海南省澄迈县2024-2025学年高二上学期期中考试预测数学试题

试卷第 1页，共 4页 学科网（北京）股份有限公司 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：__________ 海南省澄迈县2024-2025 年高二数学期中考试预测卷 _ 一、单选题 1．向量  12 1,2,4a x  ．  2,1 2 ,8b y   ，若a b∥   ，则（ ）． A． 1x y  B． 1 2 x  ， 1 2 y   C． 1 6 x  ， 3 2 y   D． 1 6 x   ， 2 3 y  2．直线 3 4 0x y   的倾斜角量（ ） A．60 B．120 C．150 D．30 3．经过 (2, 3), ( 1, )A B m  两点的直线的一个方向向量为 (1, 3) ，则m （ ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知直线 l的倾斜角为120，在 y轴上的截距是 3，则直线 l的方程为（ ） A． 3 3y x  B． 3 3y x   C． 3 3y x   D． 3 3y x  5．已知圆C的方程是 2 2 4 2 11 0x y x y     ，则圆心C的坐标是（ ） A．  2,1 B．  2, 1 C．  4,2 D．  4, 2 6．直线 1l ： 2025 0ax y   ， 2l ：  3 2 2 0a x ay a    ，若 1 2l l ，则实数 a的值为（ ） A．0 B．1 C．0或 1 D． 13或 1 7．已知点    2,3 , 3,2A B  ， 若直线 1 0ax y   与线段�� 相交，则 a的取值范围是（ ） A． 1,2 B．    , 1 2,     C． 2,1 D．    , 2 1,    8．.已知点 ( , )P x y 为直线 2 4 0l x y  ： 上的动点，过 P点作圆 2 2: ( 1) 1C x y   的切线 PA， PB，切点为 ,A B，则 PAB 周长的最小值为（ ） A． 4 54 5  B．5 5 C． 4 5 D． 4 2 5 试卷第 2页，共 4页 二、多选题 9．已知平面 与平面平行，若  2, 4,8n   是平面的一个法向量，则平面 的法向量 可能为（ ）． A．  1,2, 4  B．  1,2,4 C．  2,4, 8 D．  2,4, 8  10．下列说法一定正确的是（ ） A．过点(0,1)的直线方程为 1y kx  B．直线 sin cos 1 0x y    的倾斜角为 C．若 0ab  ， 0bc  ，则直线 0ax by c+ + = 不经过第三象限 D．过  1 1,x y ，  2 2,x y 两点的直线方程为      1 2 1 1 2 1y y x x x x y y     11．已知实数 ,x y满足方程    2 22 1 1x y    ，则下列说法正确的是（ ） A．直线 y x 被圆截得的弦长为 2 2 B． 2 2x y 的最大值 5 1 C． y x 的最大值为 4 3 D． y x 的最大值为3 2 三、填空题 12．直线6 8 2 0x y   与3 4 3 0x y   间的距离为 13．若直线 1 : 1 0l mx y   与直线 2 : 6 2 0l x y n   平行，且 1l 与 2l 间的距离为 10 2 ，则 m n  . 14．在棱长为2的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，点 ,E F分别为棱 1,AD BB 的中点. 点 P为正方 体表面上的动点，满足 1AP EF . 给出下列四个结论： ①线段 1AP长度的最大值为2 3； ②存在点 P，使得 //DP EF； ③存在点 P，使得 1B P DP ； ④ EPF 是等腰三角形. 其中，所有正确结论的序号是 ． 试卷第 3页，共 4页 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题 15．根据下列条件，分别求出直线的一般式方程： (1)经过点  2,4A ，平行于直线 : 3 1 0l x y   ；(2)倾斜角是135，截距是 4； (3)经过点  2,4A ，点  1,1B  ； (4)经过点  2,0A ，且在两坐标轴上截距的和为 5． 16．直线 l的方程为  1 3 1 0a x y a     ， Ra . (1)若直线 l在两坐标轴上的截距相等，求 l的方程； (2)若直线 l分别交 x轴、 y轴的正半轴于点 ,A B，点O是坐标原点. （ⅰ）若 AOBV 的面积为 16，求 a的值； （ⅱ）当 AOBV 的面积最小时，求直线 l的方程. 17．如图所示，在棱长为 1的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，点 E是棱 AB上的动点． (1)求证： 1 1DA ED ； (2)当时，求直线 1DA与平面 1CED成角的大小． 1 2 AE AB  试卷第 4页，共 4页 18．已知圆C的圆心在直线 y x 上，且过点 (3,0)A ， (2, 1)B  (1)求圆C的方程； (2)若直线 : 4 3 9 0l x y   与圆C交于 E、 F 两点，求线段 EF的长度. 