第5章 平面直角坐标系（考点梳理与练习）讲义 2024--2025学年苏科版八年级数学上册

第5章 平面直角坐标系 第一部分【考点目录】 【题型1】有序数对确定位置..........................................................1 【题型2】求坐标系中点的坐标........................................................2 【题型3】判断点所在的位置..........................................................2 【题型4】点到坐标轴的距离..........................................................3 【题型5】坐标系中描点求值..........................................................3 【题型6】确定坐标系求坐标..........................................................3 【题型7】坐标系中的对称............................................................4 【题型8】坐标系中的新定义..........................................................4 【题型9】点的平移..................................................................5 【题型10】图形的平移...............................................................5 【题型11】点坐标的规律探究.........................................................6 【题型12】平面直角坐标系中的面积问题...............................................7 【题型13】平面直角坐标系中的动点问题...............................................7 【题型14】平面直角坐标系中的最值问题...............................................8 【题型15】平面直角坐标系中的折叠问题...............................................9 【题型16】平面直角坐标系中的几何综合问题..........................................10 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】有序数对确定位置 【1-1】（22-23八年级上·全国·单元测试）在一次海上搜寻行动中，发现了一个可疑物体位于东经度，北纬度．如果约定“经度在前，纬度在后”，那么我们可以用有序数对表示该可疑物体的位置，仿照此表示方法，若又发现某可疑物体位于东经度，北纬度，则可用有序数对表示该可疑物体的位置为 ． 【1-2】（22-23七年级上·全国·单元测试）如图，点O，M，A，B，C在同一平面内．若规定点A的位置记为，点B的位置记为，则点C的位置应记为 ．    【1-3】（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）三角形中，点和点的位置如图所示，点的位置正确的是（     ）    A． B． C． D． 【题型2】求坐标系中点的坐标 【2-1】（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知在平面直角坐标系中点坐标，直线平行于轴，且，则点坐标为 ． 【2-2】（2024·重庆长寿·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，连接，以点为圆心、的长为半径画弧，与轴正半轴相交于点，则点的横坐标是 ． 【2-3】（23-24七年级下·全国·期末）已知点的横坐标是，且到轴的距离为，则点的坐标是（    ） A． B．或 C． D．或 【题型3】判断点所在的位置 【3-1】（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）已知在第四象限，则在第 象限． 【3-2】（23-24八年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中， 将点称为点的“关联点”， 例如： 点是点的“关联点”， 则点的“关联点”在第 象限． 【3-3】（24-25九年级上·重庆九龙坡·开学考试）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型4】点到坐标轴的距离 【4-1】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知线段轴，若点，则n的值为 ． 【4-2】（23-24七年级下·广西玉林·期末）点在x轴的上方，将点A向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到点B，点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离，则x的取值范围是 ． 【4-3】（23-24七年级下·海南三亚·阶段练习）点在第二象限，且到轴的距离为5，则的值为（    ） A． B．3 C．7 D． 【题型5】坐标系中描点求值 【5-1】（23-24七年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，，，且轴，则 . 【5-2】（22-23七年级下·广东清远·期中）已经点在轴上，那么 ，则点的坐标为 ． 【5-3】（20-21八年级下·河南南阳·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．点到轴的距离是3 B．在平面直角坐标系中，点和点表示同一个点 C．若，则点在轴上 D．在平面直角坐标系中，第三象限内的点的横坐标与纵坐标异号 【题型6】确定坐标系求坐标 【6-1】（21-22七年级下·重庆·期中）为了学习研究平面直角坐标系中点的坐标，甲同学以A为原点，建立平面直角坐标系，甲同学读出B、C坐标为B（a，b）、C（4，3）；乙同学以B为原点、与甲同学相同正方向、相同单位长度建立直角坐标系，乙同学发现点C恰好横、纵坐标相等，则3a−3b+1的值是 ． 