第六章 一次函数 重难点检测卷-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

第六章 一次函数 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）下列各点中，在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．将各选项中的点的坐标横坐标分别代入，根据图象上点的坐标性质即可得出答案． 【详解】A．当时，，点在图象上，故此选项符合题意； B．当时，，点不在图象上，故此选项不符合题意； C．当时，，点不在图象上，故此选项不符合题意； D．当时，，点不在图象上，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）已知一次函数的图像如图所示，则，的取值范围是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是数形结合．根据一次函数的图像所在的象限并结合一次函数的性质即可求解． 【详解】解：一次函数的图像过一、三象限， ， 一次函数的图像与轴交于负半轴， ， 故选：B． 3．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系中， 已知点在直线上， 则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的求值，理解一次函数图象上的点满足函数解析式是解题关键．将点代入直线的解析式得到，再把整体代入所求代数式即可． 【详解】解：由题意，将点代入直线得：， 则， ∴ 故选：C． 4．（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（    ） A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩 B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息 C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间 D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键． 根据函数图象分析即可． 【详解】解：由图象可知速度先随时间的增大而增大，然后直接降为0，过段时间速度增大，然后匀速运动， 则小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间，符合题意． 故选：C． 5．（22-23七年级上·安徽宿州·期中）对于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象不经过第一象限 B．图象与y轴的交点坐标为 C．图象可由直线向下平移2个单位长度得到 D．若点，，在一次函数的图象上，则 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象的平移等知识．熟练掌握一次函数的图象与性质，一次函数图象的平移是解题的关键． 由，可得，，则图象过第二、三、四象限，不过第一象限，可判断A的正误；当时，，即图象与y轴的交点坐标为，可判断B的正误；图象可由直线向下平移2个单位长度得到，可判断C的正误；随着的增大而减小，由，可得，可判断D的正误． 【详解】解：∵， ∴，， ∴图象过第二、三、四象限，不过第一象限，A正确，故不符合要求； 当时，，即图象与y轴的交点坐标为，B正确，故不符合要求； 图象可由直线向下平移2个单位长度得到，C正确，故不符合要求； 随着的增大而减小， ∵， ∴，D错误，故符合要求； 故选：D． 6．（2024·江苏镇江·模拟预测）古秤是一种人类智慧的产物，也是华夏文明的瑰宝之一．如图，我们可以用秤砣到秤纽（秤杆上手提的部分）的水平距离得出秤钩上所挂物体的重量，称重时，若秤钩所挂物重为（斤），秤砣到秤纽的水平距离为．下表中为若干次称重时所记录的一些数据： （斤） （厘米） 当为斤时，对应的水平距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 观察表格数据可以发现与之间存在一次函数关系，故借助表格数据，利用待定系数法求出关于的函数关系式，然后将代入函数解析式，求出对应的函数值即可． 【详解】解：观察表格数据发现与之间存在一次函数关系，故设， 将点与分别代入，得， ，得：， 系数化为，得：， 将代入，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 关于的函数关系式为， 将代入上述解析式，得：， 即当为斤时，对应的水平距离为， 故选：． 7．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图，中，，把放在平面直角坐标系中，且点，的坐标分别为，，将沿轴向左平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（   ） A．96 B．120 C．132 D．144 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、坐标与图形变化中的平移以及勾股定理．过点作轴于点，由点、的坐标利用勾股定理可求出点的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点移动后的坐标，借助平行四边形的面积即可得出线段扫过的面积． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示． 点，的坐标分别为，，，， ， ． 点的坐标为． 当时，有， 解得：， 点平移后的坐标为． 沿轴向左平移个单位长度， 线段扫过的面积． 故选：B． 8．（22-23八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，点是轴上的一个动点，且，，三点不在同一条直线上当的周长最小时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查平面直角坐标系中一次函数与几何问题的综合，解题关键是根据两点之间线段最短得出直线解析式．如解析图作点关于轴的对称点，连接交轴一点点，根据两点之间线段最短，这时的周长最小，求出直线的解析式为即可求出点的坐标． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴一点点，如图所示： 点、的坐标分别为和， 的坐标是， 设直线的解析式为，将、坐标分别代入， ，解得， 直线的解析式为， 点的坐标为， 故选：C． 9．（2024·江苏常州·模拟预测）如图所示图象折线描述了汽车沿笔直路线行驶过程中，汽车离出发地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的变量关系，根据图中提供的信息，给出下列说法： 汽车共行驶了千米； 汽车在行驶途中停留了小时； 汽车在整个过程中的平均速度为千米时； 汽车自出发后小时至小时之间行驶的速度在逐渐减少． 其中正确的说法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了函数图象的读图能力, 根据图象分别判断即可，行驶的最远距离是120千米，共行驶240千米，共用时间是4.5小时．解题的关键是要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 【详解】解：由题意可知，行驶的最远距离是120千米，共行驶240千米，故①说法错误； 根据图象从1.5时到2时，是停留时间，停留0.5小时，故②说法正确； 汽车在整个行驶过程中的平均速度为（千米时），故③说法正确； 汽车自出发后3小时至4.5小时之间路程与时间成一次函数关系，因而速度不变，故④说法错误， 故正确的说法是：②③， 故选：B． 10．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，直线分别与x轴、y轴相交于点M，N，点P在平面内，，点，则长度的最小值是（    ）    A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换、勾股定理以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．取的中点H，连接并延长，在延长线上取点，连接，使得，连接，当点与点重合时，有最小值，求出的坐标，利用勾股定理求出，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：如图，取的中点H，连接并延长，在延长线上取点，连接，使得，连接，    当点与点重合时，有最小值， ， ， 当时，， 点的坐标为； 当时，， 解得：， 点的坐标为． ， ， 点的坐标为，即， 又点的坐标为， ， ． 故选：C． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据一次函数图象经过的象限，求参数的范围，根据图象经过第一、二、四象限，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 12．（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）在函数的图象上有三个点，则的大小关系用“”连接为 ． 【答案】 【分析】本题考查比较一次函数的函数值大小，根据，得到随的增大而减小，进而比较一次函数的函数值大小即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴随的增大而减小， ∵， ∴； 故答案为：． 13．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）已知一次函数的图象与直线平行，且经过点关于y轴的对称点，则该函数的表达式为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了两直线平行问题，求一次函数解析式，关于轴对称的点的坐标特征；先利用两直线平行的问题得到，然后把代入求出b即可得到一次函数解析式． 【详解】解：∵一次函数的图象与直线平行， ∴， ∵点关于y轴的对称点为 把代入得，解得， ∴所求一次函数解析式为． 故答案为：． 14．（23-24八年级下·江苏南京·期末）在同一平面直角坐标系中，直线与直线如图所示，则关于的不等式的解集是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，求一元一次不等式组的解集等知识点，熟练掌握一次函数的图象，深刻理解数形结合思想是解题的关键． 可知不等式等价于不等式组，由图形易求得不等式组的解集，于是可得原不等式的解集． 【详解】解：不等式等价于不等式组， 不等式组的解集就是不等式的解集， 由图形可知，当时，， 当时，， 不等式组的解集是， 不等式的解集是， 故答案为：． 15．（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）某公司销售人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图像如图所示，则此销售人员的基本月收入（销售量为0时的月收入）是 元． 【答案】500 【分析】本题考查一次函数的实际应用，待定系数法求出函数解析式，进而求出时的函数值即可得出结果． 【详解】解：设一次函数的解析式为：， 把代入，得： ，解得：， ∴， ∴当时，， 即：销售人员的基本月收入（销售量为0时的月收入）是500元； 故答案为：500 16．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点，按此规律，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了轴对称的性质．先根据题意求出点的坐标，再根据点的坐标求出的坐标，以此类推总结规律便可求出点的坐标． 【详解】解：点坐标为， ， 过点作轴的垂线交直线于点，可知点的坐标为， 点与点关于直线对称， ， ， 点的坐标为，的坐标为， 点与点关于直线对称．故同理可得点的坐标为，的坐标为， 以此类推便可求出点的坐标为，，点的坐标为，． 的坐标，， 故答案为：，． 17．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，将一块含角的直角三角板放在平面直角坐标系中，顶点A，B分别在x轴、y轴上，斜边与x轴交于点D．已知，点A坐标为，点B的坐标为，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】如图，作轴于，证明，则，，，，待定系数法求直线的解析式为，当时，，可求，进而可得． 【详解】解：如图，作轴于， 由题意知，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数解析式，直线与坐标轴的交点等知识．熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数解析式，直线与坐标轴的交点是解题的关键． 18．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，将直线绕点顺时针旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】首先确定点的坐标，易得，，过点作，交于点，过作轴于点，结合题意，证明为等腰直角三角形，进而证明，由全等三角形的性质可得，，即可确定点，然后根据待定系数法解直线的解析式即可． 【详解】解：对于一次函数， 令，可有，即， 令，可有，解得，即， ∴，， 如下图，过点作，交于点，过作轴于点， ∵将直线绕点顺时针旋转，即， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，正确作出辅助线是解题关键． 三、解答题（10小题，共64分） 19．（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的关系式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意设，将x与y的值代入求出k的值，即可确定出y与x关系式； （2）将代入y与x关系式求出x的值即可． 此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【详解】（1）解：设直线的解析式，则， 把时，代入得到， 解得：， ∴y与x之间的关系式为， （2）解：令，则， 解得． 20．（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知一次函数的图象经过点，且与轴交于点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)求此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式以及一次函数的图象性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求出函数的解析式即可； （2）求解函数与坐标轴的交点坐标，再利用面积公式求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点，， 得 解得 ∴一次函数的解析式为； （2）当时，， 当时，， ∴， ∴直线与 x轴交于，与y轴交于， ∴． 21．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知函数． (1)若这个函数经过原点，求m的值． (2)若函数的图象平行于直线，求m的值； (3)若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据这个函数经过原点，则满足函数，代入解析式计算即可． （2）根据函数的图象平行于直线，得，求m的值即可； （3）根据这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，得到，求m的取值范围即可． 本题考查了图象过点，一次函数图象的平行条件，一次函数图象的分布，熟练掌握平行条件，图象分布的条件是解题的关键． 【详解】（1）∵关于x的函数的图象经过原点， ∴点满足函数的解析式， ∴， 解得． （2）∵函数的图象平行于直线， ∴， ∴； （3）函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， ∴m的取值范围是． 22．（2024·江苏盐城·三模）小丽驾驶电动汽车从家出发到某景点游玩，行驶一段时间，停车充电，电量充满后继续行驶，到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同．在景点游玩一段时间后，按原路返回到家．小丽往返均匀速行驶，汽车每小时的耗电量均相同，出行全程一共用时小时，汽车剩余电量与时间的函数关系如图所示． (1)该电动汽车每小时的充电量为 ，小丽在景区游玩了 ； (2)电动汽车从家出发时电量为，求的值； (3)求线段所表示的与之间的函数表达式． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）列式计算可得电动汽车每小时的充电量为，由于返回时间与去时行驶时间相同，可以得到小丽在景区游玩时间； （2）先求出汽车行驶时每小时的耗电量，可知到达景点时汽车剩余电量为； （3）用待定系数法可得线段所表示的与之间的函数表达式． 【详解】（1） 电动汽车每小时的充电量为 小丽往返均匀速行驶 返回时间与去时行驶时间相同，即为： 段占用时间为 段时间为： 故答案为：； （2）汽车每小时的耗电量均相同，且到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同 耗电量为： 到达景点时汽车剩余电量为： （3）段时间为：，且到达景点时汽车剩余电量为： 汽车每小时的耗电量为，返回时间为 当小丽回家时，剩余电量为： 设段的函数表达式为： 将代入可得： 解得： 段的函数表达式为： 【点睛】本题考查一次函数的应用以及待定系数法求解析式，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． 23．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，直线l经过点A，交y轴于点． (1)求m的值和直线l的函数表达式； (2)若点在直线l上，点在直线上．若，求t的取值范围． 【答案】(1)，直线的解析式为 (2) 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先将代入，代入得到，，然后根据求解即可． 【详解】（1）把点代入得：， 设直线的解析式为， 把和分别代入 得： 解得： 所以，直线的解析式为． （2）把代入，代入，得： ， 因为， 所以， 解得． 24．