第十七讲　等腰三角形和直角三角形 2025年九年级中考数学人教版一轮复习专题练习（广西专版）

第十七讲　等腰三角形和直角三角形 A层·基础过关 1.已知等腰三角形两边的长分别是3和5,求此等腰三角形的周长.小明的解答过程如下:“当3是腰长时,底边长为5,则三角形周长为:3+3+5=11;当5是腰长时,底边长为3,则三角形周长为:3+5+5=13.”小明的解答方法体现的数学思想是(B) A.方程思想　 B.分类讨论思想 C.公理化思想　 D.转化思想 2.(2024·玉林模拟)学完等腰三角形的性质后,小丽同学将课后练习“一个等腰三角形的顶角是36°,求底角的度数”改为“等腰三角形的一个角是36°,求底角的度数”.下面的四个答案,你认为正确的是(C) A.36°　 B.144° C.36°或72°　 D.72°或144° 3.(2024·兰州)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=130°,DA⊥AC,则∠ADB=(B) A.100°　 B.115°　 C.130°　 D.145° 4.一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示,已知∠ACB=90°,点D为边AB的中点,点A,B对应的刻度分别为1,7,则CD=(B) A.3.5 cm　 B.3 cm　 C.4.5 cm　 D.6 cm 5. (2024·青海)如图,在Rt△ABC中,D是AC的中点,∠BDC=60°,AC=6,则BC的长是(A) A.3　 　　　　　 B.6　 C.　 　　　 D.3 6.(2024·湖南)若等腰三角形的一个底角的度数为40°,则它的顶角的度数为　100　°.  7.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边的中线,若AB=5,BC=6,则AD的长度为　4　.  8.如图,在△ABC中,若AB=AC,AD=BD,∠CAD=24°,则∠C=　52　°.  B层·能力提升 9.如图,已知△ABC的面积为48,AB=AC=8,点D为BC边上一点,过点D分别作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若DF=2DE,则DE长为(C) A.2　 B.3　 C.4　 D.6 10.(2024·南充)如图,已知线段AB,按以下步骤作图:①过点B作BC⊥AB,使BC=AB,连接AC;②以点C为圆心,以BC长为半径画弧,交AC于点D;③以点A为圆心,以AD长为半径画弧,交AB于点E.若AE=mAB,则m的值为(A) A.　 B. C.-1　 D.-2 11.已知点P是等边△ABC的边BC上的一点,若∠APC=104°,则在以线段AP,BP,CP为边的三角形中,最小内角的大小为(B) A.14° B.16° C.24° D.26° 12.(2024·新疆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若点D在直线AB上(不与点A,B重合),且∠BCD=30°,则AD的长为　6或12　.  13.如图,P为等边△ABC内的一点,且P到三个顶点A,B,C的距离分别为6,8,10,则△ABC的面积为　36+25　.  14.问题:如图,在△ABD中,BA=BD.在BD的延长线上取点E,C,作△AEC,使EA=EC.若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC的度数. 答案:∠DAC=45°. 思考:(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,其余条件不变,那么∠DAC的度数会改变吗?说明理由; 【解析】(1)∠DAC的度数不会改变. ∵EA=EC,∴∠AED=2∠C,① ∵∠BAE=90°,BA=BD, ∴∠BAD=[180°-(90°-2∠C)]=45°+∠C, ∴∠DAE=90°-∠BAD=90°-(45°+∠C)=45°-∠C,②由①,②得,∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°. (2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”,其余条件不变,求∠DAC的度数. 【解析】(2)设∠ABC=m°,则∠BAD=(180°-m°)=90°-m°,∠AEB=180°-n°-m°, ∴∠DAE=n°-∠BAD=n°-90°+m°, ∵EA=EC,∴∠CAE=∠AEB=90°-n°-m°,∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=n°-90°+m°+90°-n°-m°=n°. C层·挑战冲A+ 15.(2024·滨州)【问题背景】 某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现: ①如图,在△ABC中,若AD⊥BC,BD=CD,则有∠B=∠C; ②某同学顺势提出一个问题:既然①正确,那么进一步推得AB=AC,即知AB+BD=AC+CD.若把①中的BD=CD替换为AB+BD=AC+CD,还能推出∠B=∠C吗? 基于此,社团成员小军、小民进行了探索研究,发现确实能推出∠B=∠C,并分别提供了不同的证明方法. 小军 小民 证明:分别延长DB,DC至E,F两点,使得…… 证明:∵AD⊥BC, ∴△ADB与△ADC均为直角三角形 根据勾股定理,得…… 【问题解决】 (1)完成①的证明; 【证明】(1)∵AD⊥BC, ∴∠ADB=∠ADC=90°, 在△ADB和△ADC中,, ∴△ADB≌△ADC(SAS), ∴∠B=∠C; (2)把②中小军、小民的证明过程补充完整. 