点D到线段的距离． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化，如图2，当点E和A重合时，直接写出D到线段的距离（用含的式子表示）； （2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中的结论仍然成立； 【问题拓展】如图3，在等腰中，为中点，以D为顶点作，角的两边分别交直线于点，连接．若，直接写出的值（用含的式子表示）． 【经典例题四 仰角俯角问题(解直角三角形的应用)】 【例4】（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）两建筑物的水平距离为米，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从相距米的1号楼和2号楼的地面正中间点垂直起飞到点处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为．已知1号楼的高度为20米，那么2号楼的高度为 米（结果保留根号）．    3．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图所示，和表示前后两幢楼，按照有关规定两幢楼问的间距不得小于楼的高度，即图中大于等于．小明想测量一下他家所住楼与前面楼是否符合规定，于是他在间的点M处架了测角仪，测得楼顶D的仰角为，已知米，测角仪距地面米． (1)问：两楼的间距是否符合规定？并说出你的理由； (2)为了知道前面楼的高度，小明又到家里（点P处），用测角仪再次测得楼顶D的仰角为，如果米，，请你来计算一下楼的高度． 【经典例题五 方位角问题(解直角三角形的应用)】 【例5】（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港．则，两港之间的距离（） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）渔船在A处看到灯塔C在北偏东方向上，渔船由A处向正东方向航行了海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是（    ） A． 海里 B． 海里 C．12海里 D． 海里 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离A处的距离是 海里．（参考数据：，，） 3．（24-25八年级上·上海·期中）如图，A点、B点分别表示小岛码头、海岸码头的位置，离B点正东方向的处有一海岸瞭望塔C，又用经纬仪测出：点分别在点的北偏东处、在点的东北方向．（注：，结果精确到） (1)试求出小岛码头A点到海岸线的距离； (2)有一观光客轮从至方向沿直线航行，某瞭望员在处发现，客轮刚好在正北方向的处，当客轮航行至处时，发现点在的北偏东处，请求出点到点的距离； 【经典例题六 坡度坡比问题(解直角三角形的应用)】 【例6】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）为贯彻“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市开展植树造林活动．如图，在坡度的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距（相邻两棵树间的水平距离）为，则这两棵树之间的坡面距离为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（    ）米 A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知一个山坡的坡度为，则山坡的坡角为 ． 3．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，为了测量某建筑物的高度，测最员采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡行走米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为，建筑物底端B的俯角为，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度．根据测量员的测量数据， (1)求坡顶D到的距离. (2)求建筑物的高度．（参考数据：） 【经典例题七 其他问题(解直角三角形的应用)】 【例7】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，则该机器人的最高点距地面的高度约为（   ）．（参考数据：，，） A．189.5 B．147 C．167 D．158 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）某地受台风暴雨的影响，电力检修员发现，一根原来与水平地面垂直的电线杆发生了15°的倾斜，其抽象示意图如图所示，已知原来电线杆上接线点A到地面的距离，则现在接线点A到水平地面的距离约是（   ）m． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·期中）胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”．已知主塔垂直于桥面于点B，其中两条斜拉索，与桥面的夹角分别为和，两固定点D，C之间的距离约为，主塔 米．（结果保留整数．参考数据：，） 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂是可伸缩的，且起重臂可绕点A在一定范围内转动，张角为，转动点A距离地面的高度为．某日，一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为，通过计算说明该消防车能否实施有效救援？（参考数据：，） 【经典例题八 临界值问题】 【例8】（2024·福建泉州·二模）如图所示为单反照相机取景器的示意图，五边形为五棱镜的一个截面，．光线垂直射入，且只在和上各发生一次反射，两次反射的入射角相等，最后光线垂直射出．若两次反射都为全反射，则该五棱镜折射率的最小值是（ ）（注：满足全反射的条件为折射率)    A． B． C． D． 1.（23-24九年级·江苏南通·开学考试）如图，斜坡的坡角，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端安装支架，所在的直线垂直于水平线，垂足为点，为与的交点．已知，前排光伏板的坡角．求的长（ ）（结果取整数）；    A．80cm B．90cm C．91cm D．95cm 2.（23-24九年级·陕西西安·期中）【问题提出】如图①，在中，点是边的中点，连接并延长至点，连接，若，的面积为，的面积为，则________的大小（填“”“”“”）    3.（23-24九年级·浙江金华·阶段练习）知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．如图，现有一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上．（参考数据：，）    (1)当人安全使用这架梯子时，求梯子底端与墙距离（即）的最小值； (2)当梯子顶端与地面距离为时，计算等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？ 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是的直径，为的弦， 与交于点E，且 且 则的长为（    ） A．5 B．6 C． D． 2．（2022·陕西西安·三模）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为　　 A． +1 B．2 C． D．- 3．（22-23九年级上·湖南株洲·期末）在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（    ） A． B．＋1 C． D．＋1 4．（24-25九年级上·全国·单元测试）重庆是美丽的山城，某大楼依山而建，如果要进入大楼可以从G处沿水平方向行走150米到D大门处，或者从E处沿坡比的斜坡行走130米到F处，再沿水平方向行走到M大门处，在G处仰望大楼顶端B处仰角为32°，则大楼的上部分的高度为（    ）（参考数据：，，） A．43米 B．77.5米 C．79.5米 D．93米 5．（23-24九年级下·重庆·自主招生）在课题学习后，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，表示窗户，且米，表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线的最小夹角a为，最大夹角为，根据以上数据，计算出遮阳蓬中的长是（结果精确到）（参考数据：）（   ） A．1.2米 B．1.5米 C．1.9米 D．2.5米 6．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）菱形中，，点为对角线上一点，点是边上一点，连接，，若的最小值是，则菱形的边长为 ． 7．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）泉州开元寺石塔是我国古代石构建筑瑰宝．从石塔的建筑规模、形制和技艺等方面来看，都可以说得上精妙绝伦，它既是中世纪泉州海外交通鼎盛时期社会空前繁荣的象征，也是泉州历史文化名城特有的标志．某校九年级测量小组要测量东塔“镇国塔”的高度，因为塔尖可视不可达，塔底不可达，于是采用米高的测角仪，在、两处分别测得塔尖A的仰角为和，同时量得为34米，则通过小组测量得到的数据，可以计算东塔塔高约为 米．（，，最后结果精确到米） 8．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的北偏东方向有一灯塔．轮船继续向北航行2小时后到达处，发现灯塔在它的北偏东方向，则的距离为 海里． 9．（2024·湖北武汉·模拟预测）某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度 （结果精确到，参考数据：，，） 10．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一条直线上．已知纸板的两条边，，测得，，树高的长为 ． 11．（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 12．（22-23八年级下·河南安阳·期末）如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 13．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）慈氏塔位于洞庭湖边西南，塔为楼阁式，八角七层，雄视洞庭湖，为“巴陵胜状”之一，一次数学综合实践活动中，智慧小组设计了如下方案测量慈氏搭的高度．如图，在地面C处测得塔顶A的仰角为，从C点沿水平地面向前走a米到达点D处后，在D处测得塔顶端A的仰角为，即过计算求得塔高．若测得的，，米，请你利用所测数据计算塔高．（结果精确到1米，参考数据：，，）    14．（24-25九年级上·四川巴中·期末） 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． (1)当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离． (2)当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号） 15．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形．如图所示，已知迎水坡面的长为米，，背水坡面的长为米，加固后大坝的横截面为梯形，的长为米． (1)已知需加固的大坝长为米，求需要填土石方多少立方米？ (2)求加固后大坝背水坡面的坡度． 学科网（北京）股份有限公司 $$