【6-2】如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，-1）和（-3，1），那么“卒”的坐标为 .    【6-3】（21-22七年级下·福建龙岩·期末）如图，在某平面直角坐标系的网格中，点A的坐标为，点C的坐标为，则它的坐标原点为（    ） A．点B B．点D C．点P D．点Q 【题型7】坐标系中的对称 【7-1】（24-25八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，点关于直线l（l过点且与x轴垂直）的对称点的坐标是 ． 【7-2】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，点、分别在轴和轴上，已知点，以为直角边在左侧作等腰直角，，当点在轴上运动时，连接，则的最小值为 ． 【7-3】（23-24八年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【题型8】坐标系中的新定义 【8-1】（23-24七年级下·山东菏泽·期末）在平面直角坐标系中，对于点P、Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离的较大值等于点Q到x，y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”．如点和点就是等距点．已知点A的坐标是，点B的坐标是，若点A与点B是“等距点”，则点B的坐标为 ． 【8-2】（2024·四川乐山·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，新定义一种变换：使平面内的点对应的像为，其中a、b为常数．已知点经变换后的像为． （1）计算： ； （2）若线段，则经变换后线段的长度为 ．(其中分别是线段 O、P经变换后的像．点 O 为坐标原点)． 【8-3】（2024·山东淄博·二模）定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”·若点，幸福直线是，则点A关于这条幸福直线的对称点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【题型9】点的平移 【9-1】（23-24八年级下·河南焦作·期中）在平面直角坐标系内，将先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【9-2】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知在 内有任意一点经过平移后对应点为，又已知点在经过此次平移后的对应点为，设，则m的值是（        ） A．5 B．6 C．7 D．8 【9-3】（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，两点的坐标分别为，将线段平移到的位置，若，，则的值是 ． 【题型10】图形的平移 【10-1】（2024·河南周口·三模）如图，在中，，，，，将向右上方平移，使得点C与原点重合，则点A平移后的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【10-2】（22-23七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，将线段平移后得到线段，已知点A和D是对应点，点A、B、C、D的坐标分别为，，，，则的值为（    ）    A．8 B．9 C．12 D．11 【10-3】（24-25九年级上·福建福州·开学考试）对于平面直角坐标系中的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“t型平移”，点称为将点P进行“t型平移”的对应点；已知点，点，，点M是线段上的一个动点，将点A进行“t型平移”后得到的对应点为，当t的取值范围是 时，的最小值保持不变． 【题型11】点坐标的规律探究 【11-1】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，第2024秒瓢虫在（    ）处． A． B． C． D． 【11-2】（2024八年级上·全国·专题练习）对点的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：；且规定（n为大于1的整数）．如，， ．则 A． B． C． D． 【11-3】（24-25八年级上·全国·期中）如图，一个粒子在第一象限内及x轴和y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点；第二分钟，它从点运动到点，而后它接着按图中箭头所示在与x轴和y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位，那么在第分钟时，这个粒子所在位置的坐标是 ．    【题型12】平面直角坐标系中的面积问题 【12-1】（24-25八年级上·福建福州·开学考试）在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点，点，，则的面积是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【12-2】（23-24七年级下·新疆喀什·期末）已知点，，点在轴上，且三角形的面积是，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【12-3】（23-24七年级下·江西南昌·期中）已知点，，点在坐标轴上，且三角形的面积是2，则满足条件的点的坐标为 ． 【题型13】平面直角坐标系中的动点问题 【13-1】（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如图，直线经过原点，点在轴上，为线段上的一点，若，，，，则长度的最小值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【13-2】（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在直角坐标系中，，，，且点的纵坐标为5，为线段上一动点，连接；则的最小值为（    ）    A． B． C．16 D． 【13-3】（23-24八年级下·重庆·期中）如图，点、分别是轴正半轴与轴正半轴上的动点，以为边在第一象限作矩形，已知，矩形的面积为24，则的最大值为 ． 