四川省泸州市古蔺县蔺阳中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

( ) ( ) 高2023级高二上期期中考试 ( 姓名：______________ 班级 班级 ____________ 班 级： 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 )数学·答题卡 ( 准考证号： ) ( 一、选择题（每小题5分，共 4 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、 多项选择题 （ 全部选对的得 6 分，部分选对 得部分分 ，有选错的得0分 ，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题5分，共 15 分） 12. ____________________ 1 3 ． __________________ 1 4 ． ___________________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 15题（13分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 16题（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17题（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18题（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ！ ) ( 19题（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ！ ) 数学 第1页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高2023级高二上期期中考试数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【详解】由条件可知，直线的斜率，设直线的倾斜角为， 则，，所以. 2. 已知，则（ ） A. 2i B. 4i C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】【详解】，故． 3. 若直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 或2 【答案】B 【解析】【详解】根据题意可知，两直线斜率均存在，即； 由两直线平行可得，解得或； 经检验，当时，两直线重合，不合题意，舍去；所以可得. 4. 《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如图，则下列说法正确的是（ ） A. 早睡人群睡眠指数主要集中在 B. 在睡眠指数的人群中，早睡人数多于晚睡人数 C. 晚睡人群睡眠指数主要集中在 D. 早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小 【答案】A 【详解】A选项，由统计图可看出早睡人群睡眠指数主要集中在内，A正确； B选项，由于不知抽样数据中早睡和晚睡的人数， 从而无法确定在睡眠指数的人群中，早睡人数和晚睡人数，B错误； C选项，晚睡人群睡眠指数主要集中在内，C错误. D选项，在统计图中无法确定早睡人群睡眠指数和晚睡人群睡眠指数的极差，D错误. 5. 已知事件A，B互斥，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】因为事件A，B互斥，所以， 又，所以，故， 6. 某同学在一次数学测试中的成绩是班级第十名（假设测试的成绩两两不同），且该同学的成绩恰好是该班级成绩的第80百分位数，则该班级的人数可能为（ ） A. 36 B. 41 C. 46 D. 51 【答案】C 【详解】设班级的人数为，由题意，解得，又. 7. 如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台，若，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】因为:， 所以：.又因为：， 所以：， 所以：.故C项正确. 8．过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】   设直线的倾斜角为，， 当直线的斜率不存在时，，符合， 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为， 因为点， ，，则，， 因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以， 因为，又，所以，所以直线的倾斜角范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ） A. 事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 B. 事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件 C. 事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互互斥事件 D. 事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 【答案】BD 【详解】对于A，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中“，所以不是对立事件，A错误 对于B，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”它与事件“两次均击中”是互斥事件，B正确 对于C，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，C错误 对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D正确 10. 已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 在方向上的投影向量是 D. 与的夹角为 【答案】BC 【详解】已知空间中三个向量，，， 对于A选项，因为，故、不共线，A错； 对于B选项，与同向的单位向量是，B对； C选项，在方向上的投影向量是，C对； D选项，因为，则、不垂直，D错. 11. 已知正三棱柱的所在棱长均为2,P为棱上的动点,则下列结论中正确的是（ ） A. 该正三棱柱内可放入的最大球的体积为 B. 该正三棱柱外接球的表面积为 C. 存在点P,使得 D. 点P到直线的距离的最小值为 【答案】BCD 【详解】关于A选项:该正三棱柱内可放入最大球的半径为的内切圆半径, 体积为,故A错误; B选项:正三棱柱的外接球半径,表面积为,故B正确; 关于C选项:如图所示,当为中点时,记与的交点为, 正三棱柱,面为正方形,且, 为中点, , ,在和中由勾股定理可知, 为中点,在中由三线合一可得, 平面,平面, 平面,,得证,故C正确; 关于D选项:为棱上的动点, 到直线的距离的最小值即为异面直线与的距离最小值,中点为原点,以的方向为x轴,以方向为y轴, 以方向为y轴，记中点为,以方向为z轴如图所示建立空间直角坐标系, 记异面直线与的公共垂向量为,, ,即,令, 可得D正确 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线在轴上的截距为1，则 . 【答案】 【详解】因为直线，令，得到，由题有，解得， 13. 事件、是相互独立事件，若，，则实数的值等于__________. 【答案】 【详解】 ，即，解得. 14. 在棱长为4的正方体中，点，分别为棱，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且，则线段的长度的最小值为__________. 【解析】【详解】以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 因为点，分别为棱，的中点，所以，， 设，，其中，， 则，. 因为，则，解得， 又因为，，则， 可得， 所以，此时，即线段的长度的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. 本小题分 已知顶点、、． (1)求边的垂直平分线的方程； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 【详解】（1）由、，可知中点为，且， 所以其垂直平分线斜率满足，即， 所以边的垂直平分线的方程为，即； （2）当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 16．