专题14 平方根与立方根（8考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题14 平方根与立方根 目录 【典型例题】 1 【考点一 求一个数的算术平方根、平方根】 1 【考点二 已知一个数的平方根，求这个数】 2 【考点三 利用算术平方根的非负性解题】 3 【考点四 求算术平方根的整数部分和小数部分】 5 【考点五 求一个数的立方根】 6 【考点六 已知一个数的立方根，求这个数】 7 【考点七 利用平方根、立方根求方程的解】 8 【考点八 算术平方根和立方根的综合问题】 11 【过关检测】 13 【典型例题】 【考点一 求一个数的算术平方根、平方根】 例题：（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）的平方根是 ，的算术平方根是 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·四川广安·阶段练习）的平方根是 ；的算术平方根是 ；3的算术平方根是 2．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）的平方根是 ；的算术平方根是 ． 【考点二 已知一个数的平方根，求这个数】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）若一个正数的平方根分别为和，则这个正数是 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·广东肇庆·期中）若与是同一个正数的两个不同的平方根，则 ． 2．（24-25八年级上·内蒙古包头·阶段练习）已知的平方根是，的算术平方根是4，那么的值是 ． 【考点三 利用算术平方根的非负性解题】 例题：（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知，则 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习），求的算术平方根 ． 2．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）已知，则的平方根为 ． 【考点四 求算术平方根的整数部分和小数部分】 例题：（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）已知，分别是的整数部分和小数部分，则的值为 ． 2．（23-24七年级下·安徽黄山·期中）已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 【考点五 求一个数的立方根】 例题：（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）的平方根是 ，算术平方根是 ，立方根是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）的绝对值是 ．的算术平方根是 ，的立方根是 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）4的平方根是 ；（2）36的算术平方根是 ；（3）-8的立方根是 ． 【考点六 已知一个数的立方根，求这个数】 例题：（23-24七年级下·广东汕头·期末）一个数的立方根是，则这个数是 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江西赣州·期末）已知的平方根是，的立方根是，则的值是 ． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知a的平方根是，b的立方根是，则的平方根为 ． 【考点七 利用平方根、立方根求方程的解】 例题：（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）求下列各式中x的值： (1)； (2)； 【变式训练】 1．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）解方程 (1)； (2)． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）求满足下列各式的未知数x的值： (1)； (2)； (3)． 【考点八 算术平方根和立方根的综合问题】 例题：（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． (1)求a，b，c的值： (2)求的平方根和立方根． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知的平方根是，的立方根是3，求： (1)a和b； (2)的算术平方根． 2．（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求的值； (2)求的立方根． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25八年级上·全国·期中）下列说法错误的是（ ） A．的算术平方根是 B．是的一个平方根 C．的立方根是 D．的四次方根是 2．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）下列各式中，正确的个数是（     ） ①；②；    ③的平方根是；④的算术平方根是；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知，则的平方根是（      ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）的平方根是x，64的立方根是y，则的值为（   ） A．3 B．7 C．3或7 D．1或7 5．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）下列语句：①是1的平方根．②带根号的数都是无理数．③的立方根是．④的立方根是2．⑤的算术平方根是2．⑥的算术平方根是．⑦有理数和数轴上的点一一对应．⑧的平方根是，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 6．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）的立方根是 ；的算术平方根是 ；的绝对值是 ． 7．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）若4的算术平方根是x，的立方根是y，则的值为 ． 8．（24-25八年级上·四川雅安·阶段练习）若，求的算术平方根是 ． 9．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）已知，，，则 ． 10．（23-24七年级下·山东济宁·期末）按下面程序计算：输入，则输出的答案是 . 三、解答题 11．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 12．（2024八年级上·全国·专题练习）（1）若一个正数的平方根是和，求这个正数； （2）已知，求2021的值． 13．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知的平方根是，的立方根是2． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 14．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的算术平方根． (1)求，，的值． (2)求的算术平方根． 15．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）（1）若满足等式．求的算术平方根． （2）若的平方根为，．求的立方根． 16．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）根据下表回答问题： (1)的平方根是 ； (2) ， ； (3)设的整数部分为，求的立方根． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 平方根与立方根 目录 【典型例题】 1 【考点一 求一个数的算术平方根、平方根】 1 【考点二 已知一个数的平方根，求这个数】 2 【考点三 利用算术平方根的非负性解题】 3 【考点四 求算术平方根的整数部分和小数部分】 5 【考点五 求一个数的立方根】 6 【考点六 已知一个数的立方根，求这个数】 7 【考点七 利用平方根、立方根求方程的解】 8 【考点八 算术平方根和立方根的综合问题】 11 【过关检测】 13 【典型例题】 【考点一 求一个数的算术平方根、平方根】 例题：（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）的平方根是 ，的算术平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查平方根和算术平方根计算．根据平方根和算术平方根定义直接计算即可得到本题答案． 【详解】解：∵的平方根是， ∵，即的算术平方根是， 故答案为：，． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·四川广安·阶段练习）的平方根是 ；的算术平方根是 ；3的算术平方根是 【答案】 3 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的算术平方根 【分析】此题考查了平方根和算术平方根的计算，根据平方根和算术平方根的概念求解即可． 【详解】的平方根是； 的算术平方根是3； 3的算术平方根是． 故答案为：；3；． 2．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）的平方根是 ；的算术平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和平方根，掌握()的平方根为，算术平方根为，能区分的算术平方根和的算术平方根是解题的关键． 【详解】解：因为， 所以的平方根是； 因为， 所以的算术平方根是； 故答案为：①，②2． 【考点二 已知一个数的平方根，求这个数】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）若一个正数的平方根分别为和，则这个正数是 ． 【答案】81 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】根据正数的平方根互为相反数，两平方根相加等于0求出a值，再求出一个平方根，进而就可以得到这个正数．本题考查了已知一个数的平方根，求这个数，正确掌握平方根的概念是解题的关键． 【详解】解：由题可知，， 解得， 则这个正数是． 故答案为：81． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·广东肇庆·期中）若与是同一个正数的两个不同的平方根，则 ． 【答案】1 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握一个正数的平方根的性质是解题的关键．一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数，由此计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 故答案为：1． 2．（24-25八年级上·内蒙古包头·阶段练习）已知的平方根是，的算术平方根是4，那么的值是 ． 【答案】1 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根与平方根的定义，熟练掌握平方根及算术平方根的性质和定义是解决本题的关键．根据平方根的概念及算术平方根的概念求出a和b的值，然后再代入中求解即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的算术平方根是4， ∴，将代入， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【考点三 利用算术平方根的非负性解题】 例题：（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了算术平方根的非负性及绝对值的非负性，非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．首先根据非负数的性质，可求出a、b的值，然后再代入求值计算． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴ 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习），求的算术平方根 ． 【答案】5 【知识点】求一个数的算术平方根、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键；由题意易得，则有，然后可求x、y的值，进而代入求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴，即， ∴， ∴， ∴的算术平方根是5； 故答案为5． 2．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）已知，则的平方根为 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为零，则它们都为零，求平方根；由非负数的性质求得的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵4的平方根是， ∴的平方根为±2． 故答案为：． 【考点四 求算术平方根的整数部分和小数部分】 例题：（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【答案】 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】根据的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解， 本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：∵的整数部分是，小数部分是，， ∴，， 故答案为：，． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）已知，分别是的整数部分和小数部分，则的值为 ． 【答案】 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了无理数的大小估算以及无理数整数部分的有关计算，先得，则的整数部分和小数部分分别是，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴则的整数部分和小数部分分别是， 即， ∴， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·安徽黄山·期中）已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴9的平方根是； 故答案为． 【考点五 求一个数的立方根】 例题：（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）的平方根是 ，算术平方根是 ，立方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根的运算，根据概念及计算方法进行计算即可． 【详解】解：， ∴，，， ∴平方根是，算术平方根是，立方根是， 故答案为：①；②； ③． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）的绝对值是 ．的算术平方根是 ，的立方根是 【答案】 /0.25 2 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的性质 【分析】本题考查了实数的性质，算术平方根，立方根的意义，直接根据实数的性质，算术平方根，立方根的意义求解即可． 【详解】解：的绝对值是， 的算术平方根是， ∵， ∴的立方根是． 故答案为：，，2． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）4的平方根是 ；（2）36的算术平方根是 ；（3）-8的立方根是 ． 