【题型14】平面直角坐标系中的最值问题 【14-1】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点的坐标为，点为轴的负半轴上的一个动点，分别以，为直角边在第三、第四象限作等腰、等腰，连接交轴于点，当点在轴上移动时，则的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【14-2】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动：另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2024次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【14-3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点在轴正半轴上，边在轴上，若，动点从点出发，沿轴正方向运动，设点的坐标为，当是钝角三角形时，满足的条件是 ． 【题型15】平面直角坐标系中的折叠问题 【15-1】（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点M是上一点，将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 【15-2】（20-21八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使、分别落在x轴、y轴上，连接，将长方形纸片沿折叠，使点B落在点D的位置．若，则D的横坐标是(    )    A． B． C． D． 【15-3】（23-24八年级上·山西晋中·期末）如图，数学课上小花把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使点与坐标原点重合分别落在轴轴上，连接将纸片沿折叠，使点落在点的位置与轴交于点则点的坐标为 ．    【题型16】平面直角坐标系中的几何综合问题 【16-1】（2024八年级上·北京·专题练习）已知，如图在直角坐标系中，点在轴上，轴于点，点关于直线的对称点恰好在上，点与点关于直线对称，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【16-2】（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴负半轴，轴正半轴分别交于点，，在轴上取点，点是直线上的一个动点，以为边，在的右侧作等边三角形，使得点落在第一象限，连接．若，则的最小值为（    ） A．6 B． C．8 D． 【16-3】（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，点，点B，C在x轴上，Q是y轴上一点． （1） ； （2）点P从点A出发，先沿y轴到达点Q，再沿到达点B后停止运动，点P在y轴上运动的速度是它在直线上运动的速度的2倍，若点P按上述要求到达点B所用时间最短，则点Q的坐标为 ． 【题型1】有序数对确定位置 【1-1】（22-23八年级上·全国·单元测试）在一次海上搜寻行动中，发现了一个可疑物体位于东经度，北纬度．如果约定“经度在前，纬度在后”，那么我们可以用有序数对表示该可疑物体的位置，仿照此表示方法，若又发现某可疑物体位于东经度，北纬度，则可用有序数对表示该可疑物体的位置为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用有序数对表示位置，解题的关键在于读懂题意中给定的规则． 根据“经度在前，纬度在后”的顺序，可以将东经度，北纬度用有序数对表示． 解：根据“经度在前，纬度在后”，东经度，北纬度可以表示为， 故答案为：． 【1-2】（22-23七年级上·全国·单元测试）如图，点O，M，A，B，C在同一平面内．若规定点A的位置记为，点B的位置记为，则点C的位置应记为 ．    【答案】 【分析】根据已知点的坐标意义得出横坐标为线段长度，纵坐标为其与夹角的度数即可解答． 解：∵定点A的位置记为，点B的位置记为． ∴图中点C的位置应记为． 故选：． 【点拨】本题主要考查了用坐标确定位置，理解已知得出点的坐标意义是解题关键． 【1-3】（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）三角形中，点和点的位置如图所示，点的位置正确的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有序数对表示位置，根据点和点的位置得出的位置为，即可求解． 解：，在同一条竖直的直线上， ，的横坐标相同，即的横坐标为， ，在同一条水平的直线上， ，的纵坐标相同，即的纵坐标为， 的位置为， 故选：A 【题型2】求坐标系中点的坐标 【2-1】（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知在平面直角坐标系中点坐标，直线平行于轴，且，则点坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，根据平行于轴的直线上的点的横坐标相等求出点的横坐标，再分点在点的上方与下方两种情况讨论求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵点，直线平行于轴， ∴点的横坐标为， ∵， ∴点在点的上方时，点的纵坐标为，点在点的下方时，点的纵坐标为， ∴点的坐标为或， 故答案为：或． 【2-2】（2024·重庆长寿·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，连接，以点为圆心、的长为半径画弧，与轴正半轴相交于点，则点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理以及坐标与图形，由勾股定理求出的长，进而得到的长，再求出的长，即可得出点的坐标．掌握勾股定理是解题的关键． 解：∵点，的坐标分别为和， ∴，， ∵， ∴， ∵以点为圆心，以长为半径画弧， ∴， ∴， ∵点在轴正半轴上， ∴点的坐标为， ∴点的横坐标为． 故答案为：． 【2-3】（23-24七年级下·全国·期末）已知点的横坐标是，且到轴的距离为，则点的坐标是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】此题主要考查了点到坐标轴的距离，根据平面直角坐标系内点的坐标含义即可判断，解题的关键是熟知坐标点的含义，平面直角坐标系内一个点到轴的距离是其纵坐标的绝对值，到轴的距离是其横坐标的绝对值． 