本小题15分如图，在多面体中，．侧面为矩形，平面平面ABC． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 【详解】（1）由侧面为矩形，得，又平面，平面， 则，即直线两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 设平面的法向量为，则， 令，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （2）由（1）知，平面的法向量，， 点到平面的距离. 17. 本小题15分一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间分成5组，得到图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果? （3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率. 【解析】【小问1详解】由直方图可得，样本落在，，…，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3，由，解得． 则样本落在，，…，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3， 所以，该苹果日销售量的平均值为: . 【小问2详解】为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数． 依题意，日销售量不超过的频率为， 则该店苹果日销售量的分位数在， 所以日销售量的分位数为．所以，每天应该进苹果． 【小问3详解】由日销售量为的频率分别为0.2，0.4知， 抽取的苹果来自日销售量中的有2个，不妨记为， 来自日销售量为的苹果有4个，不妨记为， 任意抽取2个苹果，有，，共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售中的有6个基本事件，由古典概型可得. 18.本小题17分 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. （1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率； （2）求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 【解析】【小问1详解】甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是，甲考生通过某校强基招生面试的概率为. 【小问2详解】乙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为：. 【小问3详解】丙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为：. 19. 本小题17分 棱柱的所有棱长都等于4，，平面平面，. （1）证明：； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）在直线上是否存在点P，使？若存在，求出P的位置. 【解析】【详解】由题意，连接交于，则，连接， 在中，，，， ∴，∴， ∴，由于平面平面，所以底面， 所以以、、所在直线为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， （1）由于，，， 则，∴. 设平面的法向量，则，即， 取，可得， 同理，可得平面的法向量，所以， 又由图可知成钝角，所以二面角的平面角的余弦值是. （3）假设在直线上存在点，使平面， 设，，则， 得，， 设平面，则，设， 得到，不妨取， 又因为平面，则即得. 即点在的延长线上且使. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高2023级高二上期期中考试数学试题 命题人：姜海 审题人：孙燎 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第1卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1． 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 2i B. 4i C. 1 D. 2 3. 若直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 或2 4. 《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如图，则下列说法正确的是（ ） A. 早睡人群睡眠指数主要集中在 B. 在睡眠指数的人群中，早睡人数多于晚睡人数 C. 晚睡人群睡眠指数主要集中在 D. 早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小 5. 已知事件A，B互斥，，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 某同学在一次数学测试中的成绩是班级第十名（假设测试的成绩两两不同），且该同学的成绩恰好是该班级成绩的第80百分位数，则该班级的人数可能为（ ） A. 36 B. 41 C. 46 D. 51 7. 如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台，若，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 8．过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ） A. 事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 B. 事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件 C. 事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互互斥事件 D. 事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 10. 已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 在方向上的投影向量是 D. 与的夹角为 11. 已知正三棱柱的所在棱长均为2,P为棱上的动点,则下列结论中正确的是（ ） A. 该正三棱柱内可放入的最大球的体积为 B. 该正三棱柱外接球的表面积为 C. 存在点P,使得 D. 点P到直线的距离的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线在轴上的截距为1，则__________. 13. 事件、是相互独立事件，若，，则实数的值等于__________. 14. 在棱长为4的正方体中，点，分别为棱，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且，则线段的长度的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. 本小题分 已知顶点、、． (1)求边的垂直平分线的方程； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 16． 本小题15分 如图，在多面体中，．侧面为矩形， 平面平面ABC． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 17.本小题15分一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间分成5组，得到图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果? （3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率. 18.本小题17分 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. （1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率； （2）求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 19. 本小题17分 棱柱的所有棱长都等于4，，平面平面，. （1）证明：； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）在直线上是否存在点P，使？若存在，求出P的位置. 学科网（北京）股份有限公司 $$