【答案】 6 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根和立方根的概念的运用以及应用，难度不大，属于基本知识．根据平方根，算术平方根和立方根的定义解答即可． 【详解】解：（1）4的平方根是； 故答案为：； （2）36的算术平方根是； 故答案为：6； （3）的立方根是 故答案为： 【考点六 已知一个数的立方根，求这个数】 例题：（23-24七年级下·广东汕头·期末）一个数的立方根是，则这个数是 ． 【答案】 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题主要考查了已知一个数的立方根求这个数，根据立方根定义求出这个数即可． 【详解】解：∵一个数的立方根是， ∴这个数为：． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江西赣州·期末）已知的平方根是，的立方根是，则的值是 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知一个数的立方根，求这个数、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了平方根和立方根，代数式求值，根据平方根和立方根的定义可得，，进而求出的值，再把的值代入到代数式计算即可求解，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知a的平方根是，b的立方根是，则的平方根为 ． 【答案】 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根，立方根的定义，先根据平方根，立方根的定义列出关于a、b的值，再计算出的值，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵a的平方根是，b的立方根是，即， ∴， ∴， ∴1的平方根为， 故答案为：． 【考点七 利用平方根、立方根求方程的解】 例题：（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）求下列各式中x的值： (1)； (2)； 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用 【分析】本题主要考查了利用平方根和立方根的定义解方程． （1）整理后利用平方根的定义解方程即可； （2）直接利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 即， ∴或； （2）解： ∴ ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】立方根的实际应用、求一个数的立方根、利用平方根解方程 【分析】此题考查了利用平方根的意义和立方根的意义解方程． （1）方程整理后根据平方根的意义得到，即可得到答案； （2）方程整理后根据立方根的意义得到，即可得到答案． 【详解】（1）解： ∴ ∴， 解得或； （2） ， 解得 2．（2024八年级上·全国·专题练习）求满足下列各式的未知数x的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或； (2)或0； (3)． 【知识点】立方根的实际应用、求一个数的立方根、利用平方根解方程 【分析】此题考查了用平方根和立方根的意义解方程． （1）原题变形为，根据平方根的意义即可得到方程的解； （2）原题变形为，根据平方根的意义即可得到方程的解； （3）原题变形为，根据立方根的意义即可得到方程的解． 【详解】（1）解：， ∴， 则， 解得或． （2）， ∴， 则， 解得或0． （3）， ， ， 解得． 【考点八 算术平方根和立方根的综合问题】 例题：（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． (1)求a，b，c的值： (2)求的平方根和立方根． 【答案】(1)，， (2)， 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】（1）根据算术平方根，平方根和立方根的概念分别计算出、、即可； （2）利用（1）的结论直接求值即可． 本题主要考查算术平方根，平方根和立方根的知识，熟练掌握平方根和立方根的知识是解题的关键． 【详解】（1）解： 的算术平方根是1， ， 解得； 的立方根是， ， ； 的平方根是， ， ． （2）解：由（1）知，，，， ， 的平方根是； 的立方根是． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知的平方根是，的立方根是3，求： (1)a和b； (2)的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了算术平方根、平方根和立方根的综合应用，熟记相关定义即可． （1）平方根是，的立方根是3，即可求解； （2）根据即可求解； 【详解】（1）解： 的平方根是， ， 的立方根是3， ， 将代入，解得； （2）解： ，， ， 的算术平方根是， 的算术平方根是 2．（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了根据算术平方根和立方根求原数，求一个数的立方根： （1）对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，可得 ，，解方程即可； （2）根据（1）所求求出的值，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解；∵是49的算术平方根， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴的立方根是． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25八年级上·全国·期中）下列说法错误的是（ ） A．的算术平方根是 B．是的一个平方根 C．的立方根是 D．的四次方根是 【答案】D 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根以及立方根，熟记相关定义是解答本题的关键．分别根据平方根的定义，算术平方根的定义以及立方根的定义逐一判断即可得出正确选项． 【详解】解：A、36的算术平方根是6，正确，故选项不符合题意； B、是的一个平方根，正确，故选项不符合题意； C、的立方根是，正确，故选项不符合题意； D、的四次方根是，原说法错误，故选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）下列各式中，正确的个数是（     ） ①；②；    ③的平方根是；④的算术平方根是；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根等知识点，掌握平方根和算术平方根的区别与联系成为解题的关键． 直接利用立方根以及平方根和算术平方根的定义逐项分析即可解答． 【详解】解：①，正确；②，故②错误；③由于无平方根，故③错误；④的算术平方根是，故④错误；⑤，故⑤正确，综上，正确的有①⑤，共有2个． 故选：B． 3．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知，则的平方根是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】绝对值非负性、求一个数的平方根、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查算术平方根与绝对值的非负性，求一个数的平方根． 根据算术平方根与绝对值的非负性求出a、b的值，进而即可解答． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 故选：B． 4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）的平方根是x，64的立方根是y，则的值为（   ） A．3 B．7 C．3或7 D．1或7 【答案】D 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了求一个的平方根，立方根，代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先求出，再分别代入求值即可． 