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点A、B的坐标分别为，直线与坐标轴交于C、D两点． (1)求交点E的坐标； (2)直接写出不等式的解集； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)点E的坐标是 (2) (3)4 【分析】 本题考查的是待定系数法求一次函数解析式、利用二元一次方程组求两条直线的交点、利用函数图象解不等式，掌握待定系数法的一般步骤、灵活运用数形结合思想是解题的关键． （1）利用待定系数法求出直线的解析式，利用二元一次方程组求出点E的坐标； （2）根据函数图象写出不等式的解集； （3）根据坐标轴上点的特征求出两点的坐标，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1） 解：由题意得 ， 解得， 故直线的解析式是， 则， 解得 ， 故点E的坐标是； （2）解：由图象可知，时，的图象在的图象的上方， 故不等式 的解集是； （3）解：当时，则，解得， 当时，则，解得， 则点C的坐标是，点D的坐标是， ∴ 25．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间t（分钟） 0 10 30 60 增加的电量y（%） 0 10 30 60 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 160 200 280 显示电量e（%） 100 60 50 30 【建立模型】 （1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式； 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点460千米处的目的地，若电动汽车行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为20%，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 【答案】（1）y关于t函数解析式为：，e关于s函数解析式为：；（2）电动汽车在服务区充电35分钟． 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据表格数据，待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）先计算行驶后的电量，假设充电充了分钟，应增加电量：，出发是电量为，走完剩余路程，应耗电量为：，应耗电量为，据此可得：，解得即可． 【详解】解：（1）根据题意，两个函数均为一次函数，设，， 将，代入得， 解得， 函数解析式为：， 将，代入得， 解得， 函数解析式为：； （2）由题意得，先在满电的情况下行走了， 当时，， 未充电前电量显示为， 假设充电充了分钟，应增加电量：， 出发是电量为，走完剩余路程， 应耗电量为：，应耗电量为，据此可得： ，解得， 答：电动汽车在服务区充电35分钟． 26．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）随着“新冠病毒”防控政策的优化调整，广大市民对消毒液等防疫物品需求量大增．某药房分批次购进了酒精消毒液与额温枪两种商品进行销售，每次购进同一商品的进价没有变化，具体情况如表所示： 项目 购进数量(件) 购进所花费用(元) 酒精消毒液 额温枪 第一次 第二次 (1)酒精消毒液的进价为 元，额温枪的进价为 元； (2)该药房对酒精消毒液以每件元出售，额温枪以每件元出售，很快销售一空．为满足市场需求，药房准备再次购进这两种商品，如果此次购进酒精消毒液和额温枪共件，且酒精消毒液的数量不少于额温枪数量的倍，如果商品可以确保销售完毕，求这件商品能够使药房获得的最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)当购进酒精消毒液件、额温枪件时，销售利润最大，最大利润为元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设酒精消毒液每件的进价为元，额温枪每件的进价为元，根据两次进货情况表，可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）设购进额温枪件，获得的利润为元，则购进酒精消毒液件，根据总利润单件利润购进数量，即可得出与之间的函数关系式，由酒精消毒液的数量不少于额温枪数量的倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设酒精消毒液每件的进价为元，额温枪每件的进价为元， 根据题意得： ， 解得：， ∴酒精消毒液每件的进价为元，额温枪每件的进价为元． 故答案为：；． （2）设购进额温枪件，获得的利润为元，则购进酒精消毒液件， 根据题意得：， 酒精消毒液的数量不少于额温枪数量的倍， ， 解得：， 又在中，， 的值随的增大而增大， 当时，取最大值，最大值为， 答：当购进酒精消毒液件、额温枪件时，销售利润最大，最大利润为元． 27．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，P为线段上的一个动点，Q为第二象限内的一个动点，且满足 (1)求直线对应的函数表达式； (2)若为直角三角形，试求点P的坐标，并判断点Q是否在直线上． 【答案】(1) (2)，在直线上 【分析】（1）设直线为，再利用待定系数法求解解析式即可； （2）设，分三种情况讨论：当时，当时， 当时，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：设直线为， ∵直线交x轴于点，交y轴于点， ∴， 解得；， ∴直线为； （2）解：∵，， ∴， 设，而， ∴， 当时， ∴， 解得：， ∴， ∴， 如图，过作于， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴在直线上； 当时，，重合，不符合题意，舍去， 当时， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴此时不符合题意，舍去． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数的性质，勾股定理的应用，完全平方公式的应用，非负数的性质，选择合适的方法解题是关键． 28．（23-24八年级下·江苏南通·期中）预备知识：在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变量的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么?一番深思熟虑后，聪明的小明说：“是一条直线”，老师问：“你能求出这条直线的函数表达式吗？” 小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为， 将点代入得：， 整理得． 为任意实数，等式恒成立； ，． ，． 这条直线的函数表达式为． 