极化恒等式 学案-2025届高三数学一轮复习

极化恒等式在数量积问题中的应用 一、阅读以下材料： 证明：不妨设 ，则， ① ② ①②两式相加得： 思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？ ( A B C M )思考2：在三角形ABC中（M为BC的中点），此恒等式如何表示呢？ 二、【典型例题】 题型一：定值问题 例1：在中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则= 。 即时练1： (2016·江苏)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，,，则的值是________． 题型二：范围与最值问题 例2．（2023·山东师范大学附中模拟预测）边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_________. 即时训练2：（2023·陕西榆林·三模（文））四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为________. 题型三：求参问题以及其它问题 例3．（2023春·江苏扬州·高一期末）在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则_________． 即时训练3：（2023·全国·高三专题练习）在中，，为钝角，是边上的两个动点，且，若的最小值为，则__________． 三、课堂小结 1.你本节课收获了什么？ 四、巩固练习 一、填空题 1．已知向量a，b满足a＋2b＝(2，－4)，3a－b＝(－8,16)，则向量a，b的夹角大小为________． 2．在△ABC中，点M，N满足，.若，则x＋y＝________. 3．设向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若|2a－b|＝|a＋2b|，则β－α＝________. 4．已知是圆上互不相同的三个点，且，则的最小值是 5．在中，，，，若是所在平面内一点，且，则的最大值为 6．在，，已知点是内一点，则的最小值是 . 学科网（北京）股份有限公司 $$