解：设， ∵到轴的距离为， ∴，解得：， ∴的坐标是或， 故选：． 【题型3】判断点所在的位置 【3-1】（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）已知在第四象限，则在第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了点的坐标，根据在第四象限，得出，再得出，，即可得出答案，熟记各象限内点的坐标的符号是解题的关键． 解：∵在第四象限， ∴， ∴，， ∴在第二象限， 故答案为：二． 【3-2】（23-24八年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中， 将点称为点的“关联点”， 例如： 点是点的“关联点”， 则点的“关联点”在第 象限． 【答案】二 【分析】本题主要考查象限点的坐标特征、“关联点”的定义等知识点，根据关联点的定义确定点的“关联点”是解题的关键． 先根据关联点的定义确定点的“关联点”，然后再确定其所在的象限即可． 解：由“关联点”的定义可知：点的“关联点”的坐标为， ∴点的“关联点”在第二象限． 故答案为：二． 【3-3】（24-25九年级上·重庆九龙坡·开学考试）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查同类项和象限内的点．熟练掌握同类项的性质，各象限内的点坐标性质，是解决问题的关键．同类项所含相同字母的指数相同，第一象限内的点坐标，第二象限内的点坐标，第三象限内的点坐标，第四象限内的点坐标． 根据同类项的性质求出a、b的值，再确定点的位置即可． 解：∵单项式与单项式的和仍是一个单项式， ∴与是同类项， ∴，， ∴，， ∴点为， ∴点在第二象限． 故选：B． 【题型4】点到坐标轴的距离 【4-1】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知线段轴，若点，则n的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了平行坐标轴直线上点的坐标．熟练掌握平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等是解题的关键． 根据轴，可得，且，进而可得n的值． 解：由轴， 得，且， 解得． 故答案为：3． 【4-2】（23-24七年级下·广西玉林·期末）点在x轴的上方，将点A向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到点B，点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的平移、点到坐标轴的距离、解不等式、取绝对值等知识点，灵活运用相关知识是解答本题的关键．先根据平移表示出点B的坐标，再根据点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离列不等式求解即可． 解∶ ∵点向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到点B， ∴B的坐标为， ∵点在x轴的上方，点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离， ∴， ∴ ∴ 解得， 故答案为∶ ． 【4-3】（23-24七年级下·海南三亚·阶段练习）点在第二象限，且到轴的距离为5，则的值为（    ） A． B．3 C．7 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了点的坐标，正确利用坐标性质得出的值是解题关键． 直接利用第二象限点的坐标性质结合轴的距离为5，得出，解题即可． 解：∵点在第二象限， ∴， 又∵到轴的距离为5， ∴，即， 解得：， 故选C． 【题型5】坐标系中描点求值 【5-1】（23-24七年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，，，且轴，则 . 【答案】 【分析】本题主要考查了在平面直角坐标系内，平行于坐标轴的点的坐标的特征，即平行于轴的点的纵坐标相同；平行于轴的点的横坐标相同，解题的关键是熟练掌握平行于坐标轴的点的坐标的特征．根据轴，可得点，的纵坐标相同，可求出的值，即可求解． 解：，，且轴， ， 解得：， 点， ． 故答案为：． 【5-2】（22-23七年级下·广东清远·期中）已经点在轴上，那么 ，则点的坐标为 ． 【答案】 ； ． 【分析】根据轴上点的横坐标等于零，可列方程，根据解方程即可求解． 解：∵在轴上， ∴，解得：， ∴， ∴点， 故答案为：，． 【点拨】此题考查了坐标系轴上点的坐标特点，解题的关键是利用轴上点的横坐标等于零得出方程． 【5-3】（20-21八年级下·河南南阳·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．点到轴的距离是3 B．在平面直角坐标系中，点和点表示同一个点 C．若，则点在轴上 D．在平面直角坐标系中，第三象限内的点的横坐标与纵坐标异号 【答案】C 【分析】根据点的坐标到坐标轴的距离、坐标轴上点的坐标特点及第三象限内点的坐标符号特点逐一判断可得． 解： 解：、点到轴距离是2，此选项错误； 、在平面直角坐标系中，点和点表示不同的点，此选项错误； 、若，则点在轴上，此选项正确； 、在平面直角坐标系中，第三象限内点的横坐标与纵坐标同为负号，此选项错误； 故选：C． 【点拨】本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握点的坐标到坐标轴的距离、坐标轴上点的坐标特点及第三象限内点的坐标符号特点． 【题型6】确定坐标系求坐标 【6-1】（21-22七年级下·重庆·期中）为了学习研究平面直角坐标系中点的坐标，甲同学以A为原点，建立平面直角坐标系，甲同学读出B、C坐标为B（a，b）、C（4，3）；乙同学以B为原点、与甲同学相同正方向、相同单位长度建立直角坐标系，乙同学发现点C恰好横、纵坐标相等，则3a−3b+1的值是 ． 【答案】4 【分析】根据以B为原点、与甲同学相同正方向、相同单位长度建立直角坐标系，乙同学发现点C恰好横、纵坐标相等，可以推断出点C恰好在平面直角坐标系的第一、三象限的角平分线上，故3−b=4−a，求出a−b=1，然后再求解即可． 解：根据题意可知，甲同学以A为原点，B、C坐标为B（a，b）、C（4，3）， 当以B为原点、与甲同学相同正方向、相同单位长度建立直角坐标系，乙同学发现点C恰好横、纵坐标相等， ∴点C恰好在平面直角坐标系的第一、三象限的角平分线上， ∴3−b=4−a， ∴a−b=1， ∴3a−3b+1=4， 故答案为：4． 