请仿照小明的做法，完成问题： （1）随着变量的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线，求直线的函数表达式． 问题探究：（2）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，且，，则点的坐标为 ． 结论应用：（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，是直线上的一个动点，连接，过点作，且，连接，求线段的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）仿照预备知识解答即可； （2）作轴于，轴于，证明，得出，，即可得解； （3）作轴于，轴于，证明，得出，，设，分三种情况：当时，时，时，分别求出的最小值，比较即可得出答案． 【详解】解：（1）设直线的表达式为， 将代入得：， 整理得：， ∵为任意实数，等式恒成立， ∴，， 解得：，， ∴直线的表达式为； （2）如图，作轴于，轴于， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和种， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）如图，作轴于，轴于， ， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是直线上的一个动点， ∴设， 在中，当时，，当时，，解得， ∴，， 当时，，， ， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴随着的减小而增大， ∴此时， 当时，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，为最小，最小值为； 当时，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴此时 ， ∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式、三角形全等的判定与性质、坐标与图形、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 一次函数 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）下列各点中，在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）已知一次函数的图像如图所示，则，的取值范围是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系中， 已知点在直线上， 则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D． 4．（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（    ） A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩 B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息 C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间 D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家 5．（22-23七年级上·安徽宿州·期中）对于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象不经过第一象限 B．图象与y轴的交点坐标为 C．图象可由直线向下平移2个单位长度得到 D．若点，，在一次函数的图象上，则 6．（2024·江苏镇江·模拟预测）古秤是一种人类智慧的产物，也是华夏文明的瑰宝之一．如图，我们可以用秤砣到秤纽（秤杆上手提的部分）的水平距离得出秤钩上所挂物体的重量，称重时，若秤钩所挂物重为（斤），秤砣到秤纽的水平距离为．下表中为若干次称重时所记录的一些数据： （斤） （厘米） 当为斤时，对应的水平距离为（   ） A． B． C． D． 7．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图，中，，把放在平面直角坐标系中，且点，的坐标分别为，，将沿轴向左平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（   ） A．96 B．120 C．132 D．144 8．（22-23八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，点是轴上的一个动点，且，，三点不在同一条直线上当的周长最小时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 9．（2024·江苏常州·模拟预测）如图所示图象折线描述了汽车沿笔直路线行驶过程中，汽车离出发地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的变量关系，根据图中提供的信息，给出下列说法： 汽车共行驶了千米； 汽车在行驶途中停留了小时； 汽车在整个过程中的平均速度为千米时； 汽车自出发后小时至小时之间行驶的速度在逐渐减少． 其中正确的说法是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，直线分别与x轴、y轴相交于点M，N，点P在平面内，，点，则长度的最小值是（    ）    A． B． C．2 D．4 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是 ． 12．（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）在函数的图象上有三个点，则的大小关系用“”连接为 ． 13．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）已知一次函数的图象与直线平行，且经过点关于y轴的对称点，则该函数的表达式为 ． 14．（23-24八年级下·江苏南京·期末）在同一平面直角坐标系中，直线与直线如图所示，则关于的不等式的解集是 ．    15．