河南省信阳高级中学北湖校区2024-2025学年高二上学期测试（六）数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2024-2025学年高二上期测试（六） 数学试题 命题人：王金燕 审题人：赵敏 一、单选题 1．若两个不同平面的法向量分别为，则 A． B． C．相交但不垂直 D．以上均不正确 2．若圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为 A． B． C． D． 3．双曲线C与椭圆有相同的焦点，一条渐近线的方程为，则双曲线C的标准方程为 A． B． C． D． 4．“”是“a、b、c成等比数列”的条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 5．已知等差数列的前项和为，且，则等差数列的公差为 1 学科网（北京）股份有限公司 A.-2 B.2 C.-2022 D.2022 6.直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为 A． B． C． D． 7．已知椭圆：的2个焦点与椭圆：的2个焦点构成正方形的四个顶点，则 A． B． C．7 D．5 8.两圆与的公共弦长为 A. B. C. D.1 二、多选题 9．已知（a，）是直线l的方向向量，是平面的法向量，则下列结论正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．若三条直线不能围成一个三角形，则实数的值可以为 A． B．0 C．1 D．2 11．公差不为0等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列，则下列正确的是 A． B．当时，为最小值 C．若，则最小值为10 D．若，则或 12．双曲线具有如下光学性质：从一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光的反向延长线经过另一个焦点．如图，已知双曲线为双曲线的左、右焦点．某光线从出发照射到双曲线右支的点，经过双曲线的反射后，反射光线的反向延长线经过．双曲线在点处的切线与轴交于点，且反射光线所在直线的斜率为．则以下说法正确的是 A．点到直线和直线的距离相等 B． C．双曲线的离心率为2 D．若过点的直线与双曲线交于两点，则点不可能是线段的中点． 三、填空题 13．直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的一般式方程为 . 14．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，，依此类推.这个数列的第50为 . 15．已知直线和曲线有两个公共点，则实数的取值范围 . 16．如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点.现将沿折起，使平面平面，在平面内过点作，为垂足．设，则的取值范围是 . 四、解答题 17．已知向量，，． （1）若，求t的值； （2）若与的夹角为锐角，求t的取值范围． 18．如图，圆内有一点，AB为过点且倾斜角为的弦． （1）当时，求AB的长． （2）是否存在弦AB被点平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由． 19.已知数列的前项和，则 （1）求的通项公式;. （2）证明是等差数列. 20．已知圆C的圆心为，且该圆被直线截得得弦长为 （1）求该圆的方程； （2）求过点A的该圆的切线方程 21．如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是的中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求点到平面的距离． 22．若点在抛物线. （1）求抛物线的方程； （2）过轴上点作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于，，，，且，分别是线段，的中点，求面积的最小值. $$ 河南省信阳高级中学北湖校区 2024-2025学年高二上期测试（六） 数学答案 1-5 ABABB 6-8 CAB 1 学科网（北京）股份有限公司 9.ACD 10.ACD 11.ABD 12.ABD 13. 14.16 15. 16. 17．(1) (2) 【分析】（1）先求出的坐标，再由，可得，从而可求出t的值， （2）由于与的夹角为锐角，所以，且与不共线，从而可求出t的取值范围 【详解】（1）因为，，， 所以， 因为，所以， 解得 （2）因为与的夹角为锐角， 所以，且与不共线， 由，得，解得， 当与共线时，，解得， 所以当且时，与的夹角为锐角， 所以所求的t的取值范围为 18．（1）;（2）. 【分析】（1）求出直线AB的斜率即可写出其点斜式方程，利用勾股定理可求得弦长； （2）当弦被点平分时，AB与垂直，由此可求出直线AB的斜率，写出其点斜式方程化简即可. 【详解】（1）依题意，直线AB的斜率为，又直线AB过点， 所以直线AB的方程为：， 圆心到直线AB的距离为，则， 所以； （2）当弦被点平分时，AB与垂直， 因为，所以， 直线AB的点斜式方程为 即. 20.(1)；(2)或 【分析】（1）利用弦长公式求得半径即可； （2）分直线的斜率存在和不存在，由圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】（1）解：圆C的圆心到直线的距离为： ， 则弦长为，解得， 所以圆的方程为：； （2）当直线的斜率不存在时，直线方程为：， 则圆心到直线的距离为，复合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 则圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为：， 综上：该圆的切线方程为：或 21．(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）证得，即可根据线面平行的判定证得结论； （2）方法一：证得平面，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点面距离； 方法二：证得平面，由，根据等体积法求线面距离． 【详解】（1）解：证明：在四棱锥中，连接交于点， 则为的中点，连接． 为的中点， ， 又平面，平面， 平面． （2）方法一：四边形是菱形，且， 为正三角形，取的中点，连接，， 则， 平面平面，平面平面， 平面． 是正三角形，． 以为原点，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． 又，则，，，，， ，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则 又， 设点到平面的距离为， 则， 即点到平面的距离为． 方法二：四边形是菱形，且， 为正三角形，取的中点， 连接，，则， 又平面平面，平面平面， 平面． ，是正三角形，，易得， ，连接， ． 由，． 取的中点，连接． ，， ， 可得． 设点到平面的距离为h，由， 得， 解得，即点到平面的距离为． 22.(1)；(2)4 【分析】（1）将点代入方程计算即可得； （2）设出直线，结合韦达定理表示出各点坐标，结合题目条件表示出面积，借助基本不等式解决最值问题. 【详解】（1）将代入，即有，故或（舍去）， 故的方程为； （2） 设，由题意可得直线、斜率存在， 故可设直线、方程分别为，， 由两直线互相垂直，故， 设、、、四点坐标分别为、、、， 联立直线与方程，有，消去，有， ，，， 同理可得，， 则，， 故，同理可得， 则， 同理可得， 由、互相垂直，故， 故 ， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为4. $$