【点拨】本题主要考查点的坐标表示，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标规律是解答此题的关键． 【6-2】（18-19八年级上·全国·单元测试）如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，-1）和（-3，1），那么“卒”的坐标为 .    【答案】（-2，-2） 【分析】先根据“相”和“兵”的坐标确定原点位置，然后建立坐标系，进而可得“卒”的坐标． 解：“卒”的坐标为（﹣2，﹣2），    故答案是：（﹣2，﹣2）． 【点拨】考查了坐标确定位置，解题的关键是正确确定原点位置． 【6-3】（21-22七年级下·福建龙岩·期末）如图，在某平面直角坐标系的网格中，点A的坐标为，点C的坐标为，则它的坐标原点为（    ） A．点B B．点D C．点P D．点Q 【答案】C 【分析】根据点A的坐标为，点C的坐标为确定出x、y轴，即可得． 解：由题意得： ∴坐标原点为点P， 故选：C． 【点拨】本题考查了点的坐标，解题的关键是能够正确的画出x、y轴，． 【题型7】坐标系中的对称 【7-1】（24-25八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，点关于直线l（l过点且与x轴垂直）的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与轴对称，由题意可得，点关于直线l（l过点且与x轴垂直）的对称点的纵坐标是2．设横坐标为，则，解得，即可求出答案． 解：点关于直线l（l过点且与x轴垂直）的对称点的纵坐标是2， 设横坐标为，则， 解得， ∴点关于直线l（l过点且与x轴垂直）的对称点的坐标是， 故答案为：． 【7-2】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，点、分别在轴和轴上，已知点，以为直角边在左侧作等腰直角，，当点在轴上运动时，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与轴对称，全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作轴的平行线，分别过点、作轴的平行线，交于、，证明，得到，进而得到点在直线上运动，作点关于直线的对称点，得到，进行求解即可． 解：如图，过点作轴的平行线，分别过点、作轴的平行线，交于、，则四边形是矩形， ∵点，以为直角边在左侧作等腰直角，， ∴，，, ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， 如图，作点关于直线的对称点， ∴，， ∵， ∴当、、三点共线时，的值最小， ∴最小值为． 【7-3】（23-24八年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了点的平移以及关于轴对称点的性质，直接利用平移的性质得出对应点位置，进而结合关于轴对称点的性质得出答案，正确掌握横坐标的关系是解题的关键． 解：∵将点向下平移个单位长度得到点， ∴，即， ∴点关于轴的对称点， 故选：． 【题型8】坐标系中的新定义 【8-1】（23-24七年级下·山东菏泽·期末）在平面直角坐标系中，对于点P、Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离的较大值等于点Q到x，y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”．如点和点就是等距点．已知点A的坐标是，点B的坐标是，若点A与点B是“等距点”，则点B的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查坐标与图形的性质，根据题意，利用分类讨论的方法，可以求得点的坐标． 解：由题意可得，点的坐标是，到轴的距离较大，这个距离为， ∵点的坐标是， 点与点是“等距点”， ∴当时， ， 得， 此时点的坐标为； 当时， ， ，此时不符合题意； 当时， ， 得， 此时点的坐标为 由上可得， 点的坐标为或． 【8-2】（2024·四川乐山·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，新定义一种变换：使平面内的点对应的像为，其中a、b为常数．已知点经变换后的像为． （1）计算： ； （2）若线段，则经变换后线段的长度为 ．(其中分别是线段 O、P经变换后的像．点 O 为坐标原点)． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，读懂题目信息，理解新定义的变换规则是解题的关键． （1）根据新定义的变换，列出方程组，求出、的值即可； （2）根据两点之间的距离公式，求出的长度即可． 解：（1）由题意得：， ， ， 故答案为：； （2）由（1）知：，， ， ， 故答案为：． 【8-3】（2024·山东淄博·二模）定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”·若点，幸福直线是，则点A关于这条幸福直线的对称点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于直线对称的点坐标的特征．熟练掌握关于直线对称的点坐标的特征是解题的关键． 由点A关于幸福直线的对称点的坐标，可知A、B的纵坐标相同，横坐标和的一半等于，即，然后作答即可． 解：由题意知，对称点到对称轴的距离相等，且对称点之间的连线与对称轴垂直， ∴点A与点B的纵坐标都相同 ，即， 故选：D． 【题型9】点的平移 【9-1】（23-24八年级下·河南焦作·期中）在平面直角坐标系内，将先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形的平移变化，掌握点坐标的平移规律是解题的关键． 根据“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”解答即可． 解：平移后的坐标为，即坐标为． 故选：A． 【9-2】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知在 内有任意一点经过平移后对应点为，又已知点在经过此次平移后的对应点为，设，则m的值是（        ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是坐标与图形变化—平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键． 