19．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马， 将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖（bie一声）臑（nao四声）．如图，已知阳马 P ABCD 中，侧棱PD 底面 ABCD；且PD CD ，在 , ,PA PB PC的中点中选择一个记为点 E，使得四面体E BCD 为鳖臑． (1)确定点 E的位置，并证明四面体E BCD 为鳖臑； (2)若底面 ABCD是边长为 1的正方形，求平面 PAB与平面 BDE 夹角的余弦值． 答案第 1页，共 12页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D C A C D A AD CD 题号 11 答案 CD 1．C 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量共线关系建立等式12 1 2x   ，  2 1 2y  ，4 8 ，即可求解. 【详解】因为a b∥   ，所以a b   ， 由题意可得    12 1,2,4 2,1 2 ,8a x y    ， 所以，则12 1 2x   ，  2 1 2y  ，4 8 ， 则 1 2   ， 1 6 x  ， 3 2 y   ． 故选：C． 2．A 【知识点】直线的倾斜角、直线的一般式方程及辨析 【分析】先根据直线方程求出直线的斜率，再得出直线的倾斜角. 【详解】直线 3 4 0x y   的斜率为 3，又倾斜角的范围在0 180  之间， 所以直线 3 4 0x y   的倾斜角是60 . 故选：A. 3．D 【知识点】直线方向向量的概念及辨析 【分析】根据直线方向向量的定义即可求解. 【详解】由条件可得 3 3 1 2 1 m      ，解得 6m  . 故选：D. 4．C 【知识点】直线的斜截式方程及辨析 【分析】根据倾斜角求出直线斜率，然后用斜截式方程即可得解. 【详解】因为直线 l的倾斜角为120，所以直线 l的斜率为 tan120 3k    ． 答案第 2页，共 12页 又直线 l在 y轴上的截距是 3，代入截距式方程得 3 3y x   ． 故选：C 5．A 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心坐标. 【详解】圆C的方程可化为    2 22 1 16x y    ，圆心C的坐标是  2,1 . 故选：A. 6．C 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据两直线垂直的公式 1 2 1 2 0A A B B  求解即可. 【详解】因为 1l ： 2025 0ax y   ， 2l ：  3 2 2 0a x ay a    垂直， 所以    3 2 1 0a a a    ， 解得 0a  或 1a  ， 将 0a  ， 1a  代入方程，均满足题意， 所以当 0a  或 1a  时， 1 2l l . 故选：C . 7．D 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】由已知可得直线 1 0ax y   过定点 (0, 1)P  ，求得 PBk ， PAk ，数形结合可 求 a的取值范围. 【详解】由直线方程 1 0ax y   ，可知直线 1 0ax y   过定点 (0, 1)P  ， 2 1 1 3 0PB k      ， 3 1 2 2 0PA k    ， 作出示意图如图所示：直线 1 0ax y   与线段 AB相交， 答案第 3页，共 12页 学科网（北京）股份有限公司 则可得 1PBa k    或 2PAa k   ，解得 2a   或 1a  ， 所以 a的取值范围是 ( 2] [1, )  . 故选：D. 8．A 【知识点】切线长、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】先求出圆心到直线的距离，确定动点 P到圆心C的最短距离，从而得出 切线长 ,PA PB、 进而求出 PAB 的周长表达式，再根据函数单调性求出最小值. 【详解】设圆心 (0,1)C 到直线 2 4 0x y   的动点 ( , )P x y 的距离为 PC， 根据点到直线距离公式， 2 2 0 1 4 5 2 1 PC      . 因为 PA， PB是圆C的切线，所以 2 1PA PB t   （其中 5t PC  ）. 又因为 PAC 是直角三角形，由勾股定理可得 2 2 1PA PC  ，即 2 1PA t  . PAB 的周长为 PA PB AB  . 因为 AB是圆C的弦，且 PAC 和 PBC△ 全等，所以 ACP BCP   . 根据三角形面积公式， 1 1 2 2 2PAC AB S PA r PC    （其中 r是圆的半径）， 可得 2 1 2 AB t t   ，所以 22 1tAB t   ， 则 PAB 的周长 2 2 2 2 2 1 12 1 2 1 2 1 ( 5)tt t t t t         . 因为 22 1y t  与 2 12 1y t   均在[ 5, ) 上单调递增， 所以当 5t  时， PAB 周长取得最小值. 最小值为 2 4 4 52 4 4 55    . 