【详解】解：，则的平方根是， 64的立方根是4， ∴， ∴或， 故选：D． 5．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）下列语句：①是1的平方根．②带根号的数都是无理数．③的立方根是．④的立方根是2．⑤的算术平方根是2．⑥的算术平方根是．⑦有理数和数轴上的点一一对应．⑧的平方根是，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、实数与数轴 【分析】本题考查立方根，平方根和无理数，根据立方根，平方根，算术平方根和无理数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：是1的平方根；故①正确； 带根号的数不一定是无理数；故②错误； 的立方根是；故③正确； 的立方根是；故④错误； 的算术平方根是2；故⑤正确； 没有算术平方根；故⑥错误； 实数和数轴上的点一一对应；故⑦错误； 的平方根是；故⑧错误； 故选B 二、填空题 6．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）的立方根是 ；的算术平方根是 ；的绝对值是 ． 【答案】 / 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】此题主要考查了实数的性质．直接利用立方根以及算术平方根、绝对值的性质分别分析得出答案． 【详解】解：∵， ∴的立方根是； ∵， ∴，2的算术平方根是； ∵， ∴的绝对值是． 故答案为：；2；． 7．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）若4的算术平方根是x，的立方根是y，则的值为 ． 【答案】7 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根，正确根据算术平方根和立方根的定义求出、的值是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义求出、的值即可得到答案． 【详解】解：的算术平方根是，的立方根是， ，， ， 故答案为：7． 8．（24-25八年级上·四川雅安·阶段练习）若，求的算术平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查负数没有平方根和算术平方根，熟练应用负数没有平方根求出是解题关键．根据负数没有平方根可得，，再代入求值取其算术平方根即可． 【详解】， ， 即，， ， ， 5的算术平方根为， 的算术平方根是． 故答案为：． 9．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）已知，，，则 ． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，立方根的规律问题，根据，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·山东济宁·期末）按下面程序计算：输入，则输出的答案是 . 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了立方根，平方根的运算，根据程序流程图进行运算即可，读懂程序流程图并列出代数式是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查了平方根和立方根，掌握相关定义是解答本题的关键． （1）利用平方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1） 解得或； （2） 解得． 12．（2024八年级上·全国·专题练习）（1）若一个正数的平方根是和，求这个正数； （2）已知，求2021的值． 【答案】（1）25；（2）2023 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、平方根的应用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了平方根性质的应用，代数式求值， （1）根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数，可得，求出解即可得出答案； （2）先移项，再开方，求出，即可求出答案. 【详解】解：（1）由题意，得，解得， 这个正数为25． （2）由题意，得， 或 或（不合题意，舍去）， 当时， 的值为2023． 13．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知的平方根是，的立方根是2． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，； (2)3． 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查平方根、算术平方根及立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）根据平方根及立方根的定义即可求得答案； （2）将（1）中结果代入中计算后根据算术平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：由题意，得，， 解得，； （2）解：，， ， ， 的算术平方根为3． 14．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的算术平方根． (1)求，，的值． (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了立方根，算术平方根的计算， （1）根据立方根可得，根据算术平方根可得，根据算术平方根据可得，由此即可求解； （2）把，，的值代入，计算其算术平方根即可． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴， ，即， 解得，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：根据（1）的计算可得，， ∴的算术平方根为． 15．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）（1）若满足等式．求的算术平方根． （2）若的平方根为，．求的立方根． 【答案】（1）2；（2）3 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、已知一个数的平方根，求这个数、运用完全平方公式进行运算 【分析】（1）先根据完全平方公式得到，再由非负性的性质得到，则可求出，据此计算出的值，再根据算术平方根的定义求解即可； （2）根据立方根，平方根的定义求出a、b的值，进而求出的值，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵4的算术平方根为2， ∴的算术平方根为2； （2）∵的平方根为， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵27的立方根为3， ∴的立方根为3． 【点睛】本题主要考查了算术平方根，平方根，立方根，完全平方公式，非负数的性质，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根． 16．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）根据下表回答问题： (1)的平方根是 ； (2) ， ； (3)设的整数部分为，求的立方根． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查算术平方根，平方根，立方根，能熟练从表格中找到相关信息和掌握夹值法求平方根是解题的关键． （1）根据表格找到对应的为，因为平方根有两个，所以的平方根是，即可解答； （2）根据，，求解即可； （3）由表可得：，推出，得到的整数部分，将代入求解即可． 【详解】（1）解：由表可得：， ， 的平方根是， 故答案为：； （2），， ，， 故答案为：，； （3）， ， ， 的整数部分， ， ， 即的立方根为． 学科网（北京）股份有限公司 $$