解：∵点在经过此次平移后的对应点为， ∴的平移规律为：向左平移个单位，向下平移个单位， ∴，， ∴， 故选B． 【9-3】（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，两点的坐标分别为，将线段平移到的位置，若，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移规律与图形的平移，根据平移规律，结合点的坐标，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减，可得出的值，再把的值代入算式计算即可得到答案，解题的关键是掌握平移的规律． 解：∵平移后对应点的坐标为， ∴线段向右平移了个单位， ∵点平移后对应的点的坐标为， ∴线段向上平移了个单位， ∴，， ∴， 故答案为：． 【题型10】图形的平移 【10-1】（2024·河南周口·三模）如图，在中，，，，，将向右上方平移，使得点C与原点重合，则点A平移后的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，平移的性质，解题的关键是先求出点A的坐标，根据将向右上方平移，使得点C与原点重合，得出应该使向右平移4个单位，再向上平移1个单位，然后求出点A平移后的坐标即可． 解：如图，过点C作轴，过点A作于点M，过点B作于点N， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵将平移，使点C与原点O重合， ∴应该使向右平移4个单位，再向上平移1个单位， ∴点A平移后的对应点为：，即． 故选：C． 【10-2】（22-23七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，将线段平移后得到线段，已知点A和D是对应点，点A、B、C、D的坐标分别为，，，，则的值为（    ）    A．8 B．9 C．12 D．11 【答案】C 【分析】根据点A、 D横坐标判定出向右平移了5个单位，从而可由点B、C坐标求出b；根据点B、C纵坐标判定出向上平移了1个单位，从而可由点A、 D纵坐标求出a；然后代入计算即可． 解：∵将线段平移后得到线段，，，，， ∴将线段向右平移了5个单位，向上平移了1个单位后得到线段， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 【点拨】本题考查根据平移后点的坐标，判定平移方式，再根据平移方式确定平移后点的坐标，熟练掌握平移坐标变换规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 【10-3】（24-25九年级上·福建福州·开学考试）对于平面直角坐标系中的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“t型平移”，点称为将点P进行“t型平移”的对应点；已知点，点，，点M是线段上的一个动点，将点A进行“t型平移”后得到的对应点为，当t的取值范围是 时，的最小值保持不变． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变换——平移，解题的关键是理解题中定义，灵活运用平移性质，利用图象解决问题． 作出图形，根据平行线间的距离处处相等得到点在上时满足条件，即可解答． 解：如图，，当点在上时，根据平行线间的距离处处相等可得的最小值保持不变， ∵，， ∴． 故答案为： 【题型11】点坐标的规律探究 【11-1】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，第2024秒瓢虫在（    ）处． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，能够找到规律是解题关键． 根据坐标可知，，求出循环爬行一周用时秒，然后计算，根据余数可确定最后的位置． 解：∵， ∴，， ∵一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行， ∴爬行一周所需的时间为：秒， ∵， ∴在第2023秒时，瓢虫在点， ∴到第2024秒时，瓢虫从点往点跑了秒钟，即跑了2个单位长度， 故在第2024秒时，瓢虫的坐标为， 故选：A． 【11-2】（2024八年级上·全国·专题练习）对点的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：；且规定（n为大于1的整数）．如，， ．则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标规律类问题，解题的关键是认真审题并从中找到正确的规律，并应用此规律解题．根据操作方法依次求出前几次变换的结果，然后得出规律：当为奇数时，，当n为偶数时，，根据规律解答即可． 解：， ， ， ， …， ∴当为奇数时，，当n为偶数时，， ∴． 故选：D． 【11-3】（24-25八年级上·全国·期中）如图，一个粒子在第一象限内及x轴和y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点；第二分钟，它从点运动到点，而后它接着按图中箭头所示在与x轴和y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位，那么在第分钟时，这个粒子所在位置的坐标是 ．    【答案】 【分析】本题考查了动点坐标问题，找出粒子运动规律和坐标之间的关系即可解题，解题的关键是找出粒子的运动规律. 解：由题知， 表示粒子运动了分钟， 表示粒子运动了（分钟），将向左运动， 表示粒子运动了（分钟），将向下运动， 表示粒子运动了（分钟），将向左运动， 按此规律表示粒子运动了（分钟），此时粒子将会向下运动， ∴在第2023分钟时，粒子又向下移动了个单位， ∴粒子的位置坐标为， 故答案为：． 【题型12】平面直角坐标系中的面积问题 【12-1】（24-25八年级上·福建福州·开学考试）在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点，点，，则的面积是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积，根据点的坐标得出点A与点B的横坐标相同，点A与点C的纵坐标相同，是解题的关键． 先根据点的坐标可得点A与点B的横坐标相同，点A与点C的纵坐标相同，即有轴，轴，进而可得，，且，问题随之得解． 解：∵，，， ∴点A与点B的横坐标相同，点A与点C的纵坐标相同， ∴轴，轴， ∴，，且， ∴， 故选：B． 