（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）某公司销售人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图像如图所示，则此销售人员的基本月收入（销售量为0时的月收入）是 元． 16．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点，按此规律，点的坐标为 ． 17．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，将一块含角的直角三角板放在平面直角坐标系中，顶点A，B分别在x轴、y轴上，斜边与x轴交于点D．已知，点A坐标为，点B的坐标为，则点D的坐标为 ． 18．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，将直线绕点顺时针旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 ． 三、解答题（10小题，共64分） 19．（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的关系式； (2)当时，求x的值． 20．（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知一次函数的图象经过点，且与轴交于点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)求此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积． 21．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知函数． (1)若这个函数经过原点，求m的值． (2)若函数的图象平行于直线，求m的值； (3)若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围． 22．（2024·江苏盐城·三模）小丽驾驶电动汽车从家出发到某景点游玩，行驶一段时间，停车充电，电量充满后继续行驶，到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同．在景点游玩一段时间后，按原路返回到家．小丽往返均匀速行驶，汽车每小时的耗电量均相同，出行全程一共用时小时，汽车剩余电量与时间的函数关系如图所示． (1)该电动汽车每小时的充电量为 ，小丽在景区游玩了 ； (2)电动汽车从家出发时电量为，求的值； (3)求线段所表示的与之间的函数表达式． 23．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，直线l经过点A，交y轴于点． (1)求m的值和直线l的函数表达式； (2)若点在直线l上，点在直线上．若，求t的取值范围． 24．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点A、B的坐标分别为，直线与坐标轴交于C、D两点． (1)求交点E的坐标； (2)直接写出不等式的解集； (3)求四边形的面积． 25．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间t（分钟） 0 10 30 60 增加的电量y（%） 0 10 30 60 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 160 200 280 显示电量e（%） 100 60 50 30 【建立模型】 （1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式； 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点460千米处的目的地，若电动汽车行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为20%，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 26．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）随着“新冠病毒”防控政策的优化调整，广大市民对消毒液等防疫物品需求量大增．某药房分批次购进了酒精消毒液与额温枪两种商品进行销售，每次购进同一商品的进价没有变化，具体情况如表所示： 项目 购进数量(件) 购进所花费用(元) 酒精消毒液 额温枪 第一次 第二次 (1)酒精消毒液的进价为 元，额温枪的进价为 元； (2)该药房对酒精消毒液以每件元出售，额温枪以每件元出售，很快销售一空．为满足市场需求，药房准备再次购进这两种商品，如果此次购进酒精消毒液和额温枪共件，且酒精消毒液的数量不少于额温枪数量的倍，如果商品可以确保销售完毕，求这件商品能够使药房获得的最大利润是多少？ 27．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，P为线段上的一个动点，Q为第二象限内的一个动点，且满足 (1)求直线对应的函数表达式； (2)若为直角三角形，试求点P的坐标，并判断点Q是否在直线上． 28．（23-24八年级下·江苏南通·期中）预备知识：在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变量的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么?一番深思熟虑后，聪明的小明说：“是一条直线”，老师问：“你能求出这条直线的函数表达式吗？” 小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为， 将点代入得：， 整理得． 为任意实数，等式恒成立； ，． ，． 这条直线的函数表达式为． 请仿照小明的做法，完成问题： （1）随着变量的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线，求直线的函数表达式． 问题探究：（2）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，且，，则点的坐标为 ． 结论应用：（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，是直线上的一个动点，连接，过点作，且，连接，求线段的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$