故选：A. 答案第 4页，共 12页 9．AD 【知识点】平面法向量的概念及辨析、空间向量共线的判定 【分析】由已知可得平面 的法向量与向量  2, 4,8n   共线且为非零向量，结合 共线向量关系可得结论. 【详解】设平面 的法向量为m  ， 因为平面 与平面平行，  2, 4,8n   是平面的一个法向量， 所以 / /m n   ，且 0m    ， 所以平面 的法向量可能为  1,2, 4  ，  2,4, 8  ， 故选：AD. 10．CD 【知识点】直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析、直线两点式方程及辨析、 直线截距式方程及辨析 【分析】举反例排除 AB，将直线方程化为斜截式，结合其斜率与截距判断 C， 利用直线的两点式判断 D，从而得解. 【详解】对于 A，当过点(0,1)的直线斜率不存在时，其方程为 0x  ，故 A错误； 对于 B，因为直线的倾斜角范围为  0,π ， 显然当 π2π 3  = + 时，不满足题意，故 B错误； 对于 C，因为 0ab  ， 0bc  ，所以 0, 0a c b b     ， 而直线 0ax by c+ + = 可化为 a cy x b b    ，即其斜率小于 0， y轴上的截距大于 0， 所以直线 0ax by c+ + = 不经过第三象限，故 C正确； 对于 D，过  1 1,x y ，  2 2,x y 两点的直线方程为      1 2 1 1 2 1y y x x x x y y     ， 满足过两点的直线方程的要求，故 D正确. 故选：CD. 11．CD 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦 答案第 5页，共 12页 学科网（北京）股份有限公司 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式、两点之间的距离公式计算，将 2 2x y 表示为圆上的点到原点的距离的平方， y x 、 x y 分别表示直线 y kx 、 x y a  与圆有公共点，结合直线与圆的位置关系计算依次判断选项，即可求解. 【详解】A：实数 ,x y满足方程    2 22 1 1x y    ， 所以把  x y， 看作是以  21，为圆心，以1为半径的圆上点， 由点到直线的距离公式得圆心到直线 y x 的距离 2 1 2 22 d    ， 于是弦长 2 22 2r d  ，故 A错误； B：原点到圆心的距离为 5d  ，所以圆上的点到原点的距离的范围为 5 1 5 1   ， ， 所以 2 2 5 1x y   ，即 2 2 6 2 5x y   ， 所以 2 2x y 的最大值为6 2 5 ，故 B错误． C：令 y kx ，则直线与圆有公共点，所以， 2 2 1 1 1 k k    ， 解得 40 3 k  ，所以 y k x  的最大值为 4 3 ．故 C正确； D：令 x y a  ，则直线与圆有公共点，所以 2 1 1 2 a   ， 解得3 2 3 2a    ，所以 x y 的最大值为3 2 ．故 D正确. 故选：CD. 12． 25 /0.4 【知识点】求平行线间的距离 【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】将直线直线6 8 2 0x y   化为3 4 1 0x y   ， 所以两直线的距离   2 2 1 3 2 53 4 d       . 故答案为： 2 5 . 答案第 6页，共 12页 13．15或 5 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】先由 1 2l l// 求出m，接着由两条平行线的距离公式可求出 n，进而得解. 【详解】由题可知 1 2l l// ，所以         2 1 6 0 1 1 2 0 m n               ，解得 3m  且 2n   ， 所以 1 : 3 1 0l x y   ， 2l 可表示为3 02 nx y   ， 则 1 2,l l 间的距离为 2 2 1 102 23 1 n    ，解得 12n   或 8， 所以 15m n  或 5 . 故答案为：15或 5 . 14．①③④ 【知识点】空间位置关系的向量证明、空间线段点的存在性问题、空间向量垂直 的坐标表示 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标验证垂直判断①，找出平行直线再由坐 标判断是否垂直可判断 B，设点的坐标根据条件列出方程组②，探求是否存在符 合条件的解判断③④ 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则            1 12,0,2 , 1,0,0 , 2,2,1 , 0,2,0 , 0,0,0 , 2,2,2A E F C D B ， 对①，由正方体性质知当 P在C时，线段 1AP长度的最大值为2 3， 此时    1 2,2, 2 , 1,2,1A P EF      ， 1 2 4 2 0A P EF        ， 所以 1A P EF   ，即满足 1AP EF ，故①正确； 对②，取正方形 1 1BBC C的中心 