【12-2】（23-24七年级下·新疆喀什·期末）已知点，，点在轴上，且三角形的面积是，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了图形与坐标，先设点的坐标为，结合点，，列式三角形的面积是，因为三角形的面积是，得出，再解方程，即可作答． 解：∵点在轴上 ∴设点的坐标为 依题意， 解得 ∴点的坐标是或 故选：C 【12-3】（23-24七年级下·江西南昌·期中）已知点，，点在坐标轴上，且三角形的面积是2，则满足条件的点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，根据点C位于不同的数轴分类讨论是解题的关键．分点C在x轴上和y轴上两种情况求解． 解：若点C在x轴上，则， 解得， 所以，点C的坐标为或， 若点C在y轴上，则， 解得， 所以，点C的坐标为或， 综上所述，点C的坐标为或或， 故答案为：或或． 【题型13】平面直角坐标系中的动点问题 【13-1】（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如图，直线经过原点，点在轴上，为线段上的一点，若，，，，则长度的最小值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形、垂线最短、三角形的面积公式等知识，求得的面积是解题的关键．过点作轴于点，过点作轴于点，结合点的坐标易得，，，进而可解得，结合垂线段最短可知当时，取最小值，结合三角形面积公式解得的值，即可获得答案． 解：如下图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵，，，， ∴，，， ∴， ∵垂线段最短， ∴当时，如图所示，取最小值， 此时可有， 即，解得， ∴长度的最小值是2． 故选：A． 【13-2】（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在直角坐标系中，，，，且点的纵坐标为5，为线段上一动点，连接；则的最小值为（    ）    A． B． C．16 D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，轴对称的性质，坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用．作点B关于的对称点，连接交于点E，过点作轴于点D，过点C作轴于点F，利用等面积法得到，然后求出，设，则，利用勾股定理求出，，进而求解即可． 解：如图所示，作点B关于的对称点，连接交于点E，过点作轴于点D，过点C作轴于点F，    ∴ ∴当A，P，三点共线时，有最小值，即的长度， ∵点的纵坐标为5 ∴， ∴，即 解得 ∵点B关于的对称点 ∴， ∴ ∴设，则 ∵ ∴ ∴ 解得 ∴ ∴ ∴ ∴． ∴的最小值为． 故选：D． 【13-3】（23-24八年级下·重庆·期中）如图，点、分别是轴正半轴与轴正半轴上的动点，以为边在第一象限作矩形，已知，矩形的面积为24，则的最大值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了坐标与图形、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题的关键．取的中点，连接，首先求得，在中，利用勾股定理解得，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，根据三角形三边关系，可知当点在同一直线上时，有最大值，即可获得答案． 解：如图，取的中点，连接， ∵，矩形的面积为24， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴在中，， 在中，， ∴当点在同一直线上时，有最大值，最大值为，． 故答案为：9． 【题型14】平面直角坐标系中的最值问题 【14-1】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点的坐标为，点为轴的负半轴上的一个动点，分别以，为直角边在第三、第四象限作等腰、等腰，连接交轴于点，当点在轴上移动时，则的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查图形与坐标，涉及全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的定义、坐标与图形性质等知识点的应用，作轴于，求出，证，求出，证，推出，即可得出答案．主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应角相等，对应边相等． 解：作轴于，如图所示： ∵等腰、等腰， ∴， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 在和中， ， ， ， 又点的坐标为， ， ， 故选C． 【14-2】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动：另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2024次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点坐标规律探索、行程问题中的相遇问题，通过计算找到坐标变化规律是解答的关键．根据坐标与图形可得四边形的各边长，结合点P、Q的速度求得两点相遇点的坐标，找出坐标变化规律即可求解． 解：∵点，，，， ∴，， ∴四边形的周长为， 由题意，经过1秒时，两点在点处相遇，随后，两点走的路程和是10的倍数时，两点相遇，相邻两次相遇间隔时间为（秒）， ∴第二次相遇点是边的中点； 第三次相遇点是点； 第四次相遇点为点； 第五次相遇点为点， 第六次相遇点为点，……， 由此发现，每五次相遇点重合一次， ∵， ∴第2024次相遇点与第四次相遇点重合，即， 故选：B． 【14-3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点在轴正半轴上，边在轴上，若，动点从点出发，沿轴正方向运动，设点的坐标为，当是钝角三角形时，满足的条件是 ． 【答案】或 【分析】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，坐标与图形，利用数形结合的思想是解题关键．过点作，交x轴于点P，根据等边三角形的性质得出，，从而可求出，．再根据当点D在线段上时（不含端点）和当点D在点P右侧时，是钝角三角形，求解即可． 