【证明】(2)小军的证明过程: 分别延长DB,DC至E,F两点,使得BE=BA,CF=CA,如图所示, ∵AB+BD=AC+CD, ∴BE+BD=CF+CD,∴DE=DF, ∵AD⊥BC,∴∠ADE=∠ADF=90°, 在△ADE和△ADF中,, ∴△ADE≌△ADF(SAS),∴∠E=∠F, ∵BE=BA,CF=CA, ∴∠E=∠BAE,∠F=∠CAF, ∵∠ABC=∠E+∠BAE,∠ACB=∠F+∠CAF,∴∠ABC=∠ACB; 小民的证明过程: ∵AD⊥BC, ∴△ADB与△ADC均为直角三角形, 根据勾股定理,得:AD2+BD2=AB2,AD2+CD2=AC2,∴AB2-BD2=AC2-CD2, ∴AB2+CD2=AC2+BD2, ∵AB+BD=AC+CD, ∴AB-CD=AC-BD, ∴(AB-CD)2=(AC-BD)2,∴AB2-2AB·CD+CD2=AC2-2AC·BD+BD2, ∴AB·CD=AC·BD,∴=, 设==k,BD=a,CD=b, ∴AB=kBD=ka,AC=kCD=kb, 根据勾股定理, AD==, ∴AD==a, AD==b, ∴a=b,∴AB=AC, ∴∠B=∠C. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七讲　等腰三角形和直角三角形 A层·基础过关 1.已知等腰三角形两边的长分别是3和5,求此等腰三角形的周长.小明的解答过程如下:“当3是腰长时,底边长为5,则三角形周长为:3+3+5=11;当5是腰长时,底边长为3,则三角形周长为:3+5+5=13.”小明的解答方法体现的数学思想是( ) A.方程思想　 B.分类讨论思想 C.公理化思想　 D.转化思想 2.(2024·玉林模拟)学完等腰三角形的性质后,小丽同学将课后练习“一个等腰三角形的顶角是36°,求底角的度数”改为“等腰三角形的一个角是36°,求底角的度数”.下面的四个答案,你认为正确的是( ) A.36°　 B.144° C.36°或72°　 D.72°或144° 3.(2024·兰州)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=130°,DA⊥AC,则∠ADB=( ) A.100°　 B.115°　 C.130°　 D.145° 4.一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示,已知∠ACB=90°,点D为边AB的中点,点A,B对应的刻度分别为1,7,则CD=( ) A.3.5 cm　 B.3 cm　 C.4.5 cm　 D.6 cm 5. (2024·青海)如图,在Rt△ABC中,D是AC的中点,∠BDC=60°,AC=6,则BC的长是( ) A.3　 　　　　　 B.6　 C.　 　　　 D.3 6.(2024·湖南)若等腰三角形的一个底角的度数为40°,则它的顶角的度数为 °.  7.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边的中线,若AB=5,BC=6,则AD的长度为 .  8.如图,在△ABC中,若AB=AC,AD=BD,∠CAD=24°,则∠C= °.  B层·能力提升 9.如图,已知△ABC的面积为48,AB=AC=8,点D为BC边上一点,过点D分别作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若DF=2DE,则DE长为( ) A.2　 B.3　 C.4　 D.6 10.(2024·南充)如图,已知线段AB,按以下步骤作图:①过点B作BC⊥AB,使BC=AB,连接AC;②以点C为圆心,以BC长为半径画弧,交AC于点D;③以点A为圆心,以AD长为半径画弧,交AB于点E.若AE=mAB,则m的值为( ) A.　 B. C.-1　 D.-2 11.已知点P是等边△ABC的边BC上的一点,若∠APC=104°,则在以线段AP,BP,CP为边的三角形中,最小内角的大小为( ) A.14° B.16° C.24° D.26° 12.(2024·新疆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若点D在直线AB上(不与点A,B重合),且∠BCD=30°,则AD的长为 .  13.如图,P为等边△ABC内的一点,且P到三个顶点A,B,C的距离分别为6,8,10,则△ABC的面积为 .  14.问题:如图,在△ABD中,BA=BD.在BD的延长线上取点E,C,作△AEC,使EA=EC.若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC的度数. 答案:∠DAC=45°. 思考:(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,其余条件不变,那么∠DAC的度数会改变吗?说明理由; (2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”,其余条件不变,求∠DAC的度数. C层·挑战冲A+ 15.(2024·滨州)【问题背景】 某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现: ①如图,在△ABC中,若AD⊥BC,BD=CD,则有∠B=∠C; ②某同学顺势提出一个问题:既然①正确,那么进一步推得AB=AC,即知AB+BD=AC+CD.若把①中的BD=CD替换为AB+BD=AC+CD,还能推出∠B=∠C吗? 基于此,社团成员小军、小民进行了探索研究,发现确实能推出∠B=∠C,并分别提供了不同的证明方法. 小军 小民 证明:分别延长DB,DC至E,F两点,使得…… 证明:∵AD⊥BC, ∴△ADB与△ADC均为直角三角形 根据勾股定理,得…… 【问题解决】 (1)完成①的证明; (2)把②中小军、小民的证明过程补充完整. 学科网（北京）股份有限公司 $$