M，连接 ,DM MF，易知 // ,MF DE MF DE ， 答案第 7页，共 12页 学科网（北京）股份有限公司 所以四边形DMFE为平行四边形，所以 //DM EF，故 P运动到M 处时， //DP EF， 此时  1,2,1P ，  1 1,2, 1A P     ， 1 1 4 1 2 0A P EF         ，即不满足 1AP EF ， 综上不存在点 P，使得 //DP EF，故②错误； 对③，设  , ,P x y z ，则  1 2, , 2A P x y z    ，  1,2,1EF   ，若存在， 由 1B P DP ， 1AP EF 可得方程组      2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 x y z x y z x y z               ， 化简可得 2 4 3 x y z x y z        ，解得 2, 1x z y   ， 显然当 0, 2, 1x z y   时满足题意， 即存在点 P，使得 1B P DP ，故③正确； 对④，设  , ,P x y z ，若 PE PF ， 则        2 2 2 22 21 2 2 1x y z x y z         ，化简可得 2 4x y z   ， 由③知 1AP EF 时可得 2 4x y z   ，所以不妨取 0, 1, 2x y z   ， 此时  0,1,2P 在正方体表面上，满足题意，故④正确. 故答案为：①③④ 【点睛】关键点点睛：本题的关键之处在于建立空间直角坐标系，利用坐标运算 建立方程，探求是否存在满足条件的点，运算比较复杂，属于难题. 15．(1)3 2 0x y   (2) 4 0x y   (3) 2 0x y   (4)3 2 6 0x y   【知识点】直线两点式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与 其他形式之间的互化、由两条直线平行求方程 【分析】（1）由直线平行可知斜率相等，结合点坐标写出直线点斜式方程，化 为一般式 ； （2）截距为 4分为在 x轴上截距为 4和在 y轴上的截距为 4，根据条件写出直线 方程； 答案第 8页，共 12页 （3）写出直线的两点式方程，化为一般式； （4）分析直线在 x轴、 y轴上的截距，写出直线的截距式方程，化为一般式. 【详解】（1）由题可知，所求直线斜率为 3，故方程为 4 3( 2)y x   ，整理得 3 2 0x y   . （2）由直线倾斜角是135得直线斜率为 1 ， 当直线在 x上截距是 4，即过点 (4,0)时，直线方程为 ( 4)y x   ，整理得 4 0x y   ， 当直线在 y上截距是 4时，直线方程为 4y x   ，整理得 4 0x y   ， 综上得，直线方程为 4 0x y   . （3）由条件得直线的两点式方程为： 4 2 1 4 1 2 y x- - = - - - ，整理得 2 0x y   . （4）由题意得，直线在 x轴上的截距为2，故在 y轴上的截距为3， 所以直线的截距式方程为 12 3 x y   ，整理得3 2 6 0x y   . 16．(1) 5 0x y   或 2 3 0x y  ． (2)（ⅰ） 3a   或 11 9 a   （ⅱ） 2 3 12 0x y   ． 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线的一般式方程及辨析 【分析】（1）根据直线截距的概念，分别令 0x  ， 0y  列式求解即可； （2）分别求出直线在 x轴、y轴的截距，代入三角形面积公式可得    23 1 2 1 a S a     ， 直接解一元二次方程求解（ⅰ），换元令  1a t   ，结合基本不等式判断（ⅱ）即 可求解. 【详解】（1）当 1 0a   即 1a   时，直线 l的方程为 2y  ，不满足题意； 当 1 0a   ，即 1a   时，令 0x  得 3 1y a   ，令 0y  ，得 3 1 1 ax a    ， 由截距相等得 3 1 3 1 1 a a a      ，解得 2a   或 1 3 a   ， 当 2a   时，直线 l的方程为 5 0x y   ，当 1 3 a   ，直线 l的方程为 2 3 0x y  ， 故综上所述，所求直线 l的方程为 5 0x y   或 2 3 0x y  ． （2）由题意知， 1 0a   ， 3 1 0a   ，且 l在 x轴，y轴上的截距分别为 3 11 a a   ， 3 1a  ， 所以 3 1 0 1 3 1 0 a a a       ，解得 1a   ， 答案第 9页，共 12页 学科网（北京）股份有限公司 所以 AOBV 的面积      23 11 3 1 3 1 2 1 2 1 aaS a a a          ， （ⅰ）由题意知    23 1 16 2 1 a a     ，化简得 29 38 11 0a a   ，解得 3a   或 11 9 a   ，均满 足条件， 所以 3a   或 11 9 a   ． （ⅱ）      23 1 1 2 1 a S a a       ，令  1a t   ，则 0t  ，且 1a t   ， 则  23 2 1 4 1 49 12 9 12 12 2 2 2 t S t t t t t                   ， 当且仅当 49t t  ，即 2 3 t  ， 5 3 a   时， AOBV 的面积取最小值12， 此时直线的方程为 2 3 12 0x y   ． 17．(1)证明见解析； (2) 1 2； 【知识点】线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）连接 1AD ，通过证明 1DA 平面 1AED ，则可证明 1 1DA ED . （2）建立空间直角坐标系，根据 AEAB的值，计算平面 1 CED 的法向量，结合点到 面的距离公式即可得出答案. 【详解】（1）如图所示：连接 1AD ， 答案第 10页，共 12页 因为 AB 平面 1 1ADD A， 1DA 平面 1 1ADD A ,所以 1AB DA ，所以 1AE DA ， 又因为四边形 1 1ADD A为正方形，所以 1 1AD DA ， 且 1AE AD A ， 1,AD AE平面 1AED ， 所以 1DA 平面 1AED ， 1ED 平面 1AED ，所以 1 1DA ED . （2）以D为原点，建立如图空间直角坐标系如图所示： 10, ,0 2 E      设平面 1CED一个法向量为  , ,n x y z r ， 又        1 10,0,0 , 1,0,1 , 0,1,0 , 0,0,1D A C D ， 所以    1 1 11,0,1 , 1, ,0 , 0, 1,1 2 DA CE CD            ， 因为 1 10 0 , 2 0 0 CE n x y CD n y z                  ，所以取 1x  ，所以法向量  1,2,2n   所以 1 1 2 2cos , 22 3 DA n      ，所以向量夹角为 45，所以线面夹角为 45 . 答案第 11页，共 12页 学科网（北京）股份有限公司 18．(1) 2 2( 1) ( 1) 5x y    . (2)2 . 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、圆的弦长与中点弦、求点到直线的距 离 【分析】（1）因为圆心在直线 y x 上，设 ( , )C a a ，根据 | | | |AC BC r  ，即可求得 圆心和半径； （2）利用垂径定理可得线段 EF的长. 【详解】（1）设圆心为 ( , )C a a ，因为圆过点 (3,0)A ， (2. 1)B  ，则 2 2 2 2( 3) ( 2) ( 1)a a a a      ，解得： 1a  ， 则半径 2 2(1 3) 1 5r AC     ， 则圆C的方程为： 2 2( 1) ( 1) 5x y    . （2）圆心 (1,1)C 到直线 l的距离为 2 2 4 3 9 2 4 ( 3) d       ， 则 2 22 2 5 4 2EF r d     . 19．(1)证明见解析 (2) 6 3 【知识点】线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）由题意可证 BC 平面 PCD，DE 平面 PBC，进而可得结论； （2）建立空间直角坐标系，求得平面平面 PAB的一个法向量与平面 BDE的一个 法向量，进而利用向量法求得平面 PAB与平面 BDE夹角的余弦值． 【详解】（1）点 E是 PC的中点， 因为PD CD ，所以DE PC ， 又因为PD 底面 ABCD， BC 底面 ABCD，所以BC PD ， 又BC CD ，PD CD D  ， ,PD CD 平面PCD，所以 BC 平面 PCD， 又 ,DE PC 平面 PCD，所以 ,BC DE BC PC  ， 由DE PC ， ,BC DE PC BC C  ， ,DE BC 平面 PBC， 所以DE 平面 PBC，又 BE 平面 PBC，所以DE BE ， 答案第 12页，共 12页 所以 π 2 DEC DEB BCD BCE        ，所以四面体E BCD 为鳖臑； （2）如图，分别以 , ,DA DC DP所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 1DA DC DP   ，则           1 10,0,0 , 1,0,0 , 1,1,0 , 0,1,0 , 0,0,1 , 0, ,2 2D A B C P E       ， 则       1 10,1,0 , 1,0,1 , 1,1,0 , 0, , 2 2 AB AP DB DE               ， 设平面 PAB一个法向量为 ( , , )n x y z  ， 则 · 0 · 0 n AB y n AP x z           ，令 1x  ，则 0, 1y z  ， 所以平面 PAB一个法向量为 (1,0,1)n   ， 设平面 BDE一个法向量为 ( , , )m a b c  ， 则 · 0 1 1· 0 2 2 mDB a b m DE b c            ，令 1a  ，则 1, 1b c   ， 所以平面 BDE一个法向量为 (1, 1,1)m    ， 则 · 2 6cos · 3· 2 3 n m n m n m           ， 所以平面 PAB与平面 BDE夹角的余弦值为 6 3 ．