解：∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴当点D在线段上时（不含端点），是钝角三角形，如图， ∴此时； 如图，过点作，交x轴于点P， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当点D在点P右侧时，是钝角三角形， ∴此时． 综上可知满足的条件是或．故答案为：或． 【题型15】平面直角坐标系中的折叠问题 【15-1】（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点M是上一点，将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查图形与坐标、勾股定理、轴对称的性质等知识，求得并且推导出是解题的关键． 由勾股定理得，由折叠得，，则，由，得，求得，则，于是得到问题的答案． 解：，，， ，， ， 由折叠得，， ， ， ， 解得， ， 故选：B． 【15-2】（20-21八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使、分别落在x轴、y轴上，连接，将长方形纸片沿折叠，使点B落在点D的位置．若，则D的横坐标是(    )    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设交轴于点，由四边形是矩形与折叠的性质，证得是等腰三角形，然后在中，利用勾股定理求得，的长，进而得出，勾股定理求得的长，进而根据三角形的面积即可求解． 解：如图所示，设交轴于点，      ∵四边形是长方形， ∴，， ∴， 根据题意得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴， 在中，， 设到轴的距离为， ∴， 即， 则点的横坐标为． 故选：D． 【点拨】此题考查了折叠的性质，矩形的性质，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用． 【15-3】（23-24八年级上·山西晋中·期末）如图，数学课上小花把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使点与坐标原点重合分别落在轴轴上，连接将纸片沿折叠，使点落在点的位置与轴交于点则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】由平行可得，由折叠的性质可知，，则，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解，然后作答即可． 解：∵长方形，， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，等角对等边，勾股定理，坐标与图形．熟练掌握平行线的性质，折叠的性质，等角对等边，勾股定理，坐标与图形是解题的关键． 【题型16】平面直角坐标系中的几何综合问题 【16-1】（2024八年级上·北京·专题练习）已知，如图在直角坐标系中，点在轴上，轴于点，点关于直线的对称点恰好在上，点与点关于直线对称，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形、轴对称的性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，理解并掌握轴对称的性质和垂直平分线的性质是解题关键．连接，根据题意可知轴于点，首先解得，的值，根据题意可知是线段的垂直平分线，可得，进而可得，再推导是的垂直平分线，可得，然后由可得答案． 解：连接，如下图， ∵轴于点，， ∴， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点恰好在上， ∴是线段的垂直平分线，即， ∴， ∴， ∴， ∵点与点关于直线对称， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． 答案：C． 【16-2】（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴负半轴，轴正半轴分别交于点，，在轴上取点，点是直线上的一个动点，以为边，在的右侧作等边三角形，使得点落在第一象限，连接．若，则的最小值为（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】在直线上取点M，使，连接，过点M作轴于点G，连接并延长，交y轴于点E，证明，得出，证明轴，说明点F在过点M且平行于x轴的直线上，作点O关于的对称点N，连接，交于点H，连接，说明当点F在点H处时，最小，且最小值为，求出最小值即可． 解：在直线上取点M，使，连接，过点M作轴于点G，连接并延长，交y轴于点E，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即轴， ∴点F在过点M且平行于x轴的直线上， ∴轴， ∴， 作点O关于的对称点N，连接，交于点H，连接， 则，， ∴， ∴， ∵两点之间相等最短， ∴当点F在点H处时，最小，且最小值为， 根据勾股定理得：， 即最小值为． 故选：B． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，找出使最小时，点F的位置． 【16-3】（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，点，点B，C在x轴上，Q是y轴上一点． （1） ； （2）点P从点A出发，先沿y轴到达点Q，再沿到达点B后停止运动，点P在y轴上运动的速度是它在直线上运动的速度的2倍，若点P按上述要求到达点B所用时间最短，则点Q的坐标为 ． 【答案】 30 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质即可得解； （2）过点Q作于H，设点P在y轴的速度为x，则点P在上的速度为，表示出点P到达点B所用时间得到当有最小值时，点Q，点B，点H三点共线时，有最小值为的长，再由等边三角形的性质即可得解． 解：（1）∵是等边三角形，， ∴， 故答案为：30； （2）如图，过点Q作于H， 设点P在y轴的速度为x，则点P在上的速度为， ∴点P到达点B所用时间， ∴当有最小值时，点P到达点B所用时间最短， ∵， ∴， ∴， ∴当点Q，点B，点H三点共线